LABORATORIUM MECHANIKI EKSPERYMENTALNEJ

Instrukcja do ćwiczenia

1a

Wyznaczanie momentów bezwładności elementów

maszyn metodą wahadła skrętnego

Cel

ć

wiczenia

Celem

ć

wiczenia jest zapoznanie z eksperymentalnymi i analitycznymi metodami

wyznaczania momentów bezwładno

ś

ci cz

ęś

ci maszyn. W ramach realizowanego

ć

wi-

czenia wykorzystuje si

ę

metod

ę

wahadła skr

ę

tnego.

Literatura

1.

J.Leyko, Mechanika Ogólna, tom II, rozdz. VII.

2.

K.Zarankiewicz, Mechanika Teoretyczna, tom III, rozdz. X.

Zagadnienia kontrolne

1. Definicje momentów bezwładno

ś

ci ciała sztywnego:

a) wzgl

ę

dem płaszczyzny,

b) wzgl

ę

dem osi,

c) wzgl

ę

dem punktu.

2. Moment dewiacyjny ciała sztywnego.
3. Umiej

ę

tno

ść

wyznaczenia sposobem analitycznym momentów bezwładno

ś

ci pro-

stych ciał jednorodnych, jak: walec, kula, sto

ż

ek, sto

ż

ek

ś

ci

ę

ty itp.

4. Twierdzenie Steinera.
5. Analityczne wyznaczenie momentów bezwładno

ś

ci ciała zło

ż

onego z prostych ele-

mentów.

Uwaga. Instrukcja dotyczy podstaw samego

ć

wiczenia. Aby opanowa

ć

powy

ż

sze

zagadnienia nale

ż

y si

ę

gn

ąć

do podanej literatury.

Podstawy teoretyczne dotycz

ą

ce przeprowadzenia eksperymentu

Moment bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem osi informuje nas jak rozło

ż

ona jest masa obra-

caj

ą

cego si

ę

ciała wokół osi obrotu. Jest to wielko

ść

stała dla danego ciała sztywne-

go i przyj

ę

tej osi. W opisywanej metodzie moment bezwładno

ś

ci wyznacza si

ę

eks-

perymentalnie badaj

ą

c okres drga

ń

skr

ę

tnych badanego elementu zamocowanego

za pomoc

ą

cienkiego pr

ę

ta do wahadła o znanym momencie bezwładno

ś

ci. Schema-

tycznie stanowisko pomiarowe przedstawia rysunek 1

d

J

u

J

l

Rys. 1. Schemat stanowiska do badań drgań skrętnych wahadła

W dalszej cz

ęś

ci instrukcji przyj

ę

to nast

ę

puj

ą

ce oznaczenia:

Ju – moment bezwładno

ś

ci wahadła wzgl

ę

dem osi pr

ę

ta

J – moment bezwładno

ś

ci badanego elementu wzgl

ę

dem tej samej osi

k – stała spr

ęż

ysto

ś

ci pr

ę

ta

ϕ

– k

ą

t skr

ę

cenia pr

ę

ta.

Dodatkowo zakłada

ć

b

ę

dziemy,

ż

e tłumienie układu (na skutek tarcia we-

wn

ą

trz materiałowego, oporów ruchu w powietrzu itp.) jest pomijalnie małe.

Równanie dynamiczne ruchu obrotowego przedstawionego układu bez tłumie-

nia i działania momentów sił zewn

ę

trznych (drgania nietłumione swobodne) ma po-

sta

ć

:

(

)

0

=

+

+

ϕ

ϕ

k

J

J

u

&

&

Stała spr

ęż

ysto

ś

ci pr

ę

ta okre

ś

lona jest zale

ż

no

ś

ci

ą

:

l

GI

k

=

gdzie: G – moduł spr

ęż

ysto

ś

ci poprzecznej materiału pr

ę

ta,

I – biegunowy moment bezwładno

ś

ci przekroju pr

ę

ta.

