Pr

ą

d elektryczny

obwody elektryczne

Tadeusz Paszkiewicz

Katedra Fizyki 

Politechniki Rzeszowskiej

Nat

ęŜ

enie pr

ą

du elektrycznego

Ładunek dq przechodzi przez umown

ą

 

płaszczyzn

ę

 aa’ albo bb’ itd., w ci

ą

gu interwału 

czasu dt. Nat

ęŜ

enie pr

ą

du 

I

:

I

dq / dt .

=

Całkowity ładunek przepływaj

ą

cy 

przez umown

ą

 płaszczyzn

ę

 

w interwale czasu (0,t)

( )

t

0

q

I t dt .

=

∫

1 Amper =1A = 1 kulomb na sekund

ę

 =1C/s 

Nat

ęŜ

enie pr

ą

du elektrycznego 

jest skalarem

Strzałki wskazuj

ą

 kierunek 

ruchu ładunku.

Ładunek jest zachowany

Przez płaszczyzn

ę

 aa’ w czasie 

dt przechodzi ładunek dq

0

: 

I

=dq

0

/dt.

a

a’

b

b’

dq

1

+dq

2

=dq

0

|

:dt

1

2

0

1

2

dq

dq

I

I

I .

dt

dt

=

+

= +

Przez płaszczyzn

ę

 bb’ w czasie dt

tak

Ŝ

e przechodzi ładunek dq

0

. 

Przez górn

ą

 gał

ąź

 przechodzi dq

1

, 

przez doln

ą

 dq

2

: dq

1

+dq

2

=dq

0

.

Obwód elektryczny 

Prostok

ą

t zaznaczony 

kolorem niebieskim jest 
pewnym elementem 
przewodz

ą

cym obwodu. 

Przez obwód płynie pr

ą

d o 

nat

ęŜ

eniu 

I

.  

Bateria B utrzymuje stał

ą

 

ró

Ŝ

nic

ę

 potencjału U. Przez 

obwód płynie pr

ą

d o nat

ęŜ

eniu 

I skierowany od zacisku a do 
zacisku b

. 

Ilo

ść

 dq ładunku, 

który przepłynie w 
interwale czasu dt:
dq=

I

dt

U

Czym mo

Ŝ

e by

ć

 element?

Element mo

Ŝ

e by

ć

 np.:

a)opornikiem, wtedy energia chemiczna baterii 

zamienia si

ę

 w ciepło,

b) bateri

ą

 ładowaln

ą

, wtedy energia chemiczna 

ź

ródła zamienia si

ę

 w energi

ę

 chemiczn

ą

 

ładowanej baterii,

c) silnikiem, wtedy energia chemiczna zamienia 

si

ę

 w energi

ę

 mechaniczn

ą

. 

Moc

Ilo

ść

 ładunku dq, który przepłynie pomi

ę

dzy 

zaciskami a i b w interwale czasu dt: dq=

I

dt. 

Praca dW jak

ą

 wykona 

ź

ródło przenosz

ą

c 

ładunek:

dW=dqU=

I

dtU

Moc P zwi

ą

zana z t

ą

 prac

ą

:   

P=dW/dt=U

I

Bateria przekazuje energi

ę

 elementowi. 

Energia przekazana w jednostkowym 
interwale czasu jest moc

ą

 baterii. 

Jednostka mocy 

1 V

⋅

1 A=(1 J/C)

⋅

(1 C/s)=1 J/s= 1 W.

P=dW/dt=U

I

Moc dla obwodu zawieraj

ą

cego 

opór R

Poniewa

Ŝ

 R=U/

I

eliminuj

ą

c U otrzymamy: 

P=R

I

2

.

Eliminuj

ą

c 

I

otrzymamy: 

P=U

2

/R.

P=U

I

Odkrycie nadprzewodnictwa 

Zale

Ŝ

no

ść

 

oporu 

próbki 

rt

ę

ci 

od 

temperatury 

bezwzgl

ę

dnej.  Ten  wykres  zrobiony  przez  Onnesa

dokumentował odkrycie zjawiska nadprzewodnictwa.

