Zadanie 1.10

W celu wyznaczenia zasobu objętości V

r

rurociągu połączono go ze zbiornikiem o zasobie

objętości V

z

=5[m

3

]. Zbiornik przed połączeniem z rurociągiem zawierał powietrze o

parametrach stanu p

z1

=0,6[MPa], t

z1

=20[

0

C], w rurociągu zaś parametry stanu powietrza były

odpowiednio równe p

r1

=0,1[MPa], t

r1

=15[

0

C]. Po połączeniu i wyrównaniu temperatur oraz

ciśnień w układzie zbiornik-rurociąg zmierzono wartości ciśnienia p

r2

=0,22[MPa] i

t

r2

=16[

0

C]. Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość zasobu objętości rurociągu V

r.

Rozwiązanie:

Dane:

Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość:

V

z

=5[m

3

]

V

r

p

z1

=0,6[MPa]

t

z1

=20[

0

C]

p

r1

=0,1[MPa]

t

r1

=15[

0

C]

p

r2

=0,22[MPa]

t

r2

=16[

0

C].

1. Ilustracja układu zbiornik-rurociąg przed i po ich połączeniu.

2. Wyznaczenie zasobu masy gazu w zbiorniku przed połączeniem go z rurociągiem.

Z równania stanu gazu doskonałego Clapeyrona

p

z1

V

z

=m

z1

RT

z1

V=V

z

+V

r

p

r2

= p

z2

t

r2

= t

z2

V

r

p

z1

, t

z1

, V

z

p

r1

, t

r1

, V

r

wyznaczono zasób masy gazu w zbiorniku

m

z1

=

1

1

z

z

z

RT

V

P

3. Wyznaczenie zasobu masy gazu w zbiorniku po połączeniu go z rurociągiem.

Z równania stanu gazu doskonałego Clapeyrona po wyrównaniu się temperatur i

ciśnień w zbiorniku i rurociągu.

p

r2

V

z

=m

z2

RT

r2

wyznaczono zasób masy gazu w zbiorniku.

m

z2

=

2

2

r

z

r

RT

V

p

4. Wyznaczenie przyrostu zasobu masy gazu w zbiorniku.

Odejmując zasoby mas powietrza wzbiorniku przed i po połączeniu z rurociągiem

wyznaczono przyrost zasobu masy powietrza w zbiorniku.

∆ m

z

=m

z1

-m

z2

=

















2

2

1

1

r

r

z

z

z

T

p

T

p

R

V

5. Wyznaczenie zasobu masy gazu w rurociągu przed dopływem gazu ze zbiornika.

Dzieląc stronami równanie stanu gazu doskonałego Clapeyrona dla rurociągu przed

dopływem gazu ze zbiornika.

p

r1

V

r

=m

r1

RT

r1

i po dopływie gazu ze zbiornika.

p

r2

V

r

=(m

r1

+∆m

z

)RT

r2

otrzymano związek

2

1

1

1

2

1

)

(

r

z

r

r

r

r

r

T

m

m

T

m

p

p







z którego wyznaczono zasób masy gazu w rurociągu przed dopływem gazu ze

zbiornika .

m

r1=





1

2

2

1

2

1

2

1

1

r

r

r

r

r

z

r

z

r

p

T

p

T

R

p

T

T

p

p

















V

z

6. Wyznaczanie zasobu objętości rurociągu.

Zasób objętości rurociągu wyznaczono z równania stanu gazu doskonałego

Clapeyrona przed dopływem powietrza ze zbiornika.

V

r

=





1

2

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

r

r

r

r

r

z

r

z

r

z

r

r

r

p

T

p

T

p

T

T

p

T

V

p

RT

m



















7. Rachunek mian dla zasobu objętości rurociągu.

[V

r

]=

3

3

)

(

)

(

m

KPa

KPa

Pa

Pa

K

m







8. Obliczenie wartości zasobu objętości rurociągu.

V

r

=

























1

2

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

r

r

r

r

r

z

r

z

r

z

r

r

r

p

T

p

T

p

T

T

p

T

V

p

RT

m

452

,

15

10

)

1

,

0

)

15

,

273

16

(

22

,

0

)

15

,

273

15

((

10

22

,

0

15

,

273

20

15

,

273

16

6

,

0

)

15

,

273

15

(

5

6

6











































[m

3

]

Zadanie 1.11

Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość promienia cząsteczki tlenu O

2

przy założeniu, że

ma ona kształt kulisty i wiedząc że wartość molowej współobjętości

(objętości wyłączonej molowej) w równaniu stanu gazu rzeczywistego van der Waalsa jest

równa b=25[

mol

cm

3

], zaś liczba Avogadra N

A

=6,023∙10

23

[

mol

1

].

