Kolokwium 1 A 

1. Traktor ciągnie pod górę przyczepę o masie M=800 kg siłą o wartości F=2,78 kN. Nachylenie drogi wynosi  =10

0

, 

różnica poziomów H=20,0m, a współczynnik tarcia kinetycznego f=0,05. Oblicz (a) pracę W

1

 jaką wykona traktor oraz 

 (b) pracęW

2

 jaką wykona siła tarcia. Wskazówka: narysuj wektory sił działających na przyczepę, napisz wyrażenie na 

pracę elementarną, narysuj wykres F

s

(s), oblicz całkowitą pracę. 

                                  g=10m/s

2

 , sin =0,174; cos =0,985 

Rozwiązanie: Dane: M,F,  , H, f. Szukane:W

1

, W

2

 

Z  def.  praca  elementarna: 

,  =

  -  kąt 

między  wektorem  siły  i  elementarnego  przemieszczenia  (tu  oznaczony  inaczej niż 
kąt  nachylenia  drogi  w  temacie  zadania!).  Praca  na  skooczonej  drodze  s: 

.  

Traktor  ciągnie  stałą  siłą  o  wartości  F,  =0,  stąd  wzór  na  pracę  ma  postad: 

kJ.  

Siła tarcia ma również stałą wartośd, daną  wzorem:  

 . 

 Praca przez nią wykonana: 

kJ. 

 

,

2. Ruch ciała o masie M odbywa się pod wpływem stałej siły   (skierowanej wzdłuż osi x), a w chwili t=0 prędkośd ciała 

wynosiła 

,  jego  położenie 

.  (a)  Napisz  równanie  ruchu  ciała  i  warunki  początkowe  przy 

zaniedbaniu oporów  ruchu(zapis wektorowy!). Zastąp równanie  wektorowe skalarnymi i przeanalizuj ruch w  kierunku 
każdej osi. (b) Znajdź wektory: prędkości 

 i położenia 

.  

Rozwiązanie: Dane: M,  , itd… 
Warunki początkowe: t=0,

, 

 -widad, że mamy przypadek dwuwymiarowy w pł. xy. 

Równanie ruchu z II zasady Newtona:   

.Zastępujemy równaniami skalarnymi: 

,  

. Widzimy, 

że: 

const, czyli ruch w kierunku osi x jednostajnie przyspieszony, 

 - ruch w kierunku osi y jednostajny 

prostol. Stosujemy poznane wzory na prędkośd i położenie korzystając z warunków pocz.: 
 

   , 

,              

. Analogicznie obliczamy współrzędne i dostajemy 

. 

 

3. Ciało porusza się po torze danym równaniem :  

. Wiadomo, że współrzędna  

. 

 (a) Znajdź zależnośd 

). Zapisz wektor położenia. Znajdź (b) wektor prędkości chwilowej i (c) przyspieszenia 

chwilowego.  
Z nielicznymi wyjątkami wszyscy zrobili to zadanie. Zwracam tylko uwagę, że ma ono dwa rozwiązania: 

 

oraz 

! To ostatnie związane z ruchem w przeciwnym kierunku. Ale ponieważ w rozwiązaniach zadao przed 

kolokwium nie podałam tej możliwości, więc nie egzekwowałam jej na kolokwium.  
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 

 

Kolokwium 1 B 

1. Koo ciągnie wóz o masie M=250kg za dyszel nachylony pod kątem 30

0

, siłą o wartości F

k

=3,00kN . Jaką pracę na 

drodze s =4,5 km wykona siła tarcia, jeśli współczynnik tarcia kinetycznego f =0,25? Wskazówka: narysuj wektory sił 
działających na wóz. Zapisz pracę elementarną i oblicz następnie W na skooczonej drodze. 
Rozwiązanie: Dane: M,……Szukane:….. 

Z 

def. 

praca 

elementarna: 

, 

=

 - kąt między wektorem siły i elementarnego przemieszczenia. 

Praca na skooczonej drodze s: 

.  

