XLVIII KONFERENCJA NAUKOWA
KOMITETU INŻYNIERII L
DOWEJ I WODNEJ PAN
I KOMITETU NAUKI PZITB
Opole  Krynica 2002
Jan KARCZEWSKI1
Henryk KRÓL2
PROPOPOZYCJA METODY PROJEKTOWANIA
SPR
ŻYSTO-PLASTYCZNEJ BELKI SPR
ŻONEJ
1. Wprowadzenie
Dotychczas w sprężysto-plastycznej analizie belek wstępnie sprężonych cięgnem zakłada
się, punktową formę przegubów plastycznych. Takie podejście może dawać oszacowania
zbyt optymistyczne, a niekiedy niebezpieczne.
W rzeczywistości strefy plastyczne rozwijają się wzdłuż belki redukując sztywność w ob-
szarze częściowo uplastycznionym. Zjawisko to powoduje, że stan graniczny nośności jest osią-
gany dużo wcześniej niż wynika to przy założeniu punktowej formy przegubów plastycznych.
W pracy przedstawiono propozycję metody projektowania belek sprężonych cięgnami
przy założeniu rozprzestrzeniania się strefy plastycznej. Wykorzystano tutaj plastyczną
rezerwę nośności w stadium eksploatacji.
Przedmiotem rozważań jest pełnościenna, belka wolnopodparta, obciążona siłą
skupioną przyłożoną w środku rozpiętości, sprężona cięgnem prostoliniowym na całej
długości, umieszczonym w bezpośrednim sąsiedztwie pasa dolnego.
2. Założenia
W proponowanej metodzie przyjęto następujące założenia :
- cięgno sprężające gwarantuje, że belka nie ulega zniszczeniu po uformowaniu się w jej
części środkowej przegubu plastycznego, lecz jedynie przechodzi z układu wewnętrznie
statycznie niewyznaczalnego w układ statycznie wyznaczalny zachowując jednocześnie
możliwość przenoszenia dalszego przyrostu obciążenia.
- Zniszczenie układu konstrukcyjnego belka-cięgno następuje po transformacji przegubu
plastycznego z chwilą, gdy oś plastyczna belki pokryje się z osią cięgna,
- wykorzystanie rezerwy plastycznej dopuszcza się wyłącznie w jednym stadium pracy
belki. W omawianej metodzie jest to stadium eksploatacji,
- praktyczne wykorzystanie plastycznej rezerwy nośności przewidziano do chwili
uformowania się przegubu plastycznego. Drugim warunkiem jaki musi spełniać belka
jest fakt nieprzekroczenia w przekroju środkowym wartości ugięć dopuszczalnych,
1
Profesor, Politechnika Warszawska, Instytut Konstrukcji Budowlanych
2
Mgr inż. (doktorant), Politechnika Warszawska, Instytut Konstrukcji Budowlanych
200
- interakcja uogólnionych sił wewnętrznych występujących w przekroju belki
modelowana jest krzywą graniczną pomiędzy momentem zginającym i siłą podłużną a
współdziałanie siły poprzecznej z tymi siłami uwzględnione jest wg. hipotezy
Biezuchowa [1], zgodnie z którą huberowskie naprężenia zastępcze, w strefach
uplastycznionych przez naprężenia normalne i na osi obojętnej w stanie sprężysto-
plastycznym są równe granicy plastyczności (rys. 1),
- krzywa plastyczna, tj. linia rozgraniczająca strefy sprężyste od strefy plastycznej
przyjmuje (licząc do osi symetrii) kształt paraboli (rys. 2) o ogólnym równaniu:
Õ(z)= a1zn -1 + a2zn -2 + a3zn -3 + ... + an -1z + an (1)
- fragment belki, w którym występuje strefa odkształceń plastycznych traktuje się jako
część o zredukowanej sztywnoś ci odpowiednio do przebiegu funkcji redukujących
