[e-mail]
Prof. Krzysztof Jemielniak
Plan wykładu
http://www.zaoios.pw.edu.pl/kjemiel
ST 107, tel. [phone]
1 Wstęp
Cyfrowe
2 Sygnały i systemy
przetwarzanie
3 Systemy liniowe niezmienne w czasie
3 Systemy liniowe niezmienne w czasie
4 Przetwarzanie analogowo cyfrowe
sygnałów
5 Przekształcenie Fouriera
6 Analiza czasowo-częstotliwościowa
7 Przekształcenie Laplace a
3. Systemy liniowe niezmienne w czasie
8 Przekształcenie Z
9 Filtry cyfrowe
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
3 Systemy liniowe niezmienne w czasie Systemy dyskretne
System dyskretny: czarna skrzynka, która przekształca
sygnał wejściowy x[n] w sygnał wyjściowy y[n]=T{x[n]}
" Systemy dyskretne
Systemy dyskretne
" Systemy liniowe x[n] y[n]
T
" Systemy niezmienne w czasie
Ta notacja może sugerować, że T działa na pojedynczych
" Odpowiedz
impulsowa
wartościach wejściowych x[n] przekształcając je w
pojedyncze wartości wyjściowe y[t].
" Splot
" Stabilność i przyczynowość
To nie jest właściwa interpretacja !
System T operuje na całym sygnale x przekształcając go w
sygnał y  tak samo, jak przy mnożeniu macierzy cały wektor
przekształcany jest w inny
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Systemy dyskretne 3 Systemy liniowe niezmienne w czasie
" Systemy bez pamięci: niektóre systemy dyskretne istotnie
działają kolejno na pojedynczych elementach sygnału " Systemy dyskretne
wejściowego  są to systemy bez pamięci
" Systemy liniowe
Systemy liniowe
" Przykłady systemów bez pamięci
" Systemy niezmienne w czasie
" skalowanie T {x[n]} = a x[n]
" Odpowiedz
impulsowa
" dodawanie i przesunięcie T {x[n]} = x[n] + C
" Splot
" Przykłady systemów, które nie są bez pamięci
" Stabilność i przyczynowość
" opóz
nienie : T {x[n]} = x[n-n0]
" ruchoma średnia : T {x[n]} =
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
1
Systemy liniowe Warunek liniowości
Liniowość jest często zwana także zasadą superpozycji co
" Najbardziej przydatne systemy należą do kategorii
zwanej systemami liniowymi. oznacza, że system liniowy musi na sumę wymuszeń
odpowiadać sumą odpowiedzi na poszczególne wymuszenia:
" Fakt ten jest niezwykle ważny!
Jeśli y1=T{x1[n]} oraz y2=T{x2[n]} to
" Bez tej koncepcji liniowości bylibyśmy zmuszeni do
sprawdzania indywidualnych charakterystyk wielu
T{a1x1[n]+a2x2[n]} = a1T{x1[n]} + a2T{x2[n]} =
systemów składowych nie powiązanych ze sobą.
= a1y1[n] + a2y2[n]
" Z tą koncepcją, możemy skupić się na charakterystyce
systemu jako całości, traktując go jak liniowy.
co w postaci ogólnej daje:
" Naszym pierwszym zadaniem będzie identyfikacja właściwości
T{a1x1[n]+& +aNxN [n]} = a1T{x1[n]}+...+aNT{xN[n]} =
systemu, które czynią go liniowym, i sprawdzenie jak one
wpływają na działanie tych systemów. = a1y1[n] +... +aNyN[n]
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Żartobliwe wyjaśnienie liniowości Przykład systemu liniowego 1
" Niech y[n] =-x[n]/2
Istotną cechą jest to, że dodawane sygnały przechodzą przez
" Podajmy na wejście systemu x1=sinusoida 1 Hz
system bez wzajemnego oddziaływania na siebie.
sygnał wejściowy widmo sygnału
sygnał wyjściowy
" Dla przykładu pomyślmy o rozmowie telefonicznej z wujkiem Jasiem x1[n] wyjściowego
y1[n]
|Y1[m]|
i ciociÄ… OlÄ….
