Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

1

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

B A D A N I A O P E R A C Y J N E

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWAē

MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBS

àUGI

F

1

(t)

n

1

..

1

S

1

KS

1

n

2

..

1

S

2

KS

2

F

2

(t)

N

Materiaáy pomocnicze do wykáadu v.9

[e-mail]

ELEMENTARNE SYSTEMY MASOWEJ OBS

àUGI

(1)

F

1

(t)

F

1

(t)

t

21

t

24

, t

22

, t

23

,

, t

25

, …

1

F

2

(t)

KS

2

S

2

F

1

(t)

n

2

t

21

, t

22

, t

23

,

t

24

, t

25

, …

t

31

, t

32

, t

33

,

t

34

, t

35

, …

1

F

3

(t)

KS

3

S

3

F

1

(t)

n

3

t

31

, t

32

, t

33

,

t

34

, t

35

, …

t

41

, t

42

, t

43

,

t

44

, t

45

, …

n

4

2

S

4

KS

4

F

4

(t)

F

1

(t)

1

t

41

, t

42

, t

43

,

t

44

, t

45

, …

t

11

, t

12

, t

13

,

t

14

, t

15

, …

n

1

2

S

1

KS

1

1

t

11

, t

12

, t

13

,

t

14

, t

15

, …

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

2

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

ELEMENTARNE SYSTEMY MASOWEJ OBS

àUGI

(2)

F

1

(t)

F

1

(t)

t

21

t

24

, t

22

, t

23

,

, t

25

, …

1

F

2

(t)

KS

2

S

2

F

1

(t)

n

2

t

21

, t

22

, t

23

,

t

24

, t

25

, …

t

31

, t

32

, t

33

,

t

34

, t

35

, …

1

F

3

(t)

KS

3

S

3

F

1

(t)

n

3

t

31

, t

32

, t

33

,

t

34

, t

35

, …

t

41

, t

42

, t

43

,

t

44

, t

45

, …

n

4

2

S

4

KS

4

F

4

(t)

F

1

(t)

1

t

41

, t

42

, t

43

,

t

44

, t

45

, …

t

11

, t

12

, t

13

,

t

14

, t

15

, …

n

1

2

S

1

KS

1

1

t

11

, t

12

, t

13

,

t

14

, t

15

, …

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

3

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

ELEMENTARNE SYSTEMY MASOWEJ OBS

àUGI

(3)

F

1

(t)

F

1

(t)

t

21

t

24

, t

22

, t

23

,

, t

25

, …

1

F

2

(t)

KS

2

S

2

F

1

(t)

n

2

t

21

, t

22

, t

23

,

t

24

, t

25

, …

t

31

, t

32

, t

33

,

t

34

, t

35

, …

1

F

3

(t)

KS

3

S

3

F

1

(t)

n

3

t

31

, t

32

, t

33

,

t

34

, t

35

, …

t

41

, t

42

, t

43

,

t

44

, t

45

, …

n

4

2

S

4

KS

4

F

4

(t)

F

1

(t)

1

t

41

, t

42

, t

43

,

t

44

, t

45

, …

t

11

, t

12

, t

13

,

t

14

, t

15

, …

n

1

2

S

1

KS

1

1

t

11

, t

12

, t

13

,

t

14

, t

15

, …

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

4

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

ELEMENTARNE SYSTEMY MASOWEJ OBS

àUGI

(4)

F

1

(t)

t

21

, t

22

, t

23

,

t

24

, t

25

, …

1

F

2

(t)

KS

2

S

2

F

(t)

1

n

2

t

21

, t

22

, t

23

,

t

24

, t

25

, …

t

11

, t

12

, t

13

,

t

14

, t

15

, …

F

1

(t)

n

1

2

S

1

KS

1

1

t

11

, t

12

, t

13

,

t

t

14

,

, …

15

S

3

F

1

(t)

t

31

, t

32

, t

33

,

t

34

, t

35

, …

1

F

3

(t)

KS

3

t

31

, t

32

, t

33

,

t

34

, t

35

, …

F

4

(t)

n

3

F

1

(t)

t

41

, t

42

, t

43

,

t

44

, t

45

, …

n

4

2

S

4

KS

4

1

t

41

, t

42

, t

43

,

t

44

, t

45

, …

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

5

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

SIE

û ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW MASOWEJ OBSàUGI

(1)

3

1 ...

Į

nn

(t

i

)

Į

1n

(t

i

)

Į

n

(t

i

)

ȕ

n

(t

i

)

n

1

(T

i

), p

1

(m)

...