R 

Ω

R<10

-5

Ω

4.2 K

Hg

0.1

0

T K

4.1

4.3

O

p

ó

r 

(m

Ω

)

Temperatura K

Czego moŜna było oczekiwać?

Czego moŜna było oczekiwać?

Odkrycie nadprzewodnictwa 

Wynik otrzymany współcześnie

Wynik otrzymany współcześnie

-183 

0

C 

Metal normalny   

nadprzewodnik

o

p

ó

r

• W  1914  r.  Onnes stwierdził, 

Ŝ

e 

dostatecznie

silne  pole  magnetyczne 

niszczy

nadprze-

wodnictwo. 

• Pr

ą

d  elektryczny  płyn

ą

cy  przez  nadprzewo-

dnik wytwarza  pole  magnetyczne.  Zatem 
przez  nadprzewodniki  odkryte  przez  Onnesa
(nadprzewodniki  I  rodzaju)  nie  mo

Ŝ

na  prze-

puszcza

ć

 silnych pr

ą

dów. 

• Wydawało si

ę

, 

Ŝ

e nale

Ŝ

y porzuci

ć

 nadziej

ę

 na  

realizacj

ę

  linii  energetycznych  bez  strat. 

Przeszkod

ą

  były  tak

Ŝ

e  bardzo  niskie  tempe-

ratury niezb

ę

dne  dla  istnienia  nadprzewod-

nictwa.

Niszczenie zjawiska nadprzewodnictwa 

przez  pole magnetyczne. 

• W 1914 Onnes odkrył sposób wytwarzania 

trwałego

pr

ą

du:  je

Ŝ

eli  przepu

ś

ci

ć

  pr

ą

d 

przez  pier

ś

cie

ń

 nadprzewodz

ą

cy to b

ę

dzie 

on płyn

ą

ł latami bez zanikania.

• Pó

ź

niej  okazało  si

ę

, 

Ŝ

e  przez  pier

ś

cienie 

płyn

ą

  tylko  takie  pr

ą

dy,  które  wytwarzaj

ą

 

kwantowane strumienie  pola  magnetycz-
nego przez otwory w pier

ś

cieniach.

• Cewka, w której płynie taki pr

ą

d mo

Ŝ

e 

słu

Ŝ

y

ć

 do przechowywania energii.  

Dalsze odkrycia Onnesa

Ź

ródła siły elektromotorycznej

E

Aby podtrzyma

ć

 stały przepływ ładunku 

potrzebne jest urz

ą

dzenie, które wykonuj

ą

c prac

ę

 

nad no

ś

nikami ładunku, utrzymuje ró

Ŝ

nic

ę

 

potencjału pomi

ę

dzy par

ą

 swoich zacisków. Takie 

urz

ą

dzenie nazywa si

ę

 

ź

ródłem siły elektromoto-

rycznej (SEM). 

Przykłady SEM:

• Ogniwo elektryczne (bateria elektryczna),
• pr

ą

dnica, 

• ogniwa paliwowe,
• termoogniwa, 
• w

ę

gorze (electrophorus).   

Przeciwdziałanie powrotowi 

do stanu równowagi

Je

Ŝ

eli przyło

Ŝ

one do przewodnika pole elektry-

czne nie jest podtrzymywane, a obwód jest 
zamkni

ę

ty, to przemieszczanie si

ę

 ładunku 

doprowadzi do zaniku tego pola i ładunek 
przestanie płyn

ąć

. 

Aby podtrzyma

ć

 przepływ pr

ą

du nale

Ŝ

y w przy-

padku dodatnich no

ś

ników ładunku do ko

ń

ca 

przewodnika o ni

Ŝ

szym potencjale stale odpro-

wadza

ć

przynoszone przez pr

ą

d ładunki, a do 

ko

ń

ca o wy

Ŝ

szym potencjale je doprowadza

ć

.

