E book praca zbiorowa pod redakcją M Dobrowolskiej Matematyka 1 Podręcznik dla gimnazjum STARA WERSJA (1)

Niniejsza darmowa publikacja zawiera jedynie fragment

pełnej wersji całej publikacji.

Aby przeczytać ten tytuł w pełnej wersji

kliknij tutaj

Niniejsza publikacja może być kopiowana, oraz dowolnie

rozprowadzana tylko i wyłącznie w formie dostarczonej przez

NetPress Digital Sp. z o.o., operatora

sklepu na którym można

nabyć niniejszy tytuł w pełnej wersji

. Zabronione są

jakiekolwiek zmiany w zawartości publikacji bez pisemnej

zgody

NetPress oraz wydawcy niniejszej publikacji. Zabrania się jej

od-sprzedaży, zgodnie z

regulaminem serwisu

Pełna wersja niniejszej publikacji jest do nabycia w sklepie

internetowym

Nexto.pl

Zespół autorów:

Zoﬁa Bolałek

Małgorzata Dobrowolska

Marta Jucewicz

Marcin Karpiński

Adam Mysior

Okładka: Leszek Jakubowski

Zdjęcie na okładce: Dariusz Kula

Ilustracje: Sławomir Kilian

Graﬁka komputerowa: Leszek Jakubowski, Władzimier Michnieviˇ

Skład (TEX): Joanna Marszałkowska

Podręcznik dopuszczony do użytku szkolnego przez ministra właściwego
do spraw oświaty i wychowania i wpisany do wykazu podręczników szkol-
nych do kształcenia ogólnego do nauczania matematyki na poziomie klasy
pierwszej gimnazjum na podstawie recenzji rzeczoznawców: dr. Leona Gul-
gowskiego, dr. hab. Michała Szurka, mgr Leokadii Koper i mgr. Wacława
Wawrzyniaka. Numer w wykazie: 242/99.

Książka jest zgodna z programem Matematyka z plusem, dopuszczonym
przez MEN do użytku szkolnego. Numer dopuszczenia: DKW–4014–139/99.

ISBN 83–87788–12–0

Wydawca: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, 80–309 Gdańsk, al. Grunwaldzka 413

Gdańsk 2005. Wydanie siódme

Druk i oprawa: Interak, Czarnków

Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe
80–876 Gdańsk 52, skr. poczt. 59
tel./fax 0–801 643–917, fax (58) 340–63–61
tel. (58) 340–63–60 lub 340–63–63
e-mail: gwo@gwo.pl

http://www.gwo.pl

Spis treści

LICZBY I DZIAŁANIA

Liczby

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dodawanie i odejmowanie liczb wymiernych dodatnich

. . . . . . . . .

Mnożenie i dzielenie liczb wymiernych dodatnich

. . . . . . . . . . . . . . .

Wyrażenia arytmetyczne

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Działania na liczbach wymiernych

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadania uzupełniające

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PROCENTY

Do czego służą procenty?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Jaki to procent?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Obliczanie procentu danej liczby

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Obliczenia procentowe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadania uzupełniające

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FIGURY GEOMETRYCZNE

Proste i odcinki

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kąty

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Trójkąty

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Przystawanie trójkątów

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Czworokąty

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pole prostokąta. Jednostki pola

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pola wielokątów

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Figury geometryczne w układzie współrzędnych

. . . . . . . . . . . . . . .

103

Zadania uzupełniające

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

KĄTY W KOLE

Kąt środkowy i kąt wpisany

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112

Twierdzenia o kątach wpisanych i środkowych

. . . . . . . . . . . . . . . . .

116

Zadania uzupełniające

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

Do czego służą wyrażenia algebraiczne?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128

Jednomiany

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

Sumy algebraiczne

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

. . . . . . . . . . . . . . . . .

136

Mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne

. . . . . . . . . . . . . .

140

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

Zadania uzupełniające

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

146

RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

Do czego służą równania?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150

Liczby spełniające równania

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

Rozwiązywanie równań

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156

Zadania tekstowe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161

Procenty w zadaniach tekstowych

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

168

Nierówności

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

172

Przekształcanie wzorów

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

177

Zadania uzupełniające

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

181

SYMETRIE

Symetria względem prostej

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

185

Rysowanie ﬁgur symetrycznych względem prostej

. . . . . . . . . . . . .

189

Oś symetrii ﬁgury

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

193

Symetralna odcinka

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

197

Dwusieczna kąta

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

199

Symetria względem punktu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

202

Środek symetrii ﬁgury

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

207

Symetrie w układzie współrzędnych

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

210

Zadania uzupełniające

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

213

PROPORCJONALNOŚĆ

Proporcje. Wielkości wprost proporcjonalne

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

217

Wielkości odwrotnie proporcjonalne

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

222

Zadania uzupełniające

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

228

ODPOWIEDZI

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

231

SKOROWIDZ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

237

Od autorów

Podręcznik składa się z ośmiu głównych rozdziałów, podzielonych na krót-

kie jednostki tematyczne (1–2 lekcje). Każda jednostka tematyczna zawiera

część teoretyczną i zadaniową. Część teoretyczna przekazuje najważniejsze

informacje dotyczące danego tematu i przeplatana jest ćwiczeniami, stano-

wiącymi propozycję metodyczną wprowadzania nowego zagadnienia. Część

zadaniowa zawiera zadania o różnym stopniu trudności i zakończona jest

krótkim testem, opatrzonym tytułem Sprawdź, czy umiesz, który można wy-

korzystać jako podsumowanie lekcji. Na końcu każdego rozdziału zamiesz-

czony jest blok Zadania uzupełniające, pełniący rolę dodatkowego zbioru

zadań. Łącznie w podręczniku znajduje się ponad 900 zadań. Do wielu z nich

podajemy odpowiedzi lub wskazówki dotyczące sposobu rozwiązania.

W towarzyszącym podręcznikowi Zeszycie ćwiczeń zamieściliśmy zadania,

których rozwiązanie w „normalnym” zeszycie byłoby niemożliwe lub wiąza-

łoby się ze zbyt dużą stratą czasu.

Podręcznik uwzględnia założenia reformy i jest zgodny z programem Mate-

matyka z plusem.

Pragniemy podziękować za cenne uwagi i wskazówki recenzentom książki:

dr. L. Gulgowskiemu, mgr L. Koper, dr. hab. M. Szurkowi oraz mgr. W. Waw-

rzyniakowi. Miło nam również wyrazić podziękowanie za wszelką pomoc

przy pracy nad podręcznikiem dr A. Demby, prof. Z. Semadeniemu i mgr.