1

X

n

KX

n

Į

n1

(t

i

)

Ȟ

n

Į

11

(t

i

)

Ȟ

1

ȕ

1

(t

i

)

Į

1

(t

i

)

...

1

X

1

KX

1

3

n ...

Į

22

(t

i

)

Ȟ

2

ȕ

2

(t

i

)

Į

2

(t

i

)

...

1

X

2

KX

2

Į

21

(t

i

)

Į

12

(t

i

)

n

2

(T

i

), p

2

(m)

n

n

(T

i

), p

n

(m)

3

2 ...

Į

1j

(t

i

)

ȕ

j

(t

i

)

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

6

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

SIE

û ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW MASOWEJ OBSàUGI

(2)

3

1 ...

Į

nn

(t

i

)

Į

1n

(t

i

)

Į

n

(t

i

)

ȕ

n

(t

i

)

n

1

(T

i

), p

1

(m)

...

1

X

n

KX

n

Į

n1

(t

i

)

Ȟ

n

Į

11

(t

i

)

Ȟ

1

ȕ

1

(t

i

)

Į

1

(t

i

)

...

1

X

1

KX

1

3

n ...

Į

22

(t

i

)

Ȟ

2

ȕ

2

(t

i

)

Į

2

(t

i

)

...

1

X

2

KX

2

Į

21

(t

i

)

Į

12

(t

i

)

n

2

(T

i

), p

2

(m)

n

n

(T

i

), p

n

(m)

3

2 ...

Į

1j

(t

i

)

ȕ

j

(t

i

)

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

7

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

SIE

û ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW MASOWEJ OBSàUGI

(3)

ANALIZA SIECI

3

1 ...

Į

nn

(t

i

)

Į

1n

(t

i

)

Į

n

(t

i

)

ȕ

n

(t

i

)

n

1

(T

i

), p

1

(m)

...

1

X

n

KX

n

Į

n1

(t

i

)

Ȟ

n

Į

11

(t

i

)

Ȟ

1

ȕ

1

(t

i

)

Į

1

(t

i

)

...

1

X

1

KX

1

3

n ...

Į

22

(t

i

)

Ȟ

2

ȕ

2

(t

i

)

Į

2

(t

i

)

...

1

X

2

KX

2

Į

21

(t

i

)

Į

12

(t

i

)

n

2

(T

i

), p

2

(m)

n

n

(T

i

), p

n

(m)

3

2 ...

Į

1j

(t

i

)

ȕ

j

(t

i

)

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

8

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

SIE

û ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW MASOWEJ OBSàUGI

(4)

WYBÓR PEWNEGO SYSTEMU Z SIECI

3

1 ...

Į

nn

(t

i

)

Į

1n

(t

i

)

Į

n

(t

i

)

ȕ

n

(t

i

)

n

1

(T

i

), p

1

(m)

...

1

X

n

KX

n

Į

n1

(t

i

)

Ȟ

n

Į

11

(t

i

)

Ȟ

1

ȕ

1

(t

i

)

Į

1

(t

i

)

...

1

X

1

KX

1

3

n ...

Į

22

(t

i

)

Ȟ

2

ȕ

2

(t

i

)

Į

2

(t

i

)

...

1

X

2

KX

2

Į

21

(t

i

)

Į

12

(t

i

)

n

2

(T

i

), p

2

(m)

n

n

(T

i

), p

n

(m)

3

2 ...

Į

1j

(t

i

)

ȕ

j

(t

i

)

F

1

(t)

n

1

…

1

S

1

KS

1

n

2

....

1

S

2

KS

2

F

2

(t)

N

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

9

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

POJ

ĉCIE DWUFAZOWEGO CYKLICZNEGO SYSTEMU

MASOWEJ OBS

àUGI

W dwufazowym cyklicznym systemie masowej obs

áugi staáa liczba N obiektów, podlega

cyklicznie obs

áudze w dwu fazach (

rys. 1

). Ka

Īda faza obsáuguje wchodzące do niej obiekty,

niezale

Īnie od fazy poprzedniej, zgodnie z wáasnym rozkáadem czasu obsáugi – jednakowym dla

ka

Īdego z kanaáów obsáugi. W fazie pierwszej, na kanaáach stanowiska S

1

, czas obs

áugi okreĞla

rozk

áad F

1

(t), a w fazie drugiej, na kana

áach stanowiska S

2

, czas obs

áugi obiektów okreĞla rozkáad

F

2

(t).