Rozwiązanie:

Dane:

Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość:

b = 25 [

mol

cm

3

]

r =

2

d

N

A

= 6,023∙10

23

[mol

-1

]

1. Wyznaczanie objętości cząsteczki tlenu w kształcie kuli o średnicy d:

Ilustracja objętości cząsteczki tlenu O

2

w kształcie kuli o średnicy d.

V

cz

=

3

4



3

2











 d

2. Wyznaczanie objętości wyłączonej dla cząsteczki tlenu.

Ilustracja objętości wyłączonej dla

cząsteczki tlenu O

2

d

V

w

=

=

d

d

d

Objętość wyłączona jest objętością w której środki cząsteczek nie mogą się poruszać ze

względu na swoją wzajemną obecność i równa jest połowie objętości kuli

o promieniu równym średnicy cząsteczki.

Objętość wyłączona zasobu ilości materii n=1[mol] cząsteczek (współobjętość

molowa) równa jest iloczynowi liczby Avogadra N

A

i objętości wyłączonej

cząsteczek V

w

b = N

A

V

w

[

mol

m

3

]

3. Wyznaczenie równania stanu gazu rzeczywistego van der Waalsa odniesionego do

molowych gęstości zasobu energii.
Równanie stanu gazu rzeczywistego van der Waalsa odniesione do masowych gęstości

zasobu energii określone jest związkiem:

(p+

2



a

)(-) = RT

gdzie:

a – współczynnik kohezyjności masowej

 – współobjętość masowa (kowolumen)

Współczynnik kohezyjności masowej określony jest zależnością:

a =

2

M

a

n

gdzie:

n

a – współczynnik kohezyjności molowej

M – masa cząsteczkowa

Ciśnienie kohezyjne określone jest wyrażeniem

2



a

natomiast współobjętość masowa jest równa:

 =

M

b

gdzie:

b – współobjętość molowa (objętość wyłączona molowa).

zatem równanie van der Waalsa przekształcono do postaci:

[p +

2

2



M

a

n

](-

M

b

) = RT

Relacja między masową a molową gęstością zasobu objętości określona jest zależnością:

=

M

n



stąd równanie stanu gazu rzeczywistego van der Waalsa przyjmie postać:

(p+

2

n

n

a



)(

M

n



-

M

b

) = RT

Uwzględniając, iż iloczyn indywidualnej stałej gazowej i masy cząsteczkowej równy jest

uniwersalnej stałej gazowej:

MR = B

oraz mnożąc obustronnie równanie van der Waalsa przez masę cząsteczkową M otrzymamy

równanie stanu gazu rzeczywistego van der Waalsa odniesione do molowych gęstości zasobu

energii

(p+

2

n

n

a



)( 

n

-b) = BT

4. Wyznaczanie promienia cząsteczki tlenu.

Dzieląc objętość wyłączoną molową cząsteczek b przez liczbę Avogarda N

A

otrzymano objętość wyłączną cząsteczki O

2

tlenu.

V

w

=

A

N

b

Z drugiej strony objętość wyłączoną cząsteczki telu O

2

określoną związkiem:

V

w

= 4[

3

4

 (

2

d

)

3

]

Porónując prawe strony powyższych dwóch zależności

A

N

b

=

3

16

 (

2

d

)

3

otrzymano promień cząsteczki telnu O

2

, przy założeniu, że ma ona kształt kulisty

r =

2

d

=

3

16

3

A

N

b



5. Rachunek mian:

[r] =

3

3

mol

mol

m

= m

6. Obliczenie wartości promienia cząsteczki tlenu.

r =

2

d

=

3

16

3

A

N

b



=

3

23

6

10

022

,

6

16

10

25

3











=

9

10

135316

,

0





=

35316

,

1

[Ǻ]

d = 2r =

35316

,

1

2 

= 2,70632 [Ǻ] = 0,270632 [nm]

Zadanie 1.15

Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość pracy bezwzględnej objętościowej ΔL wykonanej

przez układ nad otoczeniem w przemianie izotermicznej odwracalnej rozgęszczenia gazu

rzeczywistego o zasobie ilości materii n=1[kmol] od początkowego zasobu objętości

V

1

=10[dm

3

] do końcowego zasobu objętości V

2

=2V

1

w temperaturze T=293,15[K] dla gazu

rzeczywistego van der Waalsa spełniającego poniższe równanie.