J. Trzeciakowi.

♦

Uwaga.

Dla wyróżnienia stopnia trudności zadań przyjęliśmy następujące

oznaczenia:

zadanie nieelementarne (niekoniecznie trudne)

∗

zadanie trudniejsze

∗

zadanie trudne

LICZBY I DZIAŁANIA

LICZBY

Drogi Czytelniku! Do tej pory zetknąłeś się z różnymi nazwami liczb.
Uczyłeś się już o liczbach naturalnych, ułamkach zwykłych i dziesięt-
nych, liczbach dodatnich i ujemnych. Spróbujmy to uporządkować.

• Liczby 0, 1, 2, 3, 4, . . . nazywamy liczbami naturalnymi.

• Liczby . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . nazywamy liczbami całkowitymi.

Przykład

y liczb

wymiern

ych:

−

0,7

− 4,16

− 4

• Liczby, które można przedstawić w postaci ilorazu

liczb całkowitych, nazywamy liczbami wymiernymi.

Liczba jest wymierna, jeżeli można ją zapisać w postaci
ułamka

, gdzie l i m są liczbami całkowitymi i m

= 0.

ĆWICZENIE. Uzasadnij, że liczby 1

1
8

, 0,7, −4 i 0 są liczbami

wymiernymi — przedstaw każdą z nich w postaci ułamka
zwykłego.

Liczbami wymiernymi są wszystkie liczby całkowite oraz wszystkie
ułamki (zwykłe i dziesiętne, dodatnie i ujemne).

Dziesiątkowy system pozycyjny, którym się
posługujemy, stworzyli Hindusi ok. 1500 lat
temu. Hindusi początkowo nie używali zera.
Aby odróżnić np. liczbę 301 od 31, mię-
dzy znakami oznaczającymi 3 i 1 zosta-
wiali puste miejsce, nazywając je sunya. Do-
piero później pojawiło sie w tym miejscu
kółko, przypominające dzisiejsze zero. Hin-
duski system zapisywania liczb dotarł do
Europy za pośrednictwem Arabów.

To, co Hindusi nazywali sunya (nic, zero),
w języku Arabów brzmiało sifr. W Europie
słowo szifra początkowo znaczyło nic, zero,
z czasem tak nazywano wszystkie znaki licz-
bowe. Nowy system zapisu liczb był w Euro-
pie przez długi czas zakazany, ludzie uży-
wali go po kryjomu, jak tajemnego kodu.
Ciekawe jest, że w niektórych językach, np.
angielskim i francuskim, nie ma różnic mię-
dzy słowami oznaczającymi szyfr i cyfrę.

Liczby i działania

ZADANIA

ZESZYT ĆWICZEŃ str. 5–6

Wykaż, że podane liczby są liczbami wymiernymi — przedstaw każdą
z nich w postaci ułamka zwykłego.

a) 3

1
3

b) −5,5

c) 170

d) −1

e) 0,75

f) −4,8

Poniżej zapisano 8 różnych liczb:

−1

2,5

−

1
4

6
7

−10

100

1
3

Wymień, które z tych liczb są:
a) liczbami naturalnymi,
b) liczbami całkowitymi,
c) liczbami wymiernymi.

Odszukaj na rysunku liczby:
a) naturalne większe od 2,
b) wymierne nieujemne,
c) całkowite niedodatnie,
d) całkowite mniejsze od −1,
e) wymierne większe od −

1
4

Które z poniższych zdań są prawdziwe?
a) Każda liczba całkowita jest liczbą naturalną.
b) Każda liczba naturalna jest liczbą całkowitą.
c) Każda liczba całkowita nieujemna jest liczbą naturalną.
d) Liczba przeciwna do liczby całkowitej jest liczbą naturalną.
e) Każda liczba całkowita jest liczbą wymierną.
f) Każda liczba wymierna jest albo dodatnia, albo ujemna.

Podaj przykład liczby, której kwadrat jest większy od 100, a sześcian
jest mniejszy od 100.

√

9 = 3, bo

= 9

, bo

√

27 = 3, b

o 3

= 27

Zapisz podane liczby, nie używa-

jąc symbolu

√

0,04

√

1
8

0,001

√

7
9

0,0049

Liczby

Wśród poniższych liczb znajdź liczby różne od

9
5

4
5

1,8

81
25

40
25

27
15

1,80

20
25

15
20

Ile różnych liczb wymiernych zapisano poniżej?

9
4

3
2

−

−3

2,25

−3,0

1
3

−3,14

140

1
4

9
4

Która z liczb jest większa?

1
5

czy

1
6

3
5

czy 0,7

i) −

4
7

czy −

4
8

b) 0,27 czy 0,267

czy 0,281

j) −

3
4

czy −0,7

c) 3

czy 3

g) 5

czy 5

1
3

k) −0,14 czy −0,1

d) 6,801 czy 6,9

h) 0,28 czy

1
5

l) −6

1
7

czy −6,1

10.

Punktom zaznaczonym na osi liczbowej odpowiadają liczby:

2,6

41
50

−1

−1,5

8
5

−0,7

−

0,77

17
30

Dopasuj te liczby do odpowiednich punktów.

11.

Zapisz podane liczby w kolejności od najmniejszej do największej.

1
3

−3,1

−3

1,33

0,123

−

1
8

12.

Rysunki przedstawiają fragmenty osi liczbowych. Podaj współrzędne
punktów oznaczonych literami.

13.

Podaj przykład liczby x, która spełnia warunek:

1
7

< x <

2
7

1
3

< x <

1
2

2
3

< x <

3
4

Liczby i działania

Liczby wym

ierne mają

rozwi-

nięcia dzie

siętne skoń

czone

lub nieskoń

czone okres

owe.

= 0,625

= 0,33333 . .

. = 0,(3)

= 2,0757575

. . . = 2,0(75)

14.

Zamień ułamek zwykły na dziesiętny:

3
4

29
25

5
8

3
5

67
20

15.

Znajdź rozwinięcia dziesiętne liczb:

2
3

c) 1

e) 2

b) 10

5
9

17
15

f) 11

5
6

16.

a) Jaka jest piąta cyfra po przecinku liczby 12,(375) ?

b) Jaka jest dziesiąta cyfra po przecinku liczby 5,3(52) ?

c) Jaka jest setna cyfra po przecinku liczby 0,(126) ?