S

2

Rys. 1. Schemat ideowy dwufazowego cyklicznego systemu masowej

obs

áugi (objaĞnienie oznaczeĔ w tekĞcie)

n

1

2

1

KS

F

2

(t)

N

S

1

2

KS

1

F

1

(t)

F

1

(t)

F

1

(t)

n

3

n

2

1

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

10

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

PRZYK

àADY

ĩwirownia;













Firma taksówkowa;
Zajezdnia autobusowa i tramwajowa;
Zak

áad Taboru – Lokomotywownia (lokomotywy);

Zak

áad Taboru – Wagonownia (wagony pasaĪerskie);

Firma transportowa.

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

11

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

F a z a d r u g a s y s t e m u

ZA

àOĩENIA

N

2







Stanowisko obs

áugowe w fazie pierwszej ma N takich

samych kana

áów obsáugiwania. Czas przebywania w fazie

pierwszej opisuje rozk

áad wykáadniczy o parametrze O

a wi

Ċc o dystrybuancie postaci:

Przed stanowiskiem w fazie pierwszej nie tworzy si

Ċ kolejka.

Stanowisko obs

áugowe w fazie drugiej ma n takich samych

kana

áów obsáugiwania. Czas obsáugi zgáoszeĔ opisuje

rozk

áad wykáadniczy o dystrybuancie:

n

1

2

1

F

2

(t)

N

S

1

KS

2

S

2

S

2

j

KS

1

F

1

(t)

F

1

(t)

F

1

(t)

2

1

n

2

1

F

1

(t)

KS

F

2

(t)

N

S

1

2

F

1

(t)

F

1

(t)

2

1

n

N-j

F a z a p i e r w s z a s y s t e m u

t

e

t

F

˜



˜



O

1

)

(

1

t

e

t

F

˜



˜



P

1

)

(

2

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

12

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

POSZUKIWANE

F a z a d r u g a s y s t e m u

N

2

S

2

j

o

Stany systemu;

o

Graf stanów systemu;

o

Stacjonarne prawdopodobie

Ĕstwa stanów systemu;

o

Wspó

áczynnik przestoju obiektów;

o

Wspó

áczynnik przestoju stanowiska obsáugiwania w fazie drugiej systemu;

o

Gotowo

Ğü cyklicznego systemu obsáugowego.

1

F

1

(t)

F

2

(t)

N

S

1

KS

2

F

1

(t)

F

1

(t)

2

1

n

N-j

F a z a p i e r w s z a s y s t e m u

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

13

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

o

Stany systemu

ROZWI

ĄZANIA

S

0

 systemie w fazie drugiej nie ma obiektów (zg

áoszeĔ), w fazie pierwszej jest N zgáoszeĔ,

S

1

 jeden obiekt (zg

áoszenie) znajduje siĊ w fazie drugiej systemu (nastĊpuje jego obsáuga na

pierwszym kanale obs

áugowym; kolejka nie wystĊpuje), w fazie pierwszej jest (N-1)

obiektów (zg

áoszeĔ),

S

2

 dwa obiekty (zg

áoszenia) znajdują siĊ w fazie drugiej systemu (pierwszy jest obsáugiwany

na pierwszym kanale obs

áugowym; drugi na drugim kanale obsáugowym), w fazie

pierwszej jest (N-2) obiektów (zg

áoszeĔ),



S

n-1

 (n-1) obiektów (zg

áoszeĔ) znajduje siĊ w drugiej fazie systemu (wszystkie obsáugiwane są

na kolejnych kana

áach obsáugowych; jeden kanaá obsáugowy jest wolny), w fazie pierwszej

jest (N-n+1) obiektów (zg

áoszeĔ),

S

n

 n obiektów (zg

áoszeĔ) znajduje siĊ w fazie drugiej systemu (wszystkie z n kanaáów

obs

áugowych są zajĊte; kolejka nie wystĊpuje), w fazie pierwszej jest (N-n) obiektów,

S

n+1

 (n+1) obiektów znajduje si

Ċ w fazie drugiej systemu (wszystkie kanaáy obsáugowe są

zaj

Ċte, jedno zgáoszenie czeka w kolejce), w fazie pierwszej jest (N-n-1) obiektów,



S

N

 N obiektów (zg

áoszeĔ) znajduje siĊ w fazie drugiej systemu (wszystkie z n kanaáów

obs

áugowych stanowiska są zajĊte; w kolejce oczekuje (N-n) zgáoszeĔ), w fazie pierwszej

brak jest obiektów (zg

áoszeĔ).

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

14

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

o

Graf stanów systemu

F a z a d r u g a s y s t e m u

Rys. 2. Graf stanów dwufazowego cyklicznego systemu masowej obs

áugi

(obja

Ğnienie oznaczeĔ w tekĞcie)

O

1˜O



1O



1nO



1n–O

n

P

(n-1)

P

S

N

n

P

3

P

. . .