Równanie ruchu mo

ż

emy przekształci

ć

do postaci:

0

2

=

+

ϕ

ω

ϕ

&

&

gdzie:

ω

– cz

ę

sto

ść

drga

ń

swobodnych, oraz:

Wykorzystuj

ą

c zale

ż

no

ść

pomi

ę

dzy okresem drga

ń

T

, który jest bezpo

ś

rednio

mierzalny, a cz

ę

sto

ś

ci

ą

otrzymamy:

GI

l

J

J

T

u

)

(

2

2

+

=

=

π

ω

π

(1)

Rozpatruj

ą

c wahadło bez badanego elementu otrzymamy analogicznie:

GI

l

J

T

u

u

π

2

=

(2)

Z równa

ń

(1) i (2) otrzymujemy:















−

=

1

2

2

u

u

T

T

J

J

(3)

Aby wyznaczy

ć

szukany moment bezwładno

ś

ci elementu nale

ż

y przyj

ąć

moment

wahadła jako:

]

[

10

)

1

,

0

4

,

3

(

2

3

kgm

J

u

−

⋅

±

=

.

Oszacowanie niepewno

ś

ci pomiarowej

Masowy moment bezwładno

ś

ci J wyznaczamy metod

ą

po

ś

redni

ą

wykorzystuj

ą

c

warto

ś

ci wielko

ś

ci mierzonych bezpo

ś

rednio i odpowiedni

ą

zale

ż

no

ść

pomi

ę

dzy wiel-

ko

ś

ciami.

Ogólna zale

ż

no

ść

okre

ś

laj

ą

ca jak si

ę

przenosz

ą

bł

ę

dy wielko

ś

ci mierzonych na

wyznaczan

ą

po

ś

rednio wielko

ść

, przy zało

ż

eniu niezale

ż

no

ś

ci bł

ę

dów wielko

ś

ci mie-

rzonych, przedstawia si

ę

nast

ę

puj

ą

co

1

:

2

2

...













∆

∂

∂

+

+













∆

∂

∂

=

∆

z

z

y

x

x

y

y

(4)

gdzie y(x,..z) jest wielko

ś

ci

ą

wyznaczan

ą

metod

ą

po

ś

redni

ą

na podstawie pomiaru

warto

ś

ci x,...z.
Stosuj

ą

c wzór (4) niepewno

ść

oszacowania momentu bezładno

ś

ci elementu

wzgl

ę

dem osi pr

ę

ta wynosi:

2

2

2

2

3

2

2

2

1

2

2















∆















−

+















∆

+















∆

=

∆

u

u

u

u

u

u

u

J

T

T

T

T

J

T

T

T

TJ

J

]

[

2

m

kg

⋅

(5)

gdzie:

u

u

J

T

T

∆

∆

∆

,

,

s

ą

niepewno

ś

ciami pomiarowymi odpowiednich wielko

ś

ci.

1

Aby poszerzyć wiedze z tego zakresu sięgnij po książkę: John R. Taylor; Wstęp do analizy błędu pomiarowego;

PWN Warszawa 1999 i późniejsze wydania (rozdział 3).

)

(

)

(

u

u

J

J

l

GI

J

J

k

+

=

+

=

ω

Przebieg

ć

wiczenia

Opis kolejnych kroków, które nale

ż

y wykona

ć

znajduje si

ę

w arkuszu sprawozda-

nia. Poni

ż

ej zwrócono uwag

ę

na pewne istotne zagadnienia.

•

Nale

ż

y zmierzy

ć

czas co najmniej 10 wahni

ęć

elementu

•

Ka

ż

dy pomiar nale

ż

y powtórzy

ć

20 razy.

•

G

ę

sto

ś

ci materiałów niezb

ę

dne do analitycznych oblicze

ń

momentu bezwład-

no

ś

ci podane s

ą

w zamieszczonej ni

ż

ej tabeli.

•

We wnioskach nale

ż

y si

ę

ustosunkowa

ć

do otrzymanych wyników, a w szcze-

gólno

ś

ci ró

ż

nic pomi

ę

dzy warto

ś

ciami uzyskanymi z oblicze

ń

analitycznych

oraz z eksperymentu, uwzgl

ę

dniaj

ą

c przy tym oszacowanie niepewno

ś

ci po-

miarowej.

Materiał

G

ę

sto

ść

[kg/m

3

]

Mosi

ą

dz

8500

Stal

7800

Bakelit

1100-1600

Ebonit

1400-1800

Duraluminium

2750