+

.

. ( − . ) = . .

Gazem rozgęszczanym jest azot dla którego stałe w równaniu stanu van der Waalsa mają

wartości

a

n

=0,1408[

] b=3.91[

]=3,91 10

-3

[

]

Uniwersalna stała gazowa B=8314,3[

]

Rozwiązanie:

Dane:

Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość pracy

V

1

=10[dm

3

]

bezwzględnej objętościowej:

V

2

=2 V

1

ΔL

T=293,15[K]=const

n=1[kmol]

B=8314[

]

a

n

=0.1408[

]

b=3.91[

]=3.91 10

-3

[

]

1. Wykresy pracy i ciepła w przemianie izotermicznej w układzie współrzędnych pV i

TS

Ilustracja pracy bezwzględnej objętościowej przemiany izotermicznej gazu rzeczywistego van

der Waalsa we współrzędnych p, V.

Ilustracja ciepła przemiany izotermicznej gazu rzeczywistego van der Waalsa we

współrzędnych T,S.

p(V,T=const)

V

V

1

V

2

p

1

p

2

p

ΔL

1-2

T(S)

T

1-2

T

ΔQ

1-2

S

2

S

1

S

2

1

2. Wyznaczenie pracy bezwzględnej objętościowej.

Z definicji pracy bezwzględnej objętościowej

δL=pdV

oraz z równania stanu gazu rzeczywistego van der Waalsa

p=

(

)

– a

otrzymano

δL=nBT

– n

2

a

Całkując powyższe równanie w granicach

=

−

−

i przyjmując oznaczenie

x=V-nb

obliczono jej różniczkę

dx=v

oraz ustalono nowe granice całkowania

x

1

=V

1

-nb

x

2

=V

2

-nb

Całkowane równanie przekształcono do postaci

1

2

2

1

2

1

V

V

V

a

n

x

dx

nBT

L

n

x

x























Po dokonaniu całkowania

ΔL=nBTln +n

2

a

n

( - )

oraz uwzględnieniu nowych granic całkowania otrzymano wyrażenie określające

pracę bezwzględną objętościową wykonaną w przemianie izotermicznej przez gaz

rzeczywisty van der Waalsa .

ΔL=nBTln

















nb

V

nb

V

1

2

+n

2

a

n















1

2

1

1

V

V

3.Obliczenie wartości pracy bezwzględnej objętościowej

ΔL= nBTln

















nb

V

nb

V

1

2

+n

2

a

n















1

2

1

1

V

V

=

=



























































10

10

20

10

1408

,

0

1

10

91

,

3

1

10

10

10

91

,

3

1

10

20

ln

15

,

293

3

,

8314

1

3

3

2

3

3

3

3

=

=

]

[

10

368

,

2

)

100

50

(

1408

,

0

1000

91

,

3

100

1

1000

91

,

3

50

1

ln

15

,

293

3

,

8314

1

6

J









































Zadanie 1.7

Wyznaczyć, a następnie obliczyć wartości zasobów ilości materii [n]=kmol oraz objętości

normalnej obliczeniowej [V

no

]=m

3

odniesionej do normalnych warunków obliczeniowych

(

p =1[bar], t =0[

0

C],

ϑ =22,71[

]) zasobu masy m=100[kg] tlenu (O

2

), azotu (N

2

) i

dwutlenku węgla (CO

2

). Masy cząsteczkowe poszczególnych gazów są następujące:

M =31,999 [

],

M =28,013 [

],

M

=44,01 [

].

Rozwiązanie:

Dane:

Wyznaczyć a następnie obliczyć wartości:

m = m = m

= 100 [kg]

n , n , n

ϑ =22,71 [

]

V

,

V

,

V

M =31,999 [

]

M =28,013 [

]

M

=44,01 [

]

1.Wyznaczenie zasobu ilości materii tlenu, azotu i dwutlenku węgla:

Z definicji masy cząsteczkowej

M =

otrzymano dla tlenu

M

=

zatem zasób ilości materii tlenu cząsteczkowego jest równy

n

=

Analogicznie dla azotu

n

=

oraz dwutlenku węgla

n

=

2.Wyznaczenie zasobu objętości normalnej obliczeniowej tlenu, azotu i dwutlenku węgla:

Z definicji molowej gęstości zasobu objętości gazu w normalnych warunkach obliczeniowych