1O

2

P

P

S

0

S

1

S

2

n

P

n

P

S

n-1

S

n

S

n+1

. . .

STANY BEZ KOLEJKI

W DRUGIEJ FAZIE



1nO



1nO

STANY Z KOLEJK

Ą

W DRUGIEJ FAZIE

N

2

1

F

2

(t)

N

S

1

KS

2

S

2

F

1

(t)

F

1

(t)

j

F

1

(t)

2

n

1

N-j

F a z a p i e r w s z a s y s t e m u

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

15

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

o

Stacjonarne prawdopodobie

Ĕstwa stanów systemu

o

Stacjonarne prawdopodobie

Ĕstwa stanów systemu

2



P

N

.

O

. . .

(N-1)

.

O

P

S

0

S

1

1.

1.

t

t

p

t

N

t

p

ǻt

t

p

'

˜

˜



'

˜

˜



˜



P

O

)

(

)

1

(

)

(

)

(

1

0

0

P

O

˜



˜

˜



'



'



)

(

)

(

)

(

)

(

1

0

0

0

t

p

N

t

p

t

t

p

t

t

p

lim

0

o

't

P

O

˜



˜

˜



'



'



o

'

)

(

)

(

)

(

)

(

lim

1

0

0

0

0

t

p

N

t

p

t

t

p

t

t

p

t

Wykorzystuj

ąc definicjĊ pochodnej

t

t

p

t

t

p

dt

t

dp

t

'



'



o

'

)

(

)

(

lim

)

(

0

0

0

0

otrzymuje si

Ċ

P

O

˜



˜

˜



)

(

)

(

)

(

1

0

0

t

p

N

t

p

dt

t

dp

Dla warunków ustalonych:

0

)

(

0

dt

t

dp

;

0

0

)

(

p

t

p

;

1

1

)

(

p

t

p

.

St

ąd

P

O

˜



˜

˜



1

0

0

p

N

p

i pierwsze równanie modelu analitycznego ma posta

ü:

P

O

˜

˜

˜

1

0

p

N

p

(1)

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

16

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

2.





>

@

^

`

t

t

p

t

N

t

p

t

N

t

p

t

t

p

'

˜

˜

˜



'

˜

˜

˜



'

˜



˜





˜

'



P

O

P

O

2

)

(

)

(

1

1

)

(

)

(

2

0

1

1

3



P

. . .

N

.

O

(N-1)

.

O

2



P

P

S

0

S

1

S

2

(N-2)

.

O





>

@

P

O

P

O

˜

˜



˜

˜





˜



˜



'



'



2

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

2

0

1

1

1

t

p

N

t

p

N

t

p

t

t

p

t

t

p

Dla warunków ustalonych:





>

@

P

O

P

O

˜

˜



˜

˜





˜



˜



2

1

0

2

0

1

p

N

p

N

p

a st

ąd drugie równanie modelu analitycznego ma postaü:





>

@

P

O

P

O

˜

˜



˜

˜



˜



˜

2

1

2

0

1

p

N

p

N

p

(2)

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

17

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

(k-1)

.

P

(k+2)

.

P

. . .

[N-(k-2)]

.

O

[N-(k-1)]

.

O

(N-k)

.

O

[N-(k+1)]

.

O

k

.

P

(k+1)

.

P

S

k-1

S

k

S

k+1

. . .

k.

>

@

^

`

>

@

t

k

t

p

t

k

N

t

p

t

k

k

N

t

p

t

t

p

k

k

k

k

'

˜

˜



˜





'

˜

˜





˜



'

˜

˜



˜





˜

'







P

O

P

O

)

1

(

)

(

)

1

(

)

(

)

(

1

)

(

)

(

1

1

>

@

>

@

P

O

P

O

˜



˜





˜







˜



˜



˜



'



'







)

1

(

)

(

)

1

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

1

k

t

p

k

N

t

p

k

k

N

t

p

t

t

p

t

t

p

k

k

k

k

k

a st

ąd k-te równanie modelu analitycznego ma postaü:

>

@

>

@

P

O

P

O

˜



˜



˜





˜

˜



˜



˜





)

1

(

)

1

(

)

(

1

1

k

p

k

N

p

k

k

N

p

k

k

k

(k)

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

18

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

n.

(n-1)

.

P

. . .

[N-(n-3)]

.

O

[N-(n-2)]

.

O

(N-n)

.

O

[N-(n-1)]

.

O

n

.

P

(n-1)

.

P

S

n-2

S

n-1

S

n

. . .

n

.