17.

Uporządkuj liczby w kolejności od najmniejszej do największej:

a) 0,33

1
3

0,(32)

0,332

b) 2,(5)

1
2

2,(50)

2,(505)

c) 3,(64)

3,64

3,6(4)

3,(6)

18.

Podaj przykład liczby x, która spełnia warunek:

a) 0,1 < x < 0,(1)

1
2

< x < 0,(5)

b) 0,(7) < x < 0,(8)

d) 0,(2) < x < 0,23

19.

a) Znajdź rozwinięcia dziesiętne ułamków:

•

1
9

4
9

8
9

•

29
99

84
99

•

999

125
999

487
999

b) Podane rozwinięcia dziesiętne zapisz w postaci ułamka zwykłego:

0,(7)

0,(5)

0,(13)

0,(62)

0,(05)

0,(342)

0,(057)

20.

Wiedząc, że

= 0,02(7), zapisz rozwinięcia dziesiętne liczb:

10
36

100

360

3600

SYMETRIE

SYMETRIA WZGLĘDEM PROSTEJ

Przyjrzyj się ilustracji.
Czy wiesz, jaki wyraz
znajduje się na karetce
pogotowia? Czy domy-
ślasz się, dlaczego to
słowo jest napisane w
„lustrzany” sposób?

Gdybyś na kartce papieru zrobił niewielki kleks, złożył tę kartkę na
pół i przycisnął, to po rozłożeniu kartki zobaczyłbyś dwie identyczne
plamy. Kleks odbije się po drugiej stronie linii zgięcia. Podobnie poło-
żone są pary ﬁgur na pozostałych dwu rysunkach.

Na każdym z tych rysunków jedna z ﬁgur jest „odbiciem” drugiej
względem narysowanej prostej. O takich ﬁgurach mówimy, że są
symetryczne do siebie względem prostej.

186

Symetrie

Rysunek obok przedstawia
dwie ﬁgury symetryczne do
siebie względem prostej.

Gdybyśmy złożyli kartkę
wzdłuż prostej k, to punkt
A nałożyłby się na punkt P .
Punkty A i P są więc sy-
metryczne do siebie wzglę-
dem prostej k. Wskaż kilka
innych par punktów syme-
trycznych do siebie wzglę-
dem tej prostej.

ĆWICZENIE. Na każdym z poniższych rysunków tylko jeden z punktów jest
symetryczny do punktu A względem prostej k. Wskaż ten punkt.

Dwa punkty są symetryczne do siebie względem pro-
stej k, jeżeli spełniają następujące warunki:

• leżą na prostej prostopadłej do prostej k,

• leżą po przeciwnych stronach prostej k,

• leżą w równych odległościach od prostej k.

Przyjmujemy, że jeżeli punkt leży na prostej k, to
jest symetryczny sam do siebie względem tej prostej.

Symetria względem prostej

187

ZADANIA

ZESZYT ĆWICZEŃ str. 48–49

Poniżej narysowane są odbicia lustrzane kilku

wyrazów. W niektórych z nich są błędy. Sprawdź,
w których. Możesz pomóc sobie lusterkiem.

Dwie małe litery alfabetu są lustrzanym odbiciem litery

. Które?

Mało znany jest fakt, że

Leonardo da Vinci wiele

traktatów z zakresu medy-

cyny i teorii sztuki zapisy-

wał w „lustrzany” sposób.

Rozszyfruj poniższy tekst. W razie trudności

pomóż sobie lusterkiem.

Czy dane dwa punkty są położone symetrycznie względem narysowa-
nej prostej?

Czy dane dwie ﬁgury są położone symetrycznie względem narysowa-
nej prostej?

188

Symetrie

Wskaż odcinek symetryczny do odcinka AB względem prostej k.

Poniższe rysunki są prawie symetryczne do siebie względem pewnej
prostej. Symetrię psuje pięć szczegółów. Znajdź te szczegóły.

∗

Narysuj kwadrat o boku 4 cm i taką prostą k, aby pole ﬁgury złożonej
z tego kwadratu i jego odbicia symetrycznego względem prostej k
było równe 24 cm

Dorysowując do litery L jej

odbicie symetryczne względem
pewnej prostej, można otrzymać
każdą z ﬁgur przedstawionych
na rysunku obok.

Narysuj sześć innych ﬁgur, które
można otrzymać w ten sposób.

Rysowanie ﬁgur symetrycznych względem prostej

189

SPRAWDŹ, CZY UMIESZ

Symetryczne do siebie względem
prostej k są punkty:

H i L

H i J

F i K

G i J

Na którym rysunku ﬁgury są symetryczne do siebie względem naryso-
wanej prostej?

Które boki wielokąta są symetryczne do
siebie względem narysowanej prostej?

AB i ED

AB i AF

AF i CD

BC i ED

ZADANIA UZUPEŁNIAJĄCE 1–5 str. 213

RYSOWANIE FIGUR SYMETRYCZNYCH WZGLĘDEM PROSTEJ

Załóżmy, że punkt A nie leży na prostej k.

Jak znaleźć punkt A

symetryczny do punktu A

względem prostej k?

Punkt A

nietrudno znaleźć za pomocą ekierki.

ĆWICZENIE A. Narysuj prostą k i zaznacz punkt A
nie leżący na prostej k. Za pomocą ekierki narysuj
prostą przechodzącą przez punkt A i prostopadłą
do prostej k. Znajdź na tej prostej szukany punkt
A

(możesz posłużyć się podziałką lub cyrklem).

ODPOWIEDZI

str. 12 –15:

15.

a) 0,(6), b) 10,(5) c) 1,41(6) d) 1,1(3), e) 2,(27), f) 11,8(3).

19.

7
9

5
9

13
99

62
99

111

330

str. 21–23:

34,908 g.

1,90 zł.

e) 3,075, f) 1,35.

11.

, b)

12.

A = 3

B = 3

11
24

, C = 1,2, D = 1

29
70

str. 24 –27:

g) 34, h) 9.

185 posłów.

85.

7
9

, f)

5
9

, g)

1
4

, h)

3
4

butelki.

14.

a) 6765 koron, b) 6660 koron.

17.

f) 1, g) 0,09, h)

, i) 10.

str. 28 –30:

a) 1,1,

b) 8,

2
9

d) 5,

e) 1,

f) 13,52,

g) 1,

h) 0,3.

