Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych
19. NOŚNOŚĆ SPR
ŻYSTO-PLASTYCZNYCH USTROJÓW PR
TOWYCH
19.1. Idealizacja wykresu rozciągania
Wykres rozciągania stali miękkiej, otrzymany ze statycznej próby rozciągania, daje obraz
rzeczywistego zachowania się tego materiału przy osiowym rozciąganiu. Nieregularny i
skomplikowany kształt tego wykresu sprawia, że w zastosowaniach aproksymuje się go
odcinkowo możliwie dobrze przybliżającymi, prostymi funkcjami analitycznymi. Tej
idealizacji dokonuje się w zależności od charakteru rzeczywistego wykresu i konkretnego
zastosowania. Najczęściej stosowane aproksymacje pokazane są na rys.19.1.
�
�
�
RH Re Re
materiał sztywno
materiał
materiał sprężysto-
plastyczny
liniowo sprężysty
plastyczny
�
� �
Rys. 19.1
Model materiału liniowo sprężystego (ciało Hooke a) stosowany jest w zagadnieniach, w
których nie dopuszczamy wystąpienia odkształceń plastycznych. Takie ciało było
przedmiotem naszych dotychczasowych rozważań.
Model materiału idealnie sztywno plastycznego (ciało de Saint-Venanta) używany jest w
zagadnieniach technologicznej plastyczności, jak np. walcowanie lub przeciąganie, czyli w
procesach w których odkształcenia plastyczne są dominujące i sprężyste mogą być
pominięte.
Model ciała idealnie sprężysto-plastycznego (ciało Prandtla) stosowany jest do opisu
zachowania się materiału, w którym występuje wyraz
na platforma płynięcia i w
zagadnieniach, w których dopuszczamy umiarkowane odkształcenia plastyczne.
Stosowane też bywają bardziej skomplikowane modele materiału uwzględniające np.
wzmocnienie plastyczne czy nieliniowe odkształcenia sprężyste.
19.2. Zginanie prętów z materiału sprężysto-plastycznego.
Rozważać będziemy zginanie poprzeczne prętów pryzmatycznych wykonanych z materiału o
jednakowych własnościach na rozciąganie i ściskanie (materiał izonomiczny), opisanych
modelem ciała idealnie sprężysto-plastycznego, którego wykres zależności � - � wraz z
równaniami dla jednoosiowego stanu naprężenia pokazany jest na rys. 19.2.
�
Re
� = E� dla - � < � < �
pl pl
�
- �
pl
� = Re dla � e" �
pl
�
pl
� = -Re dla � d" -�
pl
- Re
Rys. 19.2
253
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych
Analizy zachowania się takich prętów dokonamy przyjmując następujące założenia:
" spełniona jest zasada płaskich przekrojów,
" obciążenie i przekrój poprzeczny belki spełnia warunki poprzecznego zginania,
" pomijalny jest wpływ sił poprzecznych na osiągnięcie stanu plastycznego.
Zaczniemy od analizy wybranego przekroju pręta, pokazanego na rys. 19.3, w którym
moment zginający, działający w jego płaszczyz
nie symetrii, pręta jest równy M (dla
uproszczenia zapisu opuszczony został dolny indeks). W zależności od wartości tego
momentu zginającego mogą wystąpić następujące stany mechaniczne tego przekroju i
odpowiadające im rozkłady naprężeń normalnych (patrz rys. 19.3):
1- stan sprężysty,
2- graniczny stan sprężysty,
3- stan sprężysto-plastyczny (częściowe uplastycznienie przekroju),
4- graniczny stan plastyczny (pełne uplastycznienie przekroju).
2 3 3
1 4
Z
� < Re x � = Re � = Re x
� = Re x � = Re
x x
M
Y
Ypl
A
� < Re � = Re x
� < Re � = Re
x x
x
Rys. 19.3
Przy niewielkiej wartości momentu zginającego w przekroju występuje stan sprężysty,
rozkład naprężeń normalnych jest liniowy, zerują się one na osi Y (osi obojętnej), a ich
największa wartość jest mniejsza od granicy plastyczności Re .
Zwiększaniu wartości momentu zginającego odpowiadać będzie wzrost odkształceń
liniowych (zarówno tych dodatnich, jak i ujemnych) i stowarzyszony z tym wzrost naprężeń
normalnych. Przy pewnej wartości M  nazywanej granicznym momentem sprężystym
punkty najbardziej oddalone od osi obojętnej zostaną uplastycznione, wystąpią w nich
naprężenia o wartości równej Re , i stan ten nazywamy granicznym stanem sprężystym.
Dalsze zwiększaniu momentu zginającego powoduje dalszy wzrost odkształceń i naprężeń,
ale naprężenia mogą się zwiększać tylko w tych punktach, gdzie były one mniejsze od granicy
plastyczności Re . W tym stanie nazywanym stanem sprężysto-plastycznym w przekroju
poprzecznym wystąpią obszary sprężyste, jak i uplastycznione.
Stan końcowy, w którym we wszystkich punktach przekroju naprężenia są równe granicy
plastyczności, nazywamy granicznym stanem plastycznym, a moment zginający M , przy
którym ten stan się realizuje nazywamy - granicznym momentem plastycznym. Przekrój jest
wówczas w pełni uplastyczniony i zgodnie z przyjętym modelem fizycznym materiału
odkształcenia liniowe mogą wzrastać w nim nieograniczenie.
Zajmiemy się wpierw granicznym stanem sprężystym.
