Prawdopodobieństwo i statystyka

5.12.2005 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 1.
W konkursie złożonym z trzech etapów startuje niezależnie n uczestników.
Prawdopodobieństwo, że uczestnik odpadnie po pierwszym etapie jest równe

θ .

Prawdopodobieństwo, że uczestnik, który przeszedł etap pierwszy, odpadnie w etapie
drugim też jest równe

θ . Niech K oznacza liczbę uczestników, którzy odpadli w

pierwszym etapie, zaś M liczbę uczestników, którzy odpadli w etapie drugim. Jeżeli

5

3

=

θ

, to prawdopodobieństwo

)

(

k

M

K

P

=

+

dla

{

}

n

k

,

,

1

,

0 K

∈

jest równe

(A)

n

k

n

k

k

n

2

5

16

9

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

(B)

n

k

k

n

k

n

2

5

16

9

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

(C)

n

k

n

k

k

n

2

5

21

4

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

(D)

n

k

n

k

k

n

2

5

4

21

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

(E)

n

k

n

k

k

n

2

5

19

6

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

1

Prawdopodobieństwo i statystyka

5.12.2005 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 2.

Niech T oznacza liczbę pełnych okresów przeżytych przez pacjenta po pewnej
operacji. Załóżmy, że T jest zmienną losową o rozkładzie geometrycznym

t

t

T

P

)

1

(

)

(

θ

θ

θ

−

=

=

,

,

K

,

2

,

1

,

0

=

t

przy czym

)

1

,

0

(

∈

θ

jest nieznanym parametrem. Obserwujemy losową grupę 100

niezależnych pacjentów, przy czym

• dla tych pacjentów, dla których

5

≤

T

, znamy T dokładnie,

• jeżeli pacjent żyje co najmniej sześć okresów, to jego czas życia jest nieznany,

zatem dla każdego z pozostałych pacjentów wiemy tylko, że

.

6

≥

T

Estymujemy

θ na podstawie tych obserwacji. Wyznacz wartość estymatora

największej wiarogodności parametru

θ wiedząc, że:

• suma okresów życia pacjentów, którzy przeżyli co najwyżej 5 pełnych

okresów jest równa 120;

• liczba tych pacjentów jest równa 40.

(A)

13

1

(B)

23

2

(C)

4

1

(D)

10

1

(E)

12

1

2

Prawdopodobieństwo i statystyka

5.12.2005 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 3.
Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu

normalnego , a

niezależnymi zmiennymi losowymi z

rozkładu normalnego

. Wszystkie zmienne są niezależne, a parametry

15

2

1

,

,

,

X

X

X

K

)

,

(

2

1

σ

m

N

15

2

1

,

,

,

Y

Y

Y

K

)

,

(

2

2

σ

m

N

σ

,

,

2

1

m

m

są nieznane. Testujemy hipotezę

2

1

:

m

m

H

=

przy alternatywie

. Hipotezę H odrzucamy, gdy spełniona jest nierówność

2

1

:

m

m

K

≠

c

S

Y

X

>

− |

|

,

gdzie

∑

=

=

15

1

15

1

i

i

X

X

,

∑

=

=

15

1

15

1

i

i

Y

Y

i

(

)

∑

=

−

=

15

1

2

2

15

1

i

i

i

Y

X

S

.

Wyznacz c tak, aby rozmiar testu był równy 0,05.

A) 0,9063

(B) 0,5538

(C) 0,5504

(D) 0,4973

(E) 0,5474

3

Prawdopodobieństwo i statystyka

5.12.2005 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 4.

Skuteczność strzelca mierzymy prawdopodobieństwem trafienia w cel pojedynczym
strzałem (w pewnych odpowiednio wystandaryzowanych warunkach). W pewnej
populacji strzelców (załóżmy dla uproszczenia, iż jest to populacja nieskończona)
rozkład skuteczności jest jednostajny na przedziale

( )

1

,

0

.

Wybieramy przypadkowego strzelca, który oddaje 12 strzałów. Zakładamy, że
prawdopodobieństwo trafienia w kolejnej próbie nie zależy od wyniku prób
poprzednich. Okazuje się, że wybrany strzelec trafił 7 razy. Prosimy go o oddanie
trzynastego strzału. Prawdopodobieństwo, iż tym razem trafi jest równe

(A)

14

7

(B)

16

9

(C)

13

8

(D)

15

9

(E)

14

8

4

Prawdopodobieństwo i statystyka

5.12.2005 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 5.
Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie

normalnym , gdzie

9

3

2

1

,

,

,

,

X

X

X

X

K

)

,

(

2

σ

μ

N

,

R

∈

μ

0

>

σ

są nieznanymi parametrami. Niech

∑

=

=

9

1

9

1

i

i

X

X

,

2

9

1

2

)

(

8

1

X

X

s

i

i

−

=

∑

=

. Wyznacz estymator nieobciążony o minimalnej

wariancji parametru

.

σ

μ

ν

=

(A)

s

X

(B)

s

X

)

5

,

3

(

3

Γ

(C)

s

X

)

5

,

3

(

12

Γ

(D)

s

X

)

5

,

7

(

2

!

8

Γ

(E)

s

X

)

5

,

3

(

6

Γ

5

Prawdopodobieństwo i statystyka

5.12.2005 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 6.
Rzucamy trzema sześciennymi kostkami do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi
kostkami, na których nie wypadły „jedynki”. W trzeciej rundzie rzucamy tymi
kostkami, na których do tej pory nie wypadły „jedynki”.
Oblicz prawdopodobieństwo, że po trzech rundach na wszystkich kostkach będą
„jedynki” (wybierz najbliższą wartość).