Koo ciągnie stałą siłą o wartości F

k

  ,  =30

0

,  stąd siła tarcia  ma również 

stałą  wartośd,  daną  wzorem:   

,  bo  N=F

s

 

(patrz:rys.) . 
 Praca przez nią wykonana: 

kJ. 

s 

F

t 

F

 

W

2

 

W

1

 

s 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Cząstka o masie m i ładunku +q wpada w stałe, jednorodne pole elektryczne o natężeniu   (skierowane wzdłuż osi x) z 
prędkością 

, w punkcie P 

. Siła ciężkości skierowana jest wzdłuż osi z. (a) Napisz równanie 

ruchu cząstki i warunki początkowe przy zaniedbaniu oporów ruchu(zapis wektorowy!). Zastąp równanie wektorowe 
skalarnymi i przeanalizuj ruch w kierunku każdej osi. (b) Znajdź wektory: prędkości 

 i położenia 

. 

Rozwiązanie: Dane: m,  , itd… 
Warunki początkowe: t=0,

, 

 - widad, że mamy przypadek 3D. 

Równanie ruchu z II zasady Newtona:   

. Zastępujemy równaniami skalarnymi: 

,  

. 

 Widzimy, że: 

const, czyli ruch w kierunku osi x jednostajnie przyspieszony, 

 - ruch w 

kierunku osi y jednostajny prostol. , 

 - ruch w kierunku osi z jednostajnie przyspieszony. 

 Stosujemy poznane wzory na prędkośd i położenie korzystając z warunków pocz.: 

 

   , 

,     

,        

 . 

   Analogicznie obliczamy współrzędne i dostajemy 

. 

 
 

3. Przyjrzyj się wektorom  

na rysunku. (a) Rozłóż je na wektory 

składowe, znajdź ich współrzędne. Zapisz te wektory posługując się 

wersorami

  

, 

. (b) Znajdź prędkośd 

 ciała 2 względem 1, oblicz 

wartośd , zaznacz ten wektor na rysunku. 
Z nielicznymi wyjątkami wszyscy zrobili to zadanie, więc nie podaję 
rozwiązania. 
 
 
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 

Kolokwium 1 C 

1.  Worek  wypada  z samolotu lecącego z prędkością  v

0 

na wysokości H. Jego położenie w  czasie  spadku  określone  jest 

przez współrzędne: 

 , (

 – stałe dodatnie). 

 (a) Znajdź równanie toru worka i naszkicuj go (znajdź równanie znanej ci krzywej). (b) Znajdź wektory: prędkości 

 i 

przyspieszenia  .  (c)  Oblicz  czas  spadku  worka  (wskazówka:  po  tym  czasie  worek  dotknie  ziemi  –  zastanów  się,  jaka 
będzie wówczas wartośd współrzędnej y).  
Z nielicznymi wyjątkami wszyscy zrobili to zadanie, więc nie podaję rozwiązania. 

 

2. Wartośd wektora położenia ciała A wynosi  r

A

 =6,0cm, a kąt jaki tworzy z osią x jest równy 210

o

. (a) Znajdź jego 

współrzędne. Zapisz ten wektor stosując wersory. Narysuj ten wektor.  
Położenie ciała B dane jest wektorem  

. (b) Narysuj ten wektor. Znajdź wektor 

przemieszczenia ciała A względem ciała B i narysuj go na wykresie. 
Rozwiązanie: Na pierwszych dwicz. podałam ”

 Współrzędną wektora

 na danej osi nazywamy iloczyn skalarny tego 

wektora i wersora tej osi. 

, 

(wzór 2)

 itd.” Należało zatem z tego wzoru skorzystad: 

cm, 

cm. 

.  

Rysunek był przeważnie poprawny. 

 

3. Jaś rozciąga sprężynę o współczynniku sprężystości k=20,0N/m najpierw zwiększając jej długośd o d

1

= 10,0cm, potem 

po krótkim odpoczynku jeszcze o d

2

= 15, 0cm. a. Jaką pracę wykona Jaś podczas drugiego rozciągania? Oblicz pracę 

stosując metodę graficzną. b. Jaka praca będzie wykonana przez siłę sprężystości, jeśli Jaś puści koniec sprężyny i 
powróci on w położenie równowagi? 
Rozwiązanie: 

 

5,0m/s 

v

x

 [m/s] 

v

y

 [m/s] 

1 

1 

 

? 