254
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych
Zależności określające w stanie sprężystym rozkład naprężeń normalnych, krzywiznę osi
belki i jej przemieszczenia są znane z poprzednich rozważań. Oś obojętna sprężystego
zginania to główna centralna ,oś bezwładności przekroju poprzecznego, równoległa do
wektora momenty zginającego. Wartość granicznego momentu sprężystego M , tj. momentu
zginającego, który powoduje uplastycznienie skrajnego punktu (lub punktów) przekroju
poprzecznego, wyznaczymy z zależności:
M
max � = Re = M = Re Wspr . (19.1)
x
Wspr
J
y
gdzie: Wspr = Wy = to wskaz
nik wytrzymałości względem osi obojętnej sprężystego
max z
zginania.
Przejdz
my teraz do granicznego stanu plastycznego.
Oznaczmy przez A1 uplastycznioną rozciąganą część przekroju, a przez A2 uplastycznioną
ściskaną część przekroju (rys. 19.4). Rozdziela je oś obojętna zginania plastycznego, której
położenie nie jest, na razie, znane.
Z
� = Re
x
A1
M
Ypl
A2
� = Re
x
Rys. 19.4
Chcemy wyznaczyć położenie osi obojętnej tego zginania i wartość granicznego momentu
plastycznego M , tj. momentu zginającego, który powoduje całkowite uplastycznienie
przekroju poprzecznego.
Do dyspozycji mamy dwa równania równoważności układów sił wewnętrznych i
zewnętrznych.
� dA = 0 ,
x
+"+"
A
� z dA = M .
x
+"+"
A
Podstawiając do pierwszego równania wartości naprężeń w tym granicznym stanie dostajemy
zależność
Re dA1 + (- Re )dA2 = 0 A1 = A2 , (19.2)
+"+" +"+"
A1 A2
która dowodzi, że oś obojętna zginania plastycznego połowi przekrój poprzeczny.
Z drugiego równania równoważności otrzymujemy wartość granicznego momentu
plastycznego:
255
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych
Re z dA1 + (- Re )z dA2 = M M = Re Wpl (19.3)
+"+" +"+"
A1 A2
gdzie :
Wpl = S + S - plastyczny wskaz
nik wytrzymałości (19.4)
ypl1 ypl2
S = dA1 , S = dA2 - momenty statyczne odpowiednich części przekroju
ypl1 ypl 2
+"+"z +"+"z
A1 A2
poprzecznego względem osi obojętnej plastycznego zginania.
Oba graniczne momenty zginające zależne są jedynie od materiału i kształtu przekroju
poprzecznego.
Przejdz
my teraz do analizy belek z materiału Prandtla pracujących w warunkach zginania
poprzecznego.
W ogólności na długości belki poszczególne jej przekroje mogą się znajdować we wszystkich
wyżej opisanych stanach mechanicznych i zależeć to będzie od wielkości przyłożonych
obciążeń. W pewnej analogii do wyżej wprowadzonych określeń, dotyczących momentów
zginających możemy obciążenia przyłożone do belki podzielić na:
" graniczne obciążenie sprężyste (graniczna nośność sprężysta)
" graniczne obciążenie plastyczne (graniczna nośność plastyczna)
" nośność graniczna.
Graniczne obciążenie sprężyste P lub q - to taka wielkość obciążenia danej belki, przy
której choć w jednym jej przekroju wystąpi graniczny moment sprężysty M .
Graniczne obciążenie plastyczne P lub q - to taka wielkość obciążenia danej belki przy
której choć w jednym jej przekroju wystąpi graniczny moment plastyczny M .
Nośności graniczna P* lub q* - to taka wielkość obciążenia danej belki przy którym traci
ona zdolność do jego przenoszenia (belka staje się geometrycznie zmienna).
W belkach statycznie wyznaczalnych graniczne obciążenie plastyczne jest tożsame z
nośnością graniczną, gdyż pełne uplastycznienie przekroju jest równoważne powstaniu w
nim przegubu plastycznego, co czyni belkę kinematycznie zmienną. Przegub plastyczny, w
odróżnieniu od zwykłego przegubu przenosi graniczny moment plastyczny M , ale obrót
sąsiednich przekrojów jest w nim swobodny co daje belce dodatkowy stopień swobody.
W belkach statycznie niewyznaczalnych sytuacja jest trochę odmienna bo na ogół powstaniu
jednego przegubu plastycznego nie czyni belki geometrycznie zmienną, a tylko obniża jej
stopień statycznej niewyznaczalności. Stąd na w belce n-krotnie statycznie niewyznaczalnej
maksymalna liczba przegubów plastycznych, potrzebna do zamiany belki w mechanizm
wynosi n+1.
Nośność graniczną można otrzymać w dwojaki sposób:
" pierwszy, polega na zwiększaniu obciążeń i analizie kolejnych wywołanych przez nie
stanów konstrukcji od sprężystych aż do stanu nośności granicznej,
" drugi, polega na bezpośredniej analizie stanów nośności granicznej tzn. analizie
konstrukcji w której wprowadzonych zostało tak wiele przegubów plastycznych (w ogólności
obszarów uplastycznionych), że stała się geometrycznie zmienna i wykorzystaniu twierdzeń
ekstremalnych teorii plastyczności.
W teorii plastyczności występują pojęcia pól statycznie i kinematycznie dopuszczalnych w
konstrukcji, które definiujemy następująco:
" polem statycznie dopuszczalnym, nazywamy pole naprężeń, które spełnia warunki
256
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych
równowagi i jest niesprzeczne z warunkiem plastyczności tzn. max M d" M ( max � d" Re )
" polem kinematycznie dopuszczalnym nazywamy pole przemieszczeń, które jest
niesprzeczne z istniejącymi więzami.