P





>

@





^

`

>

@

t

n

t

p

t

n

N

t

p

t

n

n

N

t

p

t

t

p

n

n

n

n

'

˜

˜

˜



'

˜

˜





˜





'

˜

˜





˜







˜

'









P

O

P

O

)

(

)

2

(

)

(

)

1

(

1

1

)

(

)

(

2

1

1

>

@

^

`

>

@

P

O

P

O

˜

˜



˜









˜





˜





˜



'



'











n

t

p

n

N

t

p

n

n

N

t

p

t

t

p

t

t

p

n

n

n

n

n

)

(

)

2

(

)

(

)

1

(

)

1

(

)

(

)

(

)

(

2

1

1

1

a st

ąd n-te równanie modelu analitycznego ma postaü:

>

@

^

`

>

@

P

O

P

O

˜

˜



˜





˜

˜





˜







˜





n

p

n

N

p

n

n

n

N

p

n

n

n

)

2

(

1)

(

1)

1)(

(

2

1

(n)

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

19

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

Wykorzystuj

ąc równania:

(1)

,

(2)

, ...,

(k)

,...,

(n)

mo

Īna zapisaü nastĊpujący ukáad równaĔ:

P

O

˜

˜

˜

1

0

p

N

p

(1)





>

@

P

O

P

O

˜

˜



˜

˜



˜



˜

2

1

2

0

1

p

N

p

N

p

(2)



>

@

>

@

P

O

P

O

˜



˜



˜





˜

˜



˜



˜





)

1

(

)

1

(

)

(

1

1

k

p

k

N

p

k

k

N

p

k

k

k

(k)



>

@

^

`

>

@

P

O

P

O

˜

˜



˜





˜

˜





˜





˜





n

p

n

N

p

n

n

N

p

n

n

n

2)

(

1)

(

1)

(

2

1

(n)

O

1˜O



1O



1nO



1n–O

n

P

(n-1)

P



1nO



1O

2

P



1nO

S

N

n

P

3

P

. . .

P

S

0

S

1

S

2

n

P

n

P

. . .

S

n-1

S

n

S

n+1

STANY Z KOLEJK

Ą

W DRUGIEJ FAZIE

STANY BEZ KOLEJKI

W DRUGIEJ FAZIE

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

20

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

Po rozwi

ązaniu ukáadu równaĔ otrzymuje siĊ prawdopodobieĔstwa stacjonarne stanów

1

yn

postaci:

1

0

1

!

)

1

(

!

1

!

¸

¹

·

¨

©

§

˜



˜

˜

P

O

N

N

p

p

1

0

1

!

)

1

(

!

1

!

U

˜



˜

˜

N

N

p

p

2

0

2

!

)

2

(

!

2

!

¸

¹

·

¨

©

§

˜



˜

˜

P

O

N

N

p

p

2

0

2

!

)

2

(

!

2

!

U

˜



˜

˜

N

N

p

p





 o



P

O

U



k

k

k

N

k

N

p

p

¸

¹

·

¨

©

§

˜



˜

˜

P

O

!

)

(

!

!

0

k

k

k

N

k

N

p

p

U

˜



˜

˜

!

)

(

!

!

0





n

n

n

N

n

N

p

p

¸

¹

·

¨

©

§

˜



˜

˜

P

O

!

)

(

!

!

0

n

n

n

N

n

N

p

p

U

˜



˜

˜

!

)

(

!

!

0

k

k

k

N

k

N

p

p

U

˜



˜

˜

!

)

(

!

!

0

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

21

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

Wyznaczenie prawdopodobie

Ĕstw przebywania systemu w stanach wyĪszych od

n

mo

Īna

przeprowadzi

ü wykorzystując zaleĪnoĞci juĪ istniejące. Zostanie to pokazane na przykáadzie

algorytmu dla stanów

(n+1)

i

(n+2)

:

n+1

>

@

>

@

P

O

P

O

˜

˜



˜





˜

˜



˜



˜





n

p

n

N

p

n

n

N

p

n

n

n

1

1

)

1

(

)

(

(n-1)

.

P

n

.

P

. . .

[N-(n-2)]

.

O [N-(n-1)]

.

O

(N-n)

.

O

[N-(n+1)]

.

O

n

.

P

n

.

P

S

n-1

S

n

S

n+1

. . .

st

ąd

>

@

>

@

P

O

P

O

˜

˜





˜



˜



˜



˜





n

n

N

p

n

n

N

p

p

n

n

n

)

1

(

)

(

1

1

ale wiadomo,

Īe:

>

@

1

0

1

!