ϑ

=

określono objętość normalną obliczeniową tlenu

V

= ϑ

∙ n

następnie azotu

V

= ϑ

∙ n

oraz dwutlenku węgla

V

= ϑ

∙ n

3. Rachunek mian dla zasobu ilości materii tlenu, azotu i dwutlenku węgla:

n

= n

= n

=

= kmol

4. Rachunek mian dla zasobu objętości normalnej obliczeniowej tlenu, azotu i dwutlenku

węgla:

V

= V

= V

= kmol ∙

= m

5. Obliczenie wartości zasobu ilości moli tlenu:

n

=

=

,

= 3,1251 [kmol]

6. Obliczenie wartości zasobu ilości moli azotu:

n

=

=

,

= 3,5698 [kmol]

7. Obliczenie wartości zasobu ilości moli dwutlenku węgla:

n

=

=

,

= 2,2722 [kmol]

8. Obliczenie wartości zasobu objętości normalnej obliczeniowej tlenu:

V

= ϑ

∙ n

= 22,71 ∙ 3,1251 = 70,971 [m ]

9. Obliczenie wartości zasobu objętości normalnej obliczeniowej azotu:

V

= ϑ

∙ n

= 22,71 ∙ 3,5698 = 81,07 [m ]

10. Obliczenie wartości zasobu objętości normalnej obliczeniowej dwutlenku węgla:

V

= ϑ

∙ n

= 22,71 ∙ 2,2722 = 51,602 [m ]

Zadanie 1.18

Ciśnienie statyczne przepływającej rurociągiem strugi wody równe jest

0



s

p

[MPa ].

Ciśnienie otoczenia wynosi

1000

0



p

[hPa] , zaś ciśnienie całkowite absolutne

ca

p

przepływającej wody wyrażone w milimetrach słupa rtęci jest równe

ca

h =790 [mmHg].

Obliczyć prędkość substancjalną u przepływającej wody wiedząc , że objętościowa gęstość

zasobu masy rtęci

]

[

13546

3

m

kg

Hg





zaś wody

]

[

1000

3

0

2

m

kg

H





.

Rozwiązanie

Dane:

Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość:

]

[

0 hPa

p

s



u

]

[

1000

0

hPa

p 

]

[

790 mmHg

h

ca

















3

13546

m

kg

Hg

















3

0

1000

2

m

kg

H



1. Ilustracja pomiaru ciśnień w przepływie strugi płynu, płynącego z prędkością

substancjalną:



u prędkość substancjalna wody



0

2

H



objętościowa gęstość zasobu masy wody



c

p

ciśnienie całkowite

p

s

p

sa

p

sa

p

o

u

p

ca

p

ca

p

o

p

c

p

ca

p

d

p

sa



o

p

ciśnienie otoczenia



sa

p

ciśnienie statyczne absolutne



ca

p

ciśnienie całkowite absolutne



d

p

ciśnienie dynamiczne

Zgodnie z ilustracją modelu pomiaru ciśnień w przepływie strugi płynu z prędkością

substancjalną możemy zapisać zależności:

o

c

ca

p

p

p





o

s

sa

p

p

p





s

c

sa

ca

d

p

p

p

p

p









Gdzie ciśnienie dynamiczne jest objętościową gęstością zasobu substancjalnej energii

kinetycznej płynu

2

2

u

p

d





2. Wyznaczenie ciśnienia całkowitego absolutnego p

ca

wyrażonego w jednostkach układu SI.

Odwzorowanie wartości ciśnienia całkowitego absolutnego wyrażonego w milimetrach słupa

rtęci na wartość ciśnienia p

ca

wyrażonego w jednostkach układu SI dokonano przy użyciu

poniższej funkcji

g

h

p

Hg

ca

ca





3. Wyznaczenie ciśnienia dynamicznego

d

p przepływającej wody:

Ciśnienie dynamiczne równe jest różnicy ciśnień absolutnych, całkowitego i statycznego

przepływającej wody:

sa

ca

d

p

p

p





Ciśnienie statyczne absolutne równe jest sumie ciśnień statycznego i otoczenia

o

s

sa

p

p

p





Stąd:

o

s

ca

d

p

p

p

p







Uwzględniając iż:

0



s

p

otrzymano:

o

Hg

ca

o

ca

d

p

g

h

p

p

p











4. Wyznaczenie prędkości substancjalnej przepływającej strugi wody.

Uwzględniając definicję ciśnienia dynamicznego w przepływającej strudze wody:

2

2

2

u

p

O

H

d





otrzymano:

O

H

o

Hg

ca

O

H

d

p

g

h

p

u

2

2

)

(

2

2













5. Rachunek mian prędkości substancjalnej przepływającej strugi wody:

2

2

3

2

2

3

2

2

1

]

[

s

m

kg

m

m

s

m

kg

kg

m

m

N

kg

Pa

u









s

m

u 

]

[

6.Obliczanie wartości prędkości substancjalnej przepływającej strugi wody:

O

H

o

Hg

ca

p

g

h

u

2

)

(

2









=

]

[

156

,

3

1000

)

100000

81

,

9

13546

79

,

0

(

2

s

m









Zadanie 2.6

Mieszaninę gazów, której skład określony jest udziałami masowymi

5

,

0

2



N

g

;

4

,

0

2



O

g

;

1

,

0

2



O

H

g

przepuszczono przez warstwę absorbującą wodę. Osuszony roztwór wprowadzono

do pustego zbiornika w którym po napełnieniu panuje ciśnienie p=0,4[MPa]. Masy

cząsteczkowe azotu i tlenu są następujące M

N

2

=28,016

]

[

kmol

kg

M

O

2

=31,999

]

[

kmol

kg

.

Obliczyć udziały masowe i molowe, masę cząsteczkową oraz ciśnienia składnikowe gazów w

zbiorniku.

Rozwiązanie

Dane: Wyznaczyć a następnie obliczyć wartości:

g

N

2

=0,5

g

SO

2

g

O

2

=0,4

g

SN

2

g

H

2

O

= 0,1

x

SO

2

2

N

M

=28,016













kmol

kg

x

SN

2

2

O

M

=31,999













kmol

kg

p

o

2

p=0,4[MPa].

p

N

2

M

1. Wyznaczenie udziałów masowych składników mieszaniny gazów osuszonych.

Z definicji zasobu masy składników mieszaniny dla gazu przed jego osuszeniem

otrzymano poniższy bilans

O

H

O

N

i

i

m

m

m

m

m

2

2

2

3

1













Udziały masowe mieszaniny gazów przed osuszeniem zgodnie z definicją udziału masowego

m

m

g

i

i



są następujące

m

m

N

2

2

N

g



;

m

m

O

2

2

O

g



;

m

m

O

H

O

H

2

2

g



Zasób masy mieszaniny gazów po osuszeniu opisany jest poniższym bilansem

2

2

2

1

O

i

N

si

s

m

m

m

m











Zatem udziały masowe mieszaniny gazów po osuszeniu są odpowiednio równe:

dla tlenu

2

2

2

2

2

2

2

2

2

O

N

O

O

N

O

s

O

s

O

SO

g

g

g

m

m

m

m

g

m

m

m

m

m

m

g













oraz dla azotu

2

2

2

2

2

2

2

2

2

O

N

N

O

N

N

s

N

s

N

SN

g

g

g

m

m

m

m

g

m

m

m

m

m

m

g













2. Wyznaczenie masy cząsteczkowej mieszaniny gazów osuszonych:

Uwzględniając zależność określającą masę cząsteczkową mieszaniny:







2

1

1

i

i

i

M

g

M

otrzymano dla mieszaniny gazów po ich osuszeniu poniższy związek

2

2

2

2

1

N

SN

O

SO

M

g

M

g

M





3. Wyznaczenie udziałów molowych mieszaniny gazów osuszonych:

Uwzględniając zależności określające udziały molowe składnika mieszaniny

i

i

i

g

M

M

x 

otrzymano odpowiednio:

dla tlenu

2

2

2

SO

O

SO

g

M

M

x



;

dla azotu

2

2

2

SN

N

SN

g

M

M

x



4. Wyznaczenie ciśnień składników mieszaniny gazów osuszonych:

Uwzględniając zależności określające ciśnienie składników mieszaniny

p

x

p

i

i



otrzymano:

dla tlenu

p

g

M

M

p

x

p

SO

O

SO

O

2

2

2

2





dla azotu

p

g

M

M

p

x

p

SN

N

SN

N

2

2

2

2





5. Obliczanie wartości udziałów masowych składnika mieszaniny gazów osuszonych:

444

,

0

9

4

2

2

2

2









O

N

O

SO

g

g

g

g

555

,

0

9

5

2

2

2

2









O

N

N

SN

g

g

g

g

6. Obliczanie wartości masy cząsteczkowej mieszaniny gazów osuszonych:

]

