1. Podstawowe założenia wytrzymałości materiałów :

- idealizacja materiału

- idealizacja konstrukcji – uproszczenie konstrukcji: elementy prętowe, cienkościenne, masywne

- idealizacja więzów – przeguby, utwierdzenia, podpory

- idealizacja obciążenia – siły, momenty

• Ciągłość materiału- w materiale nie występują mikropęknięcia, pustki. Rozpatrywane materiały można uważać za continuum materialne.

• continuum materialne – każdy punkt geometryczny ciała ma przypisaną masę która jest w sposób ciągły rozłożona w przestrzeni ciała.

• Jednorodność materiału- właściwości mechaniczne, fizyczne materiału nie są funkcjami położenia, czyli są jednakowe w każdym punkcie elementu konstrukcyjnego.

• Izotropowość materiału- właściwości mechaniczne, fizyczne nie zależą od orientacji rozpatrywanej objętości elementarnej ciała.

• Liniowa sprężystość materiału- zakłada że do pewnej granicy obciążenia ciało zachowuje ciągłość struktury oraz, że istnieje jednoznaczny, bez naprężenia stan ciała, do którego badane ciało powraca, ilekroć zostaną usunięte siły zewnętrzne.

To są zasady obliczeniowe:

• Zasada zesztywnienia – linie działania sił przyłożonych do ciała nieodkształconego nie zmieniają położenia w ciele odkształconym. Niezależnie od obciążeń konstrukcja nie zmienia geometrii.

• Zasada superpozycji lub zasada niezależności obciążeń, reakcje na obciążenia można sumować.

• Zasada De Saint-Venanta – jeśli w pewnym miejscu danej bryły przyłożymy różne, ale statecznie równoważne obciążenia, to naprężenia miejscowe będą różne, natomiast w pozostałej części bryły sposób przyłożenia nie ma wpływu na rozkład naprężeń. Przyjmujemy, że siła jest w punkcie lub na jakiejś długości a nie na fragmencie objętości.

• Założenia statyczności obciążeń- przyjmuje się, że działające na konstrukcje siły wzrastają od wartości zerowej aż do ich ostatecznej wartości w sposób ciągły i nieskończenie powolny

• Ciało rozważamy w stanie statycznym

• Zasada płaskich przekrojów – zakłada się, że przekrój płaski przeprowadzony myślowo w ciele nieodkształconym, chociaż może zmienić swe położenie przy odkształceniu ciała, pozostaje nadal płaski.

1. siła przekrojowa, siła wewnętrzna, siłą zewnętrzna, gęstość sił wewnętrznych

• siła przekrojowa - uogólniona siła (czyli siła albo moment) wypadkowa pochodząca od obciążeń działających na odrzuconą część układu a redukowana do (względem) układu własnego przekroju poprzecznego; znak określany na podstawie konwencji znakowania sił przekrojowych

• siłą zewnętrzna – siłą jaką przykładamy do ciała ‘z zewnątrz’, dzielimy je na objętościowe(masowe – siły wywołane przyspieszeniem, związane z masą lub objętością ciała) i powierzchniowe(przyłożone do powierzchni ciała, przyczyną ich występowania jest zwykle oddziaływanie dwu ciał na siebie[akcja-reakcja]). Układ sił zew. Działających na ciało możemy podzielić na czynne(obciążenia) i bierne(reakcji).

• siła wewnętrzna - (w punkcie), siła wypadkowa, z jaką cząstki odrzuconej części układu działają na wybrany punkt przekroju(zawsze parami przeciwne, działają wzdłuż tej samej prostej, równe wartości, przeciwne zwroty)

• gęstość powierzchniowa sił wewnętrznych – jego miarą jest naprężenie. Jednostką naprężenia jest paskal. Naprężenie to stosunek siły działającej na jakimś elemencie pola do pola tego elementu.