Twierdzenia ekstremalne teorii plastyczności możemy sformułować następująco:
" twierdzenie o oszacowaniu dolnym:
największe spośród statycznie dopuszczalnych obciążeń granicznych jest rzeczywistą
nośnością graniczną,
" twierdzenie o oszacowaniu dolnym:
najmniejsze spośród kinematycznie dopuszczalnych obciążeń granicznych jest rzeczywistą
nośnością graniczną.
Stąd wnosimy, że wyznaczona metodą pól statycznie dopuszczalnych (podejście statyczne)
nośność graniczna jest oszacowaniem od dołu rzeczywistej nośności granicznej, natomiast w
przypadku pól kinematycznie dopuszczalnych ( podejście kinematyczne) jest oszacowaniem
od góry.
Można więc powiedzieć, że rezultat otrzymany podejściem statycznym jest bezpieczniejszy
gdyż określona tą metodą nośność graniczna jest mniejsza od rzeczywistej i w istocie rzeczy
konstrukcja może przenieść większe obciążenie.
Te dwa sposoby pokazane zostaną na przykładzie belki jednokrotnie statycznie
niewyznaczalnej o prostokątnym przekroju poprzecznym b� h =0.06 � 0.12 m, obciążonej jak
na rys. 19.5 i wykonanej z materiału, którego granica plastyczności Re = 225 MPa.
Z
Z
2 P
P
h = 0.12 m
Y
X
b = 0.06 m
h
A D
B C
l = 1.0 m
2 l
l l
b
Rys. 19.5
Wpierw obliczymy graniczne momenty sprężysty i plastyczny. Ponieważ przekrój jest
bisymetryczny więc oś Y jest osią obojętną zginania zarówno sprężystego jak i plastycznego.
Wskaz
nik wytrzymałości sprężystego zginania wynosi: Wspr = bh2 / 6 = 144 cm3, natomiast
wskaz
nik wytrzymałości plastycznego zginania jest równy:
Wpl = 2*bh2 / 8 = bh2 / 4 = 216 cm3.
Stąd graniczny moment sprężysty: M = Re Wspr = 225* 106 * 144* 10-6 = 32400 Nm, a
graniczny moment plastyczny wynosi: M = Re Wpl = 225* 106 * 216*10-6 = 48600 Nm.
Pierwsza metoda określenia nośności granicznej wymaga wyznaczenia momentów w tej
jednokrotnie statycznie niewyznaczalnej belce. Aby to uczynić musimy znać reakcje, których
wyznaczenie z samych równań równowagi nie jest możliwe. Gdybyśmy jednak znali jedną z
nich to pozostałe łatwo wyznaczymy z równań równowagi. Wyznaczmy więc wartość
momentu w utwierdzeniu M . W tym celu zastąpimy daną belkę statycznie niewyznaczalną
A
równoważną jej wolnopodpartą belką statycznie wyznaczalną obciążoną prócz sił skupionych,
momentem M . Wartość M wyliczymy z warunku zerowania się kąta ugięcia na podporze
A A
A w belce wolnopodpartej. Możemy to uczynić korzystając np. z metody Mohra obliczania
ugięć.
257
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych
belka fikcyjna
belka rzeczywista
2 P
P
MA
D
A B C
2 l
l l
1.5Pl/EJy
Pl/EJy
A
D
B C
2 l
l l
1 M 2* 4l 1 Pl 1 1.5 Pl 1 Pl 2l
A
= 0 V * 4l + 4l - 4l * 2l - 3l * 2l - l * = 0
"M fD fA
2 EJ 3 2 EJ 2 EJ 2 EJ 3
y y y y
2
27Pl -16M
A
V = ,
fA
12EJ
y
2
27Pl -16M 27
A
V = � = = 0 M = Pl = 1.6875 Pl .
fA A A
12EJ 16
y
Znajomość momentu utwierdzenia M
A
MA =1.6875 Pl
2 P
P
pozwala na wyznaczenie wykresu
momentów zginających w zastępczej
statycznie wyznaczalnej belce
D
A B C
wolnopodpartej, który jest równocześnie
2 l
l l
wykresem momentów w danej belce
M
statycznie niewyznaczalnej. Widać z
niego, że największy co do bezwzględnej
wartości moment zginający występuje w
utwierdzeniu, więc graniczne obciążenie
sprężyste obliczymy z zależności:
M = 1.6875 Pl P = 19200 N.
Zwiększanie wartość sił powoduje rozwój obszarów uplastycznionych i skutkuje
pojawieniem się pierwszego granicznego momentu plastycznego. Wystąpi on w utwierdzeniu
bo tam jest największy moment zginający w tej belce. Zatem graniczne obciążenie plastyczne
będzie miało wartość:
M = 1.6875 Pl P = 28800 N.
258
A
y
M /EJ
Pl
1.5
Pl
A
M
1.6875
Pl
1.15625
Pl
1.57812
Pl
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych
2 P
M
P
Pełne uplastycznienie przekroju w
utwierdzeniu nie zamienia tej belki w
mechanizm, powoduje jedynie wystąpienie w
D
A B C
utwierdzeniu przegubu plastycznego czyniąc
2 l
l l
belkę statycznie wyznaczalną obciążoną
M
siłami skupionymi i granicznym momentem
plastycznym M . Wykres momentów
M
2P - M 2 2P - M 4
zginających w tym stanie mechanicznym
belki pokazuje rysunek obok.
Belka stanie się kinematycznie zmienna gdy w wyniku dalszego zwiększenia sił
obciążających pojawi się drugi przegub plastyczny i wystąpi on w przekroju C gdy zostanie
on całkowicie uplastyczniony. Nośności graniczną tej belki wyznaczymy z zależności:
M 5M
M = 2P"l - P* = = 30375N.
4 8l
Przejdziemy teraz do wyznaczenia nośności granicznej danej belki wykorzystując twierdzenia
ekstremalne teorii plastyczności.
