Prawdopodobieństwo i statystyka
5.12.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
W konkursie złożonym z trzech etapów startuje niezależnie n uczestników.
Prawdopodobieństwo, że uczestnik odpadnie po pierwszym etapie jest równe
θ .
Prawdopodobieństwo, że uczestnik, który przeszedł etap pierwszy, odpadnie w etapie
drugim też jest równe
θ . Niech K oznacza liczbę uczestników, którzy odpadli w
pierwszym etapie, zaś M liczbę uczestników, którzy odpadli w etapie drugim. Jeżeli
5
3
=
θ
, to prawdopodobieństwo
)
(
k
M
K
P
=
+
dla
{
}
n
k
,
,
1
,
0 K
∈
jest równe
(A)
n
k
n
k
k
n
2
5
16
9
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
(B)
n
k
k
n
k
n
2
5
16
9
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
(C)
n
k
n
k
k
n
2
5
21
4
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
(D)
n
k
n
k
k
n
2
5
4
21
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
(E)
n
k
n
k
k
n
2
5
19
6
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
1
Prawdopodobieństwo i statystyka
5.12.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech T oznacza liczbę pełnych okresów przeżytych przez pacjenta po pewnej
operacji. Załóżmy, że T jest zmienną losową o rozkładzie geometrycznym
t
t
T
P
)
1
(
)
(
θ
θ
θ
−
=
=
,
,
K
,
2
,
1
,
0
=
t
przy czym
)
1
,
0
(
∈
θ
jest nieznanym parametrem. Obserwujemy losową grupę 100
niezależnych pacjentów, przy czym
• dla tych pacjentów, dla których
5
≤
T
, znamy T dokładnie,
• jeżeli pacjent żyje co najmniej sześć okresów, to jego czas życia jest nieznany,
zatem dla każdego z pozostałych pacjentów wiemy tylko, że
.
6
≥
T
Estymujemy
θ na podstawie tych obserwacji. Wyznacz wartość estymatora
największej wiarogodności parametru
θ wiedząc, że:
• suma okresów życia pacjentów, którzy przeżyli co najwyżej 5 pełnych
okresów jest równa 120;
• liczba tych pacjentów jest równa 40.
(A)
13
1
(B)
23
2
(C)
4
1
(D)
10
1
(E)
12
1
2
Prawdopodobieństwo i statystyka
5.12.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu
normalnego , a
niezależnymi zmiennymi losowymi z
rozkładu normalnego
. Wszystkie zmienne są niezależne, a parametry
15
2
1
,
,
,
X
X
X
K
)
,
(
2
1
σ
m
N
15
2
1
,
,
,
Y
Y
Y
K
)
,
(
2
2
σ
m
N
σ
,
,
2
1
m
m
są nieznane. Testujemy hipotezę
2
1
:
m
m
H
=
przy alternatywie
. Hipotezę H odrzucamy, gdy spełniona jest nierówność
2
1
:
m
m
K
≠
c
S
Y
X
>
− |
|
,
gdzie
∑
=
=
15
1
15
1
i
i
X
X
,
∑
=
=
15
1
15
1
i
i
Y
Y
i
(
)
∑
=
−
=
15
1
2
2
15
1
i
i
i
Y
X
S
.
Wyznacz c tak, aby rozmiar testu był równy 0,05.
A) 0,9063
(B) 0,5538
(C) 0,5504
(D) 0,4973
(E) 0,5474
3
Prawdopodobieństwo i statystyka
5.12.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Skuteczność strzelca mierzymy prawdopodobieństwem trafienia w cel pojedynczym
strzałem (w pewnych odpowiednio wystandaryzowanych warunkach). W pewnej
populacji strzelców (załóżmy dla uproszczenia, iż jest to populacja nieskończona)
rozkład skuteczności jest jednostajny na przedziale
( )
1
,
0
.
Wybieramy przypadkowego strzelca, który oddaje 12 strzałów. Zakładamy, że
prawdopodobieństwo trafienia w kolejnej próbie nie zależy od wyniku prób
poprzednich. Okazuje się, że wybrany strzelec trafił 7 razy. Prosimy go o oddanie
trzynastego strzału. Prawdopodobieństwo, iż tym razem trafi jest równe
(A)
14
7
(B)
16
9
(C)
13
8
(D)
15
9
(E)
14
8
4
Prawdopodobieństwo i statystyka
5.12.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie
normalnym , gdzie
9
3
2
1
,
,
,
,
X
X
X
X
K
)
,
(
2
σ
μ
N
,
R
∈
μ
0
>
σ
są nieznanymi parametrami. Niech
∑
=
=
9
1
9
1
i
i
X
X
,
2
9
1
2
)
(
8
1
X
X
s
i
i
−
=
∑
=
. Wyznacz estymator nieobciążony o minimalnej
wariancji parametru
.
σ
μ
ν
=
(A)
s
X
(B)
s
X
)
5
,
3
(
3
Γ
(C)
s
X
)
5
,
3
(
12
Γ
(D)
s
X
)
5
,
7
(
2
!
8
Γ
(E)
s
X
)
5
,
3
(
6
Γ
5
Prawdopodobieństwo i statystyka
5.12.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Rzucamy trzema sześciennymi kostkami do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi
kostkami, na których nie wypadły „jedynki”. W trzeciej rundzie rzucamy tymi
kostkami, na których do tej pory nie wypadły „jedynki”.
Oblicz prawdopodobieństwo, że po trzech rundach na wszystkich kostkach będą
„jedynki” (wybierz najbliższą wartość).