1. tensor/macierz naprężenia i odkształcenia, interpretacja składowych

• macierz naprężenia - macierz, której elementami są współrzędne tensora naprężenia; matematyczny zapis stanu naprężenia w wybranym układzie współrzędnych

macierz symetryczna, reprezentacją tensora naprężeń jest macierz naprężeń

σ_x, σ_y, σ_z – naprężenia normalne na płaszczyźnie prostopadłej do osi: X,Y,Z

(gęstość powierzchniowa sił normalnych)

τ – naprężenia styczne

τ_yx – naprężenie styczne na płaszczyźnie prostopadłej do osi Y i równoległe do osi X(analogicznie…)

τ_xy= τ_yx τ_xz= τ_zx τ_yz= τ_zy

• macierz odkształcenia - macierz, której elementami są współrzędne tensora odkształcenia; matematyczny zapis stanu odkształcenia w wybranym układzie współrzędnych. Jest to uporządkowany zbiór odkształceń linowych i kątowych.

macierz symetryczna, reprezentacją tensora odkształcenia, jest macierz odkształcenia

lub

ε_x, ε_y, ε_z – odkształcenia liniowe włókna równoległego do osi: X,Y,Z

ϒ – odkształcenia kątowe

ϒ_xy – odkształcenie kątowe włókien równoległych do osi X i Y(analogicznie…)

ϒ_xy= ϒ_yx, ϒ_xz= ϒ_zx, ϒ_yz= ϒ_zy

1. wartości (kierunki) własne macierzy odkształceń i naprężeń

• naprężenia:

Wartości własne macierzy naprężeń określają maksymalne występujące naprężenia normalne(ściskające lub rozciągające) nazywane naprężeniami głównymi. Przy występowaniu naprężeń głównych nie ma naprężeń ścinających. Macierz naprężeń posiada wartości tylko na głównej diagonali i są one ekstremalne.

Kierunki własne są to kierunki osi układu współrzędnych dla którego macierz tensora naprężeń jest macierzą diagonalną(posiada ekstremalne naprężenia normalne na przekątnej macierzy).

• odkształcenia:

Wartości własne macierzy odkształceń to ekstremalne odkształcenia liniowe występujące w danym stanie odkształcenia. Macierz odkształceń głównych posiada wartości tylko na głównej przekątnej i są to właśnie ekstremalne odkształcenia liniowe.

Kierunki główne są to 3 prostopadłe do siebie kierunki na których działają ekstremalne odkształcenia liniowe. Odkształceniom głównym nie towarzyszą zmiany kątów odkształcenia postaciowego (kątowego)

Równanie wiekowe - równanie sześcienne, w którym współczynnikami są niezmienniki główne a jego pierwiastkami – wartości własne tensora.

σ – naprężenie głowne

Niezmienniki - wielkość nie zależąca od przyjętego układu współrzędnych.

Niezmienniki główne wyznaczymy z:

1. płaski stan naprężeń - wzory transformacyjne

Płaskim stanem naprężenia nazywamy przypadek kiedy dla wszystkich przekrojów poprowadzonych przez dany punkt ciała naprężenia leża na jednej płaszczyźnie.

Płaski stan naprężenia w punkcie można jednoznacznie określić za pomocą trzech niezależnych składowych wektora:

lub - naprężenia głowne

Wzory transformacyjne przy obrocie układu wsp. o dany kąt (znamy naprężenia główne i kąt):

Naprężenia główne dla płaskiego stanu naprężeń (znamy ):

- kąt

Kierunki naprężeń głównych nazywamy kierunkami głównymi a przekroje przekrojami głównymi.

Stan, w którym współrzędne w jednym wierszu i jednej kolumnie (symetrycznego) tensora

naprężenia są równe zero; najczęściej nie odpowiada mu jednocześnie płaski stan odkształcenia; przykład: tarcza

Przykładowa macierz płaskiego stanu naprężeń:

1. prawo Hook'a i współczynniki sprężystości

Prawo Hooke'a – prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że w pewnych granicach właściwych danemu materiałowi odkształcenie jest proporcjonalne do naprężenia. Współczynnik między naprężeniem a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

dla odkształceń liniowych

Moduł Younga (E) – inaczej  moduł (współczynnik) sprężystości podłużnej (w układzie jednostek SI) – wielkość określająca sprężystość materiału. Wyraża ona, charakterystyczną dla danego materiału, zależność względnego odkształcenia liniowego ε materiału od naprężenia σ, jakie w nim występuje w zakresie odkształceń sprężystych.

