Plik:
BO_PP_M_M_n_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
1
/
22
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW OBS
àUGI M/M/n/
T
obs
..
1
2
1
2
n
...
T
zg
á
B A D A N I A O P E R A C Y J N E
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO
SYSTEMU OBS
àUGI
M/M/n/
Materiaáy pomocnicze do wykáadu
adam.kadzinski@put.poznan.pl
POJ
ĉCIE SYSTEMU M/M/n/
f
W elementarnym systemie masowej obs
áugi z nieograniczoną moĪliwoĞcią oczekiwania zgáoszeĔ
(obiektów) zak
áada siĊ, Īe kolejka nie ma skoĔczonej liczby miejsc. Schemat ideowy otwartego
elementarnego systemu masowej obs
áugi z nieograniczoną moĪliwoĞcią oczekiwania obiektów na
obs
áugĊ, przedstawiono na
rys. 2
. W notacji Kendalla rozwa
Īany tu system obsáugi ma oznaczenie
M/M/n/
f
.
Rys. 2. Schemat ideowy otwartego elementarnego systemu obs
áugowego z nieograniczoną moĪliwoĞcią
oczekiwania obiektów na obs
áugĊ (objaĞnienie oznaczeĔ w tekĞcie)
Strumie
Ĕ
zg
áoszeĔ
Poissona
Kolejka
Stanowisko
obs
áugi
Strumie
Ĕ
wyj
Ğciowy
2
f
1
P
O
1
2
n
Plik:
BO_PP_M_M_n_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
2
/
22
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW OBS
àUGI M/M/n/
PRZYK
àADY
Elementarny system naprawczy z nieograniczon
ą moĪliwoĞcią oczekiwania obiektów na naprawĊ;
Elementarny system przegl
ądowy z nieograniczoną moĪliwoĞcią oczekiwania obiektów na
przegl
ąd;
Firma transportowa z nieograniczon
ą moĪliwoĞcią oczekiwania zadaĔ transportowych na
realizacj
Ċ;
Firma taksówkowa;
ZA
àOĩENIA
Strumie
Ĕ zgáoszeĔ jest strumieniem Poissona o intensywnoĞci O. Oznacza to m. in., Īe odstĊpy
czasu mi
Ċdzy zgáoszeniami opisuje rozkáad wykáadniczy o funkcji gĊstoĞci prawdopodobieĔstwa
t
e
)
t
(
f
O
O
;
Stanowisko obs
áugowe ma n takich samych kanaáów obsáugiwania. Czas obsáugi zgáoszeĔ opisuje
rozk
áad wykáadniczy o funkcji gĊstoĞci prawdopodobieĔstwa
W
P
P
W
e
f
)
(
;
Przed stanowiskiem zg
áoszenia mogą oczekiwaü w kolejce.
Plik:
BO_PP_M_M_n_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
3
/
22
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW OBS
àUGI M/M/n/
POSZUKIWANE
o
Stany systemu;
o
Graf stanów systemu;
o
Stacjonarne prawdopodobie
Ĕstwa stanów systemu;
o
Wybrane charakterystyki systemu.
ROZWI
ĄZANIA
o
Stany systemu
S
0
w systemie nie ma zg
áoszeĔ,
S
1
jedno zg
áoszenie znajduje siĊ w systemie i nastĊpuje jego obsáuga na pierwszym kanale
obs
áugowym, kolejka nie wystĊpuje,
S
2
dwa zg
áoszenia znajdują siĊ w systemie, pierwsze jest obsáugiwane na pierwszym kanale
obs
áugowym, drugie na drugim kanale obsáugowym,
S
n-1
(n-1) zg
áoszeĔ znajduje siĊ w systemie, wszystkie obsáugiwane są na kolejnych kanaáach
obs
áugowych; jeden kanaá obsáugowy jest wolny,
S
n
n zg
áoszeĔ znajduje siĊ w systemie, wszystkie z n kanaáów obsáugowych stanowiska są
zaj
Ċte; kolejka nie wystĊpuje,
S
n+1
(n+1) zg
áoszeĔ znajduje siĊ w systemie, wszystkie kanaáy obsáugowe są zajĊte, jedno
zg
áoszenie czeka w kolejce.
Plik:
BO_PP_M_M_n_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
4
/
22
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW OBS
àUGI M/M/n/
o
Graf stanów systemu M/M/n/
f
n
P
(n-1)
P
S
f
n
P
3
P
. . .
O
O
O
2
P
P
S
0
S
1
S
2
O
O
O
O
n
P
n
P
S
n-1
S
n
S
n+1
. . .
