Macierze nieosobliwe

Macierze nieosobliwe definiujemy tylko dla macierzy kwadratowych.

Definicja 1.

Macierz nazywamy macierzą nieosobliwą, jeżeli istnieje macierz

A

B

n n

×

n n

×

taka że:

A B B A I

⋅ = ⋅ =

Twierdzenie 1.

Jeżeli macierz A jest macierzą nieosobliwą, to macierz B z definicji 1 jest
jedyna.

Definicja 2.

Jeżeli macierz A jest nieosobliwa, to jedyną macierz B z definicji 1
nazywamy macierzą odwrotną do macierzy A i oznaczamy A

-1

. O macierzy

A mówimy też, że jest macierzą odwracalną.

Definicja 3.

Macierz, która nie jest macierzą nieosobliwą, jest nieodwracalna i
osobliwa.

Twierdzenie 2.

Z:

(

)

prze
cia

(

)

, , ,

, , ,

dim

dim

:

f

X K

Y K

X

Y

n

M

f X

Y

+ ⋅

+ ⋅

=

=

→

- odwzorowanie liniowe

- macierz odwzorowania

strzenie wektorowe nad

łem K z ustalonymi bazami

T:

f-odwzorowanie izomorficzne jest macierzą nieosobliwą.

Ponadto:

f

M

⇔

( )

1

1

f

f

M

M

−

−

=

Przykład 1.

Znaleźć macierz odwrotną.

1

0

1

1

1 0

0

1

1

−









=

−













(

)

3

, , ,

+ ⋅

\ \

X

(

)

1

2

3

, ,

B

e e e

=

(

)

3

, , ,

+ ⋅

\ \

A

Y

f

A M

=

- baza kanoniczna

(

)

[

]

(

)

[

]

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

, ,

, ,

, ,

, ,

B

B

x

x x x

x x x

y

y y y

y y y

∋ =

=

→ =

=

\

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 1 z 2

Część 7 – Macierze nieosobliwe

y

f

( )

x

=

⇔

1

1

2

2

3

3

1 0

1

1

1 0

0

1

1

x

y

x

y

x

y

−

   

   

−

=

   

   

   























1

3

1

1

2

2

2

3

3

1

1

2

2

1

2

3

1

2

3

1

1

1

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

2

2

2

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

y

y

y

x

y

y

x

y

y

y

− +

=

−

=

+

=

= −

+

+

= −

−

+

=

+

+

3

3

y

























1

1

2

2

3

3

1

1

1

2

2

2

1

1 1

2

2 2

1

1

1

2

2

2

x

y

x

y

x

y





−





 

 





 

 





= −

−

⋅

 

 





 

 





 

 









 

1

A

−

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 2 z 2

Część 7 – Macierze nieosobliwe

A

1

1

1

1

2

2

2

1

1 1

2

2 2

1

1

1

2

2

2

−





−













= −

−

















WNIOSEK:

1)

A- macierz nieosobliwa, to A

-1

też jest macierzą nieosobliwą i (A

-1

)

-1

=A

2)

A,B –macierze nieosobliwe, to A·B też macierz nieosobliwa i (A·B)

-1

= B

-1

·A

-1