Praca wykonana nad ładunkiem

ϕ

1

ϕ

2

W

12

=q

E

Spadek napi

ę

cia U

12

na danym odcinku obwodu 

U

12

=W

12

/q= 

E 

.

Ogniwo Westona

Ogniwo galwaniczne w którym elektrod

ę

dodatni

ą

 

stanowi rt

ęć

, ujemn

ą

 amalgamat kadmu, a elektrolitem 

jest roztwór nasycony siarczanu kadmu. Nad rt

ę

ci

ą

 

znajduje si

ę

 siarczan rt

ę

ci Hg

2

SO

4

utarty z siarczanem 

kadmu CdSO

4

oraz z rt

ę

ci

ą

, w postaci tzw. pasty. W obu 

rurkach znajduj

ą

 si

ę

 tak

Ŝ

e kryształy CdSO

4

, a cało

ść

 

wypełniona jest wodnym roztworem siarczanu 
kadmowego. W temperaturze równej 20 °C siła 
elektromotoryczna ogniwa Westona wynosi 1,0185-
1,0187 V. Ogniwo to jest zwykle konstruowane w 
kształcie litery "H" z przew

ęŜ

eniami w połowie dolnych 

ramion, które zapobiegaj

ą

 przemieszczaniu si

ę

 

chemikaliów podczas transportu ogniwa.

Chocia

Ŝ

 kryształy siarczku rt

ę

ci bardzo 

ź

le 

rozpuszczaj

ą

 si

ę

 w H

2

O, to w elektrolicie CdSO

4

znajduj

ą

 si

ę

 dodatnie jony rt

ę

ci Hg

+

i jony        . 

4

SO

−

katoda

anoda

Ogniwo Westona nie wł

ą

czone do obwodu elektrycznego

Jony kadmu wychodz

ą

 z elektrody amalgamatowej 

Cd(Hg) w roztwór wodny w postaci jonów Cd

++

. 

Pozostawione elektrony silnie ładuj

ą

 elektrod

ę

 (katod

ę

). 

Wychodzenie to trwa dopóty, dopóki elektrostatyczne 
przyci

ą

ganie ujemnej elektrody nie przeszkodzi 

wychodzeniu jonów Cd

++

. Elektrolit ładuje si

ę

 dodatnio. 

Gdy przez ogniwo płynie pr

ą

d

Elektrony z katody odpływaj

ą

 przez obwód elektryczny 

do anody. Wtedy nowe porcje Cd

++

mog

ą

 wej

ść

 do 

roztworu, a katoda mo

Ŝ

e si

ę

 doładowa

ć

. Dodatnie jony 

Hg

+

przył

ą

czaj

ą

 elektrony pr

ą

du i wł

ą

czaj

ą

 si

ę

 anody 

Hg. Nowe jony Hg

++

mog

ą

 przej

ść

 do roztworu, 

pojawiaj

ą

ce si

ę

 równocze

ś

nie jony           ł

ą

cz

ą

 si

ę

 Cd

++

.

Elektrolit staje si

ę

 elektrycznie oboj

ę

tny.    

4

SO

−−

H

g

2

S

O

4

Procesy chemiczne zachodz

ą

ce w ogniwie 

Westona przez który płynie pr

ą

d. 

Rozkład potencjału w ogniwie Westona,

przez który nie płynie pr

ą

d  

P

o

te

n

c

ja

ł 

V

Rozkład potencjału w ogniwie Westona,

przez który płynie pr

ą

d  

Ź

ródło SEM –

generator van de Graafa

Ź

ródło wikipedia

Izolacyjny pas transportowy napi

ę

ty 

jest mi

ę

dzy walcami. Pas jest 

ładowany ze 

ź

ródła napi

ę

cia 

poprzez ostrze. Pod wpływem 
silnego pola elektrycznego w 
o

ś

rodku otaczaj

ą

cym ostrze 

powstaj

ą

 jony dodatnie i ujemne. 