)

1

(

)!

1

(

!





˜





˜



˜

n

n

n

N

n

N

p

p

U

i

n

n

n

N

n

N

p

p

U

˜



˜

˜

!

)

(

!

!

0

k

k

k

N

k

N

p

p

U

˜



˜

˜

!

)

(

!

!

0

Na tej podstawie otrzymuje si

Ċ:

>

@

1

0

1

!

)

1

(

!

!





˜





˜

˜

˜

n

n

n

N

n

n

N

p

p

U

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

22

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

Obliczenia pomocnicze potwierdzaj

ące prawidáowoĞü zaleĪnoĞci na

p

n+1

.

>

@

>

@

P

O

P

O

˜

˜





˜



˜



˜



˜





n

n

N

p

n

n

N

p

p

n

n

n

)

1

(

)

(

1

1

>

@

P

O

P

O

˜

˜





˜



˜

˜



˜



˜





n

n

N

p

n

p

n

N

p

p

n

n

n

n

)

1

(

)

(

1

1

>

@

P

O

P

P

P

O

˜





˜



˜

˜

˜



˜



˜





n

n

N

p

n

n

p

n

n

N

p

p

n

n

n

n

)

1

(

)

(

1

1

ale

U

P

O

>

@

U

U

˜





˜





˜



˜





n

n

N

p

p

n

n

N

p

p

n

n

n

n

)

1

(

)

(

1

1

n

n

n

N

n

N

p

p

U

˜



˜

˜

!

)

(

!

!

0

>

@

1

0

1

!

)

1

(

)!

1

(

!





˜





˜



˜

n

n

n

N

n

N

p

p

U

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

23

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

Cd. oblicze

Ĕ pomocniczych potwierdzających prawidáowoĞü zaleĪnoĞci na

p

n+1

.

>

@

>

@

U

U

U

U

U

˜





˜

˜





˜





˜



˜



˜



˜

˜



˜





n

n

N

n

N

n

N

p

n

N

n

N

p

n

n

N

n

N

n

N

p

p

n

n

n

n

)

1

(

!

)

1

(

)!

1

(

!

!

)

(

!

!

)

(

!

)

(

!

!

1

0

0

0

1

>

@

>

@

n

n

N

n

N

n

N

p

n

N

n

N

p

n

n

N

n

N

n

N

p

p

n

n

n

n

)

1

(

!

)

1

(

)!

1

(

!

!

)

(

!

!

)

(

!

)

(

!

!

0

0

1

0

1





˜

˜





˜





˜



˜





˜

˜



˜





U

U

U

>

@

n

n

n

n

n

N

n

N

p

n

N

n

N

p

n

N

n

n

N

p

p

U

U

U

˜



˜

˜



˜



˜

˜



˜





˜

˜

˜





!

)

(

!

!

!

)

(

!

!

!

)

1

(

!

!

0

0

1

0

1

>

@

1

0

1

!

)

1

(

!

!





˜





˜

˜

˜

n

n

n

N

n

n

N

p

p

U

cnp.

Ilustracje pomocnicze

>

@

>

@ >

@ >

@ >

@

)

1

(

)

1

(

)

2

(

3

2

1

!

)

1

(





˜



˜





˜





˜

˜

˜

˜





n

N

n

N

n

N

n

N

n

N



>

@ >

@ >

@

)

1

(

!

!

)

1

(





˜







n

N

n

N

n

N

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

24

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

n+2

n

.

P

n

.

P

. . .

[N-(n-1)]

.

O

(N-n)

.

O

[N-(n+1)]

.

O [N-(n+2)]

.

O

n

.

P

n

.

P

S

n

S

n+1

S

n+2

. . .

>

@

^

`





P

O

P

O

˜

˜



˜



˜

˜



˜





˜





n

p

n

N

p

n

n

N

p

n

n

n

2

1

)

1

(

st

ąd

>

@

^

`

P

O

P

O

˜

˜



˜



˜



˜





˜





n

n

N

p

n

n

N

p

p

n

n

n

)

(

)

1

(

1

2

ale wiadomo,

Īe:

n

n

n

N

n

N

p

p

U

˜



˜

˜

!

)

(

!

!

0

i

>

@

1

0

1

!

)

1

(

!

!





˜





˜

˜

˜

n

n

n

N

n

n

N

p

p

U

Na tej podstawie otrzymuje si

Ċ:

>

@

2

2

0

2

!

)

2

(

!

!