1. Skręcanie- stan obciążenia materiału, w którym na materiał działa moment, nazwany momentem skręcającym, działający w płaszczyźnie przekroju poprzecznego materiału. Powoduje on występowanie naprężeń ścinających w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny działania momentu. Skręcanie występuje w prętach, którymi najczęściej są wały.

Wzory:

Dla pręta pryzmatycznego (I₀=const, M_s=const)

Do obliczeń wytrzymałościowych:

M_s – moment skręcający w danym przekroju

τ_max – naprężenia styczne (maksymalne) w punktach odległych o r od środka przekroju

I₀ – biegunowy moment bezwładności pola przekroju względem środka

W₀ –wskaźnik wytrzymałości przekroju przy skręcaniu

ϕ – kąt skręcenia względem siebie przekrojów

ρ_max – odległość od osi gdzie występują maksymalne naprężenia styczne

G – moduł sprężystości postaciowej

l - długość

Macierz naprężeń i odkształceń przy skręcaniu:

indeksy na odwrót w pierwszych kolumnach

1. Zginanie- stan deformacji, przy którym prosty w stanie niezdeformowanym pręt, po deformacji jest zakrzywiony (wykazuje różną od zera krzywiznę). Występuje wówczas, kiedy w wyniku redukcji wszystkich sił zewnętrznych (po obu stronach przekroju), otrzymamy parę sił w płaszczyźnie prostopadłej do tego przekroju i zwykle jeszcze siłę poprzeczną lub podłużną.

Zginanie jest dominującym sposobem pracy elementów konstrukcji, którymi są belki.

Zginanie czyste - naprężenia w przekroju redukują się jedynie do momentu zginającego, brak jest sił podłużnych i sił poprzecznych (ścinających) (moment stały)

Zginanie poprzeczne – występuje gdy naprężenia w przekroju redukują się do momentu zginającego i do sił poprzecznych. Płaszczyzną działania obu tych sił przekrojowych jest płaszczyzna symetrii pręta. Moment zginający zmienia swoją wartość na długości pręta

Macierz naprężeń i odkształceń przy zginaniu czystym:

Macierz naprężeń i odkształceń przy zginaniu poprzecznym :

Wzory:

1. energia sprężysta- energia odkształcenia nagromadzona w ciele sprężystym w wyniku jego odkształceń; Energia sprężysta to praca sił wewnętrznych na odkształceniach przez nie wywołanych. Jest ona odwracalna, co znaczy, ze po usunięciu sił obciążających zużywa się na odzyskanie początkowej konfiguracji ciała. Jest częścią  energii wewnętrznej pochodzącą od pracy sił zewnętrznych na przemieszczeniach ośrodka w zakresie sprężystym.

W=U W – praca odkształcenia sprężystego U – energia odkształcenia

1. hipotezy wytężeniowe- hipotezy podające sposób (zasadę) obliczenia wytężenia; celem jest odniesienie złożonego stanu naprężenia na stan jednoosiowy, czyli taki, w którym możemy określić jednoznacznie stan mechaniczny materiału; Hipotezy wytężeniowe określają miarę wytężenia niezależnie od rodzaju stanu naprężenia. Niektóre z hipotez:

• Hipoteza Coulomba-Tresci-Guesta zakłada, że miarą wytężenia materiału jest największe naprężenie styczne;

dla płaskiego stanu naprężenia:

• Hipoteza de Saint-Venenta zakłada, że miarą wytężenia jest największe wydłużenie względne.