moment bezwładności w tym obszarze (rys. 3),
- całkowite ugięcie stanowi sumę ugięcia od momentu zginającego u(x)m i siły
poprzecznej u(x)t, stąd równania linii ugięcia w poszczególnych przedziałach (rys. 4)
przyjmują postać:
Rys. 1. Model interakcji uogólnionych sił wewnętrznych z uwzględnieniem hipotezy
Biezuchowa :a) krzywa graniczna µ = f(·); b) krzywa graniczna µ = f(¸); c) rozkÅ‚ad
naprężeń normalnych i ścinających wg hipotezy Biezuchowa
201
Rys. 2. Kontur strefy uplastycznienia wg przyjętego modelu
A, B, D, C, S  punkty charakterystyczne strefy uplastycznienia
Rys. 3. Wykres funkcji momentu bezwładności w obszarze uplastycznienia
JrA , JrB , JRD , JRC  wartości momentu bezwładności w punktach charakterystycznych
strefy uplastycznienia
202
Rys. 4. Przedziały całkowania: KA  sprężysty, AS  sprężysto-plastyczny
przedział sprężysty KA
l/2
Px3 Nex2 P/2 x + Ne Pc2x Necx ºPx
uKA = - - + x dx + + + (2)
x
+"
12EJy 2EJy EJr(x) 4EJy EJy 2GA
c
przedział sprężysto-plastyczny AS
x l/2
P/2 x + Ne P/2 x + Ne
AS
u(x) = - dx + x dx +
+"+" +"
EJr(x) EJr(x)
c c
(3)
Pc3 Nec2 º Pc º P(x - c)
+ + +
6EJy 2EJy 2GA 2GAr(x)
gdzie: Jr(x)  zredukowany moment bezwładności określony odpowiednimi funkcjami
w zależności od zakresu uplastycznienia belki,
º  współczynnik uwzglÄ™dniajÄ…cy ksztaÅ‚t przekroju belki (przyjÄ™to º = 12).
3. Ograniczenia projektowe obszaru uplastycznionego
i przykłady obliczeniowe
Zgodnie z przyjętym kształtem i zasięgiem strefy uplastycznienia w belce obciążenie
towarzyszące zakończeniu stanu sprężystego oraz powstaniu przegubu plastycznego
przyjmuje zgodnie z rys. 5 wartości:
4(MA - NAe) 4(Ms - Nse)
Pspr = PA = Ps = (4)
l l
203
gdzie: MA i NA  wartości momentu zginającego i siły podłużnej występujące w przekroju
belki na zakończenie stanu sprężystego,
Ms i Ns  wartości momentu zginającego i siły podłużnej w chwili powstania
przegubu plastycznego w środku belki
Rys. 5. Punkty odzwierciedlające wartości obciążenia eksploatacyjnego
powodujÄ…cego uplastycznienie belki zgodnie z krzywÄ… plastycznÄ…:
PA, PB, PD, PC, PS  obciążenie odpowiadające uplastycznieniu się kolej-
nych punktów charakterystycznych strefy uplastycznienia;
PE, PF, PH  obciążenie odpowiadające uplastycznieniu się dowolnych
punktów w strefie uplastycznienia;
P  rzeczywiste obciążenie eksploatacyjne
Kierując się zasadą optymalnego wykorzystania materiału ustalono, że wynikający z
analizy obszar odkształceń trwałych dla potrzeb projektowania powinien być zawężony do
przedziału C-S (rys. 6). Przyjęto, że najkorzystniejsze wykorzystanie rezerwy plastycznej
może nastąpić wówczas, gdy siła eksploatacyjna P przyjmuje wartość co najmniej równą Pc,
tj. odpowiadającą uplastycznieniu się pierwszego, górnego włókna przekroju środnika
(rys. 6). Jednocześnie z przeprowadzonych badań wynika, że ugięcie towarzyszące
powstaniu przegubu plastycznego jest kilkakrotnie większe od dopuszczalnego. Oznacza to,
że prawidłowo zaprojektowana belka powinna spełniać jednocześnie dwa warunki
Pc < P < Ps oraz u(p) E" udop (5)
które ilustruje rys. 6.
