1.  Podstawowe założenia wytrzymałości materiałów : 

- idealizacja materiału 
- idealizacja konstrukcji – uproszczenie konstrukcji: elementy prętowe, cienkościenne, masywne 
- idealizacja więzów – przeguby, utwierdzenia, podpory 
- idealizacja obciążenia – siły, momenty 



 

Ciągłość materiału- w materiale nie występują mikropęknięcia, pustki. Rozpatrywane 

materiały można uważać za continuum materialne. 



 

continuum materialne – każdy punkt geometryczny ciała ma przypisaną masę która jest w 

sposób ciągły rozłożona w przestrzeni ciała. 



 

Jednorodność materiału- właściwości mechaniczne, fizyczne materiału nie są funkcjami 

położenia, czyli są jednakowe w każdym punkcie elementu konstrukcyjnego. 



 

Izotropowość materiału- właściwości mechaniczne, fizyczne nie zależą od orientacji 

rozpatrywanej objętości elementarnej ciała. 



 

Liniowa sprężystość materiału- zakłada że do pewnej granicy obciążenia ciało zachowuje 

ciągłość struktury oraz, że istnieje jednoznaczny, bez naprężenia stan ciała, do którego 
badane ciało powraca, ilekroć zostaną usunięte siły zewnętrzne. 

 
To są zasady obliczeniowe: 



 

Zasada zesztywnienia – linie działania sił przyłożonych do ciała nieodkształconego nie 

zmieniają położenia w ciele odkształconym. Niezależnie od obciążeń konstrukcja nie zmienia 
geometrii. 



 

Zasada superpozycji lub zasada niezależności obciążeń, reakcje na obciążenia można 

sumować. 



 

Zasada De Saint-Venanta – jeśli w pewnym miejscu danej bryły przyłożymy różne, ale 

statecznie równoważne obciążenia, to naprężenia miejscowe będą różne, natomiast w 
pozostałej części bryły sposób przyłożenia nie ma wpływu na rozkład naprężeń. Przyjmujemy, 
że siła jest w punkcie lub na jakiejś długości a nie na fragmencie objętości. 



 

Założenia statyczności obciążeń- przyjmuje się, że działające na konstrukcje siły wzrastają od 

wartości zerowej aż do ich ostatecznej wartości w sposób ciągły i nieskończenie powolny 



 

Ciało rozważamy w stanie statycznym 



 

Zasada płaskich przekrojów – zakłada się, że przekrój płaski przeprowadzony myślowo w ciele 

nieodkształconym, chociaż może zmienić swe położenie przy odkształceniu ciała, pozostaje 
nadal płaski. 

 

2.  siła przekrojowa, siła wewnętrzna, siłą zewnętrzna,  gęstość sił wewnętrznych 



 

siła przekrojowa - uogólniona siła (czyli siła albo moment) wypadkowa pochodząca od 
obciążeń działających na odrzuconą część układu a redukowana do (względem) układu 
własnego przekroju poprzecznego; znak określany na podstawie konwencji znakowania sił 
przekrojowych 



 

siłą zewnętrzna – siłą jaką przykładamy do ciała ‘z zewnątrz’, dzielimy je na 
objętościowe(masowe – siły wywołane przyspieszeniem, związane z masą lub objętością 
ciała) i powierzchniowe(przyłożone do powierzchni ciała, przyczyną ich występowania jest 
zwykle oddziaływanie dwu ciał na siebie[akcja-reakcja]). Układ sił zew. Działających na 
ciało możemy podzielić na czynne(obciążenia) i bierne(reakcji). 



 

siła wewnętrzna - (w punkcie), siła wypadkowa, z jaką cząstki odrzuconej części układu 
działają na wybrany punkt przekroju(zawsze parami przeciwne, działają wzdłuż tej samej 
prostej, równe wartości, przeciwne zwroty)  



 

gęstość powierzchniowa sił wewnętrznych – jego miarą jest naprężenie. Jednostką 
naprężenia jest paskal. Naprężenie to stosunek siły działającej na jakimś elemencie pola 
do pola tego elementu. 