˜





˜

˜

˜

n

n

n

N

n

n

N

p

p

U

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

25

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

Na podstawie otrzymanych rezultatów mo

Īna zauwaĪyü, Īe:

>

@

>

@

>

@

U

U

U

˜



˜



˜

˜

˜





˜

˜

˜





n

n

N

n

N

n

N

p

n

N

n

n

N

p

p

p

n

n

n

n

!

!

!

!

)

1

(

!

!

0

1

0

1

oraz

>

@

>

@

>

@

U

U

U

˜





˜





˜

˜

˜

˜





˜

˜

˜









n

n

N

n

N

n

n

N

p

n

N

n

n

N

p

p

p

n

n

n

n

)

1

(

!

)

1

(

!

!

!

)

2

(

!

!

1

0

2

2

0

1

2

Na tej podstawie wida

ü, Īe:

U

˜





n

k

N

p

p

k

k

)

(

1

co pozwala zapisa

ü nastĊpującą zaleĪnoĞü rekurencyjną obowiązującą w zakresie stanów nyN:

U

˜



˜



n

k

N

p

p

k

k

)

(

1

dla k = n, n+1, ..., N

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

26

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

Zale

ĪnoĞü rekurencyjna oraz zaleĪnoĞci na

i

, pozwalaj

ą sformuáowaü postaü modelu na

prawdopodobie

Ĕstwo stacjonarne k-tego stanu w zakresie stanów nyN:

1



n

p

2



n

p

U

˜



˜



n

k

N

p

p

k

k

)

(

1

dla k = n, n+1, ..., N

k

n

k

k

k

N

n

n

N

p

p

U

˜



˜

˜



!

)

(

!

!

0

dla k = n, n +1, ..., N

O

1˜O



1O



1nO



1nO



1nO



1O



1nO

n

P

(n-1)

P

S

N

n

P

3

P

. . .

2

P

P

S

0

S

1

S

2

n

P

n

P

. . .

S

n-1

S

n

S

n+1

STANY Z KOLEJK

Ą

W DRUGIEJ FAZIE

STANY BEZ KOLEJKI

W DRUGIEJ FAZIE

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

27

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

U

˜



˜



n

k

N

p

p

k

k

)

(

1

dla k = n, n+1, ..., N

n

n

n

N

n

N

p

p

U

˜



˜

˜

!

)

(

!

!

0

dla k = n

U

˜



˜



n

n

N

p

p

n

n

)

(

1

U

U

˜



˜

˜



˜

˜



n

n

N

n

N

n

N

p

p

n

n

)

(

!

)

(

!

!

0

1

1

1

0

1

!

)

)

1

(

(

!

!





˜





˜

˜

˜

n

n

n

N

n

n

N

p

p

U

dla k = n+1

U

˜





˜





n

n

N

p

p

n

n

))

1

(

(

1

2

U

U

˜





˜

˜





˜

˜

˜





n

n

N

n

N

n

n

N

p

p

n

n

))

1

(

(

!

)

)

1

(

(

!

!

1

1

0

2

2

2

0

2

!

)

)

2

(

(

!

!





˜





˜

˜

˜

n

n

n

N

n

n

N

p

p

U

dla k = n+2

U

˜





˜





n

n

N

p

p

n

n

))

2

(

(

2

3

U

U

˜





˜

˜





˜

˜

˜





n

n

N

n

N

n

n

N

p

p

n

n

))

2

(

(

!

)

)

2

(

(

!

!

2

2

0

3

3

3

0

3

!

)

)

3

(

(

!

!





˜





˜

˜

˜

n

n

n

N

n

n

N

p

p

U

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

28

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

W cyklicznym systemie masowej obs

áugi obowiązuje równieĪ warunek postaci:

1

0

¦

N

i

i

p

Wykorzystuj

ąc utworzone uprzednio równania moĪna zapisaü, Īe:

dla k = 1,2,...,n,

k

n

k

k

k

N

n

n

N

p

p

U

˜



˜

˜



!

)

(

!

!

0

dla k = n+1,...,N

mo

Īna zapisaü, Īe:

1

!

)

(

!

!

!

)

(

!

!

1

0

0

0

¦

˜



˜

˜

¦



˜



˜

˜





N

n

k

k

n

k

n

k

k

k

N

n

n

N

p

k

N

k

N

p

U

U

k

k

k

N

k

N

p

p

U

˜



˜

˜

!

)

(

!

!

0

a st

ąd

1

1

0

0

!

)

(

!

!

!

)

(

!

!







»

¼

º

«

¬

ª

¦

˜



˜

¦



˜



˜

N

n

k

k

n

k

n

k

k

k

N

n

n

N

k

N

k

N

p

U

U

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

29

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

ROZWI

ĄZANIA

- DWUFAZOWY CYKLICZNY SYSTEM MASOWEJ

OBS

àUGI

dla k = 1,2,...,n,

k

n

k

k

k

N

n

n

N

p

p

U

˜



˜

˜



!

