Plik:

BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc

1

/

19

A. KADZIŃSKI,

ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSŁUGI M/M/1/∞

B A D A N I A O P E R A C Y J N E

ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO

SYSTEMU MASOWEJ OBSŁUGI

M/M/1/∞

Materiały pomocnicze do wykładu

[e-mail]

POJĘCIE SYSTEMU M/M/1/

∞

PRZYKŁADY

−

Stanowisko diagnostyczne;

−

Mały warsztat samochodowy;

−

Myjnia samochodowa;

−

Automat telefoniczny;

−

Gabinet lekarski specjalistyczny;

−

Kiosk.

Strumień

zgłoszeń

Poissona

Kolejka

Stanowisko

obsługi

∞

2

1

Strumień

wyjściowy

μ

λ

Plik:

BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc

2

/

19

A. KADZIŃSKI,

ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSŁUGI M/M/1/∞

ZAŁOŻENIA M/M/1/

∞

−

Strumień zgłoszeń jest strumieniem Poissona o intensywności

λ

, czyli odstępy między

zgłoszeniami opisuje rozkład wykładniczy o funkcji gęstości prawdopodobieństwa:

( )

t

e

t

f

⋅

−

⋅

=

λ

λ

−

−

Stanowisko obsługowe ma jeden kanał obsługi;
Czas obsługi zgłoszeń opisuje rozkład wykładniczy o funkcji gęstości prawdopodobieństwa:

( )

τ

μ

μ

τ

⋅

−

⋅

=

e

f

−

Kolejka posiada nieograniczoną liczbę miejsc przeznaczonych na oczekiwanie zgłoszeń
(obiektów).

Strumień

zgłoszeń

Poissona

Kolejka

Stanowisko

obsługi

∞

2

1

Strumień

wyjściowy

μ

λ

Plik:

BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc

3

/

19

A. KADZIŃSKI,

ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSŁUGI M/M/1/∞

POSZUKIWANE

○ Stany systemu;
○ Graf stanów systemu;
○ Stacjonarne prawdopodobieństwa stanów systemu;
○ Średnia liczba zgłoszeń w systemie;
○ Średnia liczba zgłoszeń oczekujących w kolejce;
○ Średnia liczba obsługiwanych zgłoszeń w systemie.

Strumień

zgłoszeń

Poissona

Kolejka

Stanowisko

obsługi

∞

2

1

Strumień

wyjściowy

μ

λ

Plik:

BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc

4

/

19

A. KADZIŃSKI,

ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSŁUGI M/M/1/∞

ROZWIĄZANIA

○

Stany systemu

S

0

− w systemie nie ma zgłoszeń,

S

1

− jedno zgłoszenie znajduje się w systemie i następuje jego obsługa na pierwszym

i jedynym kanale obsługowym, kolejka nie występuje,

S

2

− dwa zgłoszenia znajdują się w systemie, pierwsze jest obsługiwane, drugie czeka

w kolejce,

S

k

− k zgłoszeń znajduje się w systemie, pierwsze jest obsługiwane, pozostałe k

−

1

zgłoszeń oczekuje w kolejce.

○

Graf stanów systemu

μ

. . .

μ

μ

μ

μ

S

2

S

1

S

0

. . .

μ

μ

S

k+1

S

k

S

k-1

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

STANY

BEZ KOLEJKI

STANY

Z KOLEJKĄ

Rys. 1. Graf stanów

Plik:

BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc

5

/

19

A. KADZIŃSKI,

ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSŁUGI M/M/1/∞

○

Stacjonarne prawdopodobieństwa stanów systemu

1.

μ

λ

. . .

λ

μ

S

0

S

1

(

)

( ) (

)

( )

( )

t

o

t

t

p

t

t

p

t

t

p

Δ

+

Δ

⋅

⋅

+

Δ

⋅

−

⋅

=

Δ

+

μ

λ

1

0

0

1

gdzie: o(

Δ

t)

− prawdopodobieństwo, że w przedziale

Δ

t nastąpi co najmniej dwukrotna zmiana stanu

systemu; jest bardzo małe i dalej będzie pomijane.

(

)

( )

( )

( )

μ

λ

⋅

+

⋅

−

=

Δ

−

Δ

+

t

p

t

p

t

t

p

t

t

p

1

0

0

0

lim

0

→

Δt

(

)

( )

( )

( )

μ

λ

⋅

+

⋅

−

=

Δ

−

Δ

+

→

Δ

t

p

t

p

t

t

p

t

t

p

t

1

0

0

0

0

lim

Plik:

BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc

6

/

19

A. KADZIŃSKI,

ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSŁUGI M/M/1/∞

Wykorzystując definicję pochodnej

( )

(

)

( )

t

t

p

t

t

p

dt

t

dp

t

Δ

−

Δ

+

=

→

Δ

0

0

0

0

lim

otrzymuje się

( )

( )

( )

μ

λ

⋅

+

⋅

−

=

t

p

t

p

dt

t

dp

1

0

0

Dla warunków ustalonych:

( )

0

0

=

dt

t

dp

;

( )

0

0

p

t

p

=

;

( )

1

1

p

t

p

=

;

stąd

μ

λ

⋅

+

⋅

−

=

1

0

0

p

p

oraz

μ

λ

⋅

=

0

1

p

p

, a gdy przyjmie się, że

μ

λ

ρ

= , to

ρ

⋅

=

0

1

p

p

(1)

Plik:

BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc

7

/

19

A. KADZIŃSKI,

ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSŁUGI M/M/1/∞

2.

