MATERIAA Z WYTRZYMAAOŚCI MATERIAAÓW OBOWIZUJCY
NA ZALICZENIU WYKAADÓW DLA KIERUNKU
ZARZDZANIE ROK 2, SEMESTR 3.
Opracował: Pan DINO :&
CZŚĆ TEORETYCZNA
1. Tradycyjny podział mechaniki ciała sztywnego.
MECHANIKA CIAAA SZTYWNEGO:
A) DYNAMIKA część mechaniki badająca zale\ności między ruchem a przyczynami (siłami)
wywołującymi ten ruch.
B) KINEMATYKA część mechaniki zajmująca się badaniem geometrii ruchu w czasie, bez
uwzględniania czynników wywołujących ten ruch.
C) STATYKA część mechaniki zajmująca się badaniem równowagi ciał materialnych.
" Wytrzymałość materiałów (teoria sprę\ystości, teoria plastyczności, reologia itd.)
2. Modele ciała sztywnego.
Ciało sztywne w rzeczywistości w przyrodzie nie występuje. Tworzy się więc zatem modele ciał sztywnych,
które pomagają obliczać niektóre oddziaływania związane z takim ciałem. Ciało sztywne to takie ciało, które nie
ulega odkształceniom, a jak wiadomo wszystkie ciała w przyrodzie im ulegają mniej lub bardziej. Odkształcenia
te widoczne są gołym okiem lub mierzone za pomocą specjalistycznych urządzeń i mikroskopów.
3. Definicja siły, podział sił.
SIAA pojęcie pierwotne, wynik wzajemnego mechanicznego oddziaływania na siebie co najmniej dwóch ciał,
przejawiającego się przez wyprowadzenie ciała ze stanu spoczynku lub zmianę parametrów ruchu ciała ju\
poruszającego się. Siła jest wektorem, co znaczy, \e do jej określenia potrzebna jest znajomość: wartości
liczbowej siły, kierunku jej działania oraz zwrotu. Punkt przyło\enia siły podlega osobnym prawom.
PODZIAA SIA:
A) Siły zewnętrzne (działające pomiędzy dwoma układami ciałami) oraz wewnętrzne (oddziałujące w
jednym układzie pomiędzy punktami materialnymi).
B) Siły skupione (przyło\one do punktu geometrycznego, czyli do powierzchni bardzo małej w stosunku
do wymiarów ciała) oraz rozło\one (siły powierzchniowe, siły ciśnieniowe, dociskowe, siły
objętościowe masowe, siły cię\kości, siły rozło\one wzdłu\ linii)
C) Siły oddziałujące na odległość siła grawitacji, siły magnetyczne.
D) Siły czynne (takie, które niezale\nie od warunków, w jakich znajduje się ciało, wywołują jego ruch)
oraz siły bierne (takie, które zale\ą od warunków, w jakich znajduje się ciało i są zale\ne od
oddziaływania węzłów).
4. Ciała swobodne i nieswobodne.
CIAAO, które mo\e dowolnie przemieszczać się w przestrzeni, nazywamy ciałem swobodnym. Takim ciałem
jest np. lecący w powietrzu kamień lub unoszona przez wiatr kartka papieru. Ciałem nieswobodnym nazywamy
ciało, które nie mo\e wykonywać dowolnych ruchów. Jest to ciało, którego swoboda została ograniczona
jakimiś zewnętrznymi czynnikami. Czynniki ograniczające swobodę ciała nazywamy więzami. Ciało swobodne
(bez więzów) ma sześć stopni swobody. Mo\emy to sobie interpretować następująco. W przestrzennym układzie
współrzędnych x, y, z ciało swobodne mo\e przesuwać się wzdłu\ osi x, y, z (trzy ruchy składowe) oraz mo\e
obracać się dookoła trzech osi (te\ trzy ruchy składowe). Tak, więc ciało swobodne ma 6 stopni swobody, gdy\
w przestrzeni mo\e wykonywać 6 ruchów składowych (trzy przesunięcia i trzy ruchy obrotowe). Zgodnie z
zasadą działania i przeciwdziałania więzy oddziaływają na ciało z siłą równą naciskowi na więzy, lecz zwróconą
przeciwnie. Siły, jakimi więzy oddziałują na ciało nieswobodne, nazywamy reakcjami więzów.
5. Więzy i ich oddziaływania na ciała sztywne (reakcje), typy więzów w mechanice i
wytrzymałości materiałów.
WIZY i ich oddziaływanie na ciała sztywne zostały omówione w poprzednim punkcie, więc przedstawię teraz
tylko typy więzów w mechanice i wytrzymałości materiałów.
Rodzaje więzów:
- Podpory ruchome. Nale\ą do nich: podparcie na idealnie gładkiej powierzchni, podparcia na ostrzu -
pryzmacie i podparcia w ło\ysku ruchomym. Reakcja podpory ruchomej jest zaczepiona w punkcie styczności
ciała z podporą i ma zawsze kierunek prostopadły do powierzchni podpieranej (niezale\nie od kierunków sił
działających na ciało podpierane). Podporę ruchomą oznaczamy schematycznie za pomącą trójkąta
równobocznego dodatkowo podkreślonego linią, która przedstawia powierzchnię podpierająca.
- Więzy wiotkie. Zaliczamy tu sznury, liny, łańcuchy itp. Siła w takich więzach jest zawsze skierowana wzdłu\
osi tych więzów. Podpora ruchoma i więzy wiotkie nale\ą do więzów charakteryzujących się jedną niewiadomą
podporową. W więzach tych znamy kierunek i punkt zaczepienia reakcji. Jedną niewiadomą jest wartość reakcji
(zwrot reakcji, jak zauwa\ymy na przykładach, otrzymamy w toku obliczania jej wartości).
- Podpora stała. Tego rodzaju więzy uniemo\liwiają przesunięcie ciała, lecz umo\liwiają obrót wokół punktu
podparcia.
6. Prawa Newtona, zakres zastosowania mechaniki Newtona.
I prawo Newtona
Prawo bezwładności: Punkt materialny, na który nie działa \adna siła, pozostaje w spoczynku lub porusza się
ruchem jednostajnym po linii prostej.
II prawo Newtona
Prawo zmienności ruchu: Przyspieszenie punktu materialnego jest proporcjonalne do siły działającej na ten
punkt i ma kierunek siły.
III prawo Newtona
Prawo akcji i reakcji: Siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów materialnych są równe co do wartości
i są przeciwnie skierowane wzdłu\ prostej łączącej oba punkty."
Mechanika oparta o prawa Newtona w zupełności wystarcza do opisu wszystkich zjawisk mechanicznych,
w których występują prędkości znacznie ni\sze od prędkości światła dotyczy to in\ynierskich
zastosowań mechaniki w budowie maszyn i budownictwie.
7. Zasady statyki (sześć zasad, zasady szczególnie wa\ne w wytrzymałości
materiałów).
ZASADA 1:
Dwie siły przyło\one do ciała sztywnego równowa\ą się tylko wtedy, gdy działają wzdłu\ jednej prostej, są
przeciwnie skierowane i mają te same wartości liczbowe. Równowaga sił.
ZASADA 2:
Działanie układu sił przyło\onych do ciała sztywnego nie ulegnie zmianie, gdy do tego układu zostanie dodany
lub odjęty od niego dowolny układ równowa\ących się sił (tzw. układ zerowy).
ZASADA 3:
Zasada równoległoboku. Dowolne dwie siły P1 i P2, przyło\one do jednego punktu, mo\na zastąpić siłą
wypadkową R przyło\oną do tego punktu i przedstawioną jako wektor będący przekątną równoległoboku (w
wyjątkowych przypadkach prostokąta) ABCD zbudowanego na wektorach sił w sposób pokazany poni\ej:
P1
P1 R P1 R R
P2
P2 P2
* Przepraszam, \e ABCD punktów nie zaznaczyłem& nie chciało mi się ju\& ^ ^
ZASADA 4:
Zasada działania i przeciwdziałania. Ka\demu działaniu towarzyszy równe co do wartości i przeciwnie
skierowane wzdłu\ tej samej prostej przeciwdziałanie. (III prawo Newtona)
ZASADA 5:
Zasada zesztywnienia. Równowaga sił działających na ciało odkształcalne nie zostanie naruszona przez
zesztywnienie tego ciała.
ZASADA 6:
Zasada oswobodzenia od więzów. Ka\de ciało sztywne nieswobodne mo\na myślowo oswobodzić od więzów,
zastępując przy tym ich działanie odpowiednimi reakcjami. Dalej ciało to mo\na rozpatrywać jako ciało
swobodne, podlegające działaniu sił czynnych (obcią\eń) oraz sił biernych (reakcji).
8. Układy sił w statyce.
Układy sił w statyce:
" Płaskie układy sił
a) płaski zbie\ny układ sił taki układ sił, w którym wszystkie działające siły mają jeden punkt wspólny
(przecinają się w nim), ró\ne kierunki i zwroty.
b) płaski układ sił równoległych taki układ sił, w którym wszystkie działające siły mają ró\ne punkty
przyło\enia i zwroty, natomiast działają w jednym kierunku (np. pionowo).
c) płaski układ sił dowolnie skierowanych taki układ sił, w którym wszystkie działające siły działają w
ró\nych kierunkach, mają ró\ne punkty przyło\enia i zwroty.
