Charakterystyki członów:

1. Statyczne – gdy wielkości wejściowe mają wartości niezmienne w czasie (ustalone).

Opisana jako: y= f (x ) (gdzie y – sygnał wyjściowy, x – sygnał wejściowy).
Jeśli y=k⋅x (gdzie k jest stałą), to mówimy o członie liniowym.
Jeśli natomiast y=k⋅x

n

(gdzie n jest dowolną liczbą rzeczywistą), to mówimy o

członie nieliniowym.

Charakterystykę statyczną otrzymujemy poprzez wyeliminowanie z równania
różniczkowego opisującego dany człon (model matematyczny członu) wyrazów,
w których występują pochodne (ponieważ gdy sygnał wejściowy jest niezmienny w
czasie, to jego pochodna po czasie jest równa zeru!).

2. Dynamiczne – gdy wielkości wejściowe zmieniają się w czasie – układ jest w stanie

nieustalonym. Na sygnał wyjściowy w danej chwili t

0

ma wpływ nie tylko aktualna

wartość sygnału wejściowego, ale również wcześniejsze jego wartości! Układ jest w
stanie nieustalonym np. gdy pojawiają się zakłócenia lub wymuszenia regulujące.
Opis własności dynamicznych układu: równanie różniczkowe.

Równanie różniczkowe zwyczajne (RRZ) jest to równanie postaci f (x , y , y ' , y ' ' , ... , y

(

n)

)=

0

(gdzie y=y(x), y ' =

dy
dx

, y

(

n)

=

d

(

n )

y

dx

(

n)

). Najwyższa pochodna określa nam jakiego rzędu jest to

równanie.

Modele układów automatycznej regulacji można opisać RRZ liniowym o stałych współczynnikach:

T

n

n

⋅

y

(

n)

+

T

(

n−1)

(

n−1)

⋅

y

(

n−1)

+

...+T

1

⋅

y ' + y=k

m

⋅

x

(

m)

+

k

(

m−1)

⋅

x

(

m−1)

+

...+k

1

⋅

x '+k

0

⋅

x (T, k – stałe

współczynniki, y=y(t), x=x(t).)

Np. idealny człon różniczkujący opisany jest zależnością:

y=T⋅x '

(w tym wypadku T będzie stałą czasową).

Jak z RRZ wyznaczyć transmitancję? Należy wykonać przekształcenie Laplace'a pamiętając, że:

•

L {a·x

1

(t) + b·x

2

(t)} = a·X

1

(s) + b·X

2

(s)

(liniowość)

•

L {x'(t)} = s·X(s)

( transformacja pochodnej)

•

L {∫x(t)dt} = s

-1

·X(s)

(transformacja całki)

•

L {x(t-T)} = X(s)·e

-s·T

(przesunięcie w dziedzinie czasu)

Linearyzacja równań nieliniowych. Jeśli charakterystyka statyczna jest nieliniowa konieczna jest
linearyzacja równania, która pozwala na traktowanie układu nieliniowego jako liniowy przy
pewnych ograniczeniach (m.in. równanie zlinearyzowane opisuje własności dynamiczne tylko dla
danego punktu pracy układu i jego otoczenia). Linearyzacja w otoczeniu punktu pracy polega na
rozłożeniu w szereg Taylora równiania różniczkowego dla wszystkich zmiennych.

f = f (x , x ' , y , y ' )

f =(

∂

f

∂

x

)

(

x

0,

x '

0,

y

0,

y'

0

)

⋅(

x−x

0

)+(

∂

f

∂

x '

)

(

x

0,

x'

0,

y

0,

y '

0

)

⋅(

x '−x '

0

)+(

∂

f

∂

y

)

(

x

0,

x'

0,

y

0,

y '

0

)

⋅(

y− y

0

)+(

∂

f

∂

y '

)

(

x

0,

x '

0,

y

0,

y'

0

)

⋅(

y '− y '

0

)

(gdzie x

0

, x'

0

, y

0

, y'

0

– punkt pracy).

Bibliografia:

1. B. Chorowski, M. Werszko, Automatyzacja Procesów Przemysłowych, Wrocław 1981.
2. M. Gewert, Z. Skoczylas, Równania różniczkowe zwyczajne, Wrocław 2005.