Kolokwium 1 A

1. Traktor ciągnie pod górę przyczepę o masie M=800 kg siłą o wartości F=2,78 kN. Nachylenie drogi wynosi =10

0

,

różnica poziomów H=20,0m, a współczynnik tarcia kinetycznego f=0,05. Oblicz (a) pracę W

1

jaką wykona traktor oraz

(b) pracęW

2

jaką wykona siła tarcia. Wskazówka: narysuj wektory sił działających na przyczepę, napisz wyrażenie na

pracę elementarną, narysuj wykres F

s

(s), oblicz całkowitą pracę.

g=10m/s

2

, sin =0,174; cos =0,985

Rozwiązanie: Dane: M,F, , H, f. Szukane:W

1

, W

2

Z def. praca elementarna:

, =

- kąt

między wektorem siły i elementarnego przemieszczenia (tu oznaczony inaczej niż
kąt nachylenia drogi w temacie zadania!). Praca na skooczonej drodze s:

.

Traktor ciągnie stałą siłą o wartości F, =0, stąd wzór na pracę ma postad:

kJ.

Siła tarcia ma również stałą wartośd, daną wzorem:

.

Praca przez nią wykonana:

kJ.

,

2. Ruch ciała o masie M odbywa się pod wpływem stałej siły (skierowanej wzdłuż osi x), a w chwili t=0 prędkośd ciała

wynosiła

, jego położenie

. (a) Napisz równanie ruchu ciała i warunki początkowe przy

zaniedbaniu oporów ruchu(zapis wektorowy!). Zastąp równanie wektorowe skalarnymi i przeanalizuj ruch w kierunku
każdej osi. (b) Znajdź wektory: prędkości

i położenia

.

Rozwiązanie: Dane: M, , itd…
Warunki początkowe: t=0,

,

-widad, że mamy przypadek dwuwymiarowy w pł. xy.

Równanie ruchu z II zasady Newtona:

.Zastępujemy równaniami skalarnymi:

,

. Widzimy,

że:

const, czyli ruch w kierunku osi x jednostajnie przyspieszony,

- ruch w kierunku osi y jednostajny

prostol. Stosujemy poznane wzory na prędkośd i położenie korzystając z warunków pocz.:

,

,

. Analogicznie obliczamy współrzędne i dostajemy

.

3. Ciało porusza się po torze danym równaniem :

. Wiadomo, że współrzędna

.

(a) Znajdź zależnośd

). Zapisz wektor położenia. Znajdź (b) wektor prędkości chwilowej i (c) przyspieszenia

chwilowego.
Z nielicznymi wyjątkami wszyscy zrobili to zadanie. Zwracam tylko uwagę, że ma ono dwa rozwiązania:

oraz

! To ostatnie związane z ruchem w przeciwnym kierunku. Ale ponieważ w rozwiązaniach zadao przed

kolokwium nie podałam tej możliwości, więc nie egzekwowałam jej na kolokwium.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Kolokwium 1 B

1. Koo ciągnie wóz o masie M=250kg za dyszel nachylony pod kątem 30

0

, siłą o wartości F

k

=3,00kN . Jaką pracę na

drodze s =4,5 km wykona siła tarcia, jeśli współczynnik tarcia kinetycznego f =0,25? Wskazówka: narysuj wektory sił
działających na wóz. Zapisz pracę elementarną i oblicz następnie W na skooczonej drodze.
Rozwiązanie: Dane: M,……Szukane:…..

Z

def.

praca

elementarna:

,

=

- kąt między wektorem siły i elementarnego przemieszczenia.

Praca na skooczonej drodze s:

.

Koo ciągnie stałą siłą o wartości F

k

, =30

0

, stąd siła tarcia ma również

stałą wartośd, daną wzorem:

, bo N=F

s

(patrz:rys.) .
Praca przez nią wykonana:

kJ.

s

F

t

F

W

2

W

1

s

2. Cząstka o masie m i ładunku +q wpada w stałe, jednorodne pole elektryczne o natężeniu (skierowane wzdłuż osi x) z
prędkością

, w punkcie P

. Siła ciężkości skierowana jest wzdłuż osi z. (a) Napisz równanie

ruchu cząstki i warunki początkowe przy zaniedbaniu oporów ruchu(zapis wektorowy!). Zastąp równanie wektorowe
skalarnymi i przeanalizuj ruch w kierunku każdej osi. (b) Znajdź wektory: prędkości

i położenia

.

Rozwiązanie: Dane: m, , itd…
Warunki początkowe: t=0,

,

- widad, że mamy przypadek 3D.

Równanie ruchu z II zasady Newtona:

. Zastępujemy równaniami skalarnymi:

,

.

Widzimy, że:

const, czyli ruch w kierunku osi x jednostajnie przyspieszony,

- ruch w

kierunku osi y jednostajny prostol. ,

- ruch w kierunku osi z jednostajnie przyspieszony.