" Ciocia Ola rozpoczyna przydługawą opowieść o tym, jak świetnie udały
jej siÄ™ rzodkiewki w tym roku.
" W tle, wujek Jaś wrzeszczy na psa, który pogryzł jego ulubiony fotel.
" Podajmy na wejście systemu x2=sinusoida 3 Hz
" Oba głosy dodają się i są elektronicznie przenoszone przez sieć
widmo sygnału
sygnał wyjściowy
telefoniczną. sygnał wejściowy
wyjściowego
y2[n]
x2[n] |Y2[m]|
" Ponieważ system jest liniowy, głos który słyszymy jest sumą dwóch
głosów dokładnie tak, jakby były transmitowane oddzielnie.
" Słyszysz Olę i Jasia, a nie jakiegoś Jaśolę.
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Przykład systemu liniowego 1 cd Przykład systemu liniowego 2
" A teraz podajmy na wejście systemu oba sygnały na raz
n
" Akumulator: y[n] = x[k]
S
x1=sinusoida 1 Hz oraz x2=sinusoida 3 Hz
k=-"
sygnał wejściowy widmo sygnału
sygnał wyjściowy
wyjściowego
x[n]= ax1[n]+bx2[n]
x3=x1[n]+x2[n]
y3[n]
|Y3[m]|
n
y[n]= (ax1[k]+bx2[k])=
S
k=-"
n n
= (ax1[k]) + (bx2[k])=
" Zauważmy: sygnał x3[n] jest sumą, próbka po próbce sygnałów x1[n] i S S
k=-" k=-"
x2[n].
n n
" Jak widać, sygnał wyjściowy y3[n] jest również sumą, próbka po próbce
=a x1[k] + b x2[k]=
S S
sygnałów y1[n] i y2[n].
k=-" k=-"
" Także widmo amplitudowe |Y3[m]| jest sumą widm |Y1[m]| i |Y2[m]|
=ay1[n] + by2[n]
Jð " Liniowy
To jest właśnie liniowość!
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
2
Przykład systemu nieliniowego 1 Przykład systemu nieliniowego 2
n
"  Teager energy operator TEO: " Akumulator z offsetem: y[n] = C+ x[k]
S
k=-"
y[n]=x2[n]  x[n-1] x[n+1]
n n
y1[n]= C+ x1[k] y2[n]= C+ x2[k]
S S
k=-" k=-"
x[n]= ax1[n] + bx2[n]
x[n]= ax1[n] + bx2[n]
y[n]=(ax1[n] + bx2[n])2 +
n n n
y[n]= C + (ax1[n] + bx2[n]) = C + a x1[n] + b [n] `"
 (ax1[n-1]+bx2[n-1])(ax1[n+1]+bx2[n+1])`"
S S S x2
k=-"
k=-" k=-"
`"ay1[n] + by2[n]
`"ay1[n] + by2[n]
Lð X nieliniowy
Lð X nielniowy
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
3 Systemy liniowe niezmienne w czasie Systemy niezmienne w czasie
Inna bardzo ważna cecha systemów tak ciągłych jak
dyskretnych to niezmienność w czasie.
" Systemy dyskretne
" Systemy liniowe Oznacza to, że system na opóz
nione pobudzenie
odpowiada w taki sam sposób, tyle że z opóz
nieniem,
" Systemy niezmienne w czasie
Systemy niezmienne w czasie
czyli system nie zależy od wartości początkowej n
" Odpowiedz
impulsowa
" Splot
Jeśli T{x[n]}=y[n] to T{x[n-n0]}=y[n-n0]
" Stabilność i przyczynowość
Jeśli system jest jakimś urządzeniem pomiarowym, wtedy
niezmienność w czasie oznacza, że eksperymenty są powtarzalne
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Raz jeszcze definicja niezmienności w czasie Kontrprzykład niezmienności w czasie
Jeśli
" Skalowanie przez indeks: y[n]=n·x[n]
jeśli x1[n]=x[n-n0]
To
to y1[n-n0]=(n-n0)·x1[n-n0]`"n·x[n-n0]
" Niezmienność w czasie jest ważna, ponieważ oznacza iż charakterystyka
systemu nie zależy od czasu, czy ogólniej od zmiennej niezależnej, jaka
by ona nie była.