" Przestrzenne układy sił
9. Płaski układ sił zbie\nych, redukcja, warunki równowagi płaskiego.
W płaskim układzie sił zbie\nych kierunki działania sił przyło\onych do ciała sztywnego le\ą w jednej
płaszczyznie i przecinają się w jednym punkcie.
Wypadkową układu sił zbie\nych nazywa się jedną siłę (wektor) zastępującą działanie danego układu sił.
Redukcja za pomocą zasady równoległoboku.
WARUNKI RÓWNOWAGI:
n n
= 0 = 0
"Pxi "Pyi
oraz
i=1 i=1
10. Płaskie układy sił równoległych zgodnie i przeciwnie skierowanych.
PAASKI UKAAD SIA O TYCH SAMYCH ZWROTACH
(zgodnie skierowanych)
Na ciało sztywne działają dwie siły P1 i P2.
Dwie równoległe, zgodnie skierowane siły P1 i P2 przyło\one do punktów A i B ciała sztywnego mo\na
zastąpić siłą wypadkową W równą sumie tych sił, równoległą do nich i zgodnie z nimi skierowaną. Linia
działania wypadkowej W dzieli wewnętrznie odcinek AB odwrotnie proporcjonalnie do wartości liczbowych sił
P1 i P2.
PAASKI UKAAD SIA O PRZECIWNYCH ZWROTACH
(przeciwnie skierowanych)
Na ciało sztywne działają dwie siły P1 i P2.
P2
O A
P1>P2
B
P1
W=P1-P2
Dwie równoległe, przeciwnie skierowane siły P1 i P2 przyło\one do punktów A i B ciała sztywnego mo\na
zastąpić siłą wypadkową W równą ró\nicy wartości liczbowych tych sił, równoległą do nich i skierowaną
zgodnie z siłą o większej wartości liczbowej. Linia działania wypadkowej W dzieli zewnętrznie odcinek AB
odwrotnie proporcjonalnie do wartości liczbowych sił P1 i P2 i le\y po stronie większej siły.
11. Moment siły względem punktu, para sił, moment pary sił.
Momentem siły względem punktu nazywamy wektor mający następujące cechy:
- Wartość liczbową równą iloczynowi (F * r) wartości siły przez jej ramię: Mo = F * r
- Kierunek prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez linię działania siły i biegun.
- Zwrot momentu przyjmujemy zgodnie z reguła śruby o gwincie prawozwojnym (wyobrazmy sobie, \e
kierunek momentu jest osią śruby o gwincie prawozwojnym; obracająca się pod wpływem momentu śruba
będzie przesuwać się w tę stronę, w którą zwrócony jest wektor momentu).
Momentem głównym dowolnego układu sił na płaszczyznie względem przyjętego bieguna O nazywamy sumę
algebraiczną momentów poszczególnych sił tego układu względem tego samego bieguna O.
Moment główny nazywamy czasem momentem wypadkowym.
Moment główny sił zbie\nych względem dowolnego bieguna jest równy momentowi wypadkowej tych sił
względem tego bieguna.
Parą sił nazywamy układ dwóch sił równych wartości i jednakowych kierunkach, lecz o przeciwnych zwrotach
(zakładamy, \e linie działania sił nie pokrywają się).
MOMENT PARY SIA wektor, którego wartość bezwzględna (moduł) równa jest iloczynowi wartości
liczbowej jednej z sił pary oraz ramienia tej pary: M = P * a.
12. Płaski dowolny układ sił, redukcja układu, zmiana bieguna redukcji, warunki
równowagi.
Płaski dowolny układ sił to taki układ sił, które skierowane są w dowolnych kierunkach, mają dowolne
zwroty oraz punkty przyło\enia, ale działają w jednej płaszczyznie (tzn. ich siły mo\na rozło\yć na
składowe równoległe względem osi OX oraz OY).
Zastępowanie układu sił działających na ciało sztywne przez prostszy, równowa\ny układ sił, nazywa się
REDUKCJ UKAADU SIA.
Rodzaje redukcji układu sił:
1. Płaski układ sił zbie\nych siła wypadkowa.
2. Płaski układ sił równoległych zgodnie skierowanych siła wypadkowa.
3. Płaski układ sił równoległych przeciwnie skierowanych siła wypadkowa oraz moment pary sił.
Siły dowolnie skierowane, le\ące w jednej wspólnej płaszczyznie, redukuje się do układu najprostszego, czyli
wypadkowej oraz pary sił.
Etapy redukcji płaskiego dowolnego układu sił:
I. Dany jest płaski dowolny układ sił.
II. Redukujemy siły do jednego wektora głównego R oraz do jednego momentu głównego
Mo (o biegun redukcji, dowolny punkt płaszczyzny XY).
III. Redukujemy R oraz M do jednej siły.
Aby dowolny płaski układ sił był w równowadze (nie wywoływał ruchu), wektor główny oraz moment
główny tego układu muszą być równe zeru.
13. Równania równowagi przestrzennych układów sił.
PRZESTRZENNE UKAADY SIA
Układ sił Równania równowagi sił
n
Pxi = 0
1. "
i=1
n
Zbie\ny przestrzenny układ sił Pyi = 0
2. "
i=1
n
Pzi = 0
3. "
i=1
n
Pyi = 0
1. "
i=1
n
M = 0
2. " xi
i=1
Równoległy przestrzenny układ sił
n
M = 0
3. " zi
i=1
Dla sił równoległych względem osi y. Analogiczne
będą równania dla sił równoległych względem osi x
lub z, ale trzeba uwzględnić odpowiednie symbole we
wzorach.
n
Pxi = 0
1. "
i=1
n
Pyi = 0
2. "
i=1
n
Pzi = 0
3. "
Przestrzenny układ sił dowolnie i=1
n
skierowanych
M = 0
4. " xi
i=1
n
M = 0
5. " yi
i=1
n
M = 0
6. " zi
i=1
14. Interpretacja znaków w równaniach statyki.
Poniewa\ nie zawsze mo\na prawidłowo określić kierunki sił, formułując równania statyki przyjmuje się pewne
zało\enia podyktowane doświadczeniem lub intuicją. Po rozwiązaniu układu równań statyki znaki +
potwierdzają słuszność przyjętych zało\eń, natomiast znaki przeczą ich słuszności. Oznacza to, \e jeśli
zało\yliśmy np. rozciąganie, a wynik wyszedł ujemny to powinniśmy zało\yć ściskanie, poniewa\ tego typu
działaniu podlega ciało.
15. Zadania statycznie wyznaczalne i statycznie niewyznaczalne w statyce ciała
sztywnego.
Zadania statycznie wyznaczalne to takie zadania, w których liczba niewiadomych nie przekracza ilości równań
statyki (dla zbie\nego układu sił dwóch równań statyki, dla dowolnego płaskiego układu sił trzech równań
statyki).
Zadania statycznie niewyznaczalne to takie zadania, w których liczba niewiadomych przekracza ilość równań
statyki, tzn. niewiadomych jest więcej ni\ mo\liwych do utworzenia równań statyki. Ró\nica pomiędzy ilością
niewiadomych a liczbą równań równowagi to stopień statycznej niewyznaczalności zadania. Rozwiązywanie
zadań statycznie niewyznaczalnych polega na określeniu stopnia niewyznaczalności zadania i znalezieniu
odpowiedniej liczby równań geometrycznych (z wykorzystaniem warunków nierozdzielności konstrukcji).
16. Prawa tarcia Coulomba.
PRAWA TARCIA COULOMBA:
1. Siła tarcia posuwistego le\y w płaszczyznie poruszających się ciał i jest skierowana w kierunku
mo\liwego przesuwu ciała. Siła tarcia wynosi 0 d" T d" T(max). Wartość T(max) siła tarcia osiąga w chwili
utraty równowagi.
2. Siła tarcia jest niezale\na od pola powierzchni stykających się ciał. Zale\y jedynie od materiału, jego
właściwości fizycznych, temperatury, smarowania, wilgotności itp.
3. Maksymalna siła tarcia jest proporcjonalna do wielkości reakcji normalnej.
17. Maszyny proste, przykłady.
Maszyny proste:
a) Dzwignia jednostronna
Przykłady: taczka, gilotyna itd.
b) Dzwignia dwustronna
Przykłady: waga, pompa, huśtawki koniki itd.
c) Kołowrót
d) Åšruba
e) Korbowód
f) Równia pochyła
g) WielokrÄ…\ki
18. Środek cię\kości.
Siły cię\kości (siły przyciągania) szczególny przypadek sił objętościowych równoległych (wymiary ciała
znikomo małe w porównaniu z promieniem kuli ziemskiej).
Środkiem cię\kości ciała materialnego (bryły) nazywa się graniczne poło\enie środka sił równoległych, które
są siłami cię\kości poszczególnych cząstek bryły na jakie myślowo została bryła podzielona, gdy największa z
tych czÄ…stek dÄ…\y do zera.
PRZYPADKI SZCZEGÓLNE
Środek cię\kości brył.
Środek cię\kości powierzchni.