Stosujemy poznane wzory na prędkośd i położenie korzystając z warunków pocz.:

,

,

,

.

Analogicznie obliczamy współrzędne i dostajemy

.

3. Przyjrzyj się wektorom

na rysunku. (a) Rozłóż je na wektory

składowe, znajdź ich współrzędne. Zapisz te wektory posługując się

wersorami

,

. (b) Znajdź prędkośd

ciała 2 względem 1, oblicz

wartośd , zaznacz ten wektor na rysunku.
Z nielicznymi wyjątkami wszyscy zrobili to zadanie, więc nie podaję
rozwiązania.


…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Kolokwium 1 C

1. Worek wypada z samolotu lecącego z prędkością v

0

na wysokości H. Jego położenie w czasie spadku określone jest

przez współrzędne:

, (

– stałe dodatnie).

(a) Znajdź równanie toru worka i naszkicuj go (znajdź równanie znanej ci krzywej). (b) Znajdź wektory: prędkości

i

przyspieszenia . (c) Oblicz czas spadku worka (wskazówka: po tym czasie worek dotknie ziemi – zastanów się, jaka
będzie wówczas wartośd współrzędnej y).
Z nielicznymi wyjątkami wszyscy zrobili to zadanie, więc nie podaję rozwiązania.

2. Wartośd wektora położenia ciała A wynosi r

A

=6,0cm, a kąt jaki tworzy z osią x jest równy 210

o

. (a) Znajdź jego

współrzędne. Zapisz ten wektor stosując wersory. Narysuj ten wektor.
Położenie ciała B dane jest wektorem

. (b) Narysuj ten wektor. Znajdź wektor

przemieszczenia ciała A względem ciała B i narysuj go na wykresie.
Rozwiązanie: Na pierwszych dwicz. podałam ”

Współrzędną wektora

na danej osi nazywamy iloczyn skalarny tego

wektora i wersora tej osi.

,

(wzór 2)

itd.” Należało zatem z tego wzoru skorzystad:

cm,

cm.

.

Rysunek był przeważnie poprawny.

3. Jaś rozciąga sprężynę o współczynniku sprężystości k=20,0N/m najpierw zwiększając jej długośd o d

1

= 10,0cm, potem

po krótkim odpoczynku jeszcze o d

2

= 15, 0cm. a. Jaką pracę wykona Jaś podczas drugiego rozciągania? Oblicz pracę

stosując metodę graficzną. b. Jaka praca będzie wykonana przez siłę sprężystości, jeśli Jaś puści koniec sprężyny i
powróci on w położenie równowagi?
Rozwiązanie:

5,0m/s

v

x

[m/s]

v

y

[m/s]

1

1

?

Z def. praca elementarna:

, =

- kąt między wektorem siły i elementarnego

przemieszczenia. Praca na skooczonej drodze s:

.

Siła sprężysta:

nie jest siłą stałą! Pracę możemy obliczyd z całki lub metodą graficzną (dokładnie

przestudiowad przykłady z wykładu 4!).

Praca wykonana przez Jasia:

,

(patrz

wykład!). Metodą graficzną należy policzyd pole powierzchni zaznaczonego trapezu:

.

Praca wykonana przez siłę sprężystą podczas kurczenia się sprężyny będzie dodatnia!
Siła ma ten sam zwrot co przemieszczenie!

Lub liczymy pole powierzchni zaznaczonego trójkąta.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Kolokwium 1 D

1. Ruch satelity odbywa się po torze danym równaniem:

(

stałe dodatnie). (a) Po

jakiej krzywej poruszała się satelita (równanie tej krzywej)? (b) Znajdź wektory: prędkości chwilowej

i

przyspieszenia . (c) Oblicz kąty między: wektorami i

oraz i . Naszkicuj tor sondy i zaznacz wymienione

wektory.
Rozwiązanie: Torem satelity jest elipsa (przykład z wykładu 1!).

,

. Równania podnosimy

obustronnie do kwadratu:

,

i dodajemy stronami. Dostajemy równanie elipsy:

.

Pozostałe podpunkty raczej nie sprawiły trudności.

2. Przez nieruchomy blok przerzucona jest nieważka nierozciągliwa lina, której kooców uczepiły się dwie
małpki o masach m

1

= 0,60kg i m

2

=0,50kg

. (a) Znajdź siły działające na małpki i zapisz dla każdej z nich

równanie ruchu. (b) Oblicz przyspieszenie pierwszej małpki i jej prędkośd względem ziemi, jeśli wiadomo,
że wspina się w górę liny ze stałą prędkością

m/s. (c) Po jakim czasie prędkośd pierwszej

małpki względem ziemi wyniesie 0?
To zadanie również większośd zrobiła, zastrzeżenie mam do oznaczeo wektorów przyspieszenia i
sprężystości lin - należy wektory rozróżnid indeksami, chociaż ich wartości są sobie równe. W równaniach
skalarnych można z tego skorzystad.

