LABORATORIUM MECHANIKI EKSPERYMENTALNEJ

Instrukcja do ćwiczenia

1b

Wyznaczanie momentów bezwładności elementów

maszyn metodą wahadła fizycznego

Cel

ć

wiczenia

Celem

ć

wiczenia jest zapoznanie z eksperymentalnymi i analitycznymi metodami wy-

znaczania momentów bezwładno

ś

ci cz

ęś

ci maszyn. W ramach realizowanego

ć

wi-

czenia stosuje si

ę

metod

ę

wahadła fizycznego.

.

Literatura

1.

J.Leyko, Mechanika Ogólna, tom II, rozdz. VII.

2.

K.Zarankiewicz, Mechanika Teoretyczna, tom III, rozdz. X.

Zagadnienia kontrolne

1. Definicje momentów bezwładno

ś

ci ciała sztywnego:

a) wzgl

ę

dem płaszczyzny,

b) wzgl

ę

dem osi,

c) wzgl

ę

dem punktu.

2. Umiej

ę

tno

ść

wyznaczenia sposobem analitycznym momentów bezwładno

ś

ci pro-

stych ciał jednorodnych, jak: walec, kula, sto

ż

ek, sto

ż

ek

ś

ci

ę

ty itp.

3. Twierdzenie Steinera.
4. Analityczne wyznaczenie momentów bezwładno

ś

ci ciała zło

ż

onego z prostych ele-

mentów.

Uwaga. Instrukcja dotyczy podstaw samego

ć

wiczenia. Aby opanowa

ć

materiał

dotycz

ą

cy powy

ż

szych zagadnie

ń

nale

ż

y si

ę

gn

ąć

do podanej literatury.

Podstawy teoretyczne dotycz

ą

ce przeprowadzenia eksperymentu

Wahadłem fizycznym nazywamy dowolne ciało sztywne mog

ą

ce si

ę

obraca

ć

wo-

kół osi poziomej, które wykonuje drgania pod wpływem siły grawitacji (rysunek 1).

Rys. 1. Przekrój wahadła fizycznego i punkty zawieszenia A i B

Na rysunku 1 przedstawiono przekrój takiego ciała w płaszczy

ź

nie prostopadłej do

osi obrotu i przechodz

ą

cej przez

ś

rodek masy ciała. Wybrany punkt, w którym o

ś

ob-

rotu przebija wspomnian

ą

płaszczyzn

ę

, mo

ż

emy nazwa

ć

punktem zawieszenia wa-

hadła (na rysunku punkt A lub B w zale

ż

no

ś

ci od sposobu zawieszenia wahadła).

Mamy wyznaczy

ć

moment bezwładno

ś

ci wahadła wzgl

ę

dem osi przechodz

ą

cej

przez

ś

rodek masy C i równoległej do osi obrotu przechodz

ą

cej przez punkt A.

Okres drga

ń

wahadła fizycznego wynosi odpowiednio:

- gdy o

ś

obrotu przechodzi przez punkt A:

mag

J

T

A

A

π

2

=

,

(1a)

- gdy o

ś

obrotu przechodzi przez punkt B:

g

a

l

m

J

T

B

B

)

(

2

−

=

π

,

(1b)

gdzie: J

A

–moment bezwładno

ś

ci wahadła wzgl

ę

dem osi przechodz

ą

cej przez

punkt A,
J

B

–moment bezwładno

ś

ci wahadła wzgl

ę

dem osi przechodz

ą

cej przez punkt B,

a

– odległo

ść

punktu A od

ś

rodka masy C,

l

– odległo

ść

pomi

ę

dzy punktami A i B,

m – masa wahadła.

St

ą

d, momenty bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem osi przechodz

ą

cych odpowiednio

przez punkty A i B wynosz

ą

:

2

2

4

π

A

A

mgaT

J

=

]

[

2

m

kg

⋅

(2a)

(

)

2

2

4

π

B

B

T

a

l

mg

J

−

=

]

[

2

m

kg

⋅

(2b)

Korzystaj

ą

c z twierdzenia Steinera i z zale

ż

no

ś

ci (2a i 2b) mo

ż

na okre

ś

li

ć

mo-

ment bezwładno

ś

ci badanego elementu wzgl

ę

dem osi przechodz

ą

cej przez

ś

rodek

masy oraz odległo

ść

punktu zawieszenia A od

ś

rodka masy:

m

a

agT

J

A

c













−

=

2

2

2

4

π

]

[

2

m

kg

⋅

(3)

]

[m

(4)

Oszacowanie niepewno

ś

ci pomiarowej

Załó

ż

my dalej,

ż

e niepewno

ś

ci poszczególnych pomiarów s

ą

niezale

ż

ne i losowe.