" JeÅ›li blip w sygnale wejÅ›ciowym powoduje blop w sygnale wyjÅ›ciowym, Lð X nie jest niezależny od czasu  wyjÅ›cie zależy od n
możesz być pewien, że inny blip wywoła identyczny blop.
" Większość systemów z jakimi się spotykamy jest niezależna od czasu.
" To się zresztą bardzo dobrze składa, bo bardzo trudno jest posługiwać się
systemem, który zmienia swoją charakterystykę w czasie pracy!
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
3
Systemy liniowe niezmienne w czasie Systemy liniowe niezmienne w czasie
Aby zobaczyć dlaczego liniowość i niezmienność w
" Systemy, które są zarówno liniowe oraz
czasie są razem tak ważne, załóżmy że:
niezmienne w czasie nazywane sÄ… systemami
" T jest systemem majÄ…cym te dwie cechy
liniowymi niezmiennymi w czasie  ang. Linear
" niech h[n] będzie sygnałem wyjściowym systemu w
Time-Invariant Systems (LTI)
odpowiedzi na impuls jednostkowy d[n], czyli
" Liniowość i niezmienność w czasie tworzą razem
h[n]=T{d[n]}
potężną kombinację!
Ten szczególny sygnał wyjściowy odgrywa na tyle
" A
atwo siÄ™ nimi operuje matematycznie
istotną rolę, że otrzymała specjalną nazwę:
" Obejmują bardzo szeroką gamę użytecznych systemów
odpowiedz
impulsowa systemu
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
3 Systemy liniowe niezmienne w czasie Odpowiedz
impulsowa (Impulse response - IR)
1, n=0
d[n]=
" Impuls
0, n`"0
" Systemy dyskretne
" Systemy liniowe
x[n] y[n]
" Jeśli mamy system: T{x[n]}=y[n]
" Systemy niezmienne w czasie system
" Odpowiedz
impulsowa
Odpowiedz
impulsowa
to dla x[n] = d[n] => y[n] = h[n]
" Splot
" Stabilność i przyczynowość
 odpowiedz
impulsowa
" System LTI jest całkowicie opisany przez h[n]
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Przykład odpowiedzi impulsowej Odpowiedz
impulsowa systemów LTI h[n]=T{d[n]}
Wykorzystując niezmienność w czasie możemy napisać:
T{d[n+1]} = h[n+1]
Wez
my prosty system
T{d[n]} = h[n]
T{d[n-1]} = h[n-1]& itd
Ponieważ dowolny sygnał x[n] może być wyrażony jako
nieskończona suma: "
impuls
x[n] = S x[k] d[n-k]
k=-"
to korzystając z liniowości mamy:
obliczmy wyjście systemu...
" "
T{x[n]} = T x[k]d[n-k] = x[k]T d[n-k] =
S S
k=-" k=-"
odpowiedz

"
impulsowa
= x[k]h[n-k]
S
k=-"
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
4
3 Systemy liniowe niezmienne w czasie Splot
"
x[k]h[n-k]
S
k=-"
" Systemy dyskretne
Ostatnio przedstawione wyrażenie przedstawia wyjście
" Systemy liniowe
systemu jako szczególną kombinację arytmetyczną członów
" Systemy niezmienne w czasie
sygnału wejściowego i członów odpowiedzi impulsowej.
