1.

Wektory

leżą

w

sześcianie

o

boku

a.

Oblicz

a)sumę

b)iloczyn

skalarny

c)sinus

i

cosinus

kąta

pomiędzy

tymi

wektorami.

a)

⃗

p=[a , a ,−a ]

∣

⃗

p

∣

=

√

a

2

+

a

2

+

a

2

=

a

√

3

⃗q=[0, 0,−a ]

∣

⃗

q

∣

=

√

a

2

=

a

⃗

p+⃗q=[a , a ,−2a ]

∣⃗

p +⃗q∣=

√

a

2

+

a

2

+

4a

2

=

√

6a

2

=

a

√

6

b)

⃗

p ∘⃗q=0∗a+0∗a+(−a)∗(−a)=a

2

c)

cos(x)=

a

a

√

3

=

√

3

3

sin( x)=

a

√

2

a

√

3

=

√

6

3

2.

Wektory

leżą

w

sześcianie

o

boku

a.

Oblicz

a)sumę

b)iloczyn

skalarny

c)sinus

i

cosinus

kąta

pomiędzy

tymi

wektorami.

a)

⃗

p=[0, a ,−a]

⃗q=[a , 0,−a ]

∣

⃗

p

∣

=

a

√

2

∣

⃗

q

∣

=

a

√

2

⃗

p +⃗q=[a , a ,−2a ]

∣⃗p+⃗q∣=

√

6a

2

=

a

√

6

⃗

p ∘⃗q=0+0+ a

2

=

a

2

2a

2

=

2a

2

+

2a

2

−

4a

2

cos(x )

cos( x)=

1
2

,sin (a )=

√

3

2

3.

Znaleźć

czas

wznoszenia

windy,

zakładając,

że

jej

ruch

podczas

ruszania

i

hamowania

jest

jednostajnie

zmienny

o

przyspieszeniurównym

co

do

wartości

bezwzględnej

a=1m/s

2

,

a

na

środkowym

odcinku

drogi

jej

ruch

jest

jednostajny

z

prędkością

v=2

m/s.Wysokość,

na

którą

wznosi

się

winda

h=60m.

t=

delta v

a

,

a=

delta v

t

=>

t=

2
1

=

2s

s=

a∗t

2

2

, s=2m

Winda pokonuje ruchem jednostajnym drogę równą 60m - 2*2m = 56m. Drogę tę pokonuje z prędkością
równą 2 m/s

t=

s

v

, t=28s

Łączny czas wznoszenia się windy jest równy:

2s +2s+28s=32s

4.

Pod

jaki

kątem

do

poziomu

należy

skierować

strumień

wody,

aby

jego

maksymalne

wzniesienie

było

równe

zasięgowi

kierunku poziomym.

h

max

=

v

0

2

∗

sin

2

(

x )

2g

; zasięg w rzucie ukośnym: z=

v

0

2

∗

sin2(x )

g

;

h

max

=

z =>

v

0

2

∗

sin2( x)

g

=

v

0

2

∗

sin

2

(

x)

2g

,

sin (x )

2

=

2cos(x)

4cos(x )=sin( x);tg (x )=4 ; x≈76

∘

6.

Obliczyć

pracę

jaką

należy

wykonać

aby

ścisnąć

sprężynę

o

20

cm,

jego

siła

jest

proporcjonalna

do

odkształcenia

i

pod

działaniem siły

30N

sprężyna

zostaje

ściśnięta

o

1

cm.

W =

∫

Fdx

F=−kx

W =−

∫

kxdx=

kx

2

2

; k =

F

x

; k =

30N

0,01 m

=

3000

N
m

; W =

3000∗0,02

2

2

=

60J

7.

Kamień

o

masie

2

kg

spadł

z

pewnej

wysokości,

przy

czym

spadanie

trwało

1,43s.

znaleźć

kinetyczną

i

potencjalną

energię kamienia

w

środkowym

punkcie

drogi.

Opór

powietrza

pominąć.

s=

g∗t

2

2

=

10∗1,43

2

2

=

10.2245m

1
2

s=5.11225m

5.11225=

10∗t

2

2

t=1,0111[ s]

;

V =g∗t=10.111[

m

s

]

;

E

k

=

2∗10,111

2

2

=

51.1161605[J ]

E

p

=

2∗10∗5.11225=102.245[ J ]

5. Punkt porusza się po okręgu o promieniu R=5cm tak ,iż zależność drogi od czasu dana jest za
pomocą równia s=A+Bt +Ct2 gdzieB=-2m/s, C=1m/s2.Znaleźć prędkość liniową oraz jego przyspi
eszenie styczne , normalne i całkowite.

8.Samochód o ciężarze 10000 N jedzie z prędkością V=36km/h. Jaki nacisk wywiera samochód na
podłoże gdy jedzie po wklęsłymmoście o promieniu krzywizny 50m.