Środek cię\kości figur płaskich.
Środek cię\kości linii.
19. Prędkość, przyspieszenie punktu materialnego.
Prędkość punktu materialnego to stosunek przyrostu drogi do przyrostu czasu, zapisywany wzorem:
PRDKOŚĆ = Przyrost drogi / Przyrost czasu. Jednostka to [m/s]. Oznaczane literą v.
Przyspieszenie punktu materialnego to stosunek przyrostu prędkości do przyrostu czasu, zapisywany wzorem:
PRZYSPIESZENIE = Przyrost prÄ™dkoÅ›ci / Przyrost czasu. Jednostka to [m/s²]. Oznaczane literÄ… a.
20. Rodzaje ruchów punktów i ciał sztywnych.
RUCH PUNKTU:
prostoliniowy
po okręgu (ruch harmoniczny prosty)
dowolny (krzywoliniowy)
RUCH CIAAA SZTYWNEGO (BRYAY)
postępowy
obrotowy
płaski
kulisty
ogólny
Ka\dy z tych ruchów mo\e być:
1. przyspieszony niejednostajnie (aÄ™! lub a“!)
2. przyspieszony jednostajnie (a = const)
3. jednostajny (v = const)
4. opózniony jednostajnie (-a = const)
5. opózniony niejednostajnie (-aÄ™! lub -a“!)
21. Praca, moc, energia potencjalna i kinetyczna, sprawność.
Pracą siły stałej co do wartości i kierunku na prostoliniowym przesunięciu punktu przyło\enia tej siły nazywa
się iloczyn wartości bezwzględnej przesunięcia i miary rzutu tej siły na kierunek tego przesunięcia. Jednostka [J]
d\ul.
Moc praca wykonana przez siłę w ciągu jednostki czasu. Jednostka [W] wat.
W fizyce, energia kinetyczna to energia ciała, związana z jego ruchem.
Dla ciała o masie m i prędkości v du\o mniejszej od prędkości światła (v << c), gdzie c jest prędkością światła w
pró\ni, energia kinetyczna wynosi:
Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej wynosi, w przybli\eniu małych prędkości:
W przypadku obrotu wokół jednej z osi głównych wyra\enie na energię kinetyczną w ruchu obrotowym
upraszcza siÄ™ do:
Energia potencjalna - energia jaką ma układ ciał umieszczony w polu sił zachowawczych, wynikająca z
rozmieszczenia tych ciał. Równa jest pracy, jaką trzeba wykonać, aby uzyskać dane rozmieszczenia ciał,
wychodząc od innego rozmieszczenia, dla którego umownie przyjmuje się jej wartość równą zero. Podobnie jak
pracÄ™, energiÄ™ potencjalnÄ… mierzy siÄ™ w d\ulach [J].
Sprawność to stosunek pracy u\ytecznej do pracy dostarczonej do urządzenia (jeśli podawana jest w procentach
to pomno\ony przez 100%). Urządzania idealnie sprawne mają sprawność równą dokładnie 1.
SPRAWNOŚĆ = (Praca u\yteczna / Praca dostarczona do urządzenia) * 100%
22. Zasada zachowania energii.
Zasada zachowania energii - w układzie izolowanym suma składników wszystkich rodzajów energii
całości (suma energii wszystkich jego części) układu jest stała (nie zmienia się w czasie).
E1 E2 = V1 V2
E2 + V2 = E1 + V1
23. Charakterystyka wytrzymałości materiałów (mechanika ciała odkształcalnego).
Podstawą wytrzymałości materiałów są prawa statyki oraz wnioski wypływające z doświadczenia. Pomostem
łączącym mechanikę ciał sztywnych z wytrzymałością jest zasada zesztywnienia. Pojęcie wytrzymałość
materiałów mo\na traktować jako cechę, właściwość ciał stałych, polegającą na przeciwstawianiu się
niszczącemu działaniu sił.
Zadania wytrzymałość materiałów jako przedmiotu opisującego zachowanie się ciał odkształcalnych:
a) określanie nośności konstrukcji (odpowiedniej wytrzymałości)
b) wyznaczanie przemieszczeń konstrukcji wywołanych obcią\eniami (określanie sztywności konstrukcji).
Wytrzymałość materiałów jest częścią mechaniki o praktycznym, in\ynierskim charakterze. W rozwiązywaniu
konkretnych zadań wykorzystuje się pewne uogólnienia i uproszczenia.
Uproszczenia dotyczą opisu właściwości materiału i opisu kształtu elementu konstrukcyjnego. Dzięki
uproszczeniom rzeczywisty obiekt zostaje przekształcony w pewien model, który umo\liwia rozwiązanie
problemu za pomocą określonego schematu obliczeniowego. Model (schemat obliczeniowy) musi zachowywać
istotne dla rozwiązywanego problemu cechy i właściwości rzeczywistego obiektu.
24. Modelowanie w wytrzymałości materiałów (model ciała, typy konstrukcji,
metody rozwiÄ…zywania).
Wytrzymałość materiałów u\ywa sformułowania modelu nominalnego. Model nominalny w sposób
uproszczony powinien wiernie przedstawiać badany fragment rzeczywistości (muszą być spełnione prawa
podobieństwa modelowego). Korzysta on ze zbioru pojęć właściwych dla badanej rzeczywistości. Uproszczenia,
będące istotnym elementem wytrzymałości materiałów, muszą być w modelu nominalnym odpowiednio
uzasadnione i doświadczalnie zweryfikowane.
Modele nominalne w wytrzymałości materiałów to: pręt, wał oraz belka. Ka\dy z tych modeli słu\y do
obliczania zadań na:
Pręt Rozciąganie
Wał Skręcanie
Belka - Zginanie
25. Obcią\enia proste, obcią\enia zło\one.
PROSTE PRZYPADKI OBCIśEC:
a) rozciąganie (ściskanie), gdy działa tylko siła N; siła N skierowana na zewnątrz rozpatrywanego
przekroju jest siłą dodatnią, powodującą rozciąganie (znak + ); siła N skierowana do wewnątrz
powoduje ściskanie (znak );
b) ścinanie, gdy działa jedna z sił poprzecznych TY lub TZ;
c) skręcanie, gdy działa moment skręcający MX;
d) zginanie, gdy działa jeden z momentów zginających; moment MZ powoduje zginanie przekroju w
płaszczyznie XY (pionowej), natomiast moment MY zginanie w płaszczyznie XZ (poziomej).
W praktyce in\ynierskiej najczęściej spotyka się zło\one przypadki obcią\enia, będące kombinacją
wymienionych wy\ej prostych przypadków. Zło\one przypadki obcią\eń są kolejną charakterystyczną cechą
wytrzymałości materiałów.
26. Siły zewnętrzne czynne i bierne, siły wewnętrzne.
Siły zewnętrzne to takie siły, które ujawniają się po uwolnieniu ciała od więzów, tzn. powodują jego ruch. Siły
zewnętrzne czynne to takie, które powodują ten ruch bez względu na warunki, natomiast siły zewnętrzne
bierne są zale\ne od warunków w jakich znajduje się ciało.
Siły wewnętrzne to takie siły, które ujawniają się dopiero po wykonaniu tak zwanych myślowych przekrojów.
27. Metoda myślowych przekrojów, zasady określania przekrojów myślowych.
Zasada myślowych przekrojów polega na dokonaniu myślowego (wirtualnego) przekroju konstrukcji i
myślowego (wirtualnego) rozdzielenia ciała na dwie części. Dzięki temu rozdzieleniu ujawniają się siły
wewnętrzne, które muszą być w równowadze z siłami zewnętrznymi, działającymi na rozpatrywaną część ciała.
Myślowe przekroje wykonuje się zawsze pomiędzy punktami, w których występuje nowa siła, nowy przekrój
ciała, lub zmienia się jakikolwiek inny czynnik fizyczny badanego ciała.
28. Naprę\enia, związki pomiędzy naprę\eniami i siłami wewnętrznymi.
Naprę\enie to miara gęstości powierzchniowej sił wewnętrznych występujących w ośrodku ciągłym. Jest
podstawową wielkością mechaniki ośrodków ciągłych. Jednostką naprę\enia jest paskal.
Naprę\enie w dowolnym punkcie zale\y od kierunku, w którym jest rozpatrywane. Mimo i\ pole powierzchni
przekroju A dą\y do zera, czyli przekrój dą\y do punktu, istotne jest jaki kierunek miała normalna do
powierzchni przekroju.
Związki między siłami wewnętrznymi i naprę\eniami
Równania statyki dla przestrzennego układu sił (6 równań):
1. P = dA 2. TY = dA 3. TZ = dA
X XY XZ
+"Ã +"Ä +"Ä
A A A
4. M = y -Ä z)dA 5. MY = dA 6. M = - ydA
X XY XY X Z X
+"(Ä +"Ã +"Ã
A A A
UWAGA: równania statyki mo\na formułować tylko dla sił.