[

675

,

29

016

,

28

9

5

999

,

31

9

4

1

1

2

2

2

2

kmol

kg

M

g

M

g

M

N

SN

O

SO















7. Obliczanie wartości udziałów molowych składników mieszaniny gazów osuszonych:

412

,

0

444

,

0

999

,

31

675

,

29

2

2

2









SO

O

SO

g

M

M

x

588

,

0

555

,

0

016

,

28

675

,

29

2

2

2









SN

N

SN

g

M

M

x

8.Obliczanie wartości ciśnień składników mieszaniny gazów osuszonych:

]

[

1648

,

0

4

,

0

412

,

0

2

2

MPa

p

x

p

SO

O









]

[

2352

,

0

4

,

0

588

,

0

2

2

MPa

p

x

p

SN

N









Zadanie 2.8

Wyrażenie Pfaffa ma postać

DX = xdy + 2ydx

Znaleźć czynnik całkujący wyrażenie Pfaffa.

Rozwiązanie

1. Wyznaczenie czynnika całkującego wyrażenia Pfaffa.

Funkcja pierwsza jest równa

X

1

(x

1

,x

2

) = 2y

i odpowiednio zmienna niezależna pierwsza i jej przyrost

x

1

= x dx

1

= dx

Funkcja druga jest równa

X

2

(x

1

,x

2

) = x

i odpowiednio zmienna niezależna druga i jej przyrost

x

2

= y dx

2

= dy

Założono, że czynnik całkujący jest funkcją tylko zmiennej niezależnej pierwszej

(x

1

) = (x)

Mamy zatem

dln(x

1

)

= (

-

)

dx

1

stąd

dln(x)

= (

- )

dx

wykonując różniczkowanie

= 2

oraz

= 1

otrzymano

dln(x) =

( - )

dx

zatem

dln(x) =

dx

lub

dln(x) = dlnx

Całkując powyższe równanie ze stałą całkowania

∫

dln λ( x )=

∫

dlnx + lnc

otrzymano

ln(x) = lnx + lnc

lub

ln(x) = ln(xc)


Zatem czynnik całkujący równy jest

(x) = xc

2. Sprawdzenie poprawności rozwiązania.

Mnożąc wyrażenie Pfaffa przez wyznaczony czynnik całkujący otrzymano
różniczkę zupełną.

(x)DX = cx

2

dy + 2cyxdx

dla której pochodne mieszane muszą być sobie równe.
Pochodne mieszane mają postać

(

)

=

(

)

Po obliczeniu ich wartości

2cx = 2cx

stwierdzono ich równość, co dowodzi, że czynnik całkujący został obliczony

prawidłowo.

Zadanie 3.10

Powietrze traktowane tak jak gaz doskonały o zasobie masy m = 3[kg] rozgęszczono w

przemianie izotermicznej odwracalnej zwiększając jego zasób objętości trzykrotnie. Ciśnienie

i temperatura początkowa powietrza są równe p

1

= 10[at] i t

1

= 300[C]. Indywidualna stała

gazowa powietrza ma wartość R = 287,04 [

kgK

J

]. Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość

przyrostu ilości ciepła doprowadzonego do układu oraz pracę bezwzględną objętościową i

techniczną rozgęszczania gazu.

Rozwiązanie

Dane: Wyznaczyć a następnie obliczyć wartości:

m = 3[kg] ∆Q

T = const. L

p

1

= 10[at] L

t

t

1

= 300[

o

C]

R = 287,04













kgK

J

1. Ilustracja układu oraz wykresy przemiany izotermicznej we współrzędnych p, V oraz T, S.

Ilustracja układu cylinder-tłok.

A

F

s2

p

0

V

1

, T=const

F

s1

p

2

= p

s2

+ p

0

p

1

= p

s1

+ p

0

V

2

T=const

p(V, T=const)

p

1

V

p

2

V

1

V

2

L

p

ΔQ

L

t

L

Ilustracja prac bezwzględnej objętościowej L oraz technicznej L

t

przemiany izotermicznej

rozgęszczania powietrza we współrzędnych p, V.

Ilustracja przyrostu ilości ciepła przemiany izotermicznej rozgęszczania powietrza we

współrzędnych

T, S.

1.1 Wyznaczenie ciśnienia statycznego absolutnego.

Ciśnienie statyczne powietrza w układzie pomierzone manometrem:

A

F

p

S

S



Ciśnienie statyczne absolutne powietrza w układzie:

0

p

p

p

p

s

sa







gdzie p

0

jest ciśnieniem otoczenia.

