Ćwiczenie 13. Współczynnik lepkości

Małgorzata Nowina-Konopka,Andrzej Zięba

Cel ćwiczenia

Zapoznanie się z własnościami cieczy lepkiej, wyznaczenie współczynnika lepkości

metodą spadania kulki (metodą Stokesa).

Wprowadzenie

Przy przepływie wszystkich cieczy rzeczywistych ujawniają się większe lub mniejsze

siły tarcia. W przeciwieństwie do ruchu ciał stałych, w którym tarcie występuje tylko
na powierzchni, w cieczach i w gazach ujawnia się ono w całej objętości. Jest więc
zwane tarciem wewnętrznym lub lepkością.

Przypuśćmy, że mamy dwie płaskie płytki o powierzchni S, a pomiędzy nimi ciecz,

tak jak to przedstawiono na rysunku Rys.1. Jeżeli jedna z płytek będzie się poruszać
względem drugiej z niewielką prędkością v, to siła potrzebna do podtrzymania ruchu
będzie proporcjonalna do powierzchni S i prędkości v, a odwrotnie proporcjonalna do
odległości płytek d

F = η

Sv

d

.

(13.1)

Stałą η nazywamy współczynnikiem lepkości. Jednostką η w układzie SI jest [Pa·s].

Rys. 1. Rysunek pomocniczy do definicji współczynnika lepkości

Zjawisko lepkości wykazują wszystkie ciecze i gazy. (Jednym dość szczególnym wy-

jątkiem jest ciekły hel, który w temperaturach bliskich zera bezwzględnego wykazuje
zjawisko nadciekłości czyli zupełne zniknięcie lepkości.) Lepkość zależy w dużym stop-
niu od temperatury. Dla gazów rośnie proporcjonalnie do temperatury bezwzględnej.
Dla cieczy zmniejsza się znacznie ze wzrostem temperatury. Bardzo silną zależność
temperaturową obserwuje się dla cieczy o dużej lepkości jak np. dla gliceryny (patrz
dane w tabeli 1) czy dla olejów silnikowych.

13-1

Tabela 1:

Wybrane wartości współczynnika lepkości

Rodzaj cieczy

η [Pa · s]

powietrze

18, 5 · 10

−6

eter etylowy

0,00012

woda (20

◦

C)

0,00100

gliceryna (0

◦

C)

135

gliceryna (20

◦

C)

1,945

gliceryna (30

◦

C)

0,629

gliceryna(20

◦

C, 2 % wody)

0,971

olej z oliwek

0,084

Spadanie kuli w cieczy lepkiej w zakresie opływu laminarnego

Lepkość płynów (cieczy i gazów) jest odpowiedzialna za występowanie oporów

ruchu ciała poruszającego się w płynie. Trajektorie cząstek cieczy wokół poruszającej
się kuli przedstawia rysunek Rys. 2.

Rys. 2. Spadanie kulki w cieczy lepkiej

Jest to przykład opływu laminarnego, występującego przy małych prędkościach,

kiedy ciecz opływająca kulę nie tworzy jeszcze żadnych wirów czy turbulencji. W
analogii do równania (13.1) siła oporu lepkiego działającego na dowolny przedmiot w
zakresie opływu laminarnego jest proporcjonalna do współczynnika lepkości i prędko-
ści kuli. Siłę oporu ruchu działającą ze strony cieczy na poruszającą się w niej kulkę

13-2

wyraża wzór Stokesa

∗

F = 6πηrv,

(13.2)

gdzie:

v

– prędkość kulki,

r

– promień kulki.

Wzór ten jest słuszny, gdy kulka porusza się w nieograniczonej objętości cieczy. W

przypadku, gdy ruch kulki odbywa się wzdłuż osi cylindra o promieniu R wzór (13.3)
przybiera postać

F = 6πηrv



1 + 2, 4

r

R



.

(13.3)

Jeśli kulka spada w cieczy pod wpływem grawitacji, działają na nią następujące trzy
siły (rys.2):

1. F = mg – siła ciężkości,

2. F

w

= m

w

g = ρV g – siła wyporu Archimedesa,

gdzie:

ρ

– gęstość cieczy,

V

– objętość kulki,

3. F

0

= Kv – siła oporu (siła Stokesa),

gdzie K = 6πηr



1 + 2, 4

r

R



.

