LISTA 2

Funkcje i ich podstawowe w÷

asno´sci.

De…nicja 1

Je·zeli ka·zdemu elementowi x 2 X przyporz ¾

adkujemy dok÷adnie je-

den elemen y 2 Y , to mówimy, ·ze na zbiorze X zosta÷a okre´slona funkcja (lub
odwzorowanie lub przekszta÷cenie), odwzorowuj ¾

aca zbiór X w zbiór Y .

B ¾

edziemy pisa´c f : X ! Y , gdzie X - dziedzina funkcji f, Y - przeciwdziedz-

ina lub zapas funkcji f .

B ¾

edziemy pisa´c y = f (x), gdzie x - argumentem funkcji f , y - warto´s´c funkcji

f .

Niech f : X ! Y , A

X i B

Y . Wtedy

f (A) := ff(x) : x 2 Ag - obraz zbioru A w odwzorowaniu f,

f

1

(B) := fx 2 X : f(x) 2 Bg - przeciwobraz zbioru B w odwzorowaniu

f .

Zbiór f (X) (obraz dziedziny) nazywamy zbiorem warto´sci funkcji f . W

przypadku gdy f (X) = Y , funkcj ¾

e f nazywamy suriekcj ¾

a lub odwzorowaniem

na.

Niech f : X ! Y . Wtedy G(f) = f(x; f(x)) : x 2 Xg nazywamy wykresem

funkcji f .

Niech f : X ! Y , A

X (A 6= ;). Funkcj ¾

e f b ¾

edziemy nazywa´c ró·

znowarto-

´sciow ¾

a (lub iniekcj ¾

a) na zbiorze A, je·

zeli jest spe÷

niony warunek

8

x

1

;x

2

2A

(x

1

6= x

2

) f(x

1

) 6= f(x

2

)):

Je·

zeli funkcja f jest ró·

znowarto´sciowa na ca÷

ej dziedzinie X, to mówimy krótko,

·

ze f jest ró·

znowarto´sciowa (f jest iniekcj ¾

a).

De…nicja 2

Funkcj ¾

e f : X ! Y , która jest ró·znowarto´sciowa i jest odw-

zorowaniem na (inaczej: jest iniekcj ¾

a i suriekcj ¾

a) b ¾

edziemy nazrya´c odwzorowa-

niem wzajemnie jednoznacznym (bijekcj ¾

a).

De…nicja 3

Niech f : X ! Y b ¾

edzie bijekcj ¾

a. Wtedy funkcj ¾

e f

1

: Y ! X

okre´slon ¾

a nast ¾

epuj ¾

aco:

f

1

(y) = x , y = f(x)

nazyamy funkcj ¾

a odwrotn ¾

a do funkcji f .

Niech dane b ¾

ed ¾

a trzy zbiory (niepuste) X; Y; Z oraz dwie funkcje f : X ! Y

oraz g : Y ! Z.

De…nicja 4

Z÷o·zeniem funkcji f oraz g nazywamy funkcj ¾

e h : X ! Z, okre´slon ¾

a

w nast ¾

epuj ¾

acy sposób:

h(x) := g(f (x)):

Z÷

o·

zenie funkcii f i g oznaczamy symbolem g f . Zatem (g f )(x) := g(f (x)),

przy czym f nazywa si ¾

e funkcj ¾

a wewn ¾

etrzn ¾

a, natomiast g - funkcj ¾

a zewn ¾

etrzn ¾

a.

Twierdzenie 5

Niech f : X ! Y b ¾

edzie bijekcj ¾

a. Wtedy zachodz ¾

a równo´sci:

(f

f

1

)(x) = x; (f

1

f )(x) = x

Bibliogra…a

[1] J. Bana´s, Podstawy matematyki dla ekonomistów, WNT 2005.

1