 
3.  tensor/macierz naprężenia i odkształcenia, interpretacja składowych 



 

macierz naprężenia - macierz, której elementami są współrzędne tensora naprężenia; 

matematyczny zapis stanu naprężenia w wybranym układzie współrzędnych 

  

macierz symetryczna, reprezentacją tensora naprężeń jest macierz naprężeń 

z

zy

zx

yz

y

yx

xz

xy

x



















 σ

x

, σ

y

, σ

z

 – 

naprężenia normalne na płaszczyźnie prostopadłej do osi: X,Y,Z 

(gęstość powierzchniowa sił normalnych) 

τ

 – naprężenia styczne 

τ

yx

 – naprężenie styczne na płaszczyźnie prostopadłej do osi Y i równoległe do osi X(analogicznie…) 

τ

xy

= τ

yx

  

τ

xz

= τ

zx  

τ

yz

= τ

zy

 

 



 

macierz odkształcenia - macierz, której elementami są współrzędne tensora odkształcenia; 

matematyczny zapis stanu odkształcenia w wybranym układzie współrzędnych. Jest to 
uporządkowany zbiór odkształceń linowych i kątowych. 

 
macierz symetryczna, reprezentacją tensora odkształcenia, jest macierz odkształcenia

  

z

zy

zx

yz

y

yx

xz

xy

x



















2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

lub 

  

ε

x

, ε

y

, ε

z

 – 

odkształcenia liniowe włókna równoległego do osi: X,Y,Z 

ϒ 

– odkształcenia kątowe 

ϒ

xy

 

– odkształcenie kątowe włókien równoległych do osi X i Y(analogicznie…) 

ϒ

xy

= ϒ

yx

, 

ϒ

xz

= ϒ

zx

, 

ϒ

yz

= ϒ

zy

 

 

4.  wartości (kierunki) własne macierzy odkształceń i naprężeń 



 

naprężenia: 

Wartości własne macierzy naprężeń określają maksymalne występujące naprężenia 
normalne(ściskające lub rozciągające) nazywane naprężeniami głównymi. Przy występowaniu 
naprężeń głównych nie ma naprężeń ścinających. Macierz naprężeń posiada wartości tylko na 
głównej diagonali i są one ekstremalne. 
Kierunki  własne są to kierunki osi układu współrzędnych dla którego macierz tensora naprężeń jest 
macierzą diagonalną(posiada ekstremalne naprężenia normalne na przekątnej macierzy). 

  

 

 



 

odkształcenia: 

Wartości własne macierzy odkształceń to ekstremalne odkształcenia liniowe występujące w danym 
stanie odkształcenia. Macierz odkształceń głównych posiada wartości tylko na głównej przekątnej i są 
to właśnie ekstremalne odkształcenia liniowe. 
Kierunki główne są to 3 prostopadłe do siebie kierunki na których działają ekstremalne odkształcenia 
liniowe. Odkształceniom głównym nie towarzyszą zmiany kątów odkształcenia postaciowego 
(kątowego) 

 

Równanie wiekowe - równanie sześcienne, w którym współczynnikami są niezmienniki główne a jego 
pierwiastkami – wartości własne tensora. 

 

σ –

 naprężenie głowne 

Niezmienniki - wielkość nie zależąca od przyjętego układu współrzędnych.  

Niezmienniki główne wyznaczymy z: 

 

 

 

 
5.  płaski stan naprężeń - wzory transformacyjne 
Płaskim stanem naprężenia nazywamy przypadek kiedy dla wszystkich przekrojów 
poprowadzonych przez dany punkt ciała naprężenia leża na jednej płaszczyźnie. 
Płaski stan naprężenia w punkcie można jednoznacznie określić za pomocą trzech niezależnych 
składowych wektora: 

]

[

xy

y

x











 lub 

]

[

2

1









kat



 - naprężenia głowne 

Wzory transformacyjne przy obrocie układu wsp. o dany kąt (znamy naprężenia główne i kąt): 

































2

sin

2

2

cos

2

2

2

cos

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1





























xy

y

x

 

Naprężenia główne dla płaskiego stanu naprężeń (znamy 

xy

y

x







): 

2

2

2

,

1

4

)

(

2

1

2

xy

y

x

y

x





























 

y

x

xy

tg















2

2

 - kąt 

Kierunki naprężeń głównych nazywamy kierunkami głównymi a przekroje przekrojami głównymi. 
Stan, w którym współrzędne w jednym wierszu i jednej kolumnie (symetrycznego) tensora 
naprężenia są równe zero; najczęściej nie odpowiada mu jednocześnie płaski stan odkształcenia; 
przykład: tarcza 
Przykładowa macierz płaskiego stanu naprężeń: 

 

 
6.  prawo Hook'a i współczynniki sprężystości 
Prawo Hooke'a – prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że 
w pewnych granicach właściwych danemu materiałowi odkształcenie jest proporcjonalne do 
naprężenia. Współczynnik między naprężeniem a odkształceniem jest często nazywany 
współczynnikiem (modułem) sprężystości. 