204
Rys. 6. Strefa uplastyczniona przy bezpiecznym wykorzystaniu
plastycznej rezerwy nośności
Opracowany dla proponowanej metody program obliczeniowy składa się z trzech
podstawowych bloków (rys. 7). W bloku głównym (środkowym) wykorzystano wcześ -
niej sporządzony program obliczeniowy [2], w którym obliczone są wartoś ci wszystkich
parametrów strefy odkształceń plastycznych, niezbędnych do ustalania wartoś ci ugięć
i uogólnionych sił wewnętrznych w dowolnym przekroju belki. Natomiast bloki pierw-
szy i trzeci obejmują proces poszukiwania wymiarów belki i cięgna oraz właściwoś ci




Ó
Ó


A
Ó
Ó
C

Rys. 7. Uproszczony schemat blokowy programu
205
mechanicznych stali spełniających warunki (5). W tab. 1 zamieszczono wyniki
projektowania trzech belek, przyjmując dla porównania jednakowe wielkości takie jak:
- rozpiętości  12,0 m
- obciążenie eksploatacyjne  350,0 kN
- właściwości mechaniczne stali belki  E = 205,0 GPa; fy = 235,0 MPa
- właś ciwości mechaniczne stali cięgna  Ec = 195,0 GPa; fy = 1070,0 MPa
Tablica 1
PROJEKTOWANE WYMIARY
OBCI
ŻENIE [kN] UGI
CIE [mm]
[mm]
-
uëÅ‚
hs d1 t1 d2 t2 t3 Pspr Pc Ps udop -öÅ‚
P R
ìÅ‚ ÷Å‚
p
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
910 300 18 98 8 7 2383,5 3027,4 3609,4 3835,6 48 47,91 1,9
840 254 22 91 1 7 2208,6 2561,8 3612,3 3718,0 48 48,15 -3,1
880 268 20 116 8 8 2542,5 3251,1 3615,6 3938,3 48 47,59 8,5
Odmienne natomiast przyjęto smukłości środnika. Zakładając jego grubość równą
7 mm założono dla pierwszej belki  = 130, dla drugiej  = 120 oraz dla trzeciej  = 110.
Przy czym w przypadku belki trzeciej z uwagi na brak możliwości spełnienia obu warunków
(5) przyjęto grubość środnika równą 8 mm.
Wykonując porównania uzyskanych wartości otrzymano zależności:
- różnica pomiędzy obciążeniem odpowiadającym ugięciu dopuszczalnemu a
obciążeniem maksymalnym dla fazy sprężystej wynosi kolejno: 51,4 %, 63,6%,
42,2%.
- różnica pomiędzy wytrzymałością obliczeniową a naprężeniami w pasie dolnym
belki, liczonymi wg. stosowanych dla fazy sprężystej wzorów [3] wynosi kolejno:
14,4%, 32,2%, 8%.
- mniejsza smukłość środnika przy stałej jego grubości pozwala na lepsze
wykorzystanie odkształceń trwałych.
5. Wnioski końcowe
* Wydaje się możliwe praktyczne zastosowanie metody projektowania belek
sprężonych cięgnami z wykorzystaniem odkształceń trwałych w stadium
eksploatacji. Po wykonaniu prac związanych z wdrażaniem dodatkowych badań
należy przystąpić do opracowania szczegółowej metody projektowania.
* W ostatecznej wersji metody poza innymi, należy uwzględnić wpływ zjawisk
reologicznych stali na nośność i odkształcalność belki. Będzie to możliwe po
opracowaniu tzw. map Frosta-Ashby ego określających właściwości mechaniczne
gatunków stali produkowanych w Polsce, pracujących w warunkach wysokich
naprężeń. Wydaje się niezbędne opracowanie optymalnych dla danej belki
charakterystyk geometrycznych i mechanicznych.
Literatura
[1] BIEZUCHOW N. J., K teorii płasticzieskowo rasczieta na izgib, Westi. Inż. i Techn.
1936.10.
206
[2] KRÓL H., Modelowanie stalowej belki sprężonej cięgnem z wykorzystaniem plastycznych
właściwości stali. Rozprawa doktorska, Warszawa 2001, Biblioteka P.W.
[3] BOGUCKI W., Budownictwo stalowe, cz.1, str. 343÷357, Arkady, Warszawa 1976.
PROPOSED METHOD OF DESIGNING IN ELASTIC-PLASTIC
PHASE OF PRESTRESSED BEAMS
Summary
The paper deal with proposed method of designing of prestressed bean with utilising plastic
reserve of load carrying capacity in phase of exploitation.
The plastic zone spreading along longitudinal axis the beam was taken into
consideration. The special numerical program to enable obtain exemplary results was worked
out. The numerical examples are presented too.