• Hipoteza Hubera-Misesa-Hencky’ego zakłada, że miarą wytężenia jest energia właściwa odkształcenia postaciowego

Warunek wyrażony przez naprężenia główne:

Dla dowolnych składowych:

W płaskim stanie naprężenia:

1. Wyboczenie - przemieszczenia układu powstałe w wyniku utraty stateczności. Utrata stateczności prostoliniowej postaci równowagi pręta może wystąpić wówczas gdy osiowa siłą ściskająca P przekroczy wartość siły krytycznej.

Siła krytyczna - siła przy której pręt (konstrukcja) traci stateczność

- długość zredukowana

Wzór ten jest prawdziwy dla smukłości λ nie mniejszej od smukłości granicznej λ_gr, gdy λ jest mniejsza od granicznej to stosujemy wzory empiryczne – np. Tetmajera - Jasińsiego

l_min- najmniejszy osiowy moment bezwładności przekroju poprzecznego

α – współczynnik zależny od sposobu zamocowania końców pręta

1. wykres rozciągania/ściskania stali z omówieniem granic i punktów charakterystycznych

wykres rozciągania – przypadek ogólny

Statyczna próba rozciągania – podstawowa metoda badań wytrzymałościowych materiałów konstrukcyjnych. Badanie polega na osiowym rozciąganiu znormalizowanej próbki ze stałą szybkością w temperaturze pokojowej (10-35°C), obniżonej lub podwyższonej. W czasie próby rejestruje się zależność siły rozciągającej od przyrostu długości próbki. Początkowo wzrost przykładanej siły powoduje liniowy wzrost odkształcenia, aż do osiągnięcia granicy proporcjonalności R_H. W zakresie tym obowiązuje prawo Hooke'a. Następnie po osiągnięciu wyraźnej granicy sprężystości R_sp materiał przechodzi w stan plastyczny, a odkształcenie staje się nieodwracalne. Jeżeli niemożliwe było określenie wyraźnej granicy sprężystości to wyznacza się umowną granicę sprężystości R_0,05%. Dalsze zwiększanie naprężenia powoduje nieliniowy wzrost odkształcenia, aż do momentu wystąpienia zauważalnego, lokalnego przewężenia zwanego szyjką. Naprężenie, w którym pojawia się szyjka, zwane jest wytrzymałością na rozciąganie R_m. Dalsze rozciąganie próbki powoduje jej zerwanie przy naprężeniu zrywającym R_u (Uwaga! Wykres przedstawia dwie linie. Przerywana pokazuje naprężenie rzeczywiste obliczane przy uwzględnieniu przewężenia próbki. Linia ciągła pokazuje stosunek uzyskiwanych sił do przekroju początkowego.

Statyczna próba ściskania - metoda badań wytrzymałościowych materiałów konstrukcyjnych. Badanie polega na osiowym ściskaniu znormalizowanej próbki ze stałą szybkością. W czasie próby rejestruje się zależność siły ściskającej od skrócenia próbki. W początkowym okresie ściskania, skrócenie próbki jest proporcjonalne do naprężeń. Odcinek OA wyraża liniową zależność pomiędzy siłą a odkształceniem. W punkcie A pojawia się siła przy której zaczyna się granica proporcjonalności materiału, która w praktyce utożsamiamy z granicą sprężystości. Na AB szybszy wzrost deformacji przy małym wzroście siły obciążającej. W punkcie B jest granica plastyczności. Zwiększenie siły po jej przekroczeniu powoduje coraz wyraźniejsze pęcznienie próbki, objawiające się stałym wzrostem przekroju poprzecznego. Próbę kończymy gdy próbka ulegnie zniszczeniu i odczytujemy wytrzymałość materiału na ściskanie. Często zdarza się, że próbka zostaje spłaszczona, jednak nie zniszczona. Mało które metale ulegają zniszczeniu podczas tej próby. Nie wyznacza się wytrzymałości na ściskanie dla metali plastycznych ponieważ próbki te nie ulegają zniszczeniu. Próbę przerywa się najczęściej wtedy z powodu wyczerpania zakresu maszyny wytrzymałościowej.

Jakie są naprężenia w przekroju wzdłużnym?

Styczne i normalne