Macierze nieosobliwe
Macierze nieosobliwe definiujemy tylko dla macierzy kwadratowych.
Definicja 1.
Macierz nazywamy macierzą nieosobliwą, jeżeli istnieje macierz
A
B
n n
×
n n
×
taka że:
A B B A I
⋅ = ⋅ =
Twierdzenie 1.
Jeżeli macierz A jest macierzą nieosobliwą, to macierz B z definicji 1 jest
jedyna.
Definicja 2.
Jeżeli macierz A jest nieosobliwa, to jedyną macierz B z definicji 1
nazywamy macierzą odwrotną do macierzy A i oznaczamy A
-1
. O macierzy
A mówimy też, że jest macierzą odwracalną.
Definicja 3.
Macierz, która nie jest macierzą nieosobliwą, jest nieodwracalna i
osobliwa.
Twierdzenie 2.
Z:
(
)
prze
cia
(
)
, , ,
, , ,
dim
dim
:
f
X K
Y K
X
Y
n
M
f X
Y
+ ⋅
+ ⋅
=
=
→
- odwzorowanie liniowe
- macierz odwzorowania
strzenie wektorowe nad
łem K z ustalonymi bazami
T:
f-odwzorowanie izomorficzne jest macierzą nieosobliwą.
Ponadto:
f
M
⇔
( )
1
1
f
f
M
M
−
−
=
Przykład 1.
Znaleźć macierz odwrotną.
1
0
1
1
1 0
0
1
1
−
=
−
(
)
3
, , ,
+ ⋅
\ \
X
(
)
1
2
3
, ,
B
e e e
=
(
)
3
, , ,
+ ⋅
\ \
A
Y
f
A M
=
- baza kanoniczna
(
)
[
]
(
)
[
]
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
, ,
, ,
, ,
, ,
B
B
x
x x x
x x x
y
y y y
y y y
∋ =
=
→ =
=
\
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 2
Część 7 – Macierze nieosobliwe