O
STANY
BEZ KOLEJKI
STANY
Z KOLEJK
Ą
Rys. 3. Graf stanów systemu obs
áugowego M/M/n/f (objaĞnienie oznaczeĔ w tekĞcie)
o
Stacjonarne prawdopodobie
Ĕstwa stanów systemu
W celu sformu
áowania zaleĪnoĞci na stacjonarne prawdopodobieĔstwa stanów systemu
korzystamy z regu
áy mnemotechnicznej.
Plik:
BO_PP_M_M_n_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
5
/
22
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW OBS
àUGI M/M/n/
Regu
áa mnemotechniczna
Je
Īeli intensywnoĞci przejĞü miĊdzy wybranymi stanami systemu oznaczy siĊ jak na
rys. 4
,
Rys. 4. Fragment grafu stanów dowolnego systemu obs
áugowego (objaĞnienie oznaczeĔ w tekĞcie)
. . .
O
(k-1)k
O
k(k+1)
O
k(k-1)
O
(k+1)k
S
k-1
S
k
S
k+1
. . .
To po lewej stronie równania znajduje si
Ċ pochodna prawdopodobieĔstwa danego stanu, natomiast
po prawej stronie wyst
Ċpuje tyle czáonów, ile krawĊdzi grafu związanych jest z danym wierzchoákiem.
Je
Īeli krawĊdĨ grafu wychodzi z danego wierzchoáka, odpowiadający jej czáon ma znak minus, jeĪeli
wchodzi do tego wierzcho
áka – znak plus. KaĪdy czáon równania jest iloczynem intensywnoĞci
przej
Ğcia (odpowiadającej danej krawĊdzi grafu) i prawdopodobieĔstwa tego stanu, z którego krawĊdĨ
wychodzi, tzn.:
Wa
Īne!!!
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
t
p
t
p
t
p
t
p
t
p
dt
d
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
O
O
O
O
Plik:
BO_PP_M_M_n_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
6
/
22
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW OBS
àUGI M/M/n/
Komentarz do stosowania regu
áy mnemotechnicznej
Podana tu regu
áa mnemotechniczna ukáadania równaĔ róĪniczkowych dla prawdopodobieĔstw
stanów jest regu
áą ogólną. Upraszcza ona procedurĊ ukáadania równaĔ. Przy jej pomocy moĪna
w sposób „mechaniczny” napisa
ü równania róĪniczkowe dla prawdopodobieĔstw stanów na podstawie
grafu stanów systemu.
Przyk
áad zastosowania reguáy mnemotechnicznej
Je
Īeli intensywnoĞci przejĞü miĊdzy stanami S
n-1
, S
n
i S
n+1
systemu M/M/n/
f b
Ċdą takie jak
to przedstawiono na
rys. 5
, to:
O
O
O
O
(n-1)
P
n
P
. . .
n
P
n
P
S
n-1
S
n
. . .
S
n+1
Rys. 5. Fragment grafu stanów systemu obs
áugowego M/M/n/f (objaĞnienie oznaczeĔ w tekĞcie)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
t
p
n
t
p
t
p
n
t
p
t
p
dt
d
n
n
n
n
n
P
O
P
O
Plik:
BO_PP_M_M_n_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
7
/
22
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW OBS
àUGI M/M/n/
Zastosowanie regu
áy mnemotechnicznej
(1)
)
(
)
(
)
(
1
0
0
t
p
t
p
t
p
dt
d
P
O
O
P
S
0
S
1
. . .
n
P
(n-1)
P
S
f
n
P
3
P
. . .
O
O
O
2
P
P
S
0
S
1
S
2
O
O
O
O
n
P
n
P
S
n-1
S
n
S
n+1
. . .
O
STANY
BEZ KOLEJKI
STANY
Z KOLEJK
Ą
Plik:
BO_PP_M_M_n_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
8
/
22
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW OBS
àUGI M/M/n/
Zastosowanie regu
áy mnemotechnicznej
(2)
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
0
1
t
p
t
p
t
p
t
p
dt
d
P
P
O
O
O
O
P
2
P
S
0
S
1
. . .
S
2
n
P
(n-1)
P
S
f
n
P
3
P
. . .
O
O
O
2
P
P
S
0
S
1
S
2
O
O
O
O
n
P
n
P
S
n-1
S
n
S
n+1
. . .