29. Rachunek jednostek, znaczenie i zastosowanie.
Rachunek jednostek jest sporządzany by sprawdzić poprawność wykonanych obliczeń. Liczymy z podanego
wzoru jakieś zadanie i powinien nam wynik wyjść w odpowiednich dla danej wartości jednostkach. Wtedy
właśnie stosujemy ten rachunek jednostek czyli rozpisujemy po kolei do ostatecznych jednostek z układu SI
dane jednostki (np. Newtony, D\ule itp. na sekundy, metry itd.), skracamy co siÄ™ da i gdzie siÄ™ da, a potem
sprawdzamy czy dają w sumie jednostkę taką, jaka miała wyjść.
Rachunek ten wydaje mi się bardzo wa\ny poniewa\ pozwala sprawdzić poprawność wykonanych
obliczeń, i właśnie do tego się go stosuje.
mega (M) 10^6 1000000
kilo (K) 10^3 1000
centy (c) 10^ 2 0,01
mili (m) 10^ 3 0,001
mikro (mð) 10^ 6 0,000001
nano (n) 10^ 9 0,000000001
30. Zasada superpozycji.
ZASADA SUPERPOZYCJI:
Gdy między przyczyną a skutkiem zachodzi liniowa zale\ność, mo\na rozpatrywać skutki kilku przyczyn
występujących równocześnie jako sumę skutków przyczyn działających pojedynczo i oddzielnie. Rezultaty
działania kilku sił są równe sumie (algebraicznej lub geometrycznej) rezultatów, otrzymywanych w
wyniku działania ka\dej siły oddzielnie.
31. Odkształcenia, przemieszczenia.
RODZAJE ODKSZTAACEC:
liniowe, które są określane jako wektor o początku w pewnym punkcie ciała nieodkształconego i końcu w tym
samym punkcie ciała odkształconego,
kątowe, które są określane za pomocą kąta zawartego pomiędzy dowolnie krótkim odcinkiem związanym z
rozpatrywanym ciałem przed odkształceniem i po jego odkształceniu.
Przemieszczenia ciała są wynikiem odkształceń.
32. Hipoteza płaskich przekrojów i jej znaczenie w wytrzymałości materiałów.
Przy skręcaniu wałów mo\na napisać tylko jedno równanie statyki sumę momentów względem osi wału. W
opisie mechanizmu odkształcenia wału okrągłego wykorzystuje się tzw. hipotezę płaskich przekrojów, według
której okrągłe przekroje poprzeczne wału pozostają po skręceniu płaskie i okrągłe, obracając się wokół osi wału
o niewielki kąt. Hipoteza płaskich przekrojów pozwala na określenie warunków geometrycznych opisujących
odkształcenia okrągłego wału. Jest ona potwierdzona doświadczalnie. Hipoteza ta znacznie ułatwia obliczanie
zadań wytrzymałościowych, przy czym ró\nice w wynikach są naprawdę niewielkie.
33. Własności mechaniczne materiałów konstrukcyjnych.
Własności mechaniczne materiałów konstrukcyjnych, są to cechy związane z wytrzymałością materiału na
działanie ró\nego rodzaju sił zewnętrznych, są kryterialnymi wielkościami w doborze materiałów. Poznanie
własności materiałów nie jest wystarczające do oceny ich przydatności do określonego celu. Niezbędne jest tu
jeszcze poznanie wpływu ró\nych czynników, np. temperatury, czasu, sposobu i wielkości obcią\enia, kształtu i
wymiarów przedmiotu, na zmiany tych własności.
Metody badań własności mechanicznych mo\emy podzielić na dwie grupy:
- własności technologiczne, decydujące o przydatności materiałów do określonej obróbki
- własności wytrzymałościowe, do wyznaczania, których niezbędna jest znajomość siły lub momentu sił, jako
jednej z wielkości mierzonych podczas badania. Wyniki badań są wykorzystywane przez konstruktorów w
procesie projektowania elementów konstrukcyjnych.
34. Naprę\enia dopuszczalne, warunek wytrzymałościowy.
Naprę\enia, które mogą występować w materiale bez obawy naruszenia warunku wytrzymałości i warunku
sztywności, nazywamy naprę\eniami dopuszczalnymi.
Oznaczamy je literą k z odpowiednim indeksem dolnym, charakteryzującym rodzaj odkształcenia:
r - naprÄ™\enie dopuszczalne przy rozciÄ…ganiu,
c - naprę\enie dopuszczalne przy ściskaniu,
g - naprÄ™\enie dopuszczalne przy zginaniu,
t - naprę\enie dopuszczalne przy ścinaniu,
s - naprę\enie dopuszczalne przy skręcaniu.
Rozró\niamy dwa rodzaje prostych stanów naprę\eń:
naprę\enia normalne, w których obcią\enie oddziałuje w kierunku prostopadłym do rozpatrywanego
przekroju.
NaprÄ™\enia normalne sÄ… zwyczajowo oznaczane symbolem s (sigma) wraz z indeksem
odpowiadającym rodzajowi naprę\eń, zazwyczaj:
Ãr - naprÄ™\enia rozciÄ…gajÄ…ce,
Ãc - naprÄ™\enia Å›ciskajÄ…ce,
Ãg - naprÄ™\enia zginajÄ…ce.
naprę\enia styczne, w których obcią\enie oddziałuje równolegle do rozpatrywanego przekroju.
NaprÄ™\enia styczne sÄ… zwyczajowo oznaczane symbolem t (tau) wraz z indeksem
odpowiadającym rodzajowi naprę\eń, zazwyczaj:
tt naprÄ™\enia tnÄ…ce,
tt naprę\enia skręcające.
Warunek wytrzymałościowy naprę\eń normalnych na rozciąganie, lub ściskanie ma postać:
gdzie:
à naprę\enia normalne w [Pa]
F siła w [N],
S przekrój na który działa siła F wyra\ony w [m2],
k naprę\enia dopuszczalne na rozciąganie (kr), ściskanie (kc) w [Pa]
Warunek wytrzymałościowy naprę\eń normalnych na zginanie ma postać:
gdzie:
sg naprÄ™\enia normalne zginajÄ…ce w [Pa],
M moment zginający przekrój w [Nm],
Wx wskaznik wytrzymałości przekroju na zginanie [m3],
kg naprÄ™\enia dopuszczalne na zginanie w [Pa]
Warunek wytrzymałościowy naprę\eń stycznych na ścinanie ma postać:
gdzie:
Ät naprÄ™\enia styczne w [Pa],
F siła w [N],
S przekrój na który działa siła F wyra\ony w [m2],
kt naprę\enia dopuszczalne na ścinanie w [Pa]
Warunek wytrzymałościowy naprę\eń stycznych na skręcanie ma postać:
gdzie:
ts naprę\enia styczne skręcające w [Pa],
M moment skręcający przekrój w [Nm],
Wo wskaznik wytrzymałości przekroju na skręcanie [m3],
ks naprę\enia dopuszczalne na skręcanie w [Pa]
35. Współczynnik bezpieczeństwa.
Współczynnik bezpieczeństwa n - liczba mówiąca, ile razy naprę\enie à występujące podczas normalnej pracy
konstrukcji jest mniejsze od naprÄ™\enia niebezpiecznego Ãn.
Podczas projektowania wprowadza się współczynnik bezpieczeństwa, poniewa\ z reguły nie jest mo\liwe
dokładne określenie wszystkich mo\liwych obcią\eń konstrukcji, metody obliczeniowe cechuje pewien błąd,
materiały nie są idealnie jednorodne a ich parametry cechuje pewien rozrzut, mogą wystąpić niedokładności
zwiÄ…zane z technologiÄ… wykonania, a elementy ulegajÄ… zu\yciu, korozji itp.
Współczynnik bezpieczeństwa jest to liczba większa od jedności mówiąca ile razy wielkość dopuszczalna jest
mniejsza od wielkości uznawanej za niebezpieczną. Stosowany jest do naprę\eń obcią\eń i stanowi przedmiot
szeregu norm, szczególnie du\e wartości osiąga w obliczeniach stateczności. Współczynnik bezpieczeństwa jest
zmienny i wynosi od 1,5 do 3 dla materiałów plastycznych i od 8 do 12 dla materiałów kruchych, uwzględnia
wartości technologiczne, warunki pracy i dopuszczalne błędy.
Warunki współczynników bezpieczeństwa:
- jednorodność materiału
- jakość wykonania
- naprę\enia wstępne w czasie procesu technologicznego np. kucia, odlewu, spawania
- obciÄ…\enia przewidywane i przypadkowe
- czynnik niedoskonałości ludzkiej
- niedoskonałość metod obliczeniowych
- wpływ czasu pracy
- procesy korozji, ścierania, wietrzenia
- zmęczenie materiału
- spiętrzenie naprę\eń.
36. Zadania statycznie niewyznaczalne w wytrzymałości materiałów więzy
nadliczbowe (hiperstatyczne), stopień statycznej niewyznaczalności, równania
geometryczne.
Więzy nadliczbowe (hiperstatyczne) - ???
Stopień statycznej niewyznaczalności ró\nica pomiędzy ilością niewiadomych a liczbą równań statyki.
Równań statyki zazwyczaj jest trzy, dlatego dla przykładu gdy mamy trzy równania z pięcioma niewiadomymi
to stopień statycznej niewyznaczalności (SSN) jest równy 2 (5-3=2).