Zgodnie z II zasadą dynamiki równanie ruchu kulki ma postać

ma = F − F

w

− F

0

(13.4)

lub

m

dv

dt

= F − F

w

− Kv.

Jest to równanie różniczkowe pierwszego rzędu ze względu na prędkość v.

Jeżeli w chwili początkowej t = 0 prędkość v = v

0

, to po scałkowaniu dostajemy

zależność prędkości od czasu w postaci

v(t) = v

gr

+ (v

0

− v

gr

) exp



t

τ



,

(13.5)

gdzie wielkość τ = m/K nazywamy stałą czasową.

Zależność prędkości od czasu dla kulki poruszającej się w cieczy lepkiej przedsta-

wia rysunek Rys.3. Drugi wyraz po prawej stronie wzoru (13.5) maleje eksponencjalnie
z czasem, więc dla dostatecznie dużego t jest on zaniedbywalnie mały.

∗

G.G. Stokes (1819-1903), fizyk i matematyk angielski. W kursie matematyki poznajemy twier-

dzenie Stokesa dotyczące całek krzywoliniowych i powierzchniowych.

13-3

Rys. 3. Zależność v(t) dla kulki rozpoczynającej ruch w cieczy lepkiej z prędkością

początkową v

0

= 0

Skutkiem tego ruch kulki po czasie rzędu 3τ staje się jednostajny z prędkością

graniczną równą

v

gr

=

F − F

w

K

=

(m − ρV )g

6πηr(1 + 2, 4

r

R

)

(13.6)

Pomiar prędkości spadania kulki w cieczy stanowi jedną z metod wyznaczania

współczynnika lepkości cieczy. Droga jaką przebędzie kulka przed osiągnięciem pręd-
kości granicznej wynosi około 3τ v

gr

. Pomiar prędkości granicznej wykonać należy na

odcinku drogi (rys.5), na której kulka osiągnęła już ustaloną prędkość. Ze wzoru (13.6)
otrzymujemy

η =

(m − ρV )g

6πrv

gr

(1 + 2, 4

r

R

).

(13.7)

Wyznaczenie lepkości metodą Stokesa polega na bezpośrednim pomiarze wszyst-

kich wielkości występujących po prawej stronie wzoru (13.7). Zamiast kul wykonanych
z ciała stałego wykorzystać też można kuliste krople cieczy o większej gęstości, spa-
dające w cieczy badanej.

13-4

Zakres stosowalności wzoru Stokesa

Wzór Stokesa jest słuszny tylko dla przepływów laminarnych. Parametrem, który

decyduje o charakterze opływu cieczy wokół ciała jest liczba Reynoldsa, dana wzorem
ogólnym

Re =

vlρ

η

,

(13.8)

gdzie:

ρ

– gęstość cieczy,

l

– wymiar liniowy poruszającego się ciała mierzony w kierunku

prostopadłym do wektora v.

W przypadku kulki przyjmujemy l = 2r.

Jak dotąd nie ma teorii pozwalającej w sposób ścisły opisać odstępstwa od wzoru Sto-
kesa ze wzrostem liczby Reynoldsa. Badania doświadczalne wskazują, że odstępstwa
pojawiają się już dla Re < 1, i narastają w sposób ciągły tak, że nie sposób podać
określoną wartość liczby Reynoldsa, poniżej której wzór Stokesa jest w pełni dokład-
ny. Jest to sytuacja odmienna od przypadku przepływu cieczy przez rurę, kiedy to
ostre przejście od przepływu laminarnego do turbulentnego pojawia się dopiero przy
Re ∼

= 2000.

Ze względu na ograniczony zakres stosowalności wzoru Stokesa, metoda spadania

kulki nadaje się do wyznaczania η dla cieczy o stosunkowo dużej lepkości.

Literatura

1. Problem laminarności opływu i inne aspekty zjawiska ruchu kulki w cieczy oma-

wiane są w podręczniku: Wróblewski A.K., Zakrzewski J.A.: Wstęp do fizyki.
Warszawa, PWN 1976.