O
STANY
BEZ KOLEJKI
STANY
Z KOLEJK
Ą
Plik:
BO_PP_M_M_n_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
9
/
22
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW OBS
àUGI M/M/n/
Zastosowanie regu
áy mnemotechnicznej
(3)
)
(
3
)
(
)
2
(
)
(
)
(
3
2
1
2
t
p
t
p
t
p
t
p
dt
d
P
P
O
O
n
P
(n-1)
P
S
f
n
P
3
P
. . .
O
O
O
2
P
P
S
0
S
1
S
2
O
O
O
O
n
P
n
P
S
n-1
S
n
S
n+1
. . .
O
STANY
BEZ KOLEJKI
STANY
Z KOLEJK
Ą
O
O
. . .
2
P
3
P
S
3
. . .
S
1
S
2
Plik:
BO_PP_M_M_n_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
10
/
22
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW OBS
àUGI M/M/n/
Zastosowanie regu
áy mnemotechnicznej do okreĞlania prawdopodobieĔstw
wszystkich stanów systemu M/M/n/
f
Po zastosowaniu regu
áy mnemotechnicznej do napisania równaĔ dla wszystkich stanów systemu
M/M/n/
f otrzymuje si
Ċ nastĊpujący ukáad równaĔ zwanych równaniami Chapmana Koámogorowa:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
.
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
.
)
(
)
(
]
)
1
(
[
)
(
)
(
.
1
)
(
3
)
(
)
2
(
)
(
)
(
.
2
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
.
1
)
(
)
(
)
(
.
0
2
1
1
1
1
1
2
1
3
2
1
2
2
1
0
1
1
0
0
t
p
n
t
p
n
t
p
t
p
dt
d
n
t
p
n
t
p
n
t
p
t
p
dt
d
n
t
p
n
t
p
n
t
p
t
p
dt
d
n
t
p
t
p
t
p
t
p
dt
d
t
p
t
p
t
p
t
p
dt
d
t
p
t
p
t
p
dt
d
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P
P
O
O
P
P
O
O
P
P
O
O
P
P
O
O
P
P
O
O
P
O
Plik:
BO_PP_M_M_n_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
11
/
22
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW OBS
àUGI M/M/n/
Aby uzyska
ü rozwiązania ukáadu równaĔ w warunkach ustalonych naleĪy przejĞü do granicy przy
t
o
f.
Wtedy:
0
dt
t
dp
i
,
i
i
p
t
p
,
dla
f
,
,
2
,
1
i
.
Na tej podstawie otrzymuje si
Ċ ukáad równaĔ algebraicznych postaci:
)
(
0
.
1
)
(
0
.
]
)
1
(
[
0
.
1
3
)
2
(
0
.
2
2
)
(
0
.
1
0
.
0
2
1
1
1
1
2
3
2
1
2
1
0
1
0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
p
p
p
p
p
p
p
P
P
O
O
P
P
O
O
P
P
O
O
P
P
O
O
P
P
O
O
P
O
Plik:
BO_PP_M_M_n_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
12
/
22
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW OBS
àUGI M/M/n/
Po rozwi
ązaniu ukáadu równaĔ algebraicznych otrzymuje siĊ nastĊpujące zaleĪnoĞci
na prawdopodobie
Ĕstwa stacjonarne stanów systemu M/M/n/f:
dla numerów stanów:
n
i
d
d
1
i
i
i
i
p
p
P
O
!
0
a gdy przyjmie si
Ċ, Īe
P
O
U , to zaleĪnoĞü ma postaü:
!
0
i
p
p
i
i
U
(1)
W zakresie stanów bez kolejki obowi
ązuje zaleĪnoĞü rekurencyjna postaci:
1
1
i
p
p
i
i
U
Plik:
BO_PP_M_M_n_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
13
/
22
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW OBS
àUGI M/M/n/
dla numerów stanów:
n
i
t
i
n
i
i
i
n
n
p
p
P
O
!
0
a gdy przyjmie si
Ċ, Īe
P
O
U , to zaleĪnoĞü ma postaü:
n
i
i
i
n
n
p
p
!
0
U
(2)
W zakresie stanów z kolejk
ą obowiązuje zaleĪnoĞü rekurencyjna postaci:
n
p
p
i
i
U
1
.
Je
Īeli
1
t
n
U
, to w systemie tworzy si
Ċ nieograniczonej wielkoĞci kolejka. Zatem jest sens badaü
systemy M/M/n/
f, gdy:
Wa
Īne!!!
1
0
n
U
Plik:
BO_PP_M_M_n_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
14
/
22
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW OBS
àUGI M/M/n/
Oczywi
Ğcie obowiązuje tu równieĪ warunek, Īe:
1
0
¦
f
k
k
p
Wykorzystuj
ąc równania
(1)
i
(2)
mo
Īna zapisaü, Īe:
1
!