Równania geometryczne buduje się wykorzystując zasadę nierozdzielności konstrukcji, polegającą na tym, \e
odkształcona konstrukcja stanowi w dalszym ciągu jedną całość i tym samym odkształcenia jej wszystkich
elementów są ze sobą powiązane poprzez istnienie więzów (przegubów)
37. Układy prętowe siły, związki geometryczne, odkształcenia. Układy prętowe
statycznie wyznaczalne i niewyznaczalne, równania geometryczne.
Pręt jest najprostszym modelem elementów konstrukcyjnych. Kształt pręta jest wyznaczony przez dowolną
figurę płaską, której środek cię\kości porusza się po dowolnym torze figura ta wyznacza kształt przekroju
poprzecznego, natomiast tor wyznacza oś pręta.
Siły wewnętrzne w pręcie wyznacza się za pomocą metody przekrojów. Myślowych przekrojów nale\y
dokonywać w dowolnych miejscach odcinków, których granicami są punkty przyło\enia obcią\enia oraz zmiany
kształtu poprzecznego pręta ( np. wielkości przekroju).
Równanie równowagi: suma sił działających wzdłu\ osi pręta jest równa zeru.
Zadania statycznie niewyznaczalne charakteryzują się tym, \e liczba niewiadomych jest większa od liczby
równań statyki. Rozwiązanie zadania statycznie niewyznaczalnego wymaga uło\enia dodatkowych równań
geometrycznych.
Równania geometryczne buduje się wykorzystując zasadę nierozdzielności konstrukcji, polegającą na tym, \e
odkształcona konstrukcja stanowi w dalszym ciągu jedną całość i tym samym odkształcenia jej wszystkich
elementów są ze sobą powiązane poprzez istnienie więzów (przegubów). Równania geometryczne
wykorzystując ten fakt są równaniami zawierającymi odkształcenia wszystkich elementów RG = f("li). Przy
wykorzystaniu prawa fizycznego (prawo Hooke a), równanie geometryczne przekształca się tak, \e występują w
nim siły wewnętrzne, czyli RG = f(Si). Równania w tej postaci mogą razem z równaniami statyki tworzyć układ
pozwalajÄ…cy na rozwiÄ…zanie zadania.
38. Naprę\enia termiczne i naprę\enia monta\owe w układach prętowych.
NAPRśENIA TERMICZNE
Pod wpływem zmian temperatury elementy konstrukcyjne zmieniają swoje wymiary. Zmianę długości pręta
mo\na obliczyć z następującej zale\ności:
"Lt = Ä… Å" L Å" "T.
Współczynnik rozszerzalności liniowej ą jest cechą charakterystyczną materiału odczytywaną z tabeli wartości
liczbowych współczynników rozszerzalności.
Pręt poddany działaniu temperatury, będący elementem układu prętów, oddziałuje na sąsiednie pręty. Całkowite
odkształcenie pręta jest sumą odkształcenia termicznego i odkształcenia sprę\ystego, wywołanego siłami
powstałymi na skutek oddziaływania sąsiadujących prętów.
NAPRśENIA MONTAśOWE
Poszczególne elementy du\ych, zło\onych konstrukcji są wykonywane z odchyłkami wymiarowymi,
zało\onymi przez konstruktora. W wyniku niekorzystnego zbiegu okoliczności suma tych odchyłek mo\e
spowodować powstanie luzu monta\owego, który w czasie monta\u musi być zlikwidowany przez działanie
sił umo\liwiających zmontowanie konstrukcji. Powoduje to powstanie dodatkowych naprę\eń, zwanych
naprę\eniami monta\owymi. W krańcowym przypadku konstrukcja mająca spełniać określone zadania (np.
przenosić obcią\enia) ju\ w czasie monta\u mo\e ulec zniszczeniu. Najczęściej spotykaną przyczyną luzów
monta\owych jest nieprzestrzeganie ustalonych warunków konstrukcyjnych i technologicznych w wyniku
lekcewa\enia zasad sztuki in\ynierskiej.
Nale\y te\ wspomnieć, \e w pewnych sytuacjach wywołanie naprę\eń wstępnych jest działaniem celowym, np.
w połączeniach śrubowych naciąg wstępny zapobiega odkręcaniu się nakrętek, a w połączeniach kołnierzowych
zapewnia szczelność połączenia.
Naprę\enia monta\owe mogą osiągnąć spore wartości, tak \e po dodaniu obcią\enia zapas wytrzymałościowy
mo\e być ju\ niewielki.
39. Analiza stanu naprę\enia. Jednoosiowy i płaski stan naprę\enia. Naprę\enia
główne. Czyste ścinanie.
Analiza stanu naprę\enia polega na przeprowadzeniu obliczeń mających na celu wyznaczenie poszczególnych
składowych stanu naprę\enia. Stan naprę\enia ciała w rozpatrywanym punkcie nazywa się zbiór naprę\eń
dla wszystkich mo\liwych poło\eń elementarnej powierzchni dA. Składowe naprę\eń stycznych prostopadłe
do krawędzi przecięcia się dwóch wzajemnie prostopadłych przekrojów elementarnych są zawsze równe.
Jednoosiowy stan naprę\enia - stan naprę\enia, w którym tylko jedno z naprę\eń głównych jest niezerowe;
taka sytuacja ma miejsce w wielu typowych przypadkach ( rozciÄ…ganie, zginanie itp.)
Płaski stan naprę\enia - stan, w którym współrzędne w jednym wierszu i jednej kolumnie (symetrycznego)
tensora naprę\enia są równe zero; najczęściej nie odpowiada mu jednocześnie płaski stan odkształcenia;
przykład: tarcza.
Naprę\enia główne - ekstremalne naprę\enia normalne, uzyskane w wyniku rozwiązania zagadnienia wartości
własnych dla tensora naprę\enia.
40. Analiza stanu odkształcenia odkształcenia objętościowe i postaciowe.
Odsyłam do ksią\ki bardzo obszerny dział, ju\ nie chciało mi się robić&
41. Prawo Hooke a dla jednoosiowego rozciągania. Uogólnione prawo Hooke a.
Prawo Hooke'a prawo mechaniki określające zale\ność odkształcenia od naprę\enia. Głosi ono, \e
odkształcenie ciała pod wpływem działającej na niego siły jest wprost proporcjonalne do tej siły. Współczynnik
między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprę\ystości. Ta prawidłowość,
sformułowana przez Roberta Hooke'a (1635-1703) w formie "ut tensio sic vis", pozostaje prawdziwa tylko dla
niezbyt du\ych odkształceń, nie przekraczających tzw. granicy Hooke'a (zwanej te\ granicą proporcjonalności), i
tylko dla niektórych materiałów. Prawo Hooke'a zakłada te\, \e odkształcenia ciała, w reakcji na działanie sił,
następują w sposób natychmiastowy i całkowicie znikają, gdy przyło\one siły przestają działać. Takie
uproszczenie jest wystarczające jedynie dla ciał o pomijalnie małej lepkości.
Związki między odkształceniami i naprę\eniami, w przypadku ciała izotropowego, opisuje uogólnione prawo
Hooke a:
1 Ä
XY
µ = [Ã - v(Ã - Ã )], Å‚ = 2µ =
X X Y Z XY XY
E G
1 ÄYZ
µY = [Ã - v(Ã - Ã )] , Å‚ = 2µYZ =
Y Z X YZ
E G
1 Ä
ZX
µ = [Ã - v(Ã - Ã )], Å‚ = 2µ =
Z Z X Y ZX ZX
E G
42. Środki cię\kości i momenty statyczne figur płaskich.
Do określenia poło\enia środka cię\kości przekrojów zło\onych powszechnie wykorzystuje się podział
przekroju na figury płaskie. Po dokonaniu podziału współrzędne środka cię\kości określa się z zale\ności:
n n
Ai xi Ai yi
" "
i=1 i=1
xC = , yC =
n n
Ai Ai
" "
i=1 i=1
Moment statyczny figur płaskich to moment powierzchniowy pierwszego rzędu. Definiuje go się następująco:
SX = ydA , SY = xdA
+" +"
A A
gdzie A pole powierzchni przekroju, dA powierzchnia elementarna.
43. Momenty bezwładności figur płaskich (osiowe, biegunowe, dewiacyjne).
Twierdzenie Steinera. Główne momenty bezwładności.
Osiowe momenty bezwładności:
J = y2dA , JY = x2dA
X
+" +"
A A
Biegunowe momenty bezwładności:
2 2
J0 = Á dA = + y2 )dA = J + JY
X
+" +"(x
A A
Dewiacyjne momenty bezwładności (zboczenia, ośrodkowe):
J = xydA
XY
+"
A
Momenty osiowe oraz biegunowe sÄ… zawsze dodatnie, natomiast moment dewiacyjny
mo\e być dodatni lub ujemny.
TWIERDZENIE STEINERA:
Osiowy moment bezwładności figury płaskiej względem osi równoległej odległej od środka cię\kości o
określoną wartość jest równy momentowi względem osi równoległej przechodzącej przez środek cię\kości
figury, powiększonemu o iloczyn powierzchni figury i kwadratu odległości między osiami.
Moment dewiacyjny figury płaskiej względem Si równolegle przesuniętych jest równy momentowi
dewiacyjnemu względem osi centralnych, powiększonemu o iloczyn powierzchni i obu składowych
równoległego przesunięcia.