Wpierw wyznaczymy jej nośność graniczną metodą pól kinematycznie dopuszczalnych
(podejście kinematyczne), a następnie metodą pól statycznie dopuszczalnych (podejście
statyczne).
Metoda pól kinematycznie dopuszczalnych  podejście kinematyczne.
W tym podejściu rozważamy konstrukcję w stanie granicznym z odpowiednią liczbą
przegubów plastycznych czyniącą ją geometrycznie zmienną. Następnie do takiej konstrukcji
stosujemy zasadę prac wirtualnych mówiącą, że: suma prac wirtualnych sił zewnętrznych jest
równa sumie prac wirtualnych sił wewnętrznych. Z równania prac wirtualnych wiążących
zadane obciążenie zewnętrzne i graniczne momenty plastyczne w przegubach plastycznych
jako siły wewnętrzne wyznaczamy nośność graniczną belki. Pewnym problemem tego
podejścia jest konieczność określenia a priori położenia przegubów plastycznych Dobrą
wskazówką do określenia miejsca ich występowania jest wykres momentów zginających w
stanie sprężystym, gdyż przeguby będą w miejscach ekstremalnych wartości lub załamania
tych wykresów. Ale w ogólności, zwłaszcza w wielokrotnie statycznie niewyznaczalnej i
nieprostej w swej geometrii konstrukcji nie jest łatwo określić położenie przegubów
odpowiadające rzeczywistemu stanowi granicznemu. Stąd konieczność rozważenia kilku
schematów zniszczenia i wyznaczenia dla każdego odpowiadającej mu nośności granicznej.
Najmniejszą z nich uznajemy za nośność graniczną i jak już wspomniano wyżej można
dowieść, że jest to górne oszacowanie rzeczywistej nośności granicznej konstrukcji.
Kinematycznie dopuszczalne schematy zniszczenia.
Schemat pierwszy.
Zakładamy, że obciążenie spowoduje pełne uplastycznienie przekroju w utwierdzeniu i
punkcie B (tzn. powstanie przegubów plastycznych), bo tam są lokalne ekstrema funkcji
momentów w stanie sprężystym (załamania wykresu momentów). Z odpowiadającego
przyjętemu schematowi zniszczenia planu przemieszczeń przygotowanych wynikają
wyrażenia na pracę wirtualną sił zewnętrznych i wewnętrznych.
259
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych
Praca wirtualna sił zewnętrznych:
Lz = 2P "1 + P " .
2 P
P
M
Praca wirtualna sił wewnętrznych:
B C
D
�
"1 � Lw = 3M � .
"
A
Ponieważ: " = 2l *� , "1 = l *� ,
M
M
to zasady prac wirtualnych
Lz = Lw 2P *l� + P * 2l� = 3M�
P1 = 3M 4l
Schemat drugi.
Tym razem zakładamy, że pełne uplastycznienie przekroju wystąpi w utwierdzeniu i punkcie
C (tzn. powstanie przegubów plastycznych). Z odpowiadającego temu schematowi
zniszczenia planu przemieszczeń przygotowanych wynikają wyrażenia na pracę wirtualną sił
zewnętrznych i wewnętrznych.
2 P Lz = P" + 2P"1 , Lw = 2 M � + M �1 ,
P
M
B C " = 2l *� , "1 =l *�1, 3l *� = l *�1
D
�
Lz = Lw ,
"1 �1
"
A
P * 2l� + 2P *l *3� = 2M� + 3M� ,
M
M
P2 = 5M 8l
Za nośność graniczną uznajemy mniejszą z tych dwóch sił,
zatem P" = 5 M 8l = 30375 N, i jak wyżej zostało powiedziane rzeczywista nośność
graniczna nie jest większa od tej wartości.
Metoda pól statycznie dopuszczalnych  podejście statyczne.
Potrzebujemy założyć (przypuścić) statycznie dopuszczalne schematy zniszczenia. Tak jak
poprzednio pewnym problemem tego podejścia jest konieczność określenia a priori położenia
przegubów plastycznych. I, jak poprzednio będziemy je zakładać w miejscach ekstremalnych
wartości lub załamania wykresów momentów w stanie sprężystym. Dla każdego, założonego
statycznie dopuszczalnego pola wyznaczymy odpowiadającą mu nośność graniczną.
Największą z nich uznajemy za nośność graniczną i jak już wspomniano wyżej można
dowieść, że jest to dolne oszacowanie rzeczywistej nośności granicznej konstrukcji.
Schemat pierwszy.
Zakładamy, że obciążenie spowoduje pełne uplastycznienie przekroju w utwierdzeniu i
punkcie B (tzn. powstanie przegubów plastycznych), bo tam są lokalne ekstrema funkcji
momentów w stanie sprężystym (załamania wykresu momentów).
260
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych
Należy teraz obliczyć wartości wszystkich sił
P
2P
działających na konstrukcję, które muszą spełniać
warunki równowagi.
M M
M
Z warunków równowagi otrzymujemy:
L
A D
B C
= 0 VA * 2l - 2 * M = 0 VA = M l ,
"M B
2 l l
l
P
VD
VA = 0 VD * 2l - 2P *l - M = 0
"M B
M
VD = P + M 2 l ,
M
5M 4
"Y = 0 VA +VD - 3* P = 0 P1 = 3M 4l ,
M
VD = 5M 4l .
Wykres momentów pokazuje, że założone pole nie jest statycznie dopuszczalne gdyż w
punkcie C moment zginający 5M 4 > M i nie spełniony jest warunek plastyczności.
Schemat drugi.
Zakładamy, że obciążenie spowoduje pełne uplastycznienie przekroju w utwierdzeniu i
punkcie C.
