URZ
DZENIA TECHNIKI KOMPUTEROWEJ
PODSTAWOWE OPERACJE ARYTMETYCZNE NA
PODSTAWOWE OPERACJE ARYTMETYCZNE NA
LICZBACH BINARNYCH.
LICZBACH BINARNYCH.
Dodawanie liczb binarnych - ćwiczenia.
Dodawanie liczb binarnych - ćwiczenia.
Główne zasady przy dodawaniu liczb binarnych:
Główne zasady przy dodawaniu liczb binarnych:
0 + 0 = 0
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 (+1 dodajemy do następnej pozycji)
1 + 1 = 0 (+1 dodajemy do następnej pozycji)
Przykład:
Przykład:
1 1 1
1 1 1
0 0 1 1 (3)
0 0 1 1 (3)
10
10
+ 0 1 0 1 (5)
+ 0 1 0 1 (5)
10
10
________
________
1 0 0 0 (8)
1 0 0 0 (8)
10
10
Odejmowanie liczb binarnych.
Odejmowanie liczb binarnych.
Odejmowanie liczb binarnych wykonuje się poprzez zamianę jednej z liczb na ujemną.
Odejmowanie liczb binarnych wykonuje się poprzez zamianę jednej z liczb na ujemną.
Odejmowanie jest więc dodawaniem ujemnych liczb binarnych.
Odejmowanie jest więc dodawaniem ujemnych liczb binarnych.
Liczby binarne można zapisać w postaci ujemnej stosując niżej opisaną zasadę zamiany
Liczby binarne można zapisać w postaci ujemnej stosując niżej opisaną zasadę zamiany
liczby binarnej dodatniej na ujemną:
liczby binarnej dodatniej na ujemną:
Zapis Uzupełnienie do 1 - U1, czyli:
Zapis Uzupełnienie do 1 - U1, czyli:
(10110100)2 = (01001011)U1
(10110100) = (01001011)
2 U1
Wszystkie bity przepisujemy z zaprzeczeniem. Uzupełnienie do 1 liczby binarnej jest
Wszystkie bity przepisujemy z zaprzeczeniem. Uzupełnienie do 1 liczby binarnej jest
zawsze negacją bitów tej liczby.
zawsze negacją bitów tej liczby.
URZ
DZENIA TECHNIKI KOMPUTEROWEJ
Przykład:
Przykład:
2 - 3 = -1
2 - 3 = -1
-3 + 2 = -1
-3 + 2 = -1
2 = 010
2 = 010
3 = 011
3 = 011
-3 = 100
-3 = 100
bity
bity
znaku
znaku
1 0 0
1 0 0
+ 0 1 0
+ 0 1 0
_______
_______
1 1 0 otrzymaliśmy wynik z bitem znaku 1 (liczba ujemna)
1 1 0 otrzymaliśmy wynik z bitem znaku 1 (liczba ujemna)
_______ należy dokonać ponownie zamiany U1 pomijając bit znaku
_______ należy dokonać ponownie zamiany U1 pomijając bit znaku
1 0 1 otrzymujemy 01 z bitem znaku 1 wynikiem jest więc liczba
1 0 1 otrzymujemy 01 z bitem znaku 1 wynikiem jest więc liczba
-1 ponieważ -3 + 2 = -1
-1 ponieważ -3 + 2 = -1
Mnożenie liczb binarnych bez znaku.
Mnożenie liczb binarnych bez znaku.
1 0 1 1 mnożna (11)
1 0 1 1 mnożna (11)
x 1 1 0 1 mnożnik (13)
x 1 1 0 1 mnożnik (13)
______________
______________
1 0 1 1
1 0 1 1
0 0 0 0 iloczyny cząstkowe
0 0 0 0 iloczyny cząstkowe
1 0 1 1
1 0 1 1
1 0 1 1
1 0 1 1
______________
______________
1 0 0 0 1 1 1 1 iloczyn (143)
1 0 0 0 1 1 1 1 iloczyn (143)
10001111 = 1*20 + 1*21 + 1*22 + 1*23 + 0*24 + 0*25 + 0*26 + 1*27 =
10001111 = 1*20 + 1*21 + 1*22 + 1*23 + 0*24 + 0*25 + 0*26 + 1*27 =
= 1 + 2 + 4 + 8 + 0 + 0 + 0 + 128 = 143
= 1 + 2 + 4 + 8 + 0 + 0 + 0 + 128 = 143
URZ
DZENIA TECHNIKI KOMPUTEROWEJ
Dzielenie liczb binarnych.
Dzielenie liczb binarnych.
Dzielenie binarne jest to najbardziej skomplikowana operacja arytmetyczną na liczbach
Dzielenie binarne jest to najbardziej skomplikowana operacja arytmetyczną na liczbach
binarnych.
binarnych.
W poniższym przykładzie oparto się na metodzie, która polega na cyklicznym
W poniższym przykładzie oparto się na metodzie, która polega na cyklicznym
odejmowaniu odpowiednio przesuniętego dzielnika od dzielnej. W systemie dwójkowym
odejmowaniu odpowiednio przesuniętego dzielnika od dzielnej. W systemie dwójkowym
jest to szczególnie proste, ponieważ dzielnika nie musimy mnożyć.
jest to szczególnie proste, ponieważ dzielnika nie musimy mnożyć.