 

dla odkształceń liniowych 

 

 

 

Moduł Younga (E) – inaczej  moduł (współczynnik) sprężystości podłużnej (w układzie jednostek SI) – 
wielkość określająca sprężystość materiału. Wyraża ona, charakterystyczną dla danego materiału, 

zależność względnego odkształcenia liniowego ε materiału od naprężenia σ, jakie w nim występuje w 
zakresie odkształceń sprężystych. 

 

7.  Skręcanie-

 

stan obciążenia materiału, w którym na materiał działa moment, nazwany momentem 

skręcającym, działający w płaszczyźnie przekroju poprzecznego materiału. Powoduje on 
występowanie naprężeń ścinających w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny działania 
momentu. Skręcanie występuje w prętach, którymi najczęściej są wały. 

Wzory: 

Dla pręta pryzmatycznego (I

0

=const, M

s

=const) 









0

I

G

l

M

s

0

max

W

M

s





max

0

0



I

W



  

Do obliczeń wytrzymałościowych: 

s

k



max



dop







max

 

M

s

 – moment skręcający w danym przekroju  

 τ

max

 – naprężenia styczne (maksymalne) w punktach odległych o r od środka przekroju  

 I

0

 – biegunowy moment bezwładności pola przekroju względem środka  

 W

0

 –wskaźnik wytrzymałości przekroju przy skręcaniu 

ϕ – kąt skręcenia względem siebie przekrojów 
ρ

max

 – odległość od osi gdzie występują maksymalne naprężenia styczne 

G – moduł sprężystości postaciowej 
l - długość 
Macierz naprężeń i odkształceń przy skręcaniu: 

  

 indeksy na odwrót w pierwszych kolumnach

 

 
8.  Zginanie- stan deformacji, przy którym prosty w stanie niezdeformowanym pręt, po deformacji 

jest zakrzywiony (wykazuje różną od zera krzywiznę). Występuje wówczas, kiedy w wyniku 
redukcji wszystkich sił zewnętrznych (po obu stronach przekroju), otrzymamy parę sił w 
płaszczyźnie prostopadłej do tego przekroju i zwykle jeszcze siłę poprzeczną lub podłużną. 
Zginanie jest dominującym sposobem pracy elementów konstrukcji, którymi są

 belki

. 

 

Zginanie czyste - naprężenia w przekroju redukują się jedynie do momentu zginającego, brak jest 

sił podłużnych i sił poprzecznych (ścinających) 

0

)

(



dx

x

dM

 (moment stały) 

 

Zginanie poprzeczne – występuje gdy naprężenia w przekroju redukują się do momentu 

zginającego i do sił poprzecznych. Płaszczyzną działania obu tych sił przekrojowych jest płaszczyzna 

symetrii pręta. Moment zginający zmienia swoją wartość na długości pręta 

)

(

)

(

x

T

dx

x

dM



 

Macierz naprężeń i odkształceń przy zginaniu czystym: 

 

Macierz naprężeń i odkształceń przy zginaniu poprzecznym : 

 

 

Wzory: 

g

g

k

W

Mg





max

max



max

Y

I

W

z

g



 

 
9.  energia sprężysta- energia odkształcenia nagromadzona w ciele sprężystym w wyniku jego 

odkształceń; Energia sprężysta to praca sił wewnętrznych na odkształceniach przez nie 
wywołanych. Jest ona odwracalna, co znaczy, ze po usunięciu sił obciążających zużywa się na 
odzyskanie początkowej konfiguracji ciała. Jest częścią  energii wewnętrznej pochodzącą od 
pracy sił zewnętrznych na przemieszczeniach ośrodka w zakresie sprężystym. 

 

W=U  W – praca odkształcenia sprężystego  

U – energia odkształcenia 

 
10.   hipotezy wytężeniowe- hipotezy podające sposób (zasadę) obliczenia wytężenia; celem jest 

odniesienie złożonego stanu naprężenia na stan jednoosiowy, czyli taki, w którym możemy 
określić jednoznacznie stan mechaniczny materiału; Hipotezy wytężeniowe określają miarę 
wytężenia niezależnie od rodzaju stanu naprężenia. Niektóre z hipotez: 

 



 

Hipoteza Coulomba-Tresci-Guesta zakłada, że miarą wytężenia materiału jest największe 

naprężenie styczne; 

dop

red















3

1

 dla płaskiego stanu naprężenia: 

dop

xy

y

x

red





















2

2

4

)

(

 



 

Hipoteza de Saint-Venenta zakłada, że miarą wytężenia jest największe wydłużenie względne. 

dop

red

v



















)

(

3

2

1

 



 

Hipoteza Hubera-Misesa-Hencky’ego zakłada, że miarą wytężenia jest energia właściwa 

odkształcenia postaciowego 

 

Warunek wyrażony przez naprężenia główne: 

dop

red

































2

1

3

2

3

2

2

2

1

)