(A) 0,021
(B) 0,050
(C) 0,026
(D) 0,017
(E) 0,075
6
Prawdopodobieństwo i statystyka
5.12.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
7.
Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie zadanym
gęstością
n
X
X
X
,
,
,
2
1
K
⎩
⎨
⎧
∉
∈
=
]
1
,
0
[
gdy
0
]
1
,
0
[
gdy
3
)
(
2
x
x
x
x
f
Wyznacz )
)
,
,
,
max(
|
(
2
1
2
1
t
X
X
X
X
X
X
E
n
n
=
+
+
+
K
K
, gdzie t jest ustaloną
liczbą z przedziału ]
1
,
0
[
.
(A)
t
n
4
3
(B)
t
n
4
)
1
(
3
−
(C)
t
n
4
1
3
+
(D)
4
4
3
nt
(E)
t
n
4
1
3
−
7
Prawdopodobieństwo i statystyka
5.12.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
8.
Zmienne losowe
mają jednakową wartość oczekiwaną
n
X
X
X
,
,
,
2
1
K
μ
, jednakową
wariancję
i współczynnik korelacji
2
σ
ρ
=
)
,
(
j
i
X
X
Corr
dla
j
i
≠ . Zmienne losowe
są nawzajem niezależne oraz niezależne od zmiennych losowych
i mają rozkłady postaci
n
Z
Z
Z
,
,
,
2
1
K
n
X
X
X
,
,
,
2
1
K
)
1
(
1
)
1
(
=
−
=
=
−
=
i
i
Z
P
p
Z
P
. Oblicz
wariancję zmiennej losowej
∑
.
=
n
i
i
i
X
Z
1
(A)
)
1
(
4
2
2
p
p
n
n
−
+
μ
σ
(B)
2
2
2
2
)
2
1
(
)
)
1
(
)
1
(
1
(
p
n
p
n
n
−
+
−
−
+
μ
ρ
σ
(C)
2
2
2
2
)
2
1
(
)
)
2
1
(
)
1
(
1
(
p
n
p
n
n
−
+
−
−
+
μ
ρ
σ
(D)
)
1
(
4
)
)
2
1
(
)
1
(
1
(
2
2
2
p
p
n
p
n
n
−
+
−
−
+
μ
ρ
σ
(E)
)
1
(
4
)
2
1
(
2
1
1
2
2
2
p
p
n
p
n
n
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
+
μ
ρ
σ
8
Prawdopodobieństwo i statystyka
5.12.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
9.
Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu
wykładniczego o gęstości
n
X
X
X
,
,
,
2
1
K
⎩
⎨
⎧
>
=
−
przypadku,
przeciwnym
w
0
0
gdy
)
(
x
e
x
f
x
θ
θ
θ
gdzie
0
>
θ
jest nieznanym parametrem. Dla parametru
θ
zakładamy rozkład a priori
o gęstości
⎩
⎨
⎧
>
=
−
przypadku.
przeciwnym
w
0
0
gdy
9
)
(
3
θ
θ
θ
π
θ
e
Estymujemy parametr
θ
przy funkcji straty postaci
1
)
(
)
,
(
)
(
−
−
−
=
−
a
e
a
L
a
θ
θ
θ
.
Wyznacz estymator bayesowski a parametru
θ
, jeżeli zaobserwowano próbkę
i
.
)
,
,
,
(
2
1
n
x
x
x
x
K
=
∑
=
=
n
i
i
x
T
1
(A)
T
T
n
+
+
+
2
3
ln
)
2
(
(B)
T
n
+
+
3
2
(C)
T
T
n
+
+
+
3
2
ln
)
2
(
(D)
2
3
+
+
n
T
(E)
T
T
n
+
+
+
4
3
ln
)
2
(
Wskazówka:
Wartość estymatora bayesowskiego a, gdy obserwowana zmienna
losowa przyjmuje wartość x, minimalizuje ryzyko a posteriori
)
|
)
,
(
(
x
a
L
E
θ
π
, czyli
wartość oczekiwaną funkcji
)
,
( a
L
θ
wyznaczoną, gdy
θ
ma rozkład a posteriori.
9
Prawdopodobieństwo i statystyka
5.12.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
10.
Załóżmy, że dysponujemy pojedynczą obserwacją X z rozkładu
, gdzie
jest rozkładem normalnym
i jest rozkładem Laplace’a o gęstości
{
1
0
, P
P
P
∈
}
0
P
)
1
,
0
(
N
1
P
|
|
2
1
)
(
x
e
x
f
−
=
.
Rozważmy zadanie testowania hipotezy
0
0
:
P
P
H
=
przeciw alternatywie
1
1
:
P
P
H
=
.
Podaj rozmiar testu najmocniejszego, jeśli wiadomo, że obszar krytyczny testu jest
sumą przedziałów rozłącznych, z których jeden jest równy
(
)
9
,
1
,
−
∞
−
.
(A) 029
,
0
=
α
(B) 057
,
0
=
α
(C) 137
,
0
=
α
(D) 010
,
0
=
α
(E) 050
,
0
=
α
10
Prawdopodobieństwo i statystyka
5.12.2005 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Arkusz odpowiedzi
*
Imię i nazwisko : .......................... K L U C Z O D P O W I E D Z I ............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
Odpowiedź Punktacja
♦
1 D
2 A
3 D
4 E
5 B
6 E
7 C
8 D
9 A
10 C
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
♦
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11