(A) 0,021

(B) 0,050

(C) 0,026

(D) 0,017

(E) 0,075

6

Prawdopodobieństwo i statystyka

5.12.2005 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

7.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie zadanym

gęstością

n

X

X

X

,

,

,

2

1

K

⎩

⎨

⎧

∉

∈

=

]

1

,

0

[

gdy

0

]

1

,

0

[

gdy

3

)

(

2

x

x

x

x

f

Wyznacz )

)

,

,

,

max(

|

(

2

1

2

1

t

X

X

X

X

X

X

E

n

n

=

+

+

+

K

K

, gdzie t jest ustaloną

liczbą z przedziału ]

1

,

0

[

.

(A)

t

n

4

3

(B)

t

n

4

)

1

(

3

−

(C)

t

n

4

1

3

+

(D)

4

4

3

nt

(E)

t

n

4

1

3

−

7

Prawdopodobieństwo i statystyka

5.12.2005 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

8.

Zmienne losowe

mają jednakową wartość oczekiwaną

n

X

X

X

,

,

,

2

1

K

μ

, jednakową

wariancję

i współczynnik korelacji

2

σ

ρ

=

)

,

(

j

i

X

X

Corr

dla

j

i

≠ . Zmienne losowe

są nawzajem niezależne oraz niezależne od zmiennych losowych

i mają rozkłady postaci

n

Z

Z

Z

,

,

,

2

1

K

n

X

X

X

,

,

,

2

1

K

)

1

(

1

)

1

(

=

−

=

=

−

=

i

i

Z

P

p

Z

P

. Oblicz

wariancję zmiennej losowej

∑

.

=

n

i

i

i

X

Z

1

(A)

)

1

(

4

2

2

p

p

n

n

−

+

μ

σ

(B)

2

2

2

2

)

2

1

(

)

)

1

(

)

1

(

1

(

p

n

p

n

n

−

+

−

−

+

μ

ρ

σ

(C)

2

2

2

2

)

2

1

(

)

)

2

1

(

)

1

(

1

(

p

n

p

n

n

−

+

−

−

+

μ

ρ

σ

(D)

)

1

(

4

)

)

2

1

(

)

1

(

1

(

2

2

2

p

p

n

p

n

n

−

+

−

−

+

μ

ρ

σ

(E)

)

1

(

4

)

2

1

(

2

1

1

2

2

2

p

p

n

p

n

n

−

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−

+

μ

ρ

σ

8

Prawdopodobieństwo i statystyka

5.12.2005 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

9.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu

wykładniczego o gęstości

n

X

X

X

,

,

,

2

1

K

⎩

⎨

⎧

>

=

−

przypadku,

przeciwnym

w

0

0

gdy

)

(

x

e

x

f

x

θ

θ

θ

gdzie

0

>

θ

jest nieznanym parametrem. Dla parametru

θ

zakładamy rozkład a priori

o gęstości

⎩

⎨

⎧

>

=

−

przypadku.

przeciwnym

w

0

0

gdy

9

)

(

3

θ

θ

θ

π

θ

e

Estymujemy parametr

θ

przy funkcji straty postaci

1

)

(

)

,

(

)

(

−

−

−

=

−

a

e

a

L

a

θ

θ

θ

.

Wyznacz estymator bayesowski a parametru

θ

, jeżeli zaobserwowano próbkę

i

.

)

,

,

,

(

2

1

n

x

x

x

x

K

=

∑

=

=

n

i

i

x

T

1

(A)

T

T

n

+

+

+

2

3

ln

)

2

(

(B)

T

n

+

+

3

2

(C)

T

T

n

+

+

+

3

2

ln

)

2

(

(D)

2

3

+

+

n

T

(E)

T

T

n

+

+

+

4

3

ln

)

2

(

Wskazówka:

Wartość estymatora bayesowskiego a, gdy obserwowana zmienna

losowa przyjmuje wartość x, minimalizuje ryzyko a posteriori

)

|

)

,

(

(

x

a

L

E

θ

π

, czyli

wartość oczekiwaną funkcji

)

,

( a

L

θ

wyznaczoną, gdy

θ

ma rozkład a posteriori.

9

Prawdopodobieństwo i statystyka

5.12.2005 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

10.

Załóżmy, że dysponujemy pojedynczą obserwacją X z rozkładu

, gdzie

jest rozkładem normalnym

i jest rozkładem Laplace’a o gęstości

{

1

0

, P

P

P

∈

}

0

P

)

1

,

0

(

N

1

P

|

|

2

1

)

(

x

e

x

f

−

=

.

Rozważmy zadanie testowania hipotezy

0

0

:

P

P

H

=

przeciw alternatywie

1

1

:

P

P

H

=

.

Podaj rozmiar testu najmocniejszego, jeśli wiadomo, że obszar krytyczny testu jest
sumą przedziałów rozłącznych, z których jeden jest równy

(

)

9

,

1

,

−

∞

−

.

(A) 029

,

0

=

α

(B) 057

,

0

=

α

(C) 137

,

0

=

α

(D) 010

,

0

=

α

(E) 050

,

0

=

α

10

Prawdopodobieństwo i statystyka

5.12.2005 r.

___________________________________________________________________________

Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.

Prawdopodobieństwo i statystyka

Arkusz odpowiedzi

*

Imię i nazwisko : .......................... K L U C Z O D P O W I E D Z I ............................

Pesel ...........................................

Zadanie nr

Odpowiedź Punktacja

♦

1 D

2 A

3 D

4 E

5 B

6 E

7 C

8 D

9 A

10 C

*

Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.

♦

Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.

11