Warunki równowagi dają następujące wartości sił
2P
P
działających na konstrukcje przy tym założonym
schemacie zniszczenia:
M M M
L
= 0 VA *3l - 2* M - l * P = 0
"M C
A D
B C
2l l
l
VA =(2 M + P l) 3l ,
VD
VA
P
= 0 VD *l - M = 0 VD = M l ,
"M C
M
3M 4
M
"Y = 0 VA + VD - 3* P = 0 P2 = 5 M 8l
VA = 7M 8l .
M
Odpowiadający będącym w równowadze siłom działającym na belkę wykres momentów
pokazuje, że w konstrukcji spełniony jest warunek plastyczności. A więc założone pole
naprężeń jest statycznie dopuszczalne, i możemy przyjąć, że nośność graniczna rozważanej
belki wynosi: P" = P2 = 5M 8l = 30375 N, i jak wyżej zostało powiedziane rzeczywista
nośność graniczna nie jest mniejsza od tej wartości.
Ponieważ z podejścia kinematycznego otrzymaliśmy taki sam wynik więc
P" = 5 M 8l = 30375 N, jest rzeczywistą nośnością graniczną rozważanej konstrukcji.
261
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych
19.2.1. Przykłady
Przykład 19.2.1.1. Dla podanej belki o
Z
przekroju prostokątnym bxh = 0.02x0.06 m
q
wyznaczyć graniczne obciążenie sprężyste
Y
h
q , graniczne obciążenie plastyczne q oraz
Y pl
l = 4 m
nośność graniczną q* jeśli
b
granica plastyczności Re = 300 MPa.
Rozwiązanie
2
q l
Maksymalny moment zginający w belce max M =
8
b h2
Sprężysty wskaz
nik wytrzymałości dla przekroju prostokątnego Wspr = Wy =
6
h h b h2
Plastyczny wskaz
nik wytrzymałości dla przekroju prostokątnego Wpl = 2* b =
2 4 4
2* 62 * 10-6
Graniczny moment sprężysty M =Wspr Re = * 300* 106 = 3600 Nm.
6
2* 62 * 10-6
Graniczny moment plastyczny: M =Wpl Re = * 300* 106 = 5400 Nm.
4
Graniczne obciążenie sprężyste wyznaczymy z zależności:
2
ql 8M 8* 3600
max M = M = M q = = = 1800 N/m.
2
8
l 42
Graniczne obciążenie plastyczne wynosi:
2
q l 8 M 8* 5400
max M = M = M q = = = 2700 N/m.
2
8
l 42
Belka jest statycznie wyznaczalna, obciążenie jej granicznym obciążeniem plastycznym
spowoduje powstanie w jej środku rozpiętości dodatkowego przegubu zmieniając ją w
mechanizm i dlatego graniczne obciążenie plastyczne jest równe nośności granicznej
q* = q = 2700 N/m.
q q* Wpl
W belce statycznie wyznaczalnej o przekroju prostokątnym = = = 1.5 i to
Wspr
q q
dowodzi, że obciążenie powodujące zniszczenie belki jest o 50 % większe od obciążenia
które powoduje uplastycznienie włókien skrajnych w przekroju maksymalnego momentu
zginającego. A
atwo można stwierdzić, że to zwiększenie nośności w przypadku belek
statycznie wyznaczalnych zależeć będzie jedynie od stosunku wskaz
ników wytrzymałości
plastycznego i sprężystego, czyli od kształtu przekroju. W przypadku belek statycznie
niewyznaczalnych zwiększenie nośności belki zależeć jeszcze będzie od stopnia jej statycznej
niewyznaczalności.
262
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych
Przykład 19.2.1.2. Wyznaczyć graniczne obciążenie sprężyste, plastyczne i nośność belki,
jeśli granica plastyczności Re = 345 MPa.
Z
2
M = 4 q
q
Z
Y
X
wymiary w
14
cm
P = 7 q
4 m 6 m
4
Rozwiązanie
2
4 4
Maksymalny moment zginający, jak pokazuje poniższy wykres występuje w utwierdzeniu i
wynosi: max M = 12q.
M = 4q
q
P = 7q
4 m 6 m
M
Oś obojętna zginania sprężystego to oś Y
wymiary w
Z
przechodząca przez środek ciężkości przekroju,
cm
równoległa do wektora momentu zginającego. Jej
2
położenie wyznaczamy z warunku zerowania się
11.27
ś
ś
momentu statycznego w sposób już wielokrotnie ś
14 ś
stosowany w zagadnieniach zginania. Y
14
A = 10* 2 + 2* 14 +10* 4 = 88.0 cm2
cm
8.73 Ypl
S = 10* 2* 19 + 2* 14* 11+10* 4* 2 = 768.0 cm3
y0
4
S
768
yo
z0 = = = 8.73cm. Y0
4 2
4
A 88
�ł10* 183 8* 143 �ł
10* 23
�ł �ł
J = - + 68* 2.272 + + 20* 7.732 = 4582.78 cm4.
y
�ł �ł
12 12 12
�ł łł
Wskaz
nik wytrzymałości sprężystego zginania
J
4582.78
y
Wspr = Wy = = = 406.63cm3.
max z 11.27
Oś obojętną zginania plastycznego to oś równoległa do wektora momentu zginającego
dzieląca przekrój poprzeczny na dwie części o równych polach.
263
12
q
4.5
q
4
q
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych
Z kształtu przekroju widać, że będzie ona przechodzić przez środnik i jeśli współrzędna ś
wyznacza jej położenie to musi spełniać warunek:
1
88 = 10* 2 + 2* ś ś = 12.0cm.