3
4

A = 4

1
4

3
9

·(5 − 4

1
4

) = 4

1
2

, B = 4

2
3

, C = 0,67, D = 0,675, E = 0,9, F = 1,1, G = 1,61, H = 1,66.

a) 17,4, b)

, c)

17
36

, d) 1,3, e)

, f)

14
27

6 zł.

43,45 kg.

a) 8, b) 6, c)

1
4

d) 8

4
9

a) 3, b) 0,2, c) 6

2
3

, d)

, e)

1
7

, f) 0,8.

10.

0,5 kg.

11.

37.

12.

5,10 zł.

str. 32 –34:

a) −1

1
2

b) 1,35,

c) −2,93,

d) −7

1
6

e) 2

f) 2

g) −1

17
30

h) −1,1,

i) − 4,52.

a) 2,

b) −

1
3

c) − 0,01,

d) 4

10.

A = −7 +

1
5

(−3 − (−7)) = −6

1
5

, B = − 4

3
5

C = − 0,35, D = − 0,225, E = −3, F = 0,3, G = −

1
5

, H = 0.

12.

1
2

b) 2,

c) 4,

d) −16,

e) 11, f) − 6

2
7

14.

a) 1,65, b) −10, c) − 4

1
5

, d) −

1
5

str. 35–38:

a) 699, b) 90, c) 900, d) 167, e) 180.

a) Tak, b) nie, c) nie.

a) 3,

b) −1,

c) − 9,

d) − 6.

Wszystkie oprócz

101

111

+ 5

13.

a) 1

b) 2,

c) 1

23
36

d) 2

13
30

, e) 3, f)

31
72

16.

a) 9,865, b) 2,235, c) 2,9, d) 1,03, e) 2,5, f) 1,97.

17.

0,15 g.

18.

a) 5

13
45

, b) 6

11
21

, c) 33

13
60

, d)

, e) 3

1
6

20.

, b)

4
7

, c) 1, d)

21.

5
9

, b)

c) 0,1, d)

22.

a) 16, b) 0,6, c) 0,3, d) 0,24.

23.

Nie wystarczy.

24.

a) 2,85, b) 40,8,

c) 0.

25.

a) 12,4, b) 1,5, c) 1

, d) 2

1
2

26.

a) 10, b) 1

7
8

28.

Tak.

29.

O 105,3 l.

30.

213 kobiet.

31.

a) −9,08,

b) −7,39,

c) 14

13
18

d) − 82,902.

35.

a) 24,

b) −1,

c) −24,

d) 4

5
9

e) −7,2,

f) −

200

36.

a) −1,6 < −1

1
8

b) −15 = −15,

c) −13

7
9

> −14,

d) −5 > −5,1,

e) 8

19
90

> 8,19.

37.

a) −8,

b) 2,

c) 36,

d) −4.

40.

a) 6,45,

1
4

3
5

d) 4

1
3

, e) −2,5, f) −

4
5

41.

5
6

, b) 10,8, c) −1

1
2

, d) 0,404.

str. 43–45:

a) 16,7%,

b) 111,1%,

c) 76,6%,

d) 723,5%,

e) 46,8%,

f) 383,9%.

str. 47–50:

44,(4)%.

20%.

75%.

10.

45%.

11.

a) O 8%, b) o 5%.

12.

O 3%;

o 5%.

14.

a) O 20%, b) o 12,5%, c) o 5%.

15.

O około 115%.

16.

O 33,75%.

232

ODPOWIEDZI. Strony 52–111

str. 52–55:

364 uczniów.

W Polsce.

W Nadlesiu, o 51 kobiet.

Ok. 53,7 kg.

10.

a) 49, b) 4,02, c) 109,2, d) 34,2, e) 249,75, f) 31,2.

11.

Materac 25,50 zł, piłka 6,80 zł,

parasol 20,40 zł.

13.

216 zł.

14.

81 kg.

15.

Po roku będzie miał 2320 zł, po dwóch latach

— 2691,20 zł.

18.

Naszyjniki z brylantami stanowiły 12%, a inne 28% kolekcji.

19.

O 62,5%.

str. 57–60:

a) 40,

b) 24,

c) 2400,

d) 160,

e) 35,

f) 230.

200.

250000 zł.

a) 2 kg, b) 7,5 kg.

3 jagody.

11.

150 wczasowiczów.

12.

200 gruszek.

13.

a) 510,

b) 37, c) 615, d) 14.

17.

12,5 kg.

18.

300 zł.

19.

2300 zł.

str. 61–65:

9 czekoladek;

3,50 zł.

17 osób.

27 szylingów i 6 pensów.

160 zł.

19,50 zł.

Wzrost o 25%; spadek o ok. 17%.

a) 25 uczniów, b) 27 uczniów,

c) o 8%,

d) ok. 36,6%.

Niższa; 96%.

10.

250 zł.

11.

110 zł.

12.

c) Około 400%,

d) około 200 razy.

13.

32 uczniów.

14.

O 25%.

15.

40 osób.

16.

Ania 42, Basia 30.

17.

O 20%.

18.

O 20%.

19.

22,50 zł.

20.

Pan A zyskał o ok. 11% więcej.

21.

50%.

22.

Pan Małowiejski.

str. 66–68:

Orzeł — ok. 0,8%, wróbel — 4%.

10.

Ok. 12,3‰.

11.

a) O 25%, b) o 20%.

13.

1191 książek.

14.

15 minut.

15.

Ok. 149 tys. ﬁatów.

18.

518 tys. samochodów.

19.

2 kg.

20.

11 zł.

21.

O godz. 22.03.

22.

Łoś — ok. 800 kg, niedźwiedź — ok. 500 kg.

23.

54 cm.

24.

2700 mieszkańców.

25.

100 zł.

26.

6 mln dukatów.

28.

260 zł.

str. 75–77:

b) α = 48

◦

, β = 25

◦

, γ = 69

◦

, 105

◦

, 135

◦

67,5

◦

β = 130

◦

str. 79–81:

10.

a) 180

◦

, b) 180

◦

. c) 360

◦

11.

α = 25

◦

, β = 23, 5

◦

, γ = 120

◦

12.

α = 65

◦

13.

◦

, 58

◦

, 90

◦

14.

◦

, 70

◦

, 60

◦

15.

