TEMAT ĆWICZENIA

Wyznaczanie zależności temperatury wrzenia wody od ciśnienia

CEL ĆWICZENIA

Głównym celem ćwiczenia jest wyznaczenie zależności temperatury wrzenia wody od
ciśnienia.

PODSTAWY TEORETYCZNE DO SAMODZIELNEGO OPRACOWANIA
Para nasycona sucha i para mokra, para przegrzana, stopień suchości, utajone ciepło
parowania (utajona entalpia parowania), zależność ciśnienia pary wodnej nasyconej od
temperatury, wykres stanów dla wody w układach współrzędnych p-v, T-s, h-s, punkt
potrójny wody, punkt krytyczny wody, równanie Clausiusa-Clapeyrona, równanie Antoine'a,
metoda najmniejszych kwadratów.

ZESTAW POMIAROWY

Przedstawiony na rys.1 zestaw pomiarowy składa się z membranowej pompy próżniowej o
regulowanej mocy ssania 9, dzięki której jest możliwe uzyskanie podciśnienia nad
powierzchnią wody znajdującą się w szklanej kolbie 1. Do ogrzewania wody znajdującej się
w kolbie wykorzystywana jest czasza grzejna o regulowanej mocy grzewczej 2. Wytworzona
w kolbie para wodna jest skraplana w szklanej chłodnicy wodnej 3.
Pomiar temperatury pary znajdującej się w kolbie jest realizowany za pomocą
rezystancyjnego czujnika temperatury 8 (Pt100) pracującego w układzie trójprzewodowym o
rezystorze pomiarowym wykonanym w klasie B wg PN - EN 60751 + A2: 1997 (dla klasy B
niepewność pomiaru temperatury wyrażonej w

o

C jest równa

(

)

T

,

,

⋅

+

±

005

0

3

0

). Odczyt

temperatury odbywa się za pomocą przenośnego miernika o temperatury o zakresie
pomiarowym −50÷200

o

C i niepewności pomiaru ±(0,15%zakresu + 1dgt). Do pomiaru zmian

ciśnienia pary wodnej zastosowano przetwornik ciśnienia 4 o zakresie pomiarowym −1÷0,6
bar z prądowym sygnałem wyjściowym (4÷20 mA) i liniowej charakterystyce. Dopuszczalna
temperatura pomiaru ciśnienia dla tego przetwornika wynosi 80

o

C. Niepewność pomiarowa

przetwornika wynosi 0,25% zakresu pomiarowego. Przetwornik jest zasilany przy pomocy
stabilizowanego zasilacza prądu stałego 5. Pomiar ciśnienia w kolbie odbywa się na
podstawie pomiaru spadku napięcia na rezystorze 6 o znanej rezystancji R, przy pomocy
cyfrowego woltomierza 7 o niepewności pomiaru napięcia DC ±(0,5% wartości zmierzonej+
2dgt).
Do pomiaru ciśnienia barometrycznego zastosowano rtęciowy barometr stacyjny.

W cylindrze 11 znajduje się substancja osuszająca (sito molekularne). Naczynie 10

stanowi rodzaj buforu zabezpieczającego przetwornik ciśnienia.

PROCEDURA POMIAROWA

Przed uruchomieniem stanowiska należy sprawdzić szczelność wszystkich połączeń oraz ilość
wody w kolbie. Włączyć zasilacz stabilizowany i zanotować wskazanie woltomierza 7 przy
ciśnieniu atmosferycznym panującym w kolbie. Zanotować wskazanie barometru. Następnie
włączyć zasilanie czaszy grzejnej, ustawiając jednocześnie regulator mocy grzewczej na
maksymalną moc, i podgrzać wodę do temperatury ok. 30

o

C. Zmniejszyć moc grzewczą do

ok. 50%. Włączyć przepływ wody chłodzącej przez chłodnicę. Uruchomić pompę próżniową
i ustawić maksymalną moc ssania za pomocą regulatora. Po wystąpieniu wrzenia i ustaleniu
się parametrów zanotować temperaturę wrzenia i dopowiadające jej podciśnienie dla
pierwszego punktu pomiarowego (wykonać co najmniej po pięć odczytów temperatury i
spadku napięcia ). Następnie należy zwiększyć ciśnienie nad powierzchnią wody,

