ARCHITEKTURY KOMPUTERÓW I SYSTEMY OPERACYJNE

SYSTEMY NUMERACJI

SYSTEMY NUMERACJI

Rozwój techniki cyfrowej spowodował powstanie i upowszechnienie inny systemów zapisu

liczb niż powszechnie stosowany system dziesiętny. Mamy więc następujące systemy:

- dziesiętny (decymalny) – DEC

- dwójkowy (binarny) – BIN

- ósemkowy (oktalny) -OCT

- szesnastkowy (heksadecymalny) - HEX

Maszyny cyfrowe pracują głównie w systemie dwójkowym (binarnym), w którym dowolną

wartość zapisuje się za pomocą dwóch cyfr: 0 i 1. W układach elektronicznych wartościom 0 i 1

może odpowiadać pewien stan napięcia lub brak napięcia. Wartości 0 i 1 mogą też być

interpretowane jako wartości logiczne: prawda – fałsz (tak – nie). Wartości 0 i 1 zapisywane są jako

pojedyncze bity

Co to jest bit?

1. ang. BInary digiT – cyfra dwójkowa,

2. ang. Basic Information uniT – podstawowa jednostka informacji,

3. najmniejsza jednostka pojemności pamięci do zapisywania danych w kodzie dwójkowym.

8 bitów (8b) = 1 bajt (1B)

Powyższe systemy numeracji to tzw. systemy pozycyjne o następujących cechach

charakterystycznych:

1. Każda liczba zapisywana jest za pomocą cyfr dopuszczalnych w danym systemie numeracji:

DEC – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

BIN – 0, 1

OCT – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

HEX – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

2. Każda cyfra jest umieszczana w innej kolumnie, której przyporządkowana jest jej waga. Wagi

kolumn są równe kolejnym potęgom liczby będącej podstawą systemu.

DEC – ...10

3

10

2

10

1

10

0

10

-1

10

-2

10

-3

10

-4

...

BIN – ...2

3

2

2

2

1

2

0

2

-1

2

-2

2

-3

2

-4

...

W systemie dwójkowym do określenia pozycji używa się numerów kolejnych bitów licząc od

zera. W ten sposób mamy na pozycji maksymalnie z prawej „BIT ZEROWY”: ...2

3

2

2

2

1

2

0

1

ARCHITEKTURY KOMPUTERÓW I SYSTEMY OPERACYJNE

SYSTEMY NUMERACJI

3. Liczba zapisywana w systemie pozycyjnym jest równa sumie iloczynów cyfr zapisanych w

poszczególnych kolumnach i wag tych kolumn.

L =

∑ a

i

r

i

gdzie

r

∈ {2, 8, 10, 16}

4. Dla każdego systemu pozycyjnego istnieją reguły wykonywania operacji arytmetycznych na

liczbach zapisanych w danym systemie.

p q p+q

p*q

p-q

p:q

0

0

0

0 0

nie

istnieje

0 1

1

0

→ 1

0

1

0

1

0 1

nie

istnieje

1 1

←10

1 0

1

←1

oznacza przeniesienie 1 do najbliższej lewej pozycji

→1

oznacza przeniesienie 1 z najbliższej lewej pozycji

5. Przekształcenie liczby zapisanej w jednym systemie na liczbę zapisaną w drugim systemie jest

łatwe dzięki wykorzystaniu pojęcia wagi kolejnych kolumn.

np. (107)

10

= (x)

2

107 : 2 = 53 r 1

bit zerowy

53 : 2 = 26 r 1

26 : 2 = 13 r 0

13 : 2 = 6 r 1

6 : 2 = 3 r 0

3 : 2 = 1 r 1

kierunek zapisu

1 : 2 = 0 r 1

0 1 1 0 1 0 1 1 - liczba 107 jako liczba binarna zapisana za pomocą 8 bitów

2

7

2

6

2

5

2

4

2

3

2

2

2

1

2

0

Zapis binarny jest bardzo rozwlekły i dlatego zastępowany jest często zapisem ósemkowym lub
szesnastkowym.

2

ARCHITEKTURY KOMPUTERÓW I SYSTEMY OPERACYJNE

SYSTEMY NUMERACJI

Liczby 0-20 w systemach DEC, BIN, OCT, HEX

DEC BIN OCT HEX

0 0 0 0

1 1 1 1

2 10 2 2

3 11 3 3

4

100 4 4

5

101 5 5

6

110 6 6

7

111 7 7

8 1000 10

8

9 1001 11

9

10 1010 12

A

11 1011 13

B

12 1100 14

C

13 1101 15

D

14 1110 16

E

15 1111 17

F

16

10000 20 10

17

10001 21 11

18

10010 22 12

19

10011 23 13

20

10100 24 14

3

ARCHITEKTURY KOMPUTERÓW I SYSTEMY OPERACYJNE

SYSTEMY NUMERACJI

REPREZENTACJA DANYCH

1. dane alfanumeryczne – zazwyczaj kod ASCII

(ang. American Standard Code for Information

Interchange)

Cechy charakterystyczne kodu ASCII:

- 7-bitowy obejmuje 128 znaków

- 8-bitowy obejmuje 256 znaków

- znaki

o 0 - 32

- znaki kontrolne

o 33 – 127 – litery, cyfry, interpunkcyjne itd.

o 128 – 256 – znaki semigraficzne, niektóre litery alfabetu greckiego i wybranych

języków zachodnioeuropejskich

- wzorzec znaków ASCII jest zapisany w pamięci ROM

(ang. Read Only Memory)

2. liczby całkowite

2.1. kod dwójkowo-dziesiętny, tzw. BCD

(ang. Binary Coded Decimal notation)

. Sposób zapisu liczb

dziesiętnych polegający na zapisywaniu kolejnych cyfr liczby dziesiętnej jako liczb dwójkowych.

Jednej cyfrze dziesiętnej odpowiadają zawsze 4 bity w kodzie BCD.

np. liczba 8372 to 1000 0011 0111 0010

2.2. kod uzupełnień do dwóch, kod U2 (ang. two’s complement code) – odpowiada zapisowi

pozycyjnemu liczby w zapisie dwójkowym, przy czym bit najbardziej znaczący ma wagę ujemną i

jest bitem znaku.

Liczba L

U2

= b

n

b

n-1

...b

0

,b

-1

...b

-m

w kodzie U2 ma wartość

L

u2

= -2

n

*b

n

*

∑ 2

i

*b

i

gdzie: b

i

– bity 0 lub 1 (cyfry dwójkowe), 2

i

– waga cyfry

Uwaga: w kodzie U2 kodowanie liczb dodatnich w stosunku do kodu dwójkowego nie ulega

zmianie, różnica jest w kodowaniu liczb ujemnych: N



+ 1

3. liczby rzeczywiste

3.1. liczby stałoprzecinkowe:

- znak

liczby

- część całkowita

- część ułamkowa

3.2. liczby zmiennoprzecinkowe

- znak

liczby

- mantysa

- znak

cechy

- cecha

4