Analiza zespolona, Egzamin

22.06.2011

1. (a) Niech f będzie funkcją całkowitą i n liczbą naturalną. Dowieść, że istnieje funkcja
całkowita g taka, że f = g

n

wtedy i tylko wtedy gdy krotnosć każdego zera funkcji f jest

podzielna przez n.

2. (a) Jeśli f, g są całkowite to istnieją funkcje całkowite h, f

1

, g

1

takie, że f = hf

1

, g = hg

1

oraz f

1

, g

1

nie mają wspólnych zer.

(b) Jeśli f, g są całkowite i nie mają wspólnych zer to istnieją funkcje całkowite A, B takie,
że f A + gB = 1.

Wsk. Pokazać, że istnieje funkcja meromorficzna M mająca bieguny w zerach g i taka, że
część główna w zerze z

n

jest równa części głównej funkcji 1 −

1

f g

w z

n

.

(c) Dowieść, że każdy skończenie generowany ideał w pierścieniu funkcji całkowitych jest
ideałem głównym.

3. Znaleźć funkcję meromorficzną, która ma bieguny pierwszego rzędu w punktach

√

n,

n ∈ N, a odpowiednie residua wynoszą

√

n.

4. Obliczyć genus powierzchni Riemanna funkcji

3

q

(z − a

1

) · · · · · (z − a

n

) gdzie a

1

, . . . , a

n

są parami różne.

5. Jeśli funkcja f jest holomorficzna w polidysku P = {(z

1

, . . . , z

n

) : |z

i

| < r

i

, i = 1, . . . , n}

i |f (z)| < M dla z ∈ P to współczynniki rozwinięcia Taylora funkcji f w P spełniają
nierówności |c

k

| ¬

M

r

k1
1

...r

kn

n

, gdzie k = (k

1

, . . . , k

n

).

6. Niech O oznacza snop funkcji holomorficznych na rozmaitości zespolonej X. Udowod-
nić, że przestrzeń tego snopa |O| jest przestrzenią Hausdorffa. Czy to jest prawda jeśli
rozpatrzymy snop funkcji gładkich na rozmaitości gładkiej?

7. Niech D będzie obszarem w C

n

, nich f

1

, . . . , f

k

będą funkcjami holomorficznymi w D.

Niech Π = {z ∈ D : |f

j

(z)| < 1, j = 1, . . . , k}. Wykazać, że jeśli Π jest relatywnie zwarty w

D, tzn. jeśli jego domknięcie w D jest zwarte, to Π jest wypukły względem rodziny H(D),
wszystkich funkcji holomorficznych w D.

8. Niech A będzie podzbiorem analitycznym w obszarze D. Wykazać, że zbiór D \ A jest
spójny.

1