!
!
!
2
!
1
)
(
!
1
0
1
0
0
2
0
0
0
1
0
0
U
U
U
U
U
U
U
n
n
p
q
a
j
j
n
n
n
n
n
n
p
n
n
p
n
p
p
p
p
gdzie: a
0
pierwszy wyraz niesko
Ĕczonego ciągu geometrycznego,
q
iloraz niesko
Ĕczonego ciągu geometrycznego,
st
ąd
1
)
(
!
!
!
2
!
1
1
0
0
2
0
0
0
U
U
U
U
U
n
n
p
n
p
p
p
p
n
n
,
a wi
Ċc
¦
n
i
n
i
n
n
i
p
0
1
0
)
(
!
!
1
U
U
U
(3)
Plik:
BO_PP_M_M_n_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
15
/
22
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW OBS
àUGI M/M/n/
o
ĝrednia liczba obiektów oczekujących na obsáugĊ
L
oczek
(4)
¦
f
1
oczek
i
i
n
p
i
L
Je
Īeli zauwaĪy siĊ, Īe prawdopodobieĔstwo stanów w systemie M/M/n/f, gdy i t n,
n
i
i
i
n
n
p
p
!
0
U
to rozpisuj
ąc formuáĊ
(4)
otrzymujemy
n
k
n
k
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
p
k
n
n
p
n
n
p
n
n
p
L
!
!
3
!
2
!
1
0
3
3
0
2
2
0
1
1
0
oczek
U
U
U
U
a st
ąd kolejno
»¼
º
«¬
ª
k
k
n
n
k
n
n
n
n
p
L
1
1
3
1
2
1
1
!
1
3
2
2
1
1
0
1
0
oczek
U
U
U
U
U
¦
¸
¹
·
¨
©
§
»
¼
º
«
¬
ª
¦
¸
¹
·
¨
©
§
f
f
1
1
0
1
1
0
oczek
1
!
1
!
i
i
i
n
i
i
i
n
n
d
d
n
p
d
d
n
n
p
L
U
U
U
U
U
U
Plik:
BO_PP_M_M_n_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
16
/
22
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW OBS
àUGI M/M/n/
ale
U
U
U
U
U
U
U
¦
¸
¹
·
¨
©
§
f
n
n
n
n
n
n
n
i
i
i
1
1
1
st
ąd
U
U
U
U
n
d
d
n
p
L
n
!
1
0
oczek
»
¼
º
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
2
1
0
2
1
0
oczek
!
1
0
!
U
U
U
U
U
U
U
U
n
n
n
p
n
n
n
p
L
n
n
!
2
1
0
oczek
U
U
n
n
n
p
L
n
ostatecznie wi
Ċc
2
1
0
oczek
1
!
1
U
U
n
n
p
L
n
(5)
Plik:
BO_PP_M_M_n_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
17
/
22
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW OBS
àUGI M/M/n/
o
Prawdopodobie
Ĕstwo, Īe wszystkie kanaáy stanowiska są zajĊte
p
zaj
(6)
¦
f
0
i
i
n
zaj
p
p
Po rozpisaniu formu
áy
(6)
otrzymuje si
Ċ:
...
...
3
2
1
k
n
n
n
n
n
zaj
p
p
p
p
p
p
(7)
Je
Īeli przyjmie siĊ, Īe prawdopodobieĔstwo stanów w systemie M/M/n/f, gdy i t n, to
dla i = n+0
Ö
0
0
0
0
0
0
!
!
n
n
p
n
n
p
p
n
n
n
n
n
U
U
dla i = n+1
Ö
1
1
0
1
1
0
1
!
!
n
n
p
n
n
p
p
n
n
n
n
n
U
U
n
i
i
i
n
n
p
p
!
0
U
dla i = n+2
Ö
2
2
0
2
2
0
2
!
!
n
n
p
n
n
p
p
n
n
n
n
n
U
U
(8)
. . .
dla i = n+k
Ö
k
k
n
n
k
n
k
n
k
n
n
n
p
n
n
p
p
!
!
0
0
U
U
. . .
Plik:
BO_PP_M_M_n_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
18
/
22
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW OBS
àUGI M/M/n/
a na tej podstawie i wykorzystuj
ąc formuáĊ
(7)
otrzymuje si
Ċ kolejno
...
!
...
!
!
!
!