2
Wskaz
nik wytrzymałości plastycznego zginania:
Wpl = S + S = 10* 2* 13 + 2* 12* 6 + 2* 2* 1+10* 4* 4 = 568.0 cm3.
ypl1 ypl 2
Graniczny moment sprężysty M =Wspr Re = 406.63* 10-6 * 345* 106 = 140.29 kNm.
Graniczny moment plastyczny M =Wpl Re = 568*10-6 * 345*106 = 195.96 kNm.
Graniczne obciążenie sprężyste wynosi:
M 140.29
max M = M 12q = M q = = = 11.69 kN/m.
12 12
Graniczne obciążenie plastyczne i nośność graniczna ma wartość:
M 195.96
max M = M 12q = M q = = = 16.33 kN/m.
12 12
Przykład 19.2.1.3.Wyznaczyć nośność graniczną belki jak na rys. stosując podejście
statyczne i kinematyczne.
2P
E
A B
C D
l 3 l
2 l
l
P
Podejście statyczne.
Belka jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalna. Trzy przeguby czynią ją kinematycznie
zmienną. Zakładamy, że pełne uplastycznienie przekroju wystąpi w utwierdzeniu oraz
punktach B i D.
Obliczamy wartości wszystkich sił działających na
konstrukcję, które muszą spełniać warunki
2P
M
równowagi.
M
M
M
M
Z warunków równowagi otrzymujemy wartości sił
E
działających na belkę, które są w równowadze:
A D
B C
L
= 0 VA *l - 2 M = 0 VA =2 M l ,
l 2 l l "M B
3 l
P
VC
VA VD
P
= 0 VD *l - M = 0 VD = M l ,
"M D
P
M
= 0 VD *6l -VC *3l - P *5l + M = 0
"M B
M
VC = 7M 3l - 5P 3,
0.5 M
M
M
"Y = 0 VA +VC - P -VD = 0 P = 5 M 4l ,
VC = M 4l
264
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych
Nośność graniczna jest nie mniejsza niż:
5M
P" = .
4l
Podejście kinematyczne.
Kinematycznie dopuszczalne schematy zniszczenia.
Schemat 1.
2P
Lz = 2P" , Lw = 2M� + 2M�1 ,
M
M
" = � l , � *l =�1 *3l
E
B
A
� Lz = Lw
" �1
D
C
2P *� l = 2 M� + 2M� 3
P
M
M
3 l 2 l l
l
P1 = 4M 3l
Schemat 2.
2P
M Lz = P" , Lw = 2M� + M�1 ,
M
M
"
" = � * 2 l , � * 2l =�1 *l
E
� �1
A
Lz = Lw
D
B C
P * 2� l = 2 M� + 2M�
P
3 l 2 l l
l
P2 = 2M l
Schemat 3.
Lz = 2P" + P"1 ,
2P
M
M
Lw = 2M� + 2M�1 + M�2 ,
M
"1
E
B �2
" = � * l , "1 = �1 * 2l , � *l =�1 *3l ,
A
�
�1
D
C
"
�1 * 2l =�2 *l
Lz = Lw
P
M
M
2P *� l + P * 2� l 3 =
2 l l
3 l
l
= 2 M� + 2M� 3 + 2M� 3
P3 = 5M 4 l
P* = min(Pi ) = P3 = 5 M 4 l . I jest to rzeczywista nośność graniczna belki bo takim sam rezultat
otrzymano z podejścia statycznego.
Przykład 19.2.1.4. Wyznaczyć nośność graniczną belki o podanej geometrii i obciążeniu
stosując podejście kinematyczne jeśli Re = 215 MPa.
265
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych
2P
24 cm
P
4 m
4 m 2 m 4 m 4 m
12 cm
Rozwiązanie
Kinematycznie dopuszczalne schematy zniszczenia:
Lz = Lw
2P
"1
schemat 1
�1
2P1 " + P1 "1 = 2 M � + M �1
�
�
"
" = 4� ; "1 = 4�1; � = 4�1
P
M
M
M
9P1 = 2.25 M
P1 = 0.25M
Lz = Lw
2P
schemat 2
2P2 " = 3M �
" = 4�
� �
"
P
8P2 =3M
M
M
P2 = 0.375M
Lz = Lw
2P
"
M
schemat 3
�1 P3 " = M � + M �1
�
" = 4�1; � = 4�1
M
M P
4P3 = 5M
P3 =1.25M
Lz = Lw
M
M
2P
schemat 4
" P4 " =3 M �
�
�
" = 4�
M
P
P4 = 0.75M
P* = min ( Pi )= P1 = 0.25 M
Położenie osi plastycznego zginania
Jest to oś równoległa do wektora momentu zginającego dzieląca przekrój poprzeczny na dwie
części o równych polach.
ś =16.97 cm
24 cm
266
Ypl
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych
Zatem jej położenie można wyznaczyć z zależności:
1 1 1 1
* 12* 24* = * ś * * ś ś = 16.97 cm.
2 2 2 2
Wskaz
nik plastycznego zginania:
�ł �ł
1 16.972 1
�ł12* 7.032 1 * 3.515* 7.032 �ł
Wpl = * * 16.97 + - = 674.83 cm3.
�ł �ł
2 2 3 2 2 3
�ł łł
Nośność graniczna belki jest równa:
P* = 0.25* Wpl * Re = 0.25* 674.83*10-6 * 215* 106 = 36272.11 N.
Przykład 19.2.1.5. Wyznaczyć nośność graniczną belki stosując podejście kinematyczne.