Matematycznie:
J = J + Aa2
X X
0
JY = JY + Ab2
0
J = J + Aab
XY X0Y0
Główne momenty bezwładności to wartości ekstremalne jakie osiągają momenty bezwładności obliczone
względem głównych osi bezwładności. Główne centralne momenty bezwładności opisuje wzór:
2
J + JY J - JY
ëÅ‚ öÅ‚
2
X X
J1,2 = Ä… + J ,
ìÅ‚ ÷Å‚
xy
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
J1 = Jmax > J2 = Jmin
44. Wytę\enie. Hipotezy wytrzymałościowe (hipoteza maksymalnego naprę\enia
stycznego, hipoteza Hubera).
Wytę\enie materiału w wytrzymałości materiałów stan materiału obcią\onego siłami zewnętrznymi, w
którym istnieje niebezpieczeństwo przejścia w stan plastyczny przekroczenie granicy sprę\ystości, jeśli
materiał taką posiada lub utrata spójności (pękniecie, przełom, dekohezja).
Wytę\enie materiału określa się przez redukcję zło\onego stanu naprę\enia do jednego naprę\enia
zredukowanego lub zastępczego. To naprę\enie mo\e być porównane z podstawowymi wytrzymałościowymi
stałymi materiałowymi wytrzymałością na rozciąganie Rm lub naprę\eniem rozrywającym Ru, które uzyskuje
się w czasie statycznej próby rozciągania. Do redukcji zło\onego stanu naprę\enia stosuje się hipotezy
wytę\eniowe. Najczęściej stosowana jest hipoteza energii odkształcenia (sformułowana przez polskiego
uczonego Maksymiliana T. Hubera), która zakłada, \e ciało jest doskonale sprę\yste, i \e praca naprę\enia
zredukowanego równa jest sumie prac wszystkich naprę\eń składowych:
Hipoteza maksymalnego naprę\enia stycznego przyjęta przez Coulomba, mówi o tym, \e miarą wytę\enia
materiału jest największe natę\enie styczne.
Spośród hipotez ogólnych, dających wyniki zgodne z doświadczeniem, nale\y wymienić hipotezę energii
odkształcenia postaciowego (hipotezę Hubera). Hipoteza ta nale\y do licznej grupy tzw. hipotez
energetycznych. Twórcy hipotezy (Huber 1904, Mises 1913, Hencky 1925) przyjęli, \e miarą wytę\enia
materiału jest wartość energii sprę\ystej odkształcenia postaciowego. Hipoteza Hubera (Hubera Misesa
Hencky go) jest potwierdzona doświadczalnie i jest obecnie bardzo szeroko stosowana w praktyce in\ynierskiej.
45. Skręcanie wałów okrągłych naprę\enia, kąt obrotu, zadania statycznie
wyznaczalne i statycznie niewyznaczalne. Skręcanie wałów o przekroju
nieokrągłym.
Odsyłam do ksią\ki bardzo obszerny dział, ju\ nie chciało mi się robić&
46. Zginanie płaskie. Zale\ności ró\niczkowe między siłami wewnętrznymi.
Zginanie płaskie: wszystkie siły zewnętrzne czynne (obcią\enia) i bierne (reakcje) le\ą w jednej wspólnej
płaszczyznie przechodzącej przez oś belki.
Zale\ności& dwa wzory mogę podać, bo tyle o nich znalazłem, ale nie bardzo i tak wiem o co w nich chodzi do
końca, mimo wszystko mogą się przydać:
2
dT dM d M
= -q(x) oraz = T co nam daje równanie ró\niczkowe: = -q(x)
dx dx dx2
47. Wykresy sił poprzecznych i momentów zginających. Charakterystyczne cechy
wykresów sił wewnętrznych.
???
Ksią\ka dział 7.1 str. 127& tyle mogę napisać, bo sam nie wiem jak mo\na to inaczej przedstawić, a tylu
stron przepisywać ju\ mi się nie chce, tych wzorów, rysunków i innych& :&
48. Czyste zginanie.
Czystym zginaniem nazywamy odkształcenie belki pomiędzy dwiema parami sił o równych
momentach.
Przy czystym zginaniu w przekrojach poprzecznych belki nie ma naprę\eń stycznych.
Obraz naprę\eń normalnych przy czystym zginaniu
Największe naprę\enie normalne występuje we włóknach najdalej poło\onych od osi
obojętnej przekroju poprzecznego.
49. Naprę\enia normalne, naprę\enia styczne przy zginaniu płaskim (rozkłady
naprę\eń dla ró\nych przekrojów).
50. Obliczenia wytrzymałościowe belek zginanych (na przykładzie dwuteownika).
51. Równanie ró\niczkowe linii ugięcia. Metoda analityczna wyznaczania
przemieszczeń belek zalety i wady.
RÓWNANIE RÓśNICZKOWE LINII UGICIA ma postać:
2
d y M
= Ä…
dx2 EJZ
I jest ono wyprowadzone z dwóch wzorów:
1. Równanie osi odkształconej belki dla czystego zginania:
1 M
= -
Á EJZ
2. Wzór na promień krzywizny po uproszczeniu:
2
1 y'' d y
= Ä… H" Ä…
3
Á dx2
2
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚1+ ( y')2 ÷Å‚
{
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ H"0 Å‚Å‚
Analityczna metoda wyznaczania przemieszczeń polega na bezpośrednim całkowaniu równania
ró\niczkowego linii ugięcia, niestety dla belek z większą liczbą przedziałów (du\o częściej spotykanych) jest
ona strasznie pracochłonna i czasochłonna to jej zastosowanie w praktyce jest bardzo małe.
52. Sposób Clebscha.
Sposób Clebscha wymaga przestrzegania kilku reguł podczas wyznaczania momentu zginającego:
a) lewy koniec belki jest początkiem układu współrzędnych XY
b) Równanie momentów zginających pisze się dla ostatniego, prawego przedziału belki. W ten sposób do
ka\dego kolejnego przedziału wchodzą składniki równania z przedziału poprzedniego.
c) W przypadku działanie momentu skupionego M w równaniu momentów uwzględnia się współrzędną
tego momentu w postaci M(x-a)0.
d) Obcią\enie ciągłe działające na pewnej długości belki nale\y doprowadzić do końca belki z
jednoczesnym dodaniem na uzupełnionym odcinku równowa\nego obcią\enia ciągłego o przeciwnym
znaku.
e) Całkowanie wyrazów zawierających dwumian (x-a) nale\y wykonywać bez otwierania nawiasów, tzn.
(x - a)n+1
+"(x - a)n dx = +"(x - a)n d(x - a) = n +1 + C.
53. Obliczanie przemieszczeń w belkach statycznie wyznaczalnych za pomocą
metody parametrów początkowych oraz metody superpozycji.
Wykorzystanie metody parametrów początkowych w praktycznych obliczeniach wymaga wykonania
następujących czynności:
- wyznaczenia momentu zginającego dla ostatniego przedziału wydzielonego na długości belki
- uło\enie równania ró\niczkowego linii ugięcia
- scałkowanie równania linii ugięcia; otrzymuje się równanie kątów obrotów
- scałkowanie równania kątów obrotów; otrzymuje się równanie ugięć.
METODA SUPERPOZYCJI
Równanie ró\niczkowe linii ugięcia jest równaniem uproszczonym, w którym odkształcenia i przemieszczenia
są liniową funkcją obcią\eń (prawo Hooke a). Pozwala to na zastosowanie znanej ju\ metody superpozycji, ale
tylko do obliczenia przemieszczeń w wybranych punktach (np. punkty podparcia belki, końce belki). W celu
szybkiego stosowania metody nale\y korzystać z gotowych rozwiązań podstawowych typów prostych belek.
Rozwiązania te zazwyczaj są zestawione w odpowiedniej literaturze i z nich nale\y korzystać.
54. Belki statycznie niewyznaczalne. Konstruowanie równań geometrycznych za
pomocą metody parametrów początkowych oraz metody superpozycji.
W belce statycznie niewyznaczalnej liczba niewiadomych reakcji podporowych jest większa od liczby równań
statyki. Ró\nica pomiędzy tymi wielkościami określa stopień statycznej niewyznaczalności zadania. Rysunek
pokazuje, jak belka statyczne wyznaczalna staje siÄ™ belkÄ… statycznie niewyznaczalnÄ….
Belka pokazana na rysunku a jest belką statycznie wyznaczalną (płaski układ sił równoległych). Z dwóch
równań statyki wyznacza się reakcje RA i RB. Ze względów konstrukcyjnych mo\e się okazać, \e ugięcie belki w
przekroju C przekracza wartości dopuszczalne i konieczne jest podparcie belki w tym punkcie (rys. b). Skutkiem
dodatkowego podparcia jest pojawienie siÄ™ trzeciej reakcji RC i belka staje siÄ™ jednokrotnie statycznie
niewyznaczalna.
55. Wytrzymałość zło\ona zginanie ukośne, zginanie i rozciąganie (rdzeń
przekroju), zginanie i skręcanie.