" Odpowiedz
impulsowa
Ta szczególna kombinacja nazywana jest splotem
" Splot
Splot
sygnałów h[n] i x[n] i zapisywana jako:
" Stabilność i przyczynowość
"
y[n]=h[n]*x[n] =
=
S x[k]h[n-k]
k=-"
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
"
Interpretacja splotu Obliczanie splotu
y[n]=x[n]*h[n] = x[k]h[n-k]
S
k=-"
Rozważmy przykład:
System liniowy niezmienny w czasie (LTI) transformuje sygnał
x[n]={0 3 1 2 -1}
h[n]={3 2 1}
wejściowy x[n] na sygnał wyjściowy h[n]*x[n] gdzie h[n] jest
odpowiedziÄ… impulsowÄ… systemu.
n-ty człon h[n]*x[n] oblicza się jak następuje:
1. Obróć ciąg h dokoła 0, tak że dodatnie indeksy staną się
Oznacza to, że przepuszczenie sygnału przez system LTI jest
ujemne i na odwrót, dając:
~
równoważne z jego spleceniem z odpowiedzią impulsową systemu
h[k]=h[-k]
~
2. Przesuń obrócony ciąg o n: h[k-n]=h[n-k]
3. Pomnóż obrócony i przesunięty ciąg wyraz po wyrazie
"
przez ciąg (sygnał) x :
x[n] y[n]=x[n]*h[n] = x[k]h[n-k]
h[n] ~
S
x[k]h[k-n] =x[k]h[n-k]
k=-"
Tak więc system LTI jest całkowicie
4. Zsumuj otrzymane iloczyny
zdefiniowany przez h[n]
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
" "
Splot dwóch prostokątów Splot dwóch sygnałów
y[n]=x[n]*h[n] = x[k]h[n-k] y[n]=h[n]*x[n] = h[k]x[n-k]
S S
k=-" k=-"
y[n]=h[n]*x[n]; x[n]={& 0, 1, 2, 3, 0& }; h[n]={& 0, 2, 1, 0.5, 0& }
k
k
Obróć sygnał x wokół 0
k
przesuń obrócony sygnał o n
n= -2
k
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
5
Splot dwóch sygnałów Właściwości splotu
y[n]=x[n]*h[n]; x[n]={& 0, 1, 2, 3, 0& }; h[n]={& 0, 2, 1, 0.5, 0& }
" Liniowość: (h1[n]+h2 [n])*x[n] = h1 [n]*x[n] + h2 [n]*x[n]
k
" A
ączność: h1[n]*(h2[n]*x[n])=(h1[n]*h2[n])*x[n]
i liczymy!...
y[n]={& 2, 5, 8.5, 4, 1.5, 0& }
" Przemienność: (h1[n]*h2[n])*x[n]= (h2[n]*h1[n])*x[n]
n
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
3 Systemy liniowe niezmienne w czasie Stabilność
System LTI jest stabilny, jeśli dla każdego pobudzenia o
ograniczonej amplitudzie, sygnał wyjściowy ma również
" Systemy dyskretne
ograniczonÄ… amplitudÄ™
" Systemy liniowe
Warunkiem koniecznym i wystarczającym stabilności systemu
" Systemy niezmienne w czasie
LTI jest bezwzględna sumowalność jego odpowiedzi
impulsowej:
" Odpowiedz
impulsowa "
|h[k]|<"
S
" Splot
k=-"
" Stabilność i przyczynowość
Stabilność i przyczynowość
" Każdy system LTI  o skończonej odpowiedzi impulsowej
jest stabilny.
" Systemy niestabilne występują często w układach ze
sprzężeniem zwrotnym, jak mikrofon zbliżony do głośnika
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Przyczynowość Przykład przyczynowości
" Jeśli wyjście (y[n0]) zależy jedynie od poprzednich i obecnych
" Ruchoma średnia:
elementów sygnału wejściowego (x[n], nd"n0) (nie przyszłych),
system jest nazywamy przyczynowym
y[n] zależy od x[n-k], ke"0 Fð przyczynowy
" Jeśli system jest przyczynowy, jego odpowiedz
nie wyprzedza
pobudzenia, czyli:
"  Centrowana ruchoma średnia:
System LTI jest przyczynowy wtedy i tylko wtedy, odpowiedz

impulsowa h[n] przyjmuje wartości zerowe dla indeksów
ujemnych:
h[n]=0 dla n<0
... patrzy w przód w czasie Fð nie przyczynowy
" Każdy system bez pamięci jest przyczynowy
... ale może być przyczynowy po zastosowaniu
" Złożenie systemów przyczynowych jest przyczynowe
opóz
nienia Jð
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
6