P
2P
2 m 1
1
2 m 2 m 2 m
Rozwiązanie
Kinematycznie dopuszczalne schematy zniszczenia:
schemat 1
Lz = 2P "; Lw = 2M �
P
"
� �
2P " = 2 M �
" = 2�
2P
M
M
P1 = 0.5M
Lz = 2P "; Lw = 2M �
schemat 2
P
M
2P " = 2 M �
"
�
�
" = 2�
�
2P
M
P2 = 0.5M
P
Lz = P "; Lw = 2M �
schemat 3
M
P " = 2 M �
�
"
2P
" = 2�
M
P3 = M
P
Lz = 2P " - P "; Lw = 2M �
M
schemat 4
"
"
� �
�
2P
267
M
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych
2P " - P " = 2 M �
" = 2�
P4 = M
Nośność graniczna belki wynosi:
P* = min ( Pi )= 0.5 M .
Przykład 19.2.1.6.Wyznaczyć nośność graniczną belki jak na rys. stosując podejście
kinematyczne.
Symetria konstrukcji pozwala na
q
analizowanie równoważnej belki
jednoprzęsłowej, utwierdzonej na
jednym końcu a na drugim
l
l wolnopodpartej.
Jedyny kinematycznie dopuszczalny schemat
q
zniszczenia będzie miał dwa przeguby, jeden w
utwierdzeniu a drugi w prześle przy czym jego
położenie nie jest znane, ale możemy je wyznaczyć z
l
zasady prac wirtualnych.
a l-a
q
Lw = 2M� + M�1 , Lz = xdx + x1dx1 ,
1
+"q� +"q�
M
0 0
� �1
� * a = �1 *(l - a),
M
M
2M 2l - a
a
l - a
Lz = Lw q = .
a l l - a
Ponieważ podejście kinematyczne daje oszacowanie od góry, poszukujemy najmniejszego
obciążenia q. Warunek konieczny jego istnienia daje równanie:
" q
2
= 0 a2 - 4la + 2l = 0 a = l(2 - 2)= 0.586l .
" a
2
Stąd ostatecznie otrzymujemy nośność graniczną belki q" = 11.657 M l .
Przykład 19.2.1.7.Belkę o schemacie jak na rys. należy podeprzeć dodatkowo w przęśle w
miejscu zapewniającym jej największą nośność graniczną.
q
A
B
l
q
Wprowadzenie dodatkowej podpory C czyni
B
C
A
268
l - a a
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych
belkę dwukrotnie statycznie niewyznaczalną.
Kształt wykresu momentów zginających w
stanie sprężystym sugeruje dwa
kinematycznie dopuszczalne schematy
zniszczenia.
Schemat 1.
q
M
Nośność graniczna dla tego schematu
zniszczenia została wyznaczona w
B
poprzednim przykładzie.
�
�1
A C
Wynosi ona :
M
M
M
q1 = 11.657
l - a
b a - b
a2
Schemat 2.
W tym schemacie zniszczenia przegub
plastyczny w przęśle AC wystąpi w środku
M q
M
tego przęsła. Zatem:
B
(l-a) / 2
�
�
C
A
Lw = 4M� , Lz = 2 xdx ,
+"q�
0
M M
16 M
a
(l a)/2 (l a)/2
Lz = Lw q2 = .
2
(l - a)
Widoczne jest że zwiększanie a powoduje zmniejszanie q1 i zwiększanie q2. Przy ustalonej
długości belki jej nośność graniczną wyznaczymy z warunku równości:
M M
2
q1 = q2 11.657 = 16.00 4.343a2 + 23.314al -11.657l = 0
2
a2
(l - a)
a = 0.4605l .
Odpowiadająca temu położeniu dodatkowej podpory nośność graniczna belki wynosi:
M M
q" = 11.657 = 54.970
2 2
l
(0.4605l)
19.3. Nośność graniczna osiowo rozciąganych układów prętowych
Rozważać będziemy konstrukcje wykonane z prętów prostych przegubowo połączonych i
obciążonych tylko w węzach w sposób powodujący ich osiowe rozciąganie. Pręty wykonane
są z materiału o własnościach ciała idealnie sprężysto plastycznego (rys. 19.2).
Ponieważ rozkład naprężeń normalnych w dowolnym przekroju poprzecznym na długości
pręta rozciąganego siłą P jest jednorodny to w przekroju i tym samym w pręcie mogą
wystąpić tylko dwa stany mechaniczne w zależności od wielkości przyłożonej siły a
mianowicie stan sprężysty, gdy naprężenia są w nim mniejsze od Re i stan pełnego
uplastycznienia, gdy równają się Re . Co więcej jeśli naprężenia osiągną wartość granicy
269
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych
plastyczności to pręt może się wydłużać dowolnie dużo i dlatego graniczne obciążenie
sprężyste, plastyczne i nośność graniczna są w nim takie same i wynoszą:
P = P = P* = Re A . (19.5)
Analogicznie jest w dowolnej statycznie wyznaczalnej konstrukcji kratowej z tym że o jej
nośności granicznej decyduje nośność pręta w którym występują największe naprężenia
normalne w stanie sprężystym.
W kratownicach statycznie niewyznaczalnych sytuacja jest bardziej złożona gdyż w
zależności od wielkości obciążenia wszystkie pręty mogą być w stanie sprężystym albo
niektóre w stanie sprężystym inne zaś uplastycznione, albo wreszcie liczba uplastycznionych
prętów jest taka że konstrukcja staje się geometrycznie zmienna i nie może przenosić
zadanego obciążenia. Dlatego w konstrukcjach złożonych z osiowo rozciąganych prętów
wykonanych z materiału idealnie sprężysto-plastycznego można przyjąć określenia:
" graniczne obciążenie sprężyste (nośność sprężysta)  to największa wartość obciążenia
przy której we wszystkich prętach konstrukcji występuje stan sprężysty
" nośność graniczna  to taka wielkość obciążenia przy którym konstrukcja traci zdolność do
jego przenoszenia.