2. Ogólny opis zjawiska przejścia od przepływu laminarnego do wirowego i turbu-

lentnego oraz teoria liczby Reynoldsa podane są m.in. w podręczniku: Feynman
R.P., Leighton R.B., Sands M.: Feynmana wykłady z fizyki. T. II. Cz. 2. War-
szawa, PWN 1970, 2001.

Aparatura

Rysunek (4) przedstawia cylinder szklany wypełniony cieczą, do którego wrzuca

się kulki. Dwa poziome paski naklejone na cylinder w odległości l od siebie wyzna-
czają badany odcinek drogi kulek. Górny pasek musi być co najmniej o 3τ v poniżej
powierzchni gliceryny. Odległość pomiędzy paskami mierzy się przymiarem metro-
wym, czas ruchu kulek na tym odcinku – sekundomierzem. Kulki waży się na wadze
analitycznej, a ich promienie mierzy się śrubą mikrometryczną. Wydobycie kulek z
cylindra ułatwia zwolnienie na chwilę zacisku Z na wężu gumowym. Kulki spadają
wtedy do małej probówki założonej na końcu węża, którą po ponownym zaciśnięciu
zacisku można wyjąć, odlać ciecz i wysypać kulki.

13-5

Badaną cieczą jest gliceryna, niepalny związek orga-
niczny CH

2

OH − CHOH − CH

2

OH. Jej lepkość sil-

nie zależy od temperatury i nawet niewielkiego do-
datku wody (por. tabela, zamieszczona na końcu).
Stosowana jest m.in. w płynach chłodniczych i ha-
mulcowych w samochodach jako składnik obniżający
temperaturę krzepnięcia.

Wykonanie ćwiczenia

A. Metoda spadania kulki z materiału stałego.

1. Pomiary wstępne.

a) Dla poszczególnych kulek wykonać pomia-

ry masy przy użyciu wagi torsyjnej lub wa-
gi analitycznej.

b) Zmierzyć średnicę 2r kulek za pomocą śru-

by mikrometrycznej.

c) Zmierzyć wewnętrzną średnicę cylindra

oraz odległość l między znaczkami górnym
i dolnym.

d) Odczytać temperaturę, w jakiej wykony-

wano pomiary.

2. Pomiar prędkości ruchu kulek: wpuszczać po-

jedynczo kulki do cylindra z cieczą (możliwie
blisko osi cylindra) i mierzyć czas w jakim
przebywają drogę l.

Opracowanie wyników

1. Określić wartości i niepewności wielkości mie-

rzonych bezpośrednio.

2. Obliczyć wartość współczynnika lepkości η.

Obliczenie wykonać osobno dla grup kulek o
różnych rozmiarach.

3. Obliczyć u

c

(η) korzystając z prawa przenosze-

nia niepewności [z użyciem wzoru (13.7), ale
z pominięciem czynnika poprawkowego (1 +
2, 4r/R)]. Czy wartości współczynnika lepko-
ści uzyskane z pomiaru ruchu kulek o różnych
rozmiarach są różne, czy też równe w grani-
cach błędu?

4. Obliczyć wartości liczby Reynoldsa dla kulek

o różnych rozmiarach.

Rys. 4. Pomiar

współczynnika lepkości

metodą Stokesa

13-6

B. Metoda spadania kropli (wariant ćwiczenia w Zakładzie Fizyki Ciała Stałego).

Aparatura

Zestaw ćwiczeniowy stanowi cylinder szklany wypełniony olejem parafinowym

umieszczony na statywie. Szklana biureta z podziałką pozwala na precyzyjne do-
zowanie ustalonej ilości wody. Woda, jednostajnie wpadająca do oleju, formuje
się w jednakowe krople o, w przybliżeniu, kulistym kształcie. Czas przelotu kulek
na zaznaczonym paskami odcinku cylindra mierzy się stoperem. Średnicę kulek
określa się mierząc ilość utworzonych kropel ze znanej objętości wody. Gdy ilość
zebranej na dnie cylindra wody jest zbyt duża, należy wodę zlać do zlewki przez
zwolnienie zacisku na dnie cylindra.

Wykonanie ćwiczenia

1. Dla wyznaczenia średniego promienia kulek wody wypływających z biurety

wypuścić 20 cm

3

wody licząc liczbę kropel.