zmniejszając moc ssania pompy próżniowej i ponownie doprowadzić do stanu, wrzenia cały
czas grzejąc wodę w kolbie za pomocą czaszy grzejnej. Ponownie zanotować ciśnienie i temp.
wrzenia. Procedurę powtórzyć, aż do osiągnięcia w kolbie ciśnienia atmosferycznego. Aby
wykonać, pomiar w warunkach ciśnienia atmosferycznego należy wyłączyć pompę próżniową
i wyjąc wąż z króćca ssawnego pompy. Wykonać pomiar dla co najmniej pięciu punktów
pomiarowych.

Rys.1. Schemat stanowiska pomiarowego

OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW
Przed rozpoczęciem pomiarów należy zanotować ciśnienie atmosferyczne oraz temperaturę
panującą w laboratorium. Wykonać co najmniej pięć odczytów ciśnienia atmosferycznego.
Wyniki zestawić w tabeli 1. Obliczyć średnie z wielkości mierzonych oraz standardową
niepewność wyniku (średniej).

Tabela 1. Wyniki pomiarów ciśnienia atmosferycznego

W trakcie pomiaru dla każdego punktu pomiarowego (dla każdej temperatury wrzenia)
zanotować temperaturę i spadek napięcia na rezystorze pomiarowym. Wykonać co najmniej
po pięć odczytów. Wyniki zestawić w tabeli 2 przedstawionej poniżej.

L.p.

Ciśnienie atmosferyczne, p

a

mmHg

Odczyt nr 1

-/- nr 2

-/- nr 3

-/- nr 4

-/- nr 5

Średnia,

x

Niepewność
standardowa

średniej

)

p

(

u

a

A

Względna niepewność
standardowa

średniej,

)

x

(

e

A

%

Dla każdego punktu pomiarowego obliczyć średnie z wielkości mierzonych oraz standardową
niepewność wyniku (średniej).

Tabela 2. Wyniki pomiarów ciśnienia nasycenia w funkcji temperatury.

Uwaga: Przyjąć zasadę podawania jednej cyfry znaczącej niepewności. Ostatnia cyfra
znacząca w każdym wyniku powinna być tego samego rzędu (stać na tym samym miejscu
dziesiętnym) co błąd.

Dla liczby N niezależnych pomiarów eksperymentalnej wielkości x, o jednakowych

niepewnościach, najbardziej wiarygodnym przybliżeniem jest średnia arytmetyczna

x

∑

=

⋅

=

N

i

i

x

N

x

1

1

,

(1)

gdzie : N -liczba pomiarów.
Najlepszym przybliżeniem niepewności średniej arytmetycznej

x

jest odchylenie

standardowe średniej (jest to tzw. niepewność typu A, -jest oparta na metodzie określania
niepewności pomiaru na podstawie analizy statystycznej serii wyników pomiarów)

(

)

(

)

1

1

2

−

⋅

−

=

∑

=

N

N

x

x

)

x

(

u

N

i

i

A

,

(2)

lub operując niepewnością względną:

(

)

1

1

1

2

−

⋅













−

=

=

∑

=

N

N

x

x

x

)

x

(

u

)

x

(

e

N

i

i

A

A

.

