LISTA 1

Elementy logiki matematycznej, zbiory.

Zdaniem logicznym b ¾

edziemy nazywa´c ka·

zde zdanie, któremu mo·

zna przy-

pisa´c dok÷

adnie jedn ¾

a z dwóch ocen: prawda (1) lub fa÷

sz (0).

Zdania b ¾

edziemy oznacza´c ma÷

ymi literami: p, q, r, s...

Funktory zdaniotwórcze (spójniki logiczne):

- negacja (

p - "nieprawda, ·

ze p"),

_ - alternatywa (p _ q - "p lub q"). Alternatywa dwóch zda´n jest fa÷szywa
tylko wtedy, gdy oba te zdania s ¾

a fa÷

szywe,

^ - koniunkcja (p ^ q - "p i q"). Koniunkcia dwóch zda´n jest prawdziwa
tylko wtedy, gdy obydwa te zdania s ¾

a prawdziwe.

) - implikacja (p ) q - "je·

zeli p to q", "z p wynika q"). Zdanie p

nazywamy poprzednikiem implikacji, a zdanie q nast ¾

epnikiem implikacji.

Zdanie p jest warunkiem wystarczaj ¾

acym (dostatecznym) dla q, a q jest

warunkiem koniecznym dla p. Implikacja jest fa÷

szywa tylko wtedy, gdy

jej p jest zdaniem prawdziwym, a q jest zdaniem fa÷

szywym.

, - równowa·

zno´s´c (p , q - "p równowa·

zne q", "p wtedy i tylko wtedy, gdy

q"). Równowa·

zno´s´c dwóch zda´n jest prawdziwa tylko wtedy, gdy obydwa

te zdania maj ¾

a tak ¾

a sam ¾

a warto´s´c logiczn ¾

a (fa÷

szyw ¾

a lub prawdziw ¾

a).

Za pomoc ¾

a spójników logicznych i sko´nczonej liczby zda´n mo·

zemy budowa´c

wyra·

zenia logiczne. Wyra·

zenia logiczne, które s ¾

a prawdziwe bez wzgl ¾

edu na

to, jak ¾

a warto´s´c logiczn ¾

a maj ¾

a zdania, z których te wyra·

zenia s ¾

a zbudowane,

nazywamy tautologiami lub prawami logicznymi.

Podstawowe prawa logiczne:

[

(

p)] , p (prawo podwójnej negacji),

(p _ q) , (q _ p) (prawo przemienno´sci dla alternatywy),

(p ^ q) , (q ^ p) (prawo przernienno´sci dla koniunkcji),

[p ^ (q _ r)] , [(p ^ q) _ (p ^ r)] (prawo rozdzielno´sci koniunkcji wzg÷¾

edem

alternatywy),

[p _ (q ^ r)] , [(p _ q) ^ (p _ r)] (prawo rozdzielno´sci alternatywy wzgl ¾

edem

koniunkcji),

[(p _ q) _ r] , [p _ (q _ r)] (prawo ÷¾

aczno´sci dla alternatywy),

[(p ^ q) ^ r] , [p ^ (q ^ r)] (prawo ÷¾

aczno´sci dla koniunkcji),

(p ) q) , [( q) ) ( p)] (prawo kontrapozycji),

[

(p _ q)] , [( p) ^ ( q)] prawo de Morgana,

[

(p ^ q)] , [( p) _ ( q)] prawo de Morgana.

Kwanty…katory:

1

ma÷

y kwanty…kator 9(

W

). Wtedy 9

x

f (x) (

W

x

f (x)) - "istnieje takie x, ·

ze

f (x)" lub "dla pewnega x zachodzi f (x)".

du·

zy kwanty…kator 8(

V

). Wtedy 8

x

f (x) (

V

x

f (x)) - "dla ka·

zdego x zachodzi

f (x)" lub "dla wszystkich x zachodzi f (x)".

Prawa de Morgana dla kwanty…katorów:

9

x

f (x) , 8

x

f (x);

8

x

f (x) , 9

x

f (x):

Zbiory oznaczamy du·

zymi literami: A; B; C:::

Elementy zbioru oznaczamy ma÷

ymi literami: a; b; c:::

a 2 A - "a nale·

zy do zbioru A", "a jest elementem zbioru A", "a nale·

zy do

A".

a =

2 A - "a nie nale·

zy do A".

U·

zywamy dwóch sposobów okre´slania (zadawania) zbioru. Pierwszy sposób

polega na wypisaniu wszystkich elementów zbioru. Drugi sposób polega na
podaniu warunku (funkcji zdaniowej) charakteryzuj ¾

acego elementy zbioru:

A = fx : w(x)g.

