1

Wydział: WILiŚ, Budownictwo, sem.2

dr Jolanta Dymkowska

Wyznaczanie wartości własnych macierzy stopnia trzeciego

Fakt

(Postać wielomianu charakterystycznego macierzy stopnia n = 3 )

Niech A będzie

macierzą postaci:

A =






a

11

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33






Wówczas wielomian charakterystyczny ma postać:

W (λ) = − λ

3

+ p

1

λ

2

− p

2

λ + p

3

,

gdzie:

•

p

1

= a

11

+ a

22

+ a

33

= tr A

nazywamy śladem macierzy A ,

•

p

2

jest sumą minorów głownych stopnia drugiego macierzy A , tj.

p

2

=







a

11

a

12

a

21

a

22







+







a

11

a

13

a

31

a

33







+







a

22

a

23

a

32

a

33







,

•

p

3

= W (0) = det A

jest wyznacznikiem macierzy A .

Przykład

Korzystjąc z powyższego faktu wyznaczyć wartości własne macierzy:

A =






0

1

0

−4

4

0

−2

1

2






Rozwiązanie

Obliczamy:

•

p

1

= a

11

+ a

22

+ a

33

= 0 + 4 + 2 = 6

,

•

p

2

=







0

1

−4

4







+







0

0

−2

2







+







4

0

1

2







= 4 + 0 + 8 = 12

•

p

3

= W (0) = det A = 8.

Stąd

W (λ) = − λ

3

+ 6 λ

2

− 12 λ + 8 = −(λ − 2)

3

.

Zatem rozwiązując równanie charakterystyczne W (λ) = 0, otrzymujemy λ = 2.