)

(

!

!

0

dla k = n+1,...,N

1

1

0

0

!

)

(

!

!

!

)

(

!

!







»

¼

º

«

¬

ª

¦

˜



˜

¦



˜



˜

N

n

k

k

n

k

n

k

k

k

N

n

n

N

k

N

k

N

p

U

U

k

k

k

N

k

N

p

p

U

˜



˜

˜

!

)

(

!

!

0

O

1˜O



1O



1nO



1nO



1nO



1O



1nO

n

P

(n-1)

P

S

N

n

P

3

P

. . .

2

P

P

S

0

S

1

S

2

n

P

n

P

S

n-1

S

n

S

n+1

. . .

STANY Z KOLEJK

Ą

W DRUGIEJ FAZIE

STANY BEZ KOLEJKI

W DRUGIEJ FAZIE

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

30

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

Wspó

áczynnik przestoju obiektów w cyklicznym systemie masowej obsáugi

S

2

W cyklicznym systemie obs

áugowym jest to stosunek Ğredniej liczby obiektów oczekujących

w kolejce KS1 do liczby wszystkich N obiektów znajdujących siĊ w systemie:

N

L

V

KS

1

ob

,

gdzie:

1

KS

L



Ğrednia liczba obiektów oczekujących w kolejce

,

1

KS

N

 staáa liczba obiektów znajdujących siĊ w systemie.

n

1

2

1

F

1

(t)

KS

F

2

(t)

N

S

1

2

KS

1

F

1

(t)

F

1

(t)

2

1

n

2

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

31

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

o

Wspó

áczynnik przestoju stanowiska obsáugiwania w cyklicznym systemie masowej obsáugi

Jest to stosunek

Ğredniej liczby kanaáów stanowisk nie zajĊtych obsáugą, do liczby wszystkich

kana

áów stanowisk pracujących w systemie (n

2

):

S

2

2

2

kon

2

n

L

n

V

S



,

gdzie:

2

S

L



Ğrednia liczba obiektów znajdujących siĊ na stanowisku ,

2

S

 liczba kana

áów stanowiska .

2

n

2

S

n

1

2

1

F

1

(t)

KS

F

2

(t)

N

S

1

2

KS

1

F

1

(t)

F

1

(t)

2

n

2

1

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

32

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

o

Gotowo

Ğü cyklicznego systemu obsáugowego

Jest to prawdopodobie

Ĕstwo takiego zdarzenia, Īe w pierwszej fazie cyklicznego systemu

obs

áugowego znajduje siĊ co najmniej tyle obiektów, ile jest kanaáów stanowiska S

1

w tej fazie.

Wska

Ĩnik ten moĪna wyraziü zaleĪnoĞcią:

S

2

^

`

1

sys

1

n

L

P

G

S

,

gdzie:

 liczba obiektów znajduj

ących siĊ na stanowisku ,

1

S

L

1

S

 liczba kana

áów stanowiska .

1

n

1

S

n

1

2

1

F

1

(t)

KS

F

2

(t)

N

S

1

2

KS

1

F

1

(t)

F

1

(t)

2

n

2

1

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

33

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

PODSUMOWANIE

i

Cykliczny system masowej obs

áugi:

x poj

Ċcie cyklicznego systemu masowej obsáugi, przykáady zastosowania cyklicznego

systemu masowej obs

áugi,

x stan systemu, graf stanów,

x rozk

áad liczby (L

2

) pojazdów znajduj

ących siĊ w fazie drugiej systemu – p(i)=P{ L

2

= i },

x prawdopodobie

Ĕstwo, Īe system w fazie drugiej jest pusty – p

0

,

x prawdopodobie

Ĕstwo, Īe wszystkie kanaáy stanowiska w fazie drugiej są zajĊte – p

zaj

,

x

Ğrednia liczba obiektów oczekujących na obsáugĊ w fazie drugiej – L

KS2

,

x

Ğrednia liczba pojazdów na stanowisku w fazie drugiej – L

S2

,

x

Ğrednia liczba pojazdów w fazie drugiej – L

2

,

x

Ğrednia liczba pojazdów w fazie pierwszej – L

1

,

x wspó

áczynnik przestoju kanaáów stanowiska w fazie drugiej – W

2

= ( n

2

– L

S2

) / n

2

.

Plik:

BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc

34

/

34

A. KADZI

ēSKI,

POJ

ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI

4

/

34