Z def. praca elementarna: 

,  =

 - kąt między wektorem siły i elementarnego 

przemieszczenia. Praca na skooczonej drodze s: 

.  

Siła  sprężysta: 

  nie  jest  siłą  stałą!  Pracę  możemy  obliczyd  z  całki    lub  metodą  graficzną  (dokładnie 

przestudiowad przykłady z wykładu 4!). 

Praca  wykonana  przez  Jasia:

,     

  (patrz 

wykład!). Metodą graficzną należy policzyd pole powierzchni zaznaczonego trapezu:   

 . 

Praca wykonana przez siłę sprężystą podczas kurczenia się sprężyny będzie dodatnia! 
Siła ma ten sam zwrot co przemieszczenie! 

 

Lub liczymy pole powierzchni zaznaczonego trójkąta. 
 
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 

Kolokwium 1 D 

1.  Ruch  satelity  odbywa  się  po  torze  danym  równaniem: 

  (

stałe  dodatnie).  (a)  Po 

jakiej  krzywej  poruszała  się  satelita  (równanie  tej  krzywej)?  (b)  Znajdź  wektory:  prędkości  chwilowej 

  i 

przyspieszenia  .  (c)  Oblicz  kąty  między:  wektorami    i 

  oraz    i  .  Naszkicuj  tor  sondy  i  zaznacz  wymienione 

wektory. 
Rozwiązanie:  Torem  satelity  jest  elipsa  (przykład  z  wykładu  1!).

, 

.  Równania  podnosimy 

obustronnie do kwadratu:  

,    

 i dodajemy stronami. Dostajemy równanie elipsy: 

 . 

Pozostałe podpunkty raczej nie sprawiły trudności. 

 

2. Przez nieruchomy blok przerzucona jest nieważka nierozciągliwa lina, której kooców uczepiły się dwie 
małpki o masach m

1

= 0,60kg i m

2 

=0,50kg

 

. (a) Znajdź siły działające na małpki i zapisz dla każdej z nich 

równanie ruchu. (b) Oblicz przyspieszenie pierwszej małpki i jej prędkośd względem ziemi, jeśli wiadomo, 
że  wspina  się  w  górę  liny  ze  stałą  prędkością 

m/s.  (c)  Po  jakim  czasie  prędkośd  pierwszej 

małpki względem ziemi wyniesie 0?  
To  zadanie  również  większośd  zrobiła,  zastrzeżenie  mam  do  oznaczeo  wektorów  przyspieszenia  i 
sprężystości lin - należy wektory rozróżnid indeksami, chociaż ich wartości są sobie równe. W równaniach 
skalarnych można z tego skorzystad. 

 

3. W położeniu równowagi koniec sprężyny znajduje się w punkcie x=0.  Jaką prace wykona siła sprężystości podczas 
kurczenia się sprężyny od x=10,0cm  do x=2,0cm, jeśli k=4,0N/cm? Wskazówka: narysuj wykres siły w funkcji wychylenia 
x  i oblicz graficznie wykonaną przez nią pracę. 

 

Wskazówka: Patrz przykład z wykładu 4 i rozwiązanie zad.3C. 
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 

Kolokwium 1 E 

1. Wartośd wektora położenia ciała A wynosi  r

A

 =6,0cm, a kąt jaki tworzy z osią x jest równy 210

o

. (a) Znajdź jego 

współrzędne. Zapisz ten wektor stosując wersory. Narysuj ten wektor. Położenie ciała B dane jest wektorem 
  

. (b) Narysuj ten wektor. Znajdź kąt pomiędzy wektorami. 

 

Uwagi: Patrz rozwiązanie zadania 2C odnośnie obliczania współrzędnych – w tym punkcie(a) było najwięcej dziwnych 
metod. 