(3)

Aby określić niepewność całkowitą pomiaru wielkości mierzonej, należy dodatkowo

uwzględnić niepewność typu B, która jest obliczana na podstawie rozkładu
prawdopodobieństwa przyjętego przez eksperymentatora. Generalnie metoda B służy do

I punkt pomiarowy

II punkt pomiarowy

i-ty punkt pomiarowy V punkt pomiarowy

Temp.
wrzenia

o

C

Spadek
napięcia na
rezystorze,
V

Temp.
wrzenia,

o

C

Spadek
napięcia na
rezystorze,
V

Temp.
wrzenia

o

C

Spadek
napięcia na
rezystorze
V

Temp.
wrzenia

o

C

Spadek
napięcia na
rezystorze
V

Odczyt nr 1

-/- nr 2

-/- nr 3

-/- nr 4

-/- nr 5

Średnia,

x

Niepewność
standardowa

średniej

)

x

(

u

A

Względna niepewność
standardowa

średniej,

)

x

(

e

A

%

szacowania niepewności instrumentalnej. Niepewność standardową typu B określa się na
drodze analizy, opartej na wszystkich możliwych informacjach.
W skład niepewności typu B wchodzą np.: niepewność wzorcowania (kalibracji) przyrządu
pomiarowego, niepewność eksperymentatora, niepewność tablicową (niepewność danych
zaczerpniętych z literatury) itp.

Przyjmuje się, że standardowa niepewność typu B jest równa odchyleniu

standardowemu rozkładu jednostajnego, czyli:

3

x

)

x

(

u

i

B

∆

=

,

(6)

gdzie:

−

x

i

∆

(błąd graniczny) np. niepewność wzorcowania przyrządu pomiarowego,

niepewność eksperymentatora, niepewność tablicowa itp.
Łączna niepewność standardowa typu B może być przedstawiona zależnością:

(

)

∑

=

i

i

B

x

)

x

(

u

3

2

∆

,

(7)

lub operując niepewnością względną:

x

)

x

(

u

)

x

(

e

B

B

=

.

(8)

Uwaga: W dokumentacji technicznej, informacje o dokładności pomiaru przyrządem

cyfrowym podawane są często w postaci uproszczonej: np. ±(0,1%+2dgt). Taki zapis należy
interpretować jako sumę błędu równego 0,1% wartości mierzonej i błędu, odpowiadającego
2-krotnej rozdzielczości pola odczytowego.

Wyniki obliczeń niepewności temperatury, napięcia i ciśnienia atmosferycznego

należy przedstawić w tabelach 3,4, i 5.

Tabela 3. Niepewność typu B pomiaru temperatury .

L.p.

Temperatura

Niepewność standardowa typu B temperatury, u

B

(T)

Średnia
arytmetyczna

T

,

o

C

Niepewność
standardowa
czujnika
temperatury,

o

C

3

T

)

T

(

u

cz

cz

B

∆

=

Niepewność
standardowa
miernika
temperatury,

o

C

3

T

)

T

(

u

m

m

B

∆

=

Łączna

niepewność

standardowa typu B
temperatury, u

B

(T)

o

C

)

T

(

u

)

T

(

u

m

cz

B

B

2

2

+

Łączna

względna

niepewność
standardowa typu B
temperatury, %

T

)

T

(

u

)

T

(

e

B

B

=

I punkt pomiarowy

II punkt pomiarowy

III punkt pomiarowy

IV punkt pomiarowy

V punkt pomiarowy

Błąd graniczny czujnika temp.:

(

)

T

,

,

T

cz

⋅

+

±

=

005

0

3

0

∆

Błąd graniczny miernika temp.:

(

)

dgt

zakresu

%

,

T

m

⋅

+

±

=

1

15

0

∆

Tabela 4. Niepewność typu B pomiaru napięcia .

Tabela 5. Niepewność typu B pomiaru ciśnienia atmosferycznego

Niepewność standardowa wielkości mierzonych bezpośrednio jest sumą niepewności

standardowych typu A i typu B:

)

x

(

u

)

x

(

u

)

x

(

u

B

A

2

2

+

=

.

(9)

Aby określić ciśnienie bezwzględne jakie panuje w kolbie należy na podstawie

charakterystyki przetwornika przeliczyć wskazywane napięcie na wartość ciśnienia z
następującej zależności:

R

S

U

U

p

p

i

at

at

i

⋅

−

−

=

,

(10)

gdzie: p

at

- ciśnienie atmosferyczne, S-czułość przetwornika, U

at

-napięcie na rezystorze

odpowiadające ciśnieniu atmosferycznemu, U

i

-napięcie na rezystorze odpowiadające

podciśnieniu w kolbie w i-tym punkcie pomiarowym, R- rezystancja rezystora pomiarowego.
Dla przetwornika liniowego czułość S wyraża się zależnością:

min

max

min

max

X

X

Y

Y

S

−

−

=

, (11)

L.p.