360

◦

str. 90–92:

α = 50

◦

, β = 80

◦

, γ = 24

◦

24 cm.

8 cm.

a) i b).

10.

◦

130

◦

, 50

◦

, 130

◦

oraz 70

◦

, 110

◦

, 70

◦

, 110

◦

11.

◦

, 94

◦

, 86

◦

, 86

◦

12.

str. 94–97:

Nie wystarczy.

Tańsza jest wykładzina Alik.

a) 16,

b) 125.

10.

a) 13 mm

b) 5,11 a,

c) 0,04 km

d) 926900000 ha.

11.

72 ha.

12.

1 cal

kwadratowy

≈ 6,45 cm

, 1 stopa kwadratowa

≈ 929 cm

13.

Ok. 640 akrów.

15.

Ok. 0,8 ha.

16.

Ok. 0,12ha.

str. 99–102:

a) P = 7,5 cm

7,7 ha.

2
3

8 cm.

a) 15 cm

, b) 7 cm

c) 15 cm

10.

10 cm

11.

39 cm.

14.

Tak.

15.

14 cm.

16.

a) Nie, b) nie, c) tak.

17.

12 cm

18.

19.

a) 3 cm

, b) 3 cm

, c) 3 cm

str. 105–108:

10.

C = (3, 6) lub C = (3, −2).

16.

−3 ≤ x ≤ 2, −3 ≤ y ≤ 3.

str. 109 –111:

3 cm i 3 cm lub 4 cm i 2 cm.

11.

120

◦

, 60

◦

, 120

◦

, 60

◦

13.

12,5 cm.

15.

5 prostokątów.

16.

Ok. 5 razy.

19.

80 cm

20.

6 cm

21.

8 cm

22.

5070 cm

23.

10 cm

24.

40 cm

26.

14 cm

27.

a) 5,

b) 10.

32.

a) 27,5,

b) 15,

c) 16.

ODPOWIEDZI. Strony 114–145

233

str. 114–116:

a) 30

◦

, b) 60

◦

, c) 135

◦

, d) 180

◦

165

◦

, 157,5

◦

11.

a) 42

◦

, b) 84

◦

str. 118–121:

◦

i 30

◦

a) α = 30

◦

, β = 200

◦

, γ = 65

◦

, b) α = 135

◦

, β = 50

◦

, γ = 35

◦

W trójkącie ABC: 70

◦

, 70

◦

, 40

◦

; w trójkącie DEF: 65

◦

, 45

◦

, 70

◦

; w trójkącie GHI: 60

◦

, 90

◦

, 45

◦

, 75

◦

96 i 144.

10.

α = 35

◦

, β = 45

◦

, γ = 120

◦

13.

◦

, 70

◦

, 110

◦

110

◦

14.

25 cm

16.

127,5

◦

lub 7

◦

str. 122:

α = 125

◦

α = 80

◦

, β = 114

◦

12 cm.

138

◦

, 52

◦

, 128

◦

, 128

◦

str. 125–127:

Obwód = 4n + 2.

1
3

b + a + 3, b) b − 2 +

1
2

a, c)

3
4

a +

4
5

b, d)

1
2

(a + b) + 2.

a) 3x,

b) 4y,

c) 4x + 2y,

d) x + y + z,

e) 4x − z,

f) z − 2x,

g) 15x + 2z,

h) 5x + 2y + 2z,

i) 2x + 4y + 2z,

j) 3x + 3z + y,

k) 4z − 4y,

l) 16x − 4z,

m) 20x − 4z,

n) 12x − 2z + 2y,

o) 8(z − 2x).

x − 8.

a) Marek: x − 5, Filip: 3x,

b) x + 2,

c) 5,

d) o 2x,

e) 2x + 5.

Paweł był 7 razy młodszy od dziadka. [Wiek Pawła: 2a; wiek dziadka: 8a. Gdy Paweł miał

a lat, to dziadek miał 8a − a lat.

10.

c) w wiadrze:

2
3

(x + 0,75) l, w beczce: y +

1
3

(x + 0,75) l.

str. 128 –130:

a) 29, b) 78, c) 13, d) −3.

b) Pola kolejnych ﬁgur: 21,5, 10, 20, 32.

str. 131–132:

e) x

f) −

2
3

P = 4x

a) P = 0,2a

b) P = 5b

str. 134–136:

f) m

+ 4mn + 2n, g) 2x

2
3

+ 1

3
4

x, h) 5a + 4b

− 3, i) −

1
4

pr − 8p + 0,8r ,

j) − 0,2cd +

1
6

a) 2, b) 1

1
2

Dla każdego wielościanu wartość sumy S + W − K

jest równa 2.

str. 137–139:

a) 4a + 4b,

b) 4a + 4b,

c) 2a + 4b,

d) 2a + 6b,

e) 2a + 6b,

f) 4a + 4b,

g) 2a + 6b,

h) 2a + 6b.

a) 4x − y,

b) 7x − 2xy,

c) 5x + 2xy + 2,

d) −x + 6xy − 2y + 2.

a) 2a,

b) 2b,

c) − a − 1

1
2

a) 2a + 2b,

b) x − y + 1,

c) a

+ 2ab − 3b,

d) − 9kx,

e) −1,3p

r − 1,7pr

+ 0,7pr ,

f) 0,7x

− 0,7x,

g) 1,2a

b + 1

1
3

− 1,5a

a) Tak,

b) nie.

10.

a) 0,3, b) 3, c) 0,01.

12.

a) 3x − z, b) 2a − b, c) 2a, d) − x − 1.

str. 141–142:

e) 2m

+ 3m, f) 6pr + 15p

− 3p, g) −3b

+ 3b

, h) − ax

+ 2x

, i) 2x

y −

3xy

+ 5xy, j) 5x

− 2,5x

+ 25x, k) − a

b − ab

+ 2a

, l) 3k

− 6k

+ 0,3k

e) −6x

− 6x + 6,

f) 5x

− 0,8x + 2.

a) 2k, b) 2k + 1.

a) i b) −18x

y + 6x

, c) i d) 9x

− 3x

y − 6xy.

a) − 6x,

b) a

+ b

+ c

c) 3x

− 2x

+ x + 3,

d) −2y − 1,

3
2

− 3.

a) 23,

b) 19,9.

Mniejsze o a.

10.