2. Bilans zasobu energii wewnętrznej dla przemiany odwracalnej.

Pierwsza postać pierwszej zasady termodynamiki określona jest zależnością:

L

Q

dE









1

gdzie praca bezwzględna objętościowa jest równa:

pdV

L 



S

1

V

S

2

ΔQ

T

T(S)= const

3. Bilans zasobu entalpii dla przemiany odwracalnej.

Druga postać pierwszej zasady termodynamiki określona jest zależnością:

t

L

Q

dH









gdzie praca techniczna jest równa:

Vdp

L

t







4. Bilans zasobu energii wewnętrznej dla przemiany izotermicznej.

Zasób energii wewnętrznej gazu doskonałego w układzie substancjalnym określony jest

związkiem:

mT

c

E





1

gdzie:

Dla gazu doskonałego

.

const

c 



Dla układu substancjalnego

.

const

m 

Dla przemiany izotermicznej

.

const

T 

Zatem elementarny przyrost zasobu energii wewnętrznej będzie równy:

0

1



dE

i bilans zasobu energii wewnętrznej dla przemiany odwracalnej zredukuje się do postaci:

L

Q







5. Bilans zasobu entalpii dla przemiany izotermicznej.

Zasób entalpii gazu doskonałego w układzie substancjalnym określony jest zależnością:

mT

c

H

p



Dla gazu doskonałego

.

const

c

p



Dla układu substancjalnego

.

const

m 

Dla przemiany izotermicznej

.

const

T 

Zatem elementarny przyrost zasobu entalpii będzie równy

0



dH

i druga postać pierwszej zasady termodynamiki zredukuje się do postaci:

t

L

dQ





6. Wyznaczenie pracy bezwzględnej objętościowej w przemianie izotermicznej.

Uwzględniając definicję pracy bezwzględnej objętościowej

pdV

L 



oraz równanie izotermy

.

1

1

const

V

p

pV





z którego wyznaczono ciśnienie gazu w funkcji zasobu jego objętości

V

V

p

p

1

1

1



otrzymano:

V

dV

V

p

L

1

1





Całkując powyższe równanie w granicach







L

V

V

V

dV

V

p

L

0

1

1

1

2



wyznaczono pracę bezwzględną objętościową:

3

ln

ln

ln

ln

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

1

mRT

V

V

mRT

V

V

V

p

V

V

V

V

p

L









Z powyższych równań wynika, że dla przemiany izotermicznej przyrost ilości ciepła

przemiany równy jest ilości pracy bezwzględnej objętościowej i pracy technicznej

przemiany

t

L

L

Q







7. Wyznaczenie pracy technicznej i przyrostu ilości ciepła w przemianie izotermicznej

odwracalnej:

3

ln

ln

1

1

2

1

mRT

V

V

mRT

L

L

Q

t











8. Rachunek mian dla pracy bezwzględnej objętościowej, technicznej i przyrostu ilości ciepła.

J

K

kgK

J

kg

Q

L

L

t











]

[

]

[

]

[

9. Obliczenie wartości pracy bezwzględnej objętościowej, technicznej i przyrostu ilości ciepła

rozgęszczonego powietrza w przemianie izotermicznej odwracalnej.

]

[

54223

0986

,

1

15

,

573

04

,

287

3

3

ln

1

J

mRT

L

L

Q

t



















Zadanie 3.12

Powietrze traktowane tak jak gaz doskonały o zasobie masy m=1,5[kg] zostało zgęszczone w
przemianie politropowej od wartości początkowych parametrów stanu p

p

=0,09[MPa] i

t

p

=18[

o

C] do wartości końcowych p

k

=1[MPa] i t

k

=125[

o

C].

Wyznaczyć, a następnie obliczyć wartość wykładnika politropy n, pracę bezwzględną
objętościową L oraz przyrost ilości ciepła przemiany ΔQ, wiedząc iż indywidualna stała
gazowa powietrza R=287,04

[

] zaś wykładnik izentropy k=1,4.

Rozwiązanie

Dane:

Wyznaczyć a następnie obliczyć

m=1,5[kg]

wartości:

p

p

=0,09[MPa]

n

t

p

=18[

o

C]

L

p

k

=1[MPa]

ΔQ

T

k

=125[

o

C]

R=287,04[

]

k=1,4

1. Wykresy przemiany politropowej zgęszczenia powietrza we współrzędnych p,V oraz

T,S.

p(V, T

k

=const)

T

k

p

S

k

S

V

T

S

p

T

p

V

k

V

p

Ilustracja pracy bezwzględnej objętościowej

przemiany politropow we współrzędnych p, V.