 

2. Jabłko zostaje rzucone z prędkością 

m/s w kierunku poziomym z wiaduktu o wysokości H=30,0m. (a) Napisz 

równanie ruchu jabłka  i warunki początkowe przy zaniedbaniu oporów ruchu(zapis wektorowy!). Zastąp równanie 

F

J  

,  F

s 

W

1

 

W

2

 

+kx 

kd

1 

k(d

1

+d

2

) 

-k(d

1

+d

2

) 

d

1

+d

2

 

d

1

 

x 

-kx 

wektorowe skalarnymi i przeanalizuj ruch w kierunku osi x (pozioma) i osi y (pionowa). (b) Znajdź wektory: prędkości 

 i położenia 

. (c) Znajdź równanie toru jabłka i czas, po którym upadnie na ziemię. 

Rozwiązanie: Dane: H, .. itd… 
Warunki  początkowe:  t=0,

, 

  -  widad,  że  mamy  przypadek  dwuwymiarowy,  brak  ruchu  w 

kierunku osi z. 
Równanie  ruchu  z  II  zasady  Newtona:     

.  Zastępujemy  równaniami  skalarnymi:,   

. 

 

Widzimy,  że: 

,  czyli  ruch  w  kierunku  osi  x  jednostajny  prostol.  , 

  -  ruch  w  kierunku  osi  y  jednostajnie 

przyspieszony. 
 Stosujemy poznane wzory na prędkośd i położenie korzystając z warunków pocz.: 
 

   ,    

,        

 . 

   Analogicznie obliczamy współrzędne i dostajemy 

. 

Torem jest parabola: 

 o wierzchołku (0,H). Czas spadku 

. 

 
3. Jaką pracę wykona murarz, wyciągając dziurawe wiadro ze stałą prędkością v

0

 na balkon o wysokości h, jeśli piasku 

ubywa ze stałą szybkością   kg/s, a początkowa masa wiadra wraz z piaskiem wynosiła m

0

 (opory ruchu zaniedbujemy)? 

Wskazówka: narysuj wykres siły w funkcji wysokości i oblicz graficznie wykonaną przez niego pracę. 
Uwaga: Zadanie było przerobione na dwiczeniach ze wszystkimi grupami – proszę zapoznad się z jego rozwiązaniem. 
 
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 
 

Kolokwium 1 F 

1. Po powierzchni stołu porusza się klocek o masie m (traktowany jako punkt materialny), na który działa siła 

  

skierowana pod kątem   do poziomu. Jeśli w chwili początkowej prędkośd klocka wynosiła 

0)

,

(

0

0

v

v



 i znajdował się 

on a punkcie P (x

0

, y

0

)) i uwzględnimy siłę tarcia (współczynnik tarcia  f), to jak będzie wyglądało równanie ruchu klocka i 

warunki początkowe? Znajdź prędkośd  klocka i jego wektor położenia. Oblicz czas, po którym się zatrzyma. 
Warunki  początkowe:  t=0,

, 

  -  widad,  że  mamy  przypadek  dwuwymiarowy,  brak  ruchu  w 

kierunku osi z. 

Równanie ruchu z II zasady Newtona:   

. Zastępujemy równaniami skalarnymi: 

  

,     

.  Widzimy, że ruch w kierunku osi    x 

jest  jednostajnie  przyspieszony  lub  jednostajny  prostoliniowy,  zależnie  od 
wartości sił, 

 – brak ruchu w kierunku osi y wynika z tematu zadania. 

Siła  tarcia  ma  wartośd,  daną  wzorem:   

,  bo  N=F

s

 

(patrz: rys.) . 
 Stosujemy poznane wzory na prędkośd i położenie jak w poprzednich zadaniach 
2B i 2E. 

 

2. Ruch ciała opisany jest układem równao:  

, 

, 

. (a) Znajdź wektor prędkości  i 

(b) wektor przyspieszenia ciała. (c) Oblicz kąt między wektorem przyspieszenia i prędkości. 

 

3. W położeniu równowagi koniec sprężyny znajduje się w punkcie x=0.  Jaką prace wykona siła sprężystości podczas 
rozciągania sprężyny od x=1,0cm  do x=8,0cm, jeśli k=1,0N/cm? Wskazówka: narysuj wykres siły w funkcji wychylenia x  i 
oblicz graficznie wykonaną przez nią pracę. 
Wskazówka: Patrz przykład z wykładu 4 i rozwiązanie zad.3C.