P =

1
2

−

1
2

ab +

1
2

str. 144–145:

6(m + k + ż).

a) −18, b) −12, c) 0.

a) 2c − d, b) 2a + 1, c) a + 3b.

a) x +

1
2

, b)

1
5

− 1, c) 2ab +

, d)

1
2

a − b.

a) (x + y)(a + b), b) (z − y)(3 − a), c) 2m(k − 1),

d) 2c(a − 1).

10.

234

ODPOWIEDZI. Strony 146–171

str. 146–149:

2n − 2.

a) 5n + 2,

b) 20n.

a) 12t + s,

b) a + 0,01b + 0,001c,

c) g +

3,6

e) 3,6 c.

100(a + b) + 10b + c; 0 < a + b ≤ 9.

a) −

1
2

1
4

d) 4.

a) x = 0,

b) x = 2,

c) x = 0 lub x = 5,

d) x = 1 lub x = −2.

10.

a) 10,

c) 120.

12.

54a

128.

14.

b) 0, 9b,

c) 1,01x,

d) 0,96y.

15.

0,1xy.

16.

a) −

b) −2p

1
3

d) t

17.

a) xy, y

= 0,

3
x

, x

= 0,

c) 3y, x

= 0,

d) abc

= 0,

e) 2ab, c

= 0,

−2s

, t

= 0.

19.

a) 26,

b) −6

1
2

c) 10.

22.

a) −2a + 4b,

b) x − y + 1,

c) kx − 6ny,

d) 2a − ab,

e) 2,9x

− 3,9x.

24.

a) abc − 2xyz,

b) 3s

t − 2st

c) xyz

27.

a) − 4x + 2, b) 2a

, c) 3x

1
2

xy + y, d)

1
3

b −

1
3

− ab

, e) 12,5xy − 0,34x

f) −5ab + 4a

c, g) 4xy

− 4x

29.

a) 6, b) 48, c) −18.

30.

b) − a, c) −x

+ 6x, d) x

− 5x.

31.

a) a

+ 2a, a

= 0, b) x

+ 2x

− 3x, x

= 0, c) 6ts + 3t

− 9s

, s

= 0, t = 0.

33.

a) 2a + 3b + 1,

b) 3a + b, c) 6b.

34.

1
6

str. 151–152:

a) 2

·5 + 2(8 + x) = 52, b) 5(8 − x) = 20.

a) x + 0, 7x = 34, b) x − 0, 07x −

300 = 2500, c) 12 = 0, 4x.

str. 154–155:

a, b, d.

a) 32, b) −32, c) 6.

nie, tak, tak, tak.

str. 158–160:

a) x = 2, b) x = 3, c) x = −3, d) y = 2, e) x = −1, 5, f) x = −2, g) równanie

sprzeczne, h) t = −7, i) x = 10, j) a = −5, k) równanie tożsamościowe, l) x = − 4.

a) x = −5,

b) x = −

1
5

, c) x = 20, d) x = −10, e) x = −6, f) x = −10.

a) x = 2, b) x = 9, c) x = 6, d) x = 1,1,

e) x = 3, f) x = 2,4.

a) x = 55, b) x = 43, 5, c) x = 36, d) x = 3, e) x = 9.

a) x = 500,

b) y = 47, c) a = 130, d) x = 11.

a) x = 16,5, b) x = 7,6, c) y = 18.

a) x = −6, b) x = 0,5,

c) x = 20, d) x = 7, e) x =

, f) x = 8, g) x = 3

1
3

, h) x = 8, i) x =

, j) x = −1,4.

a) x = 4,

b) x = 18, c) x =

1
2

, d) x = −1.

10.

a) x = 1, b) x = −2

1
2

, c) x = 2

1
2

, d) x = −0,25, e) x = 2,4,

f) x = −2

2
3

, g) x = − 6, h) x = 1, i) x =

1
6

, j) x = 4,4.

12.

a) Dla −5, 5, −1, 1, b) dla − 6, −3, −2, −1.

str. 161–167:

a) 24, 12 i 19,

b) nie istnieją.

Kapelusz kosztuje 105 zł, a piórko

5 zł.

Zegar waży 5,25 kg, a kukułka 0,25 kg.

12 dorosłych i 36 dzieci.

0,9 kg

błękitu i 0,6 kg czerwieni.

28 gr i 21 gr.

a) po 40,

b) 24 większe i 72 mniejsze,

c) 37 większych i 46 mniejszych.

42 jadalne i 8 trujących.

12.

10.

9 piątek.

11.

−10

◦

12.

12 zł.

13.

Wszystkich kosmitów było 92.

14.

36.

15.

35 piratów.

16.

90 książek.

17.

32 minuty.

18.

Agnieszka — 15, Jacek — 45.

19.

24 wróble.

20.

12,50 zł.

21.

28 lat.

22.

Jurek 30 lat, dziadek 70 lat.

23.

6 lat.

24.

13 lat.

25.

12 dni, 360 stron.

26.

100 zł.

27.

◦

, 32

◦

, 84

◦

28.

◦

, 71

◦

, 38

◦

29.

◦

, 90

◦

30.

a) 10 cm, b) 9

1
3

cm.

31.

10.

32.

12.

33.

34.

|RT | = 9.

35.

1 cm

× 2 cm.

str. 169–171:

Jan — 22, Kazimierz — 25 gołębi.

80 kg i 83 kg.

108 cm.

30 dzieci.

430 dziewcząt i 500 chłopców.

4000 zł.

5 kobiet.

20 sztuk,

w tym 5 baranów.

24,5 kg.

10.

250 g.

11.

3 kg.

12.

60 kg.

13.

10 kg.

14.

60 kg.

15.

0,5 kg.

16.

40 kg.

ODPOWIEDZI. Strony 174–206

235

str. 174–176:

a) 3n < 33, b) 3x + 2 < 5x, c)

2
3

c ≤ 8, d) 6(y + 0,1) > 8y, e) 12p + 90 ≤ 650.

a) x < 5, b) x > − 0,5, c) x ≤ 2, d) x ≤ −

3
4

, e) x ≥ 23, f) x ≥ 0, 35.

a) x ≤ 2, 5.

a) Dla

x <

9
5

b) dla x < 0.

a) x >

4
5

b) x ≤

c) x ≤ −

19
21

d) x ≤

4
5

e) x > 1,

f) nierówność

sprzeczna.

10.

Na co najmniej 6 godzin.

11.

37.

12.

13.

−3, −2, −1, 0, 1, 2.

14.

po 13 tygodniach.

15.