Zginanie ukośne (zginanie zło\one) jest bezpośrednio związane ze zginaniem prostym. Występuje wówczas,
gdy wektor momentu zginającego belkę nie pokrywa się z kierunkiem \adnej z osi symetrii. Zginanie ukośne
mo\na traktować jako sumę zginania prostego w płaszczyznie pionowej oraz w płaszczyznie poziomej.
Wspólne działanie sił rozciągających (ściskających) oraz momentu zginającego występuje najczęściej przy
mimośrodkowym obcią\eniu pręta. Mimośrodkowość mo\e być wywołana przyło\eniem sił poza środkiem
cię\kości, wykrzywieniem osi pręta lub równocześnie dwoma tymi czynnikami.
Wspólne działanie zginania i skręcania jest najczęściej spotykanym przypadkiem wytrzymałości zło\onej.
W ten sposób są obcią\one wały maszyn, pojazdów, skrzyni biegów itp. Ten rodzaj wytrzymałości zło\onej
charakteryzuje się niejednorodnym rozkładem naprę\eń moment zginający powoduje powstanie naprę\eń
normalnych, moment skręcający naprę\eń stycznych (rysunek).
56. Ogólny przypadek wytrzymałości zło\onej (przestrzenny układ prętowy).
Przykładem ogólnego przypadku wytrzymałości zło\onej mogą być przestrzenne konstrukcje prętowe obcią\one
siłami skupionymi, obcią\eniami ciągłymi oraz momentami. Na skutek zmiany kierunku osi pręta zmienia się
charakter siły wewnętrznej wywołanej przez daną siłę zewnętrzną. W tej sytuacji bardzo wa\nym elementem
rozwiązywania zadania jest kontrolowanie ciągłości wykresów sił wewnętrznych wywołanych przez dane
obcią\enie od punktu przyło\enia a\ do utwierdzenia, przy czym np. moment zginający pewien odcinek
pręta na sąsiednim prostopadłym odcinku staje się momentem skręcającym. Wykorzystując warunki
wytrzymałościowe w celu obliczenia średnicy pręta lub dopuszczalnych obcią\eń, nale\y pomijać naprę\enia
styczne wywołane siłami poprzecznymi. W wielu przypadkach w tzw. obliczeniach wstępnych pomija się
równie\ naprę\enia normalne pochodzące od sił rozciągających lub ściskających. W warunku
wytrzymałościowym uwzględnia się wówczas tylko momenty zginające i skręcające, dlatego nale\y
obowiązkowo wykonać obliczenia sprawdzające, uwzględniając wszystkie siły wewnętrzne.
W przestrzennych konstrukcjach prętowych znaczenia nabiera sprawa określania znaków sił wewnętrznych.
Zało\enia stosowane przy zginaniu płaskim tracą tutaj swoje znaczenia. Najczęściej przyjmuje się, \e
momenty zginające rysuje się po ściskanej stronie pręta. W przypadku momentów skręcających nale\y
zaznaczać znaki dla rozró\nienia momentów działających w przeciwnych kierunkach. Sprawa znaków jest
istotna, poniewa\ z uwagi na warunek wytrzymałościowy nale\y w niebezpiecznych przekrojach konstrukcji
prawidłowo sumować wartości sił i momentów.
57. Wyboczenie konstrukcji.
W projektowaniu pewnego typu konstrukcji, charakteryzujących się smukłością lub cienkościennością, pod
uwagę musi być brane jeszcze inne kryterium oceny, a
mianowicie ich podatność na wyboczenie. Przykładami takich konstrukcji są osiowo ściskane pręty,
kolumny, cienkościenne płyty i powłoki, ramy i kratownice. Wyboczenie tych konstrukcji, utrata przez nie
tzw. stateczności, prowadzi do ich nieuniknionego fizycznego zniszczenia.
Wyboczenie jednego elementu pociąga za sobą zazwyczaj lawinowe zniszczenie powiązanych elementów.
Utrata stateczności była przyczyną wielu głośnych katastrof budowlanych, takich jak zawalenia się
budynków, mostów czy masztów radiowych. Przy projektowaniu konstrukcji prętowych, płyt, powłok itp.
kryterium stateczności konstrukcji jest głównym kryterium wytrzymałościowym, spychającym na dalsze
miejsce kryterium naprę\eniowe i sztywnościowe.
Badanie stateczności konstrukcji porównuje się z sytuacją kulki znajdującej się w polu grawitacyjnym (polu
przyciÄ…gania ziemskiego):
Dowolnie małe wychylenie kulki (zakłócenie) znajdującej się w najni\szym punkcie wklęsłej powierzchni
spowoduje zmianę jej poło\enia i powrót do poło\enia początkowego stan kulki mo\na określić jako
równowagę stałą (rys. a).
Kulka znajdująca się w najwy\szym punkcie powierzchni wypukłej (rys. b) teoretycznie znajduje się w
równowadze, lecz jest to równowaga niestała (chwiejna), praktycznie nie do zrealizowania.
Kulka znajdująca się na powierzchni płaskiej (rys. c) znajduje się w stanie określanym jako równowaga
obojętna, gdy\ jej stan jest taki sam w ka\dym miejscu na płaszczyznie.
58. Zmęczenie materiałów.
Zmęczenie materiału jest związane ze zmniejszeniem wytrzymałości elementów konstrukcyjnych
poddanych działaniu okresowo zmiennych obcią\eń. Zjawisko zmęczenia materiałów jest bardzo
niebezpieczne, poniewa\ zniszczenie elementu konstrukcyjnego lub części maszyny następuje nieoczekiwanie
przy naprę\eniach znacznie mniejszych od wytrzymałości doraznej, wyznaczonej ze statycznej próby
rozciÄ…gania.
Zniszczenie następuje bez \adnych dostrzegalnych wcześniej odkształceń plastycznych.
Zmęczenie materiałów ma olbrzymie znaczenie praktyczne, poniewa\ większość współczesnych konstrukcji
in\ynierskich jest poddana działaniu zmiennych obcią\eń (pojazdy, samoloty, maszyny z ruchomymi
częściami).
Przyczyną zmęczeniowego zniszczenia materiału jest zmienny stan naprę\enia. Przebieg zniszczenia
mo\na prześledzić na przykładzie przełomu okrągłej próbki (np. osi wagonu kolejowego) przedstawionej na
rysunku.
Początek zniszczenia wału nastąpił w tzw. ognisku. Przyczyną zapoczątkowania procesu zmęczeniowego jest
spiętrzenie naprę\eń wywołane np. pęknięciem, rysą, wadą materiałową, karbem. Szczelina zmęczeniowa
rozszerza się, penetruje w głąb przekroju następuje tzw. propagacja pęknięcia. Wał ulega zniszczeniu, gdy
niezniszczona część wału nie jest w stanie przenieść obcią\enia. W przełomie zmęczeniowym rozró\nia się dwie
strefy. Strefa zniszczenia zmęczeniowego ma wygładzoną, błyszczącą powierzchnię z charakterystycznymi
liniami, w których propagacja pęknięcia została np. na skutek zmniejszenia obcią\enia zahamowana.
Wygładzenie tej strefy wynika z tarcia powierzchni w czasie pracy. Druga strefa nosi nazwę strefy doraznej
(resztkowej) i ma wyglÄ…d gruboziarnisty, matowy. Istnieje wiele teorii na temat powstawania ogniska i
propagacji szczelin zmęczeniowych. Większość z teorii przyjmuje dyslokacje i inne wady sieci krystalicznej
za przyczynÄ™ tych zjawisk.
59. MES.
Metoda elementów skończonych polega na odejściu od ciągłego modelu konstrukcji na rzecz jej podziału
na skończoną liczbę ściśle zdefiniowanych elementów elementów skończonych. Podział konstrukcji na
elementy nazywa się dyskretyzacją konstrukcji, która ciągły model obliczeniowy zastępuje pewną skończoną
liczbą elementów.
Praktyczne stosowanie MES wymaga przede wszystkim dogłębnej znajomości wytrzymałości materiałów,
jak równie\ podstaw metod numerycznych i znajomości technik komputerowych. Jedną z
najwa\niejszych czynności mających wpływ na końcowy wynik jest właściwy podział konstrukcji na
odpowiednio dobrane elementy. Wymaga to umiejętności analizowania rozkładów naprę\eń i
przemieszczeń w konstrukcji oraz formułowania warunków brzegowych.
Sposób postępowania w MES w obliczeniach wytrzymałościowych:
1) Rozpatrywaną konstrukcję dzieli się (dyskretyzuje) na elementy skończone o zdefiniowanym kształcie i
właściwościach, połączone ze sobą w określonych punktach węzłach.
2) Dla ka\dego elementu na podstawia warunków zewnętrznych (obcią\eń, sił masowych, temperatury itp.)
określa się równowa\ne im wartości przyło\one w poszczególnych węzłach w postaci np. sił skupionych.
Na podstawie praw fizyki, mechaniki i WM określa się zale\ności pomiędzy obcią\eniami a poszukiwanymi
wielkościami (np. przemieszczeniem węzłów). Zale\ności te tworzą zbiór tzw. lokalnych macierzy
sztywności.