μ

. . .

λ

λ

μ

μ

S

0

S

1

S

2

λ

(

)

( )

(

)

[

]

( )

( )

t

t

p

t

t

p

t

t

p

t

t

p

Δ

⋅

⋅

+

Δ

⋅

⋅

+

Δ

⋅

+

−

⋅

=

Δ

+

μ

λ

μ

λ

2

0

1

1

1

(

)

( )

( ) (

)

( )

( )

μ

λ

μ

λ

⋅

+

⋅

+

+

⋅

−

=

Δ

−

Δ

+

t

p

t

p

t

p

t

t

p

t

t

p

2

0

1

1

1

Dla warunków ustalonych:

(

)

μ

λ

μ

λ

⋅

+

⋅

+

+

⋅

−

=

2

0

1

0

p

p

p

Wykorzystując równanie (1)

(

)

μ

λ

μ

λ

ρ

⋅

+

⋅

+

+

⋅

⋅

−

=

2

0

0

0

p

p

p

Plik:

BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc

8

/

19

A. KADZIŃSKI,

ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSŁUGI M/M/1/∞

Stąd

(

)

μ

λ

μ

λ

ρ

μ

⋅

−

+

⋅

⋅

⋅

=

0

0

2

1

p

p

p

a gdy

μ

λ

ρ

=

mamy

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+

⋅

⋅

=

1

0

2

μ

μ

λ

ρ

p

p

a dalej

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+

⋅

⋅

=

1

1

0

2

μ

λ

ρ

p

p

Stąd zależność na prawdopodobieństwo stacjonarne

przedstawia zależność

:

2

p

2

0

2

ρ

⋅

= p

p

(2)

Plik:

BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc

9

/

19

A. KADZIŃSKI,

ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSŁUGI M/M/1/∞

3.

μ

μ

. . .

λ

λ

λ

λ

μ

μ

S

1

S

2

S

3

. . .

(

)

( )

(

)

[

]

( )

( )

t

t

p

t

t

p

t

t

p

t

t

p

Δ

⋅

⋅

+

Δ

⋅

⋅

+

Δ

⋅

+

−

⋅

=

Δ

+

μ

λ

μ

λ

3

1

2

2

1

(

)

( )

( ) (

)

( )

( )

μ

λ

μ

λ

⋅

+

⋅

+

+

⋅

−

=

Δ

−

Δ

+

t

p

t

p

t

p

t

t

p

t

t

p

3

1

2

2

2

Dla warunków ustalonych:

(

)

μ

λ

μ

λ

⋅

+

⋅

+

+

⋅

−

=

3

1

2

0

p

p

p

stąd:

μ

λ

μ

μ

λ

⋅

−

+

⋅

=

1

2

3

p

p

p

Plik:

BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc

10

/

19

A. KADZIŃSKI,

ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSŁUGI M/M/1/∞

Wykorzystując równania

(1)

i

(2)

μ

λ

ρ

μ

μ

λ

ρ

⋅

⋅

−

+

⋅

⋅

=

0

2

0

3

p

p

p

,

a gdy

μ

λ

ρ

= , mamy:

(

)

1

1

1

1

2

0

2

0

3

−

+

⋅

⋅

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

⋅

⋅

=

ρ

ρ

μ

λ

ρ

p

p

p

Stąd zależność na prawdopodobieństwo stacjonarne

przedstawia zależność:

3

p

3

0

3

ρ

⋅

= p

p

(3)

Na podstawie zależności (1),(2) i (3), można zauważyć, że obowiązuje zależność rekurencyjna:

ρ

⋅

=

+

k

k

p

p

1

a stąd

ρ

ρ

⋅

⋅

=

+

k

k

p

p

0

1

(4)

i

1

0

1

+

+

⋅

=

k

k

p

p

ρ

(5)

Plik:

BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc

11

/

19

A. KADZIŃSKI,

ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSŁUGI M/M/1/∞

Porządkując wykonane obliczenia można zapisać, że:

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

+

+

−

−

M

M

1

0

1

0

1

0

1

3

0

3

2

0

2

0

1

k

k

k

k

k

k

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

(6)

Plik:

BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc

12

/

19

A. KADZIŃSKI,

ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSŁUGI M/M/1/∞

Oczywiście obowiązuje tu również warunek, że:

1

0

=

∑

∞

=

i

i

p

(7)

Wykorzystując równania (6) i (7) można zapisać, że:

1

0

2

0

0

0

=

+

⋅

+

+

⋅

+

⋅

+

L

L

k

p

p

p

p

ρ

ρ

ρ

a stąd

(

)

1

geometr.

ciagu

nieskoncz.

suma

1

2

0

0

1

−

−

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

+

+

+

+

=

4

4

4

3

4

4

4

2

1

K

K

q

a

k

p

ρ

ρ

ρ

gdzie: a

0

− pierwszy wyraz nieskończonego ciągu geometrycznego,

q

− iloraz nieskończonego ciągu geometrycznego.