2. Dziesięciokrotnie wyznaczyć czas spadania kropel między kreskami zaznaczo-

nymi na cylindrze. Odległość kresek wynosi 25 cm.
Uwaga. Czynności 1 i 2 muszą być przeprowadzone przy tym samym położe-
niu kurka (jednakowa objętość kropel). Koniec biurety musi być zanurzony w
oleju.

3. Pomiar powtórzyć dwukrotnie.

Opracowanie wyników

1. Na podstawie danych z punktu 1 i 2 obliczyć średni promień kropli, średnią

masę kropel, oraz prędkość opadania kropel w oleju, v

gr

. Ocenić niepewności

pomiaru tych wielkości.

2. Obliczyć wartość i niepewność złożoną współczynnika lepkości z równania (13.7).

Przy obliczeniach można pominąć czynnik poprawkowy (1 + 2, 4r/R). Przyjąć
średnicę cylindra 2R = 4, 5 cm, oraz gęstość oleju ρ = 0, 80 g/cm

3

.

3. Obliczyć liczbę Reynoldsa.

Dodatek historyczny. Odkrycie anizotropii współczynnika lepkości

Współczynnik lepkości zwykłych cieczy jest skalarem, tj. wielkością bezkierunkową.

Anizotropia współczynnika lepkości występuje w cieczach anizotropowych, jakimi są
ciekłe kryształy.

Anizotropię lepkości ciekłych kryształów odkrył około 1933 roku Marian Mięsowicz

(1907 – 1992), asystent prof. Jeżewskiego w Katedrze Fizyki ówczesnej Akademii
Górniczej. Pomiary wykonał dla pazyksoanizolu (PAA), którego wydłużone cząsteczki
tworzą w zakresie temperatur od 118

◦

C do 135

◦

C jeden z najprostszych ciekłych

13-7

kryształów. Współczynnik lepkości wyznaczył z pomiaru tłumienia drgań cienkiej
płytki szklanej zanurzonej w prostopadłościennym naczyniu z ciekłym kryształem
(rys.5). Zastosowany układ stanowił dobre przybliżenie geometrii idealnej (por. rys.4),
jakiej używa się do definicji współczynnika lepkości.

Przy użyciu pola magnetycznego można zorientować osie cząsteczek ciekłego krysz-

tału wzdłuż trzech wzajemnie prostopadłych kierunków (rys.5).

Rys. 5. Schemat doświadczenia Mięsowicza

Dla każdego z nich wartość współczynnika lepkości jest inna. Tak określone η

1

, η

2

,

η

3

noszą dziś nazwę współczynników lepkości Mięsowicza.

Synteza związków będących ciekłymi kryształami w temperaturze pokojowej umoż-

liwiła wynalazek displejów ciekłokrystalicznych. Elementy te, stosowane w zegarkach,
cyfrowych przyrządach pomiarowych, kalkulatorach i komputerach przenośnych, cha-
rakteryzują się płaską budową i znikomym poborem mocy. Lepkość ciekłych kryszta-
łów pozostaje jednym z czynników ograniczających szybkość działania tych urządzeń.

Po wojnie prof. Mięsowicz prowadził badania promieni kosmicznych, cząstek ele-

mentarnych i zastosowań fizyki jądrowej. Był inicjatorem powstania i długoletnim
dyrektorem Instytutu Fizyki i Techniki Jądrowej. Instytut ten, po przeprowadzce do
budynku przy ul. Reymonta 19 i po połączeniu z Zakładem Fizyki Ciała Stałego Wy-
działu Metalurgii, przekształcił się w obecny Wydział Fizyki i Techniki Jądrowej.

Na następnej stronie zamieszczamy tabelę, ilustrującą zależność współczynnika lep-
kości gliceryny od zawartości frakcji wodnej.

13-8

Zawartość

Gęstość (25

◦

)

Współczynnik

gliceryny [%]

[kg/m

3

]

lepkości [mPa s]

20

◦

C

25

◦

C

30

◦

C

100

1262

1495

942

622

99

1259

1194

772

509

98

1257

971

627

423

97

1254

802

522

353

96

1252

659

434

296

95

1249

544

365

248

80

1209

61,8

45,7

34,8

50

1127

6,03

5,02

4,23

25

1061

2,09

1,8

1,59

10

1024

1,31

1,15

1,02

0

997

1

0,89

0,80

13-9