Przykład:
Przykład:
Podzielimy liczbę (1110)2 przez (11)2 czyli (14:3)10 :
Podzielimy liczbę (1110) przez (11) czyli (14:3) :
2 2 10
Przesuwamy dzielnik w lewo, aż jego najstarszy niezerowy bit zrówna się
Przesuwamy dzielnik w lewo, aż jego najstarszy niezerowy bit zrówna się
z najstarszym, niezerowym bitem dzielnej. Nad dzielną rysujemy kreskę:
z najstarszym, niezerowym bitem dzielnej. Nad dzielną rysujemy kreskę:
____
____
1110 - dzielna
1110 - dzielna
11 - przesunięty dzielnik
11 - przesunięty dzielnik
Jeżeli możliwe jest odjęcie dzielnika od dzielnej bez niedomiaru, to nad kreską w kolumnie
Jeżeli możliwe jest odjęcie dzielnika od dzielnej bez niedomiaru, to nad kreską w kolumnie
najmłodszego bitu dzielnika wpisuje się 1 i wykonuje odejmowanie:
najmłodszego bitu dzielnika wpisuje się 1 i wykonuje odejmowanie:
1
1
____
____
1110 - dzielna
1110 - dzielna
11 - przesunięty dzielnik
11 - przesunięty dzielnik
____
____
0010 - różnica dzielnej i przesuniętego dzielnika
0010 - różnica dzielnej i przesuniętego dzielnika
W następnym kroku dzielnik przesuwa się o jeden bit w prawo i próbuje się tej samej
W następnym kroku dzielnik przesuwa się o jeden bit w prawo i próbuje się tej samej
operacji z otrzymaną różnicą. Jeśli odejmowanie jest możliwe, to nad kreską w następnej
operacji z otrzymaną różnicą. Jeśli odejmowanie jest możliwe, to nad kreską w następnej
kolumnie dopisuje się 1, następnie odejmuje się dzielnik od różnicy, przesuwa się go o 1
kolumnie dopisuje się 1, następnie odejmuje się dzielnik od różnicy, przesuwa się go o 1
bit w prawo i kontynuuje się działania. Jeśli odejmowanie nie jest możliwe, to dopisuje się
bit w prawo i kontynuuje się działania. Jeśli odejmowanie nie jest możliwe, to dopisuje się
nad kreską 0, przesuwa się dzielnik o 1 bit w prawo i kontynuuje.
nad kreską 0, przesuwa się dzielnik o 1 bit w prawo i kontynuuje.
100 - wynik dzielenia
100 - wynik dzielenia
______
______
1110 - dzielna
1110 - dzielna
- 11 - dzielnik
- 11 - dzielnik
______
______
URZ
DZENIA TECHNIKI KOMPUTEROWEJ
0010 - dzielna po odejmowaniu przesuniętego dzialnika
0010 - dzielna po odejmowaniu przesuniętego dzialnika
- 11 - dzielnika nie można odjąć
- 11 - dzielnika nie można odjąć
______
______
0010 - dzielna
0010 - dzielna
- 11 - dzielnika nie można odjąć
- 11 - dzielnika nie można odjąć
______
______
0010 - reszta z dzielenia
0010 - reszta z dzielenia
Wyżej opisane operacje wykonuje się do czasu, aż dzielnik osiągnie swoją pierwotną
Wyżej opisane operacje wykonuje się do czasu, aż dzielnik osiągnie swoją pierwotną
wartość. Pozostała dzielna jest resztą z dzielenia.
wartość. Pozostała dzielna jest resztą z dzielenia.
W powyższym przykładzie otrzymano wynik (100)2 i resztę (10)2 , tzn. (4 i 2)10.
W powyższym przykładzie otrzymano wynik (100) i resztę (10) , tzn. (4 i 2) .
2 2 10
Wynik ten jest poprawny. 3 mieści się w 14 cztery razy, pozostaje reszta 2.
Wynik ten jest poprawny. 3 mieści się w 14 cztery razy, pozostaje reszta 2.
Ćwiczenia:
Ćwiczenia:
W ciągu następnych zajęć przeprowadzone będą ćwiczenia z arytmetyki na liczbach
W ciągu następnych zajęć przeprowadzone będą ćwiczenia z arytmetyki na liczbach
binarnych.
binarnych.
Zamiana liczb dziesiętnych na system binarny.
Zamiana liczb dziesiętnych na system binarny.
Zamianę tę przeprowadzamy dzieliąc z resztą liczbę dziesiętną przez 2, pamietając o
Zamianę tę przeprowadzamy dzieliąc z resztą liczbę dziesiętną przez 2, pamietając o
póz
niejszym "wyrzuceniu" zbednych zer z lewej strony np.: (0010110)2 = (0010110)2 =
póz
niejszym "wyrzuceniu" zbednych zer z lewej strony np.: (0010110)2 = (0010110)2 =
(10110)2
(10110)2
(583)10 = (1001000111)2
(583)10 = (1001000111)2
URZ
DZENIA TECHNIKI KOMPUTEROWEJ
Zamiana liczb hexadecymalnych na binarne i odwrotnie.
Zamiana liczb hexadecymalnych na binarne i odwrotnie.
BINARY HEX BINARY HEX
0000 0 1000 8
0001 1 1001 9
0010 2 1010 A
0011 3 1011 B
0100 4 1100 C
0101 5 1101 D
0110 6 1110 E
0111 7 1111 F