3. W położeniu równowagi koniec sprężyny znajduje się w punkcie x=0. Jaką prace wykona siła sprężystości podczas
kurczenia się sprężyny od x=10,0cm do x=2,0cm, jeśli k=4,0N/cm? Wskazówka: narysuj wykres siły w funkcji wychylenia
x i oblicz graficznie wykonaną przez nią pracę.

Wskazówka: Patrz przykład z wykładu 4 i rozwiązanie zad.3C.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Kolokwium 1 E

1. Wartośd wektora położenia ciała A wynosi r

A

=6,0cm, a kąt jaki tworzy z osią x jest równy 210

o

. (a) Znajdź jego

współrzędne. Zapisz ten wektor stosując wersory. Narysuj ten wektor. Położenie ciała B dane jest wektorem

. (b) Narysuj ten wektor. Znajdź kąt pomiędzy wektorami.

Uwagi: Patrz rozwiązanie zadania 2C odnośnie obliczania współrzędnych – w tym punkcie(a) było najwięcej dziwnych
metod.

2. Jabłko zostaje rzucone z prędkością

m/s w kierunku poziomym z wiaduktu o wysokości H=30,0m. (a) Napisz

równanie ruchu jabłka i warunki początkowe przy zaniedbaniu oporów ruchu(zapis wektorowy!). Zastąp równanie

F

J

, F

s

W

1

W

2

+kx

kd

1

k(d

1

+d

2

)

-k(d

1

+d

2

)

d

1

+d

2

d

1

x

-kx

wektorowe skalarnymi i przeanalizuj ruch w kierunku osi x (pozioma) i osi y (pionowa). (b) Znajdź wektory: prędkości

i położenia

. (c) Znajdź równanie toru jabłka i czas, po którym upadnie na ziemię.

Rozwiązanie: Dane: H, .. itd…
Warunki początkowe: t=0,

,

- widad, że mamy przypadek dwuwymiarowy, brak ruchu w

kierunku osi z.
Równanie ruchu z II zasady Newtona:

. Zastępujemy równaniami skalarnymi:,

.

Widzimy, że:

, czyli ruch w kierunku osi x jednostajny prostol. ,

- ruch w kierunku osi y jednostajnie

przyspieszony.
Stosujemy poznane wzory na prędkośd i położenie korzystając z warunków pocz.:

,

,

.

Analogicznie obliczamy współrzędne i dostajemy

.

Torem jest parabola:

o wierzchołku (0,H). Czas spadku

.

3. Jaką pracę wykona murarz, wyciągając dziurawe wiadro ze stałą prędkością v

0

na balkon o wysokości h, jeśli piasku

ubywa ze stałą szybkością kg/s, a początkowa masa wiadra wraz z piaskiem wynosiła m

0

(opory ruchu zaniedbujemy)?

Wskazówka: narysuj wykres siły w funkcji wysokości i oblicz graficznie wykonaną przez niego pracę.
Uwaga: Zadanie było przerobione na dwiczeniach ze wszystkimi grupami – proszę zapoznad się z jego rozwiązaniem.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Kolokwium 1 F

1. Po powierzchni stołu porusza się klocek o masie m (traktowany jako punkt materialny), na który działa siła

skierowana pod kątem do poziomu. Jeśli w chwili początkowej prędkośd klocka wynosiła

0)

,

(

0

0

v

v



i znajdował się

on a punkcie P (x

0

, y

0

)) i uwzględnimy siłę tarcia (współczynnik tarcia f), to jak będzie wyglądało równanie ruchu klocka i

warunki początkowe? Znajdź prędkośd klocka i jego wektor położenia. Oblicz czas, po którym się zatrzyma.
Warunki początkowe: t=0,

,

- widad, że mamy przypadek dwuwymiarowy, brak ruchu w

kierunku osi z.

Równanie ruchu z II zasady Newtona:

. Zastępujemy równaniami skalarnymi:

,

. Widzimy, że ruch w kierunku osi x

jest jednostajnie przyspieszony lub jednostajny prostoliniowy, zależnie od
wartości sił,

– brak ruchu w kierunku osi y wynika z tematu zadania.

Siła tarcia ma wartośd, daną wzorem:

, bo N=F

s

(patrz: rys.) .
Stosujemy poznane wzory na prędkośd i położenie jak w poprzednich zadaniach
2B i 2E.

2. Ruch ciała opisany jest układem równao:

,

,

. (a) Znajdź wektor prędkości i

(b) wektor przyspieszenia ciała. (c) Oblicz kąt między wektorem przyspieszenia i prędkości.

3. W położeniu równowagi koniec sprężyny znajduje się w punkcie x=0. Jaką prace wykona siła sprężystości podczas
rozciągania sprężyny od x=1,0cm do x=8,0cm, jeśli k=1,0N/cm? Wskazówka: narysuj wykres siły w funkcji wychylenia x i
oblicz graficznie wykonaną przez nią pracę.
Wskazówka: Patrz przykład z wykładu 4 i rozwiązanie zad.3C.