Spadek
napięcia

na

rezystorze

Niepewność standardowa B napięcia, u

B

(V)

Średnia
arytmetyczna

U

, V

Niepewność
standardowa
przetwornika
ciśnienia,

V

3

U

)

U

(

u

cz

cz

B

∆

=

Niepewność
standardowa
miernika, V

3

U

)

U

(

u

m

m

B

∆

=

Łączna

niepewność

standardowa typu B
napięcia,

V

)

U

(

u

)

U

(

u

m

cz

B

B

2

2

+

Łączna względna
niepewność
standardowa typu
B, %

U

)

U

(

u

)

U

(

e

B

B

=

I punkt pomiarowy

II punkt pomiarowy

III punkt pomiarowy

IV punkt pomiarowy

V punkt pomiarowy

Błąd graniczny czujnika ciśnienia:

(

)

zakresu

%

,

R

S

U

cz

25

0

⋅

⋅

±

=

∆

(bez uwzględnienia niepewności rezystora)

Błąd graniczny miernika.:

(

)

dgt

U

%

,

U

m

⋅

+

±

=

2

5

0

∆

Ciśnienie
atmosferyczne,

at

p

, bar

Niepewność
standardowa średniej,
bar

3

at

cz

at

B

p

)

p

(

u

∆

=

Względna

niepewność

standardowa

średniej,

at

at

B

at

B

p

)

p

(

u

)

p

(

e

=

%

Błąd graniczny barometru.:

hPa

p

at

cz

1

±

=

∆

gdzie: X

max

- maksymalny sygnał wejściowy przetwornika, X

min

- minimalny sygnał wejściowy

przetwornika Y

max

- maksymalny sygnał wyjściowy, Y

max

- minimalny sygnał wyjściowy.

Całkowita niepewność standardowa ciśnienia może być obliczona na podstawie prawa

propagacji

niepewności

w

pomiarach

pośrednich

dla

wielkości

wejściowych

nieskorelowanych:

∑

⋅













∂

∂

=

i

i

i

c

)

x

(

u

x

p

)

p

(

u

2

2

.

(12)

Całkowita niepewność standardowa temperatury może być obliczona na podstawie

wyrażenia (9).
Wyniki pomiarów temperatury, ciśnienia i ich niepewności całkowite dla wszystkich punktów
pomiarowych należy zestawić w tabeli 6.

Tabela 6. Wyniki pomiarów ciśnienia i temperatury wrzenia.

Następnie wykorzystując metodę najmniejszych kwadratów dokonać aproksymacji danych
pomiarowych przy pomocy równania Clausiusa –Clapeyrona:

C

T

R

h

)

p

ln(

i

lg

+

⋅

−

=

∆

,

(13)

gdzie:

lg

h

∆

-utajona entalpia (ciepło) parowania kJ/kg, R

i

- indywidualna stała gazowa

kJ/kgK, C-stała całkowania, T- temperatura, K.
Powyższe równanie można przekształcić do postaci:

( )

b

a

+

⋅

=

τ

τ

π

,

(14)

gdzie:

( )

p

ln

=

π

,

T

1

=

τ

,

i

lg

R

h

a

∆

−

=

, b=C.

Ostatecznie otrzymuje się równanie linii prostej w układzie współrzędnych π,τ.
Wykorzystując metodę najmniejszych kwadratów można obliczyć współczynniki a i b
równania (14):

L.p.

Temperatura

Ciśnienie

Średnia
arytmet.