11 trójek, 3 czwórki i 1 piątkę albo 12 trójek, 6 czwórek i 2 piątki.

str. 179–180:

g) t =

y+1

h) a =

dla t

= 0, i) P =

abc

dla R

= 0, P = 0.

a) x =

dla a

= 0, b= 0, b) x =

dla a

= 0, b= 0, c) x =

dla S

= 0, b= 0, x= 0, d) x =

T ab

dla T

= 0,

= 0, b= 0, x= 0, e) x =

2T −y

, f) x =

y+2

, g) x = 2y + 1, h) x =

2+y

dla y

= 0, x= 1, i) x =

3P −a

dla a

= 0.

a) h =

a+b

b) a =

2P −bh

a) k =

x+y

dla x

= −y,

b) k =

2−a

dla a

= 2,

c) k =

c−b
b+2

dla b

= −2,

d) k =

d−1

dla d

= 1, k= 1,

e) k =

1+e
1−e

dla e

= 1, k= −1,

f) k =

f −a−1

dla f

= a + 1, k= 0, g) k =

2−g

dla g

= 2, k= 0, h) k =

1+a

, i) k =

2i−a

dla a

= 2i, k= 0 .

str. 181–184:

a) x = 8,

b) x =

5
8

c) x = −5,

d) x = −1,4,

e) równanie tożsamościowe,

f) x = 3, g) równanie sprzeczne, h) x = −7, i) x = −0,6.

a) x = −3, b) x =

, c) x = −3,5,

d) x = 8,

e) x = 1,

f) x = −

1
4

g) x = 0,

h) x =

4
3

i) x = 3.

10.

x = −2 dla a = −

1
4

; równanie

nie ma rozwiązań dla a = 2.

11.

a) x = 4, b) y = 2

2
3

, c) z = 1

1
2

12.

13 km.

13.

45 monet.

14.

30 osób.

15.

18 pętelek.

16.

8 lat temu; za 10 lat.

17.

a) Maciek 4 lata, Dorota 16

lat;

b) za 8 lat.

18.

Po 75 skokach.

19.

36 gęsi.

20.

36 uczniów.

21.

15 pszczół.

22.

84 lata.

23.

30 brzoskwiń.

24.

7 groszy.

25.

50 losów.

26.

600 sztuk cudnych

rzeczy.

27.

5 dziewczynek.

28.

60 osób.

29.

2,5 kg.

30.

0,8 kg.

31.

a) x > 1, b) x < 2,

c) x ≤ 7, d) nierówność tożsamościowa, e) x ≥

2
5

32.

a) 8, b) 3, c) 100.

34.

a) M =

dRT

dla P

= 0, M = 0,

b) x =

sd−4R

dla s

= 0,

c) x =

s−ar

dla a

= 0, r = 0,

d) a =

2R−r b−r c

dla r

= 0,

e) a =

2s−2vt

dla t

= 0, f) m =

dla G

= 0, M = 0, r = 0, g) k =

x+y

dla x

= −y, h) k =

2−a

dla a

= 2.

str. 187–189:

a) EB, b) CD, c) DE.

str. 191–193:

|EG| = |FH| = 2a, b) 2a

2d.

10.

|AA

| = 4 cm.

str. 194–196:

Jedną, trzy lub wcale.

12.

c, d, g.

str. 198–199:

◦

i 90

◦

str. 201–202:

◦

, 25

◦

, 105

◦

110

◦

str. 204–206:

11.

48 cm

12.

72 cm

13.

32 cm.

14.

Oznacz dane punkty literami A,

B, C. Poprowadź proste przez punkt A i środek odcinka BC, przez punkt B i punkt symetryczny do

C względem punktu A oraz przez punkt C i punkt symetryczny do B względem punktu A. [Uwaga.

Są jeszcze dwa inne rozwiązania.]

236

ODPOWIEDZI. Strony 207–229

str. 207–209:

Jeden lub nieskończenie wiele.

Wsk. Jeżeli punkt kratowy należy do

koła, to punkt symetryczny do niego względem środka też należy do tego koła. Oprócz środka,

w kole znajduje się więc parzysta liczba punktów kratowych.

10.

a, b, d.

str. 210 –212:

Cogito ergo sum

(łac. Myślę, więc jestem).

|AB| = 100, |AC| = 24.

46.

x = 1.

S = (2, −1).

12.

a) a = − 4, b = −1,

b) a = 2, b = 3,

c) a = 2, b = −1.

str. 213–216:

Dwie, cztery lub sześć.

2α.

11.

a) Tak,

b) nie,

c) tak,

d) tak,

e) nie.

12.

a), b), c), d) — tak.

13.

b) Dwie,

c) pięć.

15.

a) Jedną lub dwie,

b) zero,

jedną, dwie lub cztery,

c) jedną lub dwie,

d) dwie,

e) jedną lub nieskończenie wiele.

16.

a) 1,

b) 2,

c) 3.

20.

6 cm, 6 cm.

21.

Z własności symetralnej wynika, że

|BA| = |BC|

|AB| = |AC|.

24.

Na części o długościach 4 i 2.

25.

Wsk.

| DOA| = | CAO| = | OAD|,

więc trójkąt OAD jest równoramienny; równoramienny jest też trójkąt OEB.

27.

a) 6,

b) 4.

28.

Okrąg współśrodkowy z danym okręgiem, o promieniu dwa razy większym.

30.

Przeciwległe

boki są symetryczne względem punktu przecięcia przekątnych, są więc równoległe i mają jedna-

kową długość.

32.

W trzech przypadkach:

• trzy proste przecinają się w jednym punkcie • trzy

proste są równoległe i odległości między sąsiednimi prostymi są takie same

• dwie proste są rów-

noległe, a trzecia je przecina.

33.

a) Cięciwa jest średnicą,

b) cięciwy są średnicami lub są

równoległe i mają jednakową długość,

c) okręgi są współśrodkowe lub mają równe promienie,

d) odcinki przecinają się w połowie albo są równoległe i mają jednakową długość lub leżą na jed-

nej prostej i mają wspólne punkty.

34.

Wsk. Rozważ oddzielnie przypadki, gdy n = 2k i gdy

n = 2k + 1.

35.

Por. zadanie 6. str. 201.

38.

Trójkąty ABC i A

są symetryczne do siebie

względem początku układu współrzędnych.

39.

a) x ≤ −2 i y < −1,

b) x ≥ 2 i y > 1,

c) x ≥ 2

i y < −1.