19.3.1. Przykłady
Przykład 19.3.1.1. Wyznaczyć nośność graniczną danego układu kratowego jeśli przekroje
wszystkich prętów są jednakowe o polu A = 2.0 cm2 a granica plastyczności Re = 225MPa.
3.2 m 1.8 m
l1 = 4.0 m
1
2
l2 = 3.0 m
2.4 m
siną = 0.6
ą
cosą = 0.8
K
P
Rozwiązanie
Obliczenie sił w prętach układu.
Równania równowagi:
N1
Ł X = 0
N2
- N1 cosą + N2 siną = 0
Ł Y = 0
ą
N1 siną + N2 cosą = P
P
Siły w prętach wynoszą:
N1 = 0.6P , N2 = 0.8P .
270
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych
Ponieważ pola przekrojów obu prętów są równe więc o nośności układu decyduje pręt 2 .
Przy wzrastaniu wartości obciążenia on pierwszy ulegnie uplastycznieniu i ponieważ krata
jest statycznie wyznaczalna ulegnie zniszczeniu.
Nośność graniczna konstrukcji wynosi:
225*106 * 2 *10-4
0.8P* = Re A P* = = 56250 N.
0.8
Przykład 19.3.1.2. Dla stalowej konstrukcji przegubowo prętowej jak na rysunku.
w której pola przekrojów wszystkich prętów i
2.0 m 2.0 m
ich moduły sprężystości podłużnej są równe
wyznaczyć potrzebne pole przekrojów
2 2
1
poprzecznych prętów oraz nośności graniczną
jeśli P = 30 kN, R = 215 MPa, Re = 235 MPa,
2.0 m
ą
ą ą E = 205 GPa.
Wyznaczyć wykres określający jak wzrasta
K
pionowe przemieszczenie węzła K w zależności
od wielkości siły P.
P
Rozwiązanie
Obliczenie sił podłużnych w prętach.
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny, więc
komplet równań do ich wyznaczenia będzie się składał z
N1
równania równowagi i równania geometrycznego.
N2
N2
ą ą
Równanie równowagi:
K
Ł Y = 0 N1 + 2 N2 cosą = P N1 + 2 N2 =
.
P
Równanie geometryczne:
N1l1 N2l2
"2 = "1 cosą = 2 N1 = 2N2 .
E1A1 E2 A2
ą ą
K
Stąd siły podłużne w prętach:
"2
N1 = 2 P (2 + 2) = 17.574 kN,
"1
N2 = P (2 + 2) = 8.787 kN.
K
Potrzebny przekrój prętów z warunku wytrzymałości:
max (N A)d" R N1 Ad" R A e" N1 R = 17.574 *103 215*106 = 0.817 *10-4 m2.
Nośność graniczną układu wyznaczymy zwiększając obciążenie i przechodząc kolejno jego
stany od sprężystego poprzez sprężysto-plastyczny aż do stanu granicznej nośności, w którym
konstrukcja nie może przenieść zadanego obciążenia, przemieszczenia jej punktów są
dowolnie duże (staje się kinematycznie zmienna).
271
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych
Siła obciążająca powodująca pierwsze uplastycznienie w konstrukcji, które wystąpi w pręcie
1 bo w nim w stanie sprężystym jest największa siła podłużna, ma wartość:
N1 = N = N = 2P (2 + 2) = A Re
1 1
2 + 2 2 + 2
P = A Re = 0.817 * 235*102 = 32.776 *103 N.
2 2
Przy tej sile konstrukcja może jeszcze przenosić obciążenie bo naprężenia w prętach 2 są
nadal mniejsze od granicy plastyczności Re.
Siły które wówczas występują w prętach 2
N = N = A Re
1 1
możemy wyznaczyć z warunku równowagi sił
działających na węzeł K :
N2
N2
ą ą
Ł Y = 0 N + 2 N2 cosą = P
1
.
K
P - N
1
P
N + 2 N2 = P N2 =
1
2
Konstrukcja stanie się kinematycznie zmienna gdy nastąpi uplastycznienie prętów 2 tzn.
gdy: N2 = N = N = A Re . Odpowiadające tej wartości siły obciążenie P będzie nośnością
2 2
graniczną i oznaczymy je przez P* . Wyznaczymy je z zależności:
P* - N
1
N2 = N = N = = A Re P* = 2 A Re + N = (1+ 2) A Re = 46.352*103 N.
2 2 1
2
Iloraz
P* 46.352
= =1.545
P 30.000
pokazuje wielkość rezerwy (54.5 %), która tkwi w analizowanej konstrukcji jeśli dopuścimy
pełne jej uplastycznienie. Ale zwiększenie obciążeń jest związane ze zwiększeniem
przemieszczeń i pokazuje to wykres zależności " - pionowego przemieszczenia węzła K od
wielkości siły obciążającej P.
P = 30.000 kN - stan sprężysty
N2 l2 P
" = 2 * "2 = 2 ; N2 =
EA
(2 + 2)
30.000*103 * 2 2
" = 2 = 2.098*10-3 m.
(2 + 2)* 205* 0.817 *105
P = P = 32.776 kN - uplastycznienie pręta 1
N2 l2 P
" = 2 * "2 = 2 ; N2 =
EA
2 + 2
272
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych
32.776*103 * 2 2
" = 2 = 2.293*10-3 m.
(2 + 2) * 205* 0.817 *105
P = P* = 46.352 kN - stan graniczny nośności (uplastycznienie wszystkich prętów)
N2 l2
" = 2 * "2 = 2 ; N2 = N = A Re
2
EA
0.817 * 235*102 * 2 2
" = 2 = 4.585*10-3 m.
205* 0.817 *105
" [mm]
4.585
4
2.293
2
P* = 46.352
P [kN]
273
60
40
20