Ilustracja przyrostu ilości ciepła przemiany

politropowej we współrzędnych T, S.

L

p(V, T

p

=const)

p

k

p

p

ΔQ

ΔQ

2. Podstawowe związki określające politropę.

Z definicji ciepło właściwe politropy jest równe

=

Ciepło właściwe politropy w funkcji ciepła właściwego przy stałej objętości, wykładnika

izentropy oraz wykładnika politropy określone jest zależnością:

=

gdzie wykładnik politropy jest równy



c

c

c

c

n

p







zaś równanie politropy opisane jest związkiem

=

3. Wyznaczanie zasobu objętości powietrza przed i po jego zgęszczeniu.
Z równania stanu gazu doskonałego Clapeyrona wyznaczono:

początkowy zasób objętości powietrza

=

oraz końcowy zasób objętości powietrza

=

4. Wyznaczanie wykładnika politropy.

Z równania politropy dla stanu początkowego i końcowego, uzyskano związek

∙

=

∙

Podstawiając za V

p

oraz V

k

wielkości określone w punkcie 3

∙ (

) =

∙ (

)

otrzymano

(

)

= ( )

Logarytmując powyższe wyrażenie

(

1 − ) ln

=

( )

a następnie przekształcając je do postaci

+

=

wyznaczono wykładnik politropy

=

(

)

(

)

5. Wyznaczanie przyrostu ilości ciepła przemiany politropowej.
Z definicji ciepła właściwego przemiany politropowej

=

po rozdzieleniu zmiennych i pomnożeniu obustronnie przez zasób masy powietrza

znajdującego się w układzie, otrzymano

=

Ponieważ elementarny przyrost ilości ciepła jest równy

=

zatem

=

Uwzględniając ciepło właściwe politropy określone związkiem

=

∙

równanie Meyera

=

−

oraz definicję wykładnika izentropy

=

otrzymano w pierwszej kolejności zależność określającą ciepło właściwe przy stałej objętości

=

a następnie ciepło właściwe politropy

=

(

)

∙

(

)

(

)

Zatem przyrost ilości ciepła w przemianie politropowej określony jest związkiem

=

( − 1)

∙

( − )
( − 1)

∙

Całkując powyższe równanie w granicach

∫

=

(

)

(

)(

)

∆

∙

∙ ∫

otrzymano przyrost ilości ciepła w przemianie politropowej.

∆ =

∙

∙

∙ (

−

)

6. Wyznaczanie pracy bezwzględnej objętościowej przemiany politropowej.

Z równania politropy

=

=

określono ciśnienie w funkcji zasobu objętości

=

∙

Uwzględniając definicję pracy bezwzględnej objętościowej i ostatni związek, otrzymano

=

Całkując powyższe równanie w granicach

∫

=

∫

uzyskano wyrażenie określające pracę bezwzględną objętościową przemiany politropowej

=

∙

[

(

)

]

=

(

)

−

(

)

=

1 − ( )

(

)

7. Obliczenie wartości zasobu objętości powietrza przed zgęszczeniem.

39291

,

1

10

09

,

0

)

15

,

273

18

(

04

,

287

5

,

1

6













p

p

p

p

mRT

V

8. Obliczenie wartość zasobów objętości powietrza po zgęszczeniu.

 

3

6

171432

,

0

10

09

,

0

)

15

,

273

125

(

04

,

287

5

,

1

m

p

mRT

V

k

k

k













9. Obliczenie wartości wykładnika politropy.





1494

,

1

1

09

,

6

ln

15

,

273

125

ln

1

1

ln

ln

1

1





















































k

p

p

k

p

p

T

T

n

10. Obliczenie wartość przyrostu ilości ciepła w przemianie politropowej.

 

kJ

T

T

m

n

k

n

k

R

Q

p

k

191

,

193

)

15

,

291

15

,

398

(

5

,

1

)

1

1494

,

1

)(

1

4

,

1

(

)

4

,

1

194

,

1

(

04

,

287

)

(

1

1

































11. Obliczenie wartość pracy bezwzględnej objętościowej, przemiany politropowej.

=

( − 1)

1 −

=

0,09 ∙ 10 + 1,39291

1,1494 − 1

1 −

1,39291

0,171432

,

= −308,37[ ]