41.

a) (5, 1), (1, 3),

b) (1, 1), (−5, 1), (1, −3).

42.

a) (3, 5), (100, − 996),

b) (−5, −1),

(−102, 1000).

44.

(− 94, − 490).

str. 220–222:

c) t = 7

1
3

d) z = 2

e) x = 3,7,

f) x = 2,6.

a) x = −2,

b) x = −5,

c) x = 0,44,

d) x = −0,1,

e) x = 2,5,

f) x = −8.

b = 18.

a) 9,

b) 6.

a) 250 par,

b) 810 zł.

30 cm.

10.

1 kg.

11.

2,2 l.

12.

20 losów.

13.

17,5 km.

14.

Nie.

15.

60 kg.

str. 225–227:

12 mnichów.

6 dzieweczek.

6 t i 8 t.

27 niziołków.

45 ksią-

żek.

500 m.

x = 42, y = 9, z = 1.

Ok. 9,3 g.

68 km/h.

10.

4950 butelek.

str. 228–229:

a) x = −5,5,

b) x = −2,

c) x =

5
7

d) x =

1
4

24
32

1
3

km.

60 km/h.

12 myszy.

x = 270.

Ok. 636 km.

10.

21 jabłoni.

11.

3 robotników.

12.

15 uczniów.

13.

60 m

14.

12 wnuków.

15.

75 W.

16.

o 1 m.

17.

Do ok. 180 kg.

18.

Cyklista: 21 km/h, automobilista: 45,5 km/h.

19.

15 km/h.

SKOROWIDZ

akr 96

Alchwarizmi Muhammed 157

Alkuin 183

algebra 157

Archimedes 226

Bhaskara 183

cechy przystawania trójkątów 83, 84

ćwiartki układu współrzędnych 105

Descartes Ren´

e 105

deltoid 111

Diofantos 124, 183

dwusieczna kąta 199

dźwignia 226

Einstein Albert 179

Euler Leonhard 135

ﬁgura osiowosymetryczna 183

— środkowosymetryczna 207

ﬁgury przystające 82

ﬁgury symetryczne do siebie względem

prostej 185

— względem punktu 203

Hermann J.M. 99

iloczyn jednomianów 132

iloraz jednomianów 147

jednomian 130

— uporządkowany 131

jednomiany podobne 133

jednostki pola 93, 94

Kartezjusz 105

kąt 73

kąt oparty na łuku 112

— środkowy 112
— wpisany 113

kąty naprzemianległe 74

— odpowiadające 74
— przyległe 74
— wierzchołkowe 74

kolejność wykonywania działań 28

konstrukcja

— dwusiecznej kąta 200
— kąta o danej mierze 201
— prostej prostopadłej do danej pro-

stej 70

— przenoszenia kąta 75
— równoległej do danej prostej 70
— symetralnej odcinka 197
— trójkąta 82, 83, 84

kwadrat magiczny 138, 148

Leonardo da Vinci 187

liczby

— całkowite 11
— naturalne 11
— ujemne 31
— wymierne 11

Mellis John 62

metoda równań równoważnych 156

mikron 26

nierówności równoważne 173

nierówność 172

niewiadoma 150

odbicie lustrzane 187

odcięta punktu 106

odcinki prostopadłe 69

— równoległe 69

oś odciętych 106

— rzędnych 106

oś symetrii ﬁgury 193

Pick Georg 129

Pitagoras 183

pierwiastek równania 153

planimetr 99

początek układu współrzędnych 104

pola czworokątów 93, 98, 99

prawo rozdzielności mnożenia wzglę-

dem dodawania 140

procent 39

promil 66

proporcja 217

proste prostopadłe 69

— równoległe 69

przekształcanie wzorów 177

punkt kratowy 129, 208

punkty procentowe 68

punkty symetryczne do siebie wzglę-

dem prostej 186

— względem punktu 203

redukcja wyrazów podobnych 134

romb 89

roztwór 168

rozwinięcie dziesiętne liczby 14

rozwiązanie nierówności 172

— równania 153

równoległobok 88

równania równoważne 154

równanie 150

— pierwszego stopnia 156
— sprzeczne 153
— tożsamościowe 153

rumb 76

rzędna punktu 106

suma algebraiczna 133

symetralna odcinka 197

symetria względem prostej 185

— względem punktu 202

symetrie w układzie współrzęd-

nych 210

środek symetrii ﬁgury 207

trapez 88

trysekcja kąta 201

twierdzenie

— o długościach boków trójkąta 78
— o dwusiecznej kąta 200
— o kącie wpisanym i kącie środkowym

opartych na tym samym łuku 117

— o kącie wpisanym opartym na śred-

nicy 117

— o kątach wpisanych opartych na tym

samym łuku 117

— o sumie kątów czworokąta 89
— o sumie kątów trójkąta 78
— o symetralnej odcinka 197

układ współrzędnych 104

ułamki proste 21

Vi`

ete Franc

¸ois 124

Wantzel Pierre 201

wartość bezwzględna liczby 38

wartość liczbowa wyrażenia algebraicz-

nego 128

wielkości odwrotnie proporcjo-

nalne 223

— wprost proporcjonalne 218

wielokąty przystające 82

wielomian 133

współczynnik liczbowy jednomianu 131

współrzędne punktu 104

wyrazy skrajne proporcji 217

— środkowe proporcji 217

wyrazy sumy algebraicznej 133

wyrażenie algebraiczne 124

wyrażenie arytmetyczne 28

wzór Eulera 135

— Picka 129

zbiór rozwiązań

— nierówności 172
— równania 154

MG1 oklad

Niniejsza darmowa publikacja zawiera jedynie fragment

pełnej wersji całej publikacji.

Aby przeczytać ten tytuł w pełnej wersji

kliknij tutaj

Niniejsza publikacja może być kopiowana, oraz dowolnie

rozprowadzana tylko i wyłącznie w formie dostarczonej przez

NetPress Digital Sp. z o.o., operatora

sklepu na którym można

nabyć niniejszy tytuł w pełnej wersji

. Zabronione są

jakiekolwiek zmiany w zawartości publikacji bez pisemnej

zgody

NetPress oraz wydawcy niniejszej publikacji. Zabrania się jej

od-sprzedaży, zgodnie z

regulaminem serwisu

Pełna wersja niniejszej publikacji jest do nabycia w sklepie

internetowym

Nexto.pl