Dalej można więc zapisać, że:

1

1

0

1

1

1

1

−

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+

=

ρ

ρ

ρ

p

co daje ostatecznie zależność postaci:

ρ

−

= 1

0

p

(8)

Plik:

BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc

13

/

19

A. KADZIŃSKI,

ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSŁUGI M/M/1/∞

Wykorzystując równania

(6)

i

(8)

można napisać równania

(9)

wyrażające prawdopodobieństwa

stacjonarne stanów systemu M/M/1/

∞ postaci:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

⋅

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

+

+

−

−

M

M

1

1

1

1

3

3

2

2

1

1

1

1

1

1

1

k

k

k

k

k

k

p

p

p

p

p

p

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

(9)

Plik:

BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc

14

/

19

A. KADZIŃSKI,

ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSŁUGI M/M/1/∞

○

Średnia liczba zgłoszeń w systemie M/M/1/

∞

Korzystając z zależności na wartość oczekiwaną zmiennej losowej typu dyskretnego, średnią
liczbę zgłoszeń w systemie można obliczyć wg formuły:

∑

∞

=

⋅

=

0

sys

i

i

p

i

L

Rozpiszmy powyższą formułę bardziej szczegółowo do postaci:

(

)

{

(

)

{

(

)

{

K

K

+

⋅

+

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=

−

⋅

−

⋅

−

⋅

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

1

1

2

1

1

0

sys

2

2

1

0

k

k

p

k

p

p

p

L

oraz uwzględnijmy zależność (9):

(

)

(

)

(

)

L

L

1

1

2

1

1

2

sys

+

−

⋅

⋅

+

+

−

⋅

⋅

+

−

⋅

⋅

=

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

k

k

L

Plik:

BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc

15

/

19

A. KADZIŃSKI,

ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSŁUGI M/M/1/∞

Można zauważyć, że powyższą zależność można zapisać w postaci:

(

)

i

i

d

d

L

ρ

ρ

ρ

ρ

1

1

sys

∑

∞

=

⋅

−

⋅

=

lub

(

)

3

2

1

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

−

=

−

∞

=

∑

⋅

−

⋅

=

1

1

1

sys

0

1

q

a

i

i

d

d

L

co prowadzi w efekcie końcowym do zależności (10):

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅

−

⋅

=

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

1

)

1

(

sys

d

d

L

po obliczeniu pochodnej:

(

)

(

)

2

sys

1

1

1

ρ

ρ

ρ

−

⋅

−

⋅

=

L

ρ

ρ

−

=

1

sys

L

(10)

Plik:

BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc

16

/

19

A. KADZIŃSKI,

ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSŁUGI M/M/1/∞

○

Średnia liczba zgłoszeń oczekujących w kolejce systemu M/M/1/

∞

Średnia liczba zgłoszeń w kolejce zostanie obliczona jako różnica średniej liczby zgłoszeń w

systemie i średniej liczby zgłoszeń obsługiwanych, wg zależności:

obs

sys

oczek

L

L

L

−

=

(11)

Plik:

BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc

17

/

19

A. KADZIŃSKI,

ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSŁUGI M/M/1/∞

○

Średnia liczba zgłoszeń obsługiwanych w systemie M/M/1/

∞

Korzystając z zależności na wartość oczekiwaną zmiennej losowej typu dyskretnego, średnią

liczbę zgłoszeń obsługiwanych w systemie dysponującym jednym kanałem obsługowym, można
obliczyć wg formuły:

∑

=

⋅

=

1

0

obs

obs

i

i

p

i

L

Po rozpisaniu powyższej zależności otrzymuje się:

obs

obs

1

0

obs

1

0

p

p

L

⋅

+

⋅

=

ale

∑

∞

=

=

1

1

obs

k

k

p

p

co skutkuje w następującym zapisie:

(

)

3

2

1

ρ

ρ

ρ

-

1

-

1

nego

geometrycz

ciagu

nego

nieskonczo

suma

1

0

obs

obs

0

⋅

∞

=

∑

+

⋅

=

k

k

p

p

L

i zależnością końcową (12)

ρ

=

obs.

L

(12)

Plik:

BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc

18

/

19

A. KADZIŃSKI,

ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSŁUGI M/M/1/∞

○

Średnia liczba zgłoszeń oczekujących w kolejce systemu M/M/1/

∞ cd.

Teraz można powrócić do wyznaczenia średniej liczby zgłoszeń oczekujących w kolejce. Korzysta

się przy tym z zależności (10), (11) i (12):

{

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

−

+

−

=

−

−

=

1

1

2

(12)

zal.

(10)

zal.

oczek

3

2

1

L

otrzymując w końcu formułę (13) postaci:

ρ

ρ

−

=

1

2

oczek.

L

(13)

Plik:

BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc

19

/

19

A. KADZIŃSKI,

ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSŁUGI M/M/1/∞