(

)

(

)

(

2

1

 

 

Dla dowolnych składowych: 

dop

zx

yz

xy

red















































)

(

3

]

)

(

)

(

)

[(

2

1

2

2

2

2

1

3

2

3

2

2

2

1

 

 

W płaskim stanie naprężenia: 

dop

xy

y

x

y

x

red





























2

2

2

3

 

 
11.   Wyboczenie - przemieszczenia układu powstałe w wyniku utraty stateczności. Utrata 

stateczności prostoliniowej postaci równowagi pręta może wystąpić wówczas gdy osiowa siłą 
ściskająca P przekroczy wartość siły krytycznej. 

 

Siła krytyczna - siła przy której pręt (konstrukcja) traci stateczność 

2

min

2

r

kr

I

l

E

P







 

l

I

r







  - długość zredukowana  

Wzór ten jest prawdziwy dla smukłości λ nie mniejszej od smukłości granicznej λ

gr

, gdy λ jest mniejsza 

od granicznej to stosujemy wzory empiryczne – np. Tetmajera - Jasińsiego 
l

min

- najmniejszy osiowy moment bezwładności przekroju poprzecznego 

α – współczynnik zależny od sposobu zamocowania końców pręta 
 
12.   wykres rozciągania/ściskania stali z omówieniem granic i punktów charakterystycznych 

wykres rozciągania – przypadek ogólny

 

Statyczna próba rozciągania – podstawowa metoda badań wytrzymałościowych materiałów 
konstrukcyjnych. Badanie polega na osiowym rozciąganiu znormalizowanej próbki ze stałą szybkością 
w temperaturze pokojowej (10-35°C), obniżonej lub podwyższonej. W czasie próby rejestruje się 
zależność siły rozciągającej od przyrostu długości próbki. Początkowo wzrost przykładanej siły 
powoduje liniowy wzrost odkształcenia, aż do osiągnięcia granicy proporcjonalności R

H

. W zakresie 

tym obowiązuje prawo Hooke'a. Następnie po osiągnięciu wyraźnej granicy sprężystości R

sp

 materiał 

przechodzi w stan plastyczny, a odkształcenie staje się nieodwracalne. Jeżeli niemożliwe było 
określenie wyraźnej granicy sprężystości to wyznacza się umowną granicę sprężystości R

0,05%

. Dalsze 

zwiększanie naprężenia powoduje nieliniowy wzrost odkształcenia, aż do momentu wystąpienia 
zauważalnego, lokalnego przewężenia zwanego szyjką. Naprężenie, w którym pojawia się szyjka, 
zwane jest wytrzymałością na rozciąganie R

m

. Dalsze rozciąganie próbki powoduje jej zerwanie przy 

naprężeniu zrywającym R

u

 (Uwaga! Wykres przedstawia dwie linie. Przerywana pokazuje naprężenie 

rzeczywiste obliczane przy uwzględnieniu przewężenia próbki. Linia ciągła pokazuje stosunek 
uzyskiwanych sił do przekroju początkowego. 
 

 

Statyczna próba ściskania - metoda badań wytrzymałościowych materiałów konstrukcyjnych. Badanie 
polega na osiowym ściskaniu znormalizowanej próbki ze stałą szybkością. W czasie próby rejestruje 
się zależność siły ściskającej od skrócenia próbki. W początkowym okresie ściskania, skrócenie próbki 
jest proporcjonalne do naprężeń. Odcinek OA wyraża liniową zależność pomiędzy siłą a 

odkształceniem. W punkcie A pojawia się siła przy której zaczyna się granica proporcjonalności 
materiału, która w praktyce utożsamiamy z granicą sprężystości. Na AB szybszy wzrost deformacji 
przy małym wzroście siły obciążającej. W punkcie B jest granica plastyczności. Zwiększenie siły po jej 
przekroczeniu powoduje coraz wyraźniejsze pęcznienie próbki, objawiające się stałym wzrostem 
przekroju poprzecznego. Próbę kończymy gdy próbka ulegnie zniszczeniu i odczytujemy 
wytrzymałość materiału na ściskanie. Często zdarza się, że próbka zostaje spłaszczona, jednak nie 
zniszczona. Mało które metale ulegają zniszczeniu podczas tej próby. Nie wyznacza się wytrzymałości 
na ściskanie dla metali plastycznych ponieważ próbki te nie ulegają zniszczeniu. Próbę przerywa się 
najczęściej wtedy z powodu wyczerpania zakresu maszyny wytrzymałościowej. 
 
 
 
Jakie są naprężenia w przekroju wzdłużnym? 
Styczne i normalne