A. Zaborski, Nośność graniczna przekroju
Graniczna nośność sprężysta i plastyczna przekroju
Przykład 1
Określić stosunek wskaz
nika plastycznego do wskaz
nika sprężystego dla przekroju:
s = Wpl Wspr .
3
1
3
1.5
2
4
RozwiÄ…zanie:
pole powierzchni: F = 15.5 cm2
środek ciężkości: zc = 2.60 cm
główny centralny moment bezwładności:
4× 23 1.5×33 3×13
J = + 4× 2×(2.6 -1)2 + +1.5×3×(2.6 - 3.5)2 + + 3×(2.6 - 5.5)2 = 55.65 cm4
y
12 12 12
wskaz
nik sprężysty:
J
y 55.65
Wspr = = = 16.37 cm3
zmax 3.4
położenie osi obojętnej w stanie granicznym plastycznym (oś przechodzi przez dolną półkę):
0.5×15.5
z0 = - 2.6 = -0.6625 cm
4
wskaz
nik plastyczny:
1.9375
öÅ‚
W = 2S1 = 2×1.9375× 4×ëÅ‚2.6 - ÷Å‚
= 25.28 cm3
ìÅ‚
pl y
2
íÅ‚ Å‚Å‚
wynik końcowy:
W
pl
s = = 1.544
Wspr
Podobne wyniki uzyskujemy z programu  przekrój (© A. Zaborski)
Przykład  obciążenie dwuparametrowe
Określić nośność graniczną sprężystą i plastyczną belki jak na rysunku:
q
P 7a
a
2l l l
10a
a
M1 a
5a
M3
M2
RozwiÄ…zanie:
położenie osi centralnej i osi obojętnej:
zc = 6.5a, z0 = 7a, W = 90a3R
A. Zaborski, Nośność graniczna przekroju
ekstremalne momenty zginajÄ…ce:
P2 P
P
M1 = 2l(P - ql), M (x = ) = , (dla 0 d" d" 2l), M3 = -Pl
2
q
2q q
belka zamieni się w mechanizm, jeśli utworzy się jeden przegub plastyczny - zakładamy jego
istnienie w kolejnych przekrojach ekstremalnych momentów, otrzymując:
M1 d" M Ò! 2l(P - ql) d" WRe ,
1a
3a
P2 P
2a
M2 d" M Ò! d" W Re , jeÅ›li ponadto 0 d" d" 2l ,
s
2q q
1b
2b
M3 d" M Ò! Pl d" WRe 0.5
-1 -0.5
p
Po wprowadzeniu bezwymiarowych parametrów obciążeń:
0.5
1
Pl ql2
p a" , s a" ,
WRe WRe
ograniczenia możemy zapisać:
3b
p - s d" 0.5 , skÄ…d:
p - s d" 0.5, p e" s, (1a)
oraz:
- p + s d" 0.5, s > p, (1b),
p2 P
d" 2 , (2a), gdy 0 d" d" 2 , (2b)
s s
p d" 1 Ò! p d" 1, p e" -1 , (3).
Ograniczenia przedstawiono na wykresie. Warunek (2b), istnienia ekstremum momentu w
przekroju (2), oraz warunek (2a), przekroczenia nośności w tym przekroju, dają ograniczenia
poza zaznaczonym obszarem: (2a) ma zastosowanie jedynie dla spełnionego (2b), tj. wtedy
gdy linia (2a) jest "ponad" (2b) - na lewo i na prawo od zaznaczonego obszaru. Tak więc oba
warunki (2) Å‚Ä…cznie nie wnoszÄ… dodatkowego ograniczenia na rozwiÄ…zanie i obszar
zakreskowany na wykresie wyznacza zakres dopuszczalnych obciążeń.