3) Dla całej konstrukcji przez odpowiednie sumowanie ustala się zbiorczy układ równań wią\ących zadane
wielkości węzłowe z poszukiwanymi niewiadomymi we wszystkich węzłach konstrukcji. W wyniku
sumowania otrzymujemy tzw. globalną macierz sztywności, będącą matematycznym opisem całej
konstrukcji.
4) Rozwiązanie otrzymanego układu równań pozwala na wyznaczenie poszukiwanych wielkości dla
wszystkich węzłów.
5) Na podstawia otrzymanych rezultatów w poszczególnych węzłach oblicza się wartości węzłów naprę\eń i
odkształceń, inne poszukiwane wielkości oraz ich przybli\one wartości wewnątrz elementów.
MES jest więc procesem polegającym na utworzeniu pewnego, olbrzymiego układu równań, opisującego w
przybli\ony sposób zmiany poszukiwanych wielkości na podstawie skończonego, dyskretnego zbioru danych
wejściowych.
Zakres zastosować MES:
- określanie rozkładów przemieszczeń i naprę\eń w konstrukcjach,
- określanie rozkładów temperatur,
- badanie koncentracji naprę\eń,
- określanie częstości i postaci drgań własnych i wymuszonych,
- analiza propagacji pęknięć (szczelin zmęczeniowych),
- optymalizacja kształtu konstrukcji.
Współczesne zadania in\ynierskie są rozwiązywane przez odpowiednio przygotowane systemy komputerowe.
Ka\dy system komputerowy (ALGOR, COSMOS) składa się z trzech zasadniczych części:
preprocesora, umo\liwiającego graficzne wprowadzanie danych wejściowych,
dyskredytacjÄ™ konstrukcji (automatycznÄ…),
procesora, rozwiązującego z wymaganą dokładnością olbrzymie układy równań
algebraicznych, obliczającego poszukiwane wielkości we wszystkich węzłach,
postprocesora, przedstawiajÄ…cego w zwartej postaci otrzymane wyniki.
60. Doświadczalne podstawy wytrzymałości materiałów, znaczenie eksperymentu w
wytrzymałości materiałów.
Podstawowym doświadczeniem w wytrzymałości materiałów jest statyczna próba rozciągania. Znaczenie tej
próby dla wytrzymałości jest ogromne, poniewa\:
- określa związek pomiędzy naprę\eniami i odkształceniami (prawo Hooke a),
- dostarcza podstawowych informacji o właściwościach wytrzymałościowych materiałów.
Statyczna próba rozciągania polega na rozciąganiu znormalizowanej próbki z określoną, niewielką prędkością
i rejestracji siły rozciągającej oraz wydłu\enia próbki.
Fazy w rozciąganiu próbki:
a) zakres odkształceń sprę\ystych (obowiązuje prawo Hooke a)
b) odkształcenia trwałe, plastyczne
c) górna granica plastyczności (siła rozciągająca przestaje wzrastać, a nawet zaczyna się zmniejszać z
jednoczesnym przyrostem wydłu\enia płynięcie materiału),
d) umocnienie materiału (dalszy wzrost obcią\enia, wyrazne obcią\enia plastyczne),
e) pojawienie siÄ™ wyraznego przewÄ™\enia szyjki (maksymalne obciÄ…\enie)
f) pozorne zmniejszenie siły rozciągającej (poniewa\ szyjka powoduje zmniejszenie pola przekroju
próbki) i zerwanie próbki.
g) Przerwanie wzrostu obcią\enia i powolne odcią\enie próbki.
61. Ekonomiczne aspekty obliczeń wytrzymałościowych.
1. Odpowiednia wiedza teoretyczna i praktyczna w obszarze danego zagadnienia in\ynierskiego.
2. Umiejętność postrzegania swojego działania i jego skutków w szerokim aspekcie, równie\ ekonomicznym
(podejście systemowe).
3. Uwzględnianie faktu, \e dzisiaj podejmowane decyzje skutkują w często nieprzewidzianej przyszłości, w
nieokreślonym miejscu.
4. Nabycie umiejętności podejmowania decyzji kompromisowych z uwzględnieniem ryzyka.
5. Stosowanie w pracy metod optymalnego projektowania.
6. Wykorzystywanie najnowszych osiągnięć naukowych i technicznych w zakresie projektowania, nowych
materiałów i technologii.
62. Podstawowe pojęcia optymalnego kształtowania konstrukcji (optymalizacja
konstrukcji).
CZŚĆ PRAKTYCZNA (ZADANIOWA)
Umiejętność rozwiązywania prostych zadań:
1. Układy prętowe statycznie wyznaczalne siły, naprę\enia, przemieszczenia.
2. Układy prętowe statycznie niewyznaczalne, naprę\enia termiczne, naprę\enia
monta\owe.
3. Momenty bezwładności prostych symetrycznych figur płaskich.
4. Skręcanie wałów okrągłych wykresy momentów skręcających, naprę\eń, kąty
obrotów.
5. Zginanie płaskie wykresy sił wewnętrznych.
6. Zginanie płaskie przemieszczenia, naprę\enia normalne, naprę\enia styczne.
7. Obliczenia wytrzymałościowe belek (dobór przekroju, dobór obcią\eń).
8. Wytrzymałość zło\ona zginanie ukośne, zginanie i rozciąganie, zginanie i skręcanie.
BIBLIOGRAFIA:
- Marian Ostwald Podstawy wytrzymałości materiałów wydanie trzecie poprawione ,
Poznań 2007, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej
- Skrypty internetowe ZWMiK Instytutu Mechaniki Stosowanej na Politechnice Poznańskiej
dostępne pod adresami:
a) M. Ostwald Wprowadzenie
http://deuter.am.put.poznan.pl/zwm/eskrypty_pliki/podstawymechaniki/wprowadzenie.pdf
b) M. Ostwald Statyka
http://deuter.am.put.poznan.pl/zwm/eskrypty_pliki/podstawymechaniki/statyka.pdf
c) M. Ostwald Kinematyka
http://deuter.am.put.poznan.pl/zwm/eskrypty_pliki/podstawymechaniki/kinematyka.pdf
d) M. Ostwald Dynamika
http://deuter.am.put.poznan.pl/zwm/eskrypty_pliki/podstawymechaniki/dynamika.pdf
e) M. Ostwald Wytrzymałość materiałów
http://deuter.am.put.poznan.pl/zwm/eskrypty_pliki/podstawymechaniki/wytrzymaloscmaterialow.pdf
f) M. Ostwald Pręty
http://deuter.am.put.poznan.pl/zwm/eskrypty_pliki/podstawymechaniki/prety.pdf
g) M. Ostwald Momenty hipoteza
http://deuter.am.put.poznan.pl/zwm/eskrypty_pliki/podstawymechaniki/momentyhipoteza.pdf
h) M. Ostwald Skręcanie
http://deuter.am.put.poznan.pl/zwm/eskrypty_pliki/podstawymechaniki/skrecanie.pdf
i) M. Ostwald Zginanie
http://deuter.am.put.poznan.pl/zwm/eskrypty_pliki/podstawymechaniki/zginanie.pdf
j) M. Ostwald Wytrzymałość zło\ona
http://deuter.am.put.poznan.pl/zwm/eskrypty_pliki/podstawymechaniki/wytrzymalosczlozona.pdf
k) M. Ostwald Zagadnienia wybrane
http://deuter.am.put.poznan.pl/zwm/eskrypty_pliki/podstawymechaniki/zagadnieniawybrane.pdf
- Strony internetowe:
a) www.wikipedia.pl
UWAGA! Powy\sze zestawienie NIE JEST LIST PYTAC! Pytania w teście
zaliczeniowym dotyczą zrozumienia treści przedstawionych na wykładzie i na ćwiczeniach
oraz szczegółowo omówionych w dostępnych podręcznikach z mechaniki, wytrzymałości
materiałów i w zbiorach zadań.
TRYB ZALICZENIA
TEMAT CZAS PUNKTY
1. Pytanie teoretyczne ze statyki ciała sztywnego. 3 minuty 1 punkt
2. Pytanie teoretyczne z wytrzymałości materiałów. 4 minuty 1 punkt
3. Pytanie teoretyczne z wytrzymałości materiałów. 5 minut 1 punkt
4. Proste zadanie z wytrzymałości materiałów (pręt, wał,
8 minut 2 punkty
belka, wytrzymałość zło\ona).
RAZEM: 20 minut 5 punktów
Ocena jest sumą uzyskanych punktów.
STUDENT PRZYSTPUJCY DO ZALICZENIA MUSI OKAZAĆ DOWÓD
TOśSAMOŚCI (LEGITYMACJ STUDENCK) ORAZ INDEKS.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Pytania na zaliczenie wyk éadupytania na zaliczenie z satelitarnejPytania na zaliczenie cz 2pytania na zaliczeniePytania na zaliczenie GFiGG 2014 15pytania na zaliczenielogistyka zaopatrzenia, cwiczenia, kobylt, pytania na zaliczeniuBOiKD semestr IV opracowane pytania na egzaminekonomika opracowane pytania na egzaminlrm pytania na zaliczenie swopracowane pytania na wejściówkiPytania na zaliczenieZarz Międzyn pytania na zaliczenie proces globalizacjipytania na zaliczenie z interpersonalnejPytania na zaliczeniewięcej podobnych podstron