Aby upro

ś

ci

ć

obliczenia przyjmijmy,

ż

e niepewno

ść

oszacowania g (przyspieszenia

ziemskiego) jest pomijalnie mała (bliska zeru) w porównaniu do innych niepewno

ś

ci.

Dla uproszczenia przyjmijmy,

ż

e pomiar

a

obarczony jest niepewno

ś

ci

ą

:

(5)

Ogólna zale

ż

no

ść

okre

ś

laj

ą

ca jak si

ę

przenosz

ą

bł

ę

dy wielko

ś

ci mierzonych na

wyznaczan

ą

po

ś

rednio wielko

ść

, przy zało

ż

eniu niezale

ż

no

ś

ci bł

ę

dów wielko

ś

ci mie-

rzonych, przedstawia si

ę

nast

ę

puj

ą

co

1

:

2

2

...













∆

∂

∂

+

+













∆

∂

∂

=

∆

z

z

y

x

x

y

y

(6)

gdzie y(x,..z) jest wielko

ś

ci

ą

wyznaczan

ą

metod

ą

po

ś

redni

ą

na podstawie pomiaru

warto

ś

ci x,...z.

Ostatecznie mo

ż

na zapisa

ć

,

ż

e niepewno

ść

oszacowania momentu bezładno

ś

ci

elementu wzgl

ę

dem osi przechodz

ą

cej przez

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci wynosi:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

4

2

4















∆















−

+













∆

+















∆















−

=

∆

m

a

agT

T

agmT

a

m

a

gT

J

A

A

A

A

c

π

π

π

]

[

2

m

kg

⋅

(7)

Podobnie niepewno

ść

towarzysz

ą

c

ą

pomiarowi metod

ą

po

ś

redni

ą

momentu bez-

władno

ś

ci elementu wzgl

ę

dem osi przechodz

ą

cej przez punkt A i punkt B mo

ż

na

oszacowa

ć

jako:

1

Aby poszerzyć wiedze z tego zakresu sięgnij po książkę: John R. Taylor; Wstęp do analizy błędu pomiarowego;

PWN Warszawa 1999 i późniejsze wydania (rozdział 3).

(

)

l

T

T

g

l

glT

a

B

A

B

2

2

2

2

2

2

8

4

π

π

−

+

−

=

l

a

∆

≈

∆

2

2

2

2

2

2

2

2

4

4

2

4















∆

+













∆

+















∆

=

∆

a

mgT

T

mgaT

m

gaT

J

A

A

A

A

A

π

π

π

]

[

2

m

kg

⋅

(8)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

4

4

)

(

2

4

)

(















∆

+















∆

+













∆

−

+















∆

−

=

∆

l

mgT

a

mgT

T

T

a

l

mg

m

T

a

l

g

J

B

B

B

B

B

B

π

π

π

π

]

[

2

m

kg

⋅

gdzie:

l

T

T

B

A

∆

∆

∆

,

,

s

ą

niepewno

ś

ciami pomiarowymi wielko

ś

ci mierzonych bezpo-

ś

rednio: okresów waha

ń

wahadła podwieszonego na osiach przechodz

ą

cych przez

punkty A i B oraz odległo

ś

ci pomi

ę

dzy A i B.

Przebieg

ć

wiczenia

Opis kolejnych kroków, które nale

ż

y wykona

ć

znajduje si

ę

w arkuszu sprawozdania.

Poni

ż

ej zwrócono uwag

ę

na pewne istotne zagadnienia.

•

Nale

ż

y zmierzy

ć

czas co najmniej 10 wahni

ęć

elementu dla dwóch ró

ż

nych

podwiesze

ń

elementu

•

Ka

ż

dy pomiar nale

ż

y powtórzy

ć

20 razy.

•

G

ę

sto

ś

ci materiałów niezb

ę

dne do analitycznych oblicze

ń

momentu bezwład-

no

ś

ci podane s

ą

w zamieszczonej ni

ż

ej tabeli.

•

We wnioskach nale

ż

y si

ę

ustosunkowa

ć

do otrzymanych wyników, a w szcze-

gólno

ś

ci ró

ż

nic pomi

ę

dzy warto

ś

ciami uzyskanymi z oblicze

ń

analitycznych

oraz z eksperymentu, uwzgl

ę

dniaj

ą

c przy tym oszacowanie niepewno

ś

ci po-

miarowej.

Materiał

G

ę

sto

ść

[kg/m

3

]

Mosi

ą

dz

8500

Stal

7800

Bakelit

1100-1600

Ebonit

1400-1800

Duraluminium

2750