A

B - "A zawiera si ¾

e w B", "A jest podzbiorem zdioru B", "B jest

nadzbiorem zbioru A".

Je·

zeli A

B i A 6= B, to A nazywamy podzbiorem w÷a´sciwym zbioru B i

piszemy A ( B.

Zbiór, który nie zawiera ·

zadnych elementów b ¾

edziemy nazywa´c zbiorem

pustym i oznacza´c przez ;.

Dzia÷

ania na zbiorach:

A [ B := fx : x 2 A _ x 2 Bg - suma zbiorów A i B,

A \ B := fx : x 2 A ^ x 2 Bg - iloczyn (cz ¾

e´s´c wspóln ¾

a) zbiorów A i B,

A n B := fx : x 2 A ^ x =

2 Bg - ró·

znica zbiorów A i B,

A

0

:= fx : x =

2 Ag - dope÷nienie zbioru A,

A

B := (A n B) [ (B n A) - ró·

znica symetryczna zbiorów A i B.

Prawa rachunku zbiorów:

A [ B = B [ A, A \ B = B \ A - prawa przemienno´sci,

(A [ B) [ C = A [ (B [ C), (A \ B) \ C = A \ (B \ C) - prawa ÷¾

aczno´sci,

A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) - prawo rozdzielno´sci mno·

zenia wzgl ¾

edem

dodawania,

A[(B \C) = (A[B)\(A[C) - prawo rozdzielno´sci dodawania wzgl ¾

edem

mno·

zenia,

(A [ B)

0

= A

0

\ B

0

, (A \ B)

0

= A

0

[ B

0

- prawa de Morgana.

2

Rodzina zbiorów

fX

t

g

t

2T

- rodzina zbiorów o zbiorze indeksów T .

Dla T = N = f1; 2; :::g, mamy fX

n

g

n

2N

= fX

n

g

1

n=1

= fX

1

; X

2

; X

3

; :::g -

ci ¾

ag zbiorów.

S

t

2T

X

t

:= fx : 9

t

2T

x 2 X

t

g - suma rodziny zbiorów fX

t

g

t

2T

Dla fX

n

g

n

2N

oznaczamy

S

n

2N

X

n

lub

1

S

n=1

X

n

.

T

t

2T

X

t

:= fx : 8

t

2T

x 2 X

t

g - iloczyn (cz ¾

e´s´c wspólna) rodziny zbiorów

fX

t

g

t

2T

Dla fX

n

g

n

2N

oznaczamy

T

n

2N

X

n

lub

1

T

n=1

X

n

.

Prawa dla rodzin zbiorów:

A \

S

t

2T

X

t

=

S

t

2T

(A \ X

t

),

(

S

t

2T

X

t

)

0

=

T

t

2T

X

0

t

,

(

T

t

2T

X

t

)

0

=

S

t

2T

X

0

t

.

Iloczyn kartezja´nski

(a

1

; a

2

; ; :::; a

n

) - ci ¾

ag n-elementowy (uporz ¾

adkowany zbiór n-elementowy)

A

B := f(a; b) : a 2 A; b 2 Bg - iloczyn kartezja´nski zbiorów A i B,

A

1

A

2

:::

A

n

:= f(a

1

; a

2

; ; :::; a

n

) : a

1

2 A

1

; a

2

2 A

2

; :::; a

n

2 A

n

g

Je·

zeli A

1

= A

2

= ::: = A

n

= A to A

1

A

2

:::

A

n

= A

n

Zbiory liczbowe:

N = f1; 2; 3; 4; :::g - zbiór liczb naturalnych,

Z = f:::; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; :::g - zbiór liczb ca÷kowitych,

Q = f

m

n

: m; n 2 Z; n 6= 0g - zbiór liczb wymiernych,

R - zbiór liczb rzeczywistych.

Przedzia÷

y

[a; b] - przedzia÷domkni ¾

ety o ko´ncach a i b

(a; b) - przedzia÷otwarty o ko´ncach a i b

[a; b) - przedzia÷lewostronnie domkni ¾

ety i prawostronnie otwarty o ko´n-

cach a i b

3

(a; b] - przedzia÷lewostronnie otwarty i prawostronnie domkni ¾

ety o ko´n-

cach a i b

(a; +1) = fx 2 R : x > ag

[a; +1) = fx 2 R : x

ag

( 1; a) = fx 2 R : x < ag

( 1; a] = fx 2 R : x

ag

( 1; +1) = R

R

+

= [0; +1)

R = ( 1; 0]

Bibliogra…a

[1] J. Bana´s, Podstawy matematyki dla ekonomistów, WNT 2005.

4