T

, K

Całkowita
niepewność
standardowa
średniej
u(T), K
(z równania 9)

Całkowita
względna
niepewność
standardowa
średniej, %

Średnia
arytmet.

p

,

bar

Całkowita
niepewność
standardowa
średniej
u(p), bar
(z równania 12)

Całkowita
względna
niepewność
standardowa
średniej, %

I punkt pomiarowy

II punkt pomiarowy

III punkt pomiarowy

IV punkt pomiarowy

IV punkt pomiarowy

2

1

1

2

1

1

1















−

⋅

⋅

−

⋅

⋅

=

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

N

j

j

N

j

j

N

j

j

N

j

j

N

j

j

j

N

N

a

τ

τ

π

τ

π

τ

,

(15)

2

1

1

2

1

1

1

1

2















−

⋅

⋅

⋅

−

⋅

=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

N

j

j

N

j

j

N

j

N

j

j

j

N

j

j

j

N

j

j

N

b

τ

τ

π

τ

τ

π

τ

,

(16)

gdzie: N- liczba punktów pomiarowych.
Niepewności standardowe współczynników a i b oblicza się następująco:

2

1

1

2















−

⋅

⋅

=

∑

∑

=

=

N

j

j

N

j

j

y

N

N

s

)

a

(

u

τ

τ

,

(17)

2

1

1

2

1

2















−

⋅

⋅

=

∑

∑

∑

=

=

=

N

j

j

N

j

j

N

j

j

y

N

s

)

b

(

u

τ

τ

τ

,

(18)

(

)

[

]

2

1

2

−

+

⋅

−

=

∑

=

N

b

a

s

N

j

j

j

y

τ

π

.

(19)

Wykorzystując metodę najmniejszych kwadratów dokonać

aproksymacji danych

pomiarowych przy pomocy równania Antoine’a:

( )

T

ln

B

T

R

A

C

)

p

ln(

i

⋅

+

⋅

−

=

,

(20)

gdzie: A, B- stałe w równaniu entalpii parowania w funkcji temperatury (do wyprowadzenia
równania

Antoine’a

przyjęto,

że

entalpia

parowania

jest

liniową

funkcją

temperatury:

T

B

A

h

lg

⋅

+

=

∆

), R

i

- indywidualna stała gazowa kJ/kgK, C-stała całkowania,

T- temperatura, K.
Powyższe równanie można przekształcić do postaci:

( )

( )

γ

τ

β

τ

α

τ

π

+

⋅

+

⋅

=

−1

ln

,

(21)

gdzie:

( )

p

ln

=

π

,

T

1

=

τ

,

i

R

A

−

=

α

, β=B, γ=C.

Przedstawić wyniki pomiarów wraz z ich niepewnościami całkowitymi dla wszystkich
punktów pomiarowych na wykresie w układzie ln(p), T

-1

.

Aby wyznaczyć stałe α,β,γ występujące w równaniu (21), należy rozwiązać układ równań:

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

−

=

=

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

=

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

=

⋅

⋅

+

⋅

+

⋅

⋅

=

⋅

⋅

+

⋅

+

⋅

=

N

j

j

N

j

j

j

N

j

j

N

j

j

j

N

j

j

N

j

j

N

j

j

j

N

j

j

j

N

j

j

N

j

j

N

j

j

ln

ln

ln

ln

ln

N

ln

1

1

1

1

2

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

τ

γ

τ

τ

β

τ

α

τ

π

τ

γ

τ

β

τ

τ

α

τ

π

γ

τ

β

τ

α

π

.

(22)

Naszkicować na wykresie równanie (14) i (20). Porównać własne wyniki pomiarów z danymi
literaturowymi. Dodatkowo wyznaczyć utajone ciepło parowania wody na podstawie

równania Clausiusa –Clapeyrona oraz Antoine’a

lg

h

∆

(wykorzystać

i

lg

R

h

a

∆

−

=

,

T

B

A

h

lg

⋅

+

=

∆

).

Uwaga: Równania (15,16,17,18,19,22) są słuszne, w przypadku gdy niepewności

pomiaru temperatury są znikomo małe w stosunku do niepewności pomiaru ciśnienia oraz gdy
niepewności ciśnienia są jednakowe.