0
3
3
0
2
2
0
1
1
0
0
0
0
k
k
n
n
n
n
n
zaj
n
n
p
n
n
p
n
n
p
n
n
p
n
n
p
p
U
U
U
U
U
¸¸
¹
·
¨¨
©
§
...
...
1
!
3
3
2
2
1
1
0
0
k
k
n
zaj
n
n
n
n
n
n
p
p
U
U
U
U
U
¸¸
¹
·
¨¨
©
§
...
...
1
!
3
3
2
2
1
1
0
k
k
n
zaj
n
n
n
n
n
p
p
U
U
U
U
U
Je
Īeli zauwaĪy siĊ, Īe wyraĪenie w nawiasie jest sumą nieskoĔczonego ciągu geometrycznego, to
otrzymuje si
Ċ:
U
U
n
n
n
q
a
1
1
1
0
, a st
ąd
U
U
n
n
n
p
p
n
zaj
!
0
i ostatecznie
U
U
n
n
p
p
n
zaj
1
!
1
0
(9)
Plik:
BO_PP_M_M_n_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
19
/
22
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW OBS
àUGI M/M/n/
o
ĝrednia liczba wolnych kanaáów obsáugi
L
wol
¦
n
i
i
n
wol
p
i
L
1
(10)
o
ĝrednia liczba zajĊtych kanaáów obsáugi
L
zaj
¦
n
i
i
zaj
p
i
L
1
(11)
lub
wol
zaj
L
n
L
(12)
o
Wspó
áczynnik przestoju kanaáów obsáugi
W
przes
n
L
W
wol
przes
(13)
Plik:
BO_PP_M_M_n_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
20
/
22
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW OBS
àUGI M/M/n/
o
ĝredni czas oczekiwania obiektów na rozpoczĊcie obsáugi
T
oczek
(na podstawie 2-giej formu
áy Little’a)
oczek
oczek
L
T
O
1
(14)
o
ĝredni czas pobytu obiektów w systemie
T
sys
(na podstawie 1-szej formu
áy Little’a)
sys
sys
L
T
O
1
(15)
gdzie:
zaj
oczek
sys
L
L
L
(16)
Plik:
BO_PP_M_M_n_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
21
/
22
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW OBS
àUGI M/M/n/
PODSUMOWANIE MODELOWANIA ANALITYCZNEGO SYSTEMU M/M/n/
i
Elementarny system obs
áugi z nieograniczoną moĪliwoĞcią oczekiwania obiektów (zgáoszeĔ)
na obs
áugĊ:
x graf stanów, regu
áa mnemotechniczna ukáadania równaĔ stanów, rozkáad liczby (L
ob
)
obiektów znajduj
ących siĊ w systemie – p(i)=P{L
ob
= i},
x prawdopodobie
Ĕstwo, Īe system jest pusty – p
0
,
x prawdopodobie
Ĕstwo, Īe wszystkie kanaáy stanowiska są zajĊte – p
zaj
,
x
Ğrednia liczba obiektów oczekujących na obsáugĊ – L
oczek
,
x
Ğrednia liczba wolnych kanaáów obsáugi – L
wol
,
x wspó
áczynnik przestoju kanaáów obsáugowych – W
przes
,
x
Ğredni czas przebywania obiektów w systemie (wg I-szej formuáy Little’a) – T
sys
,
x
Ğredni czas oczekiwania obiektów na rozpoczĊcie obsáugi (wg II-giej formuáy Little’a) –
T
oczek
.
Plik:
BO_PP_M_M_n_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
22
/
22
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW OBS
àUGI M/M/n/
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
4 BO 2 1 PP M M 1 oo Analityczne p s [v3]
BO M M 1 oo Analityczne p s [v3]
8 BO 2 1 PP ZASOBY Wprowadzenie s p [v3]
10 BO 2 1 PP MODEL C s p [v3]
6 BO 2 1 PP M M n r Analityczne p s [v2]
2 BO 2 1 PP Przykłady Segregator [v1]
9 BO 2 1 PP MODEL A s p [v2]
1 BO 1 1 PP Modelowanie Opisowe Segregator [v1]
12 BO 2 1 PP Segregator Polityka Odnawiania Zasobów w Stacji Paliw s p [v2]
0 BO 3 1 PP Dzienne 2014 AK&BK Plan cyklu wykładowego [v2]
13 BO 1 1 PP 1plus2 Paliwa 6000
14 BO 2 1 PP Generowanie Liczb Losowych 2008 s p [v9]
3 BO 2 1 PP Klasyfikacje systemów masowej obsługi s p
więcej podobnych podstron