Na pasie osadzaj

ą

 si

ę

 ładunki tego 

samego znaku, co odpychaj

ą

cy je 

ładunek na ostrzu. Ruch pasa 
wynosi zebrane ładunki ku górze do 
wn

ę

trza kopuły, gdzie przez ostrze, 

na zasadzie puszki Faraday’a
spływaj

ą

 one na elektrod

ę

zbiorcz

ą

. 

ostrze

Praca, energia i SEM

Ź

ródło SEM 

E

wykonuje prac

ę

 

nad no

ś

nikami 

ładunku i 
utrzymuje stały 
pr

ą

d o nat

ęŜ

eniu 

I

w oporniku R. 
Opór przewodów 
pomini

ę

to. 

Obwód zawieraj

ą

cy 

ź

ródło SEM i 

odbiorniki ró

Ŝ

nych rodzajów 

Jednocze

ś

nie przez bateri

ę

 B przepłynie ładunek 

dq=

I

dt. Praca dW wykonana przez bateri

ę

 nad 

ładunkiem dq: dW=

E

dq=

EI

dt. dW=

I

2

Rdt.          

Obliczanie nat

ęŜ

enia pr

ą

du w 

obwodzie o pojedynczym oczku 

E

=

I

R

I

=

E

/R.

W interwale dt
w oporniku R 
energia 
Pdt=

I

2

Rdt 

zamienia si

ę

 w 

ciepło. 

Drugie prawo Kirchhoffa

Algebraiczna suma zmian potencjału 
napotkanych przy pełnym obej

ś

ciu dowolnego 

oczka obwodu elektrycznego jest równa zeru. 

V

a

V

a

+

E

-R

I=V

a

.

E

-R

I=0.

Obej

ś

cie oczka w 

stron

ę

 przeciwn

ą

:  

V

a

+R

I -E=V

a

I = E

/R.

Druga zasada Kirchhoffa jest 

sformułowaniem zasady 

zachowania energii

Opór wewn

ę

trzny 

ź

ródła

Opór wewn

ę

trzny baterii jest równe r, a jej

SEM –

E

.

•

Bilans spadków potencjału 

rzeczywistego 

ź

ródła

•

a

Bilans spadków potencjału (obej

ś

cie zgodne z ruchem 

wskazówek zegara): V

a

+(

E

-

I

r)-

I

R=V

a

→

I

=

E

/(r+R). 

Oporniki poł

ą

czone szeregowo

Ładunek porusza si

ę

 

tylko jedn

ą

 drog

ą

.

Przez wszystkie oporniki 
płynie pr

ą

d o tym samym 

nat

ęŜ

eniu 

I

. Suma ró

Ŝ

nic 

potencjałów na 
opornikach jest równa 
przyło

Ŝ

onej ró

Ŝ

nicy 

potencjałów:

U=U

1

+U

2

+U

3

U

Oporniki poł

ą

czone szeregowo –

opór równowa

Ŝ

ny

Z drugiego prawa Kirhoffa, dla idealnego 

ź

ródła 

SEM: 

E

-

I

R

1

-

I

R

2

-

I

R

3

=0.

I

=

E

/(R

1

+R

2

+R

3

).

Oznaczenie: 
R

rw

=R

1

+R

2

+R

3

.

Wtedy: 

E

-

I

R

rw

=0.  

Opór równowa

Ŝ

ny dla n oporników 

poł

ą

czonych szeregowo

n

rw

1

2

n

i

i 1

R

R

R

R

R .

=

=

+

+ +

=

∑

…

rw

i

R

R (i

1, 2,

, n).

>

=

…

Opór równowa

Ŝ

ny układu wielu oporników jest 

wi

ę

kszy od ka

Ŝ

dego z nich. 

Ró

Ŝ

nice potencjałów

Algebraicznie 
sumujemy 
spadki 
potencjałów:  

V

b

V

a

V

b

-

I

R=V

a

V

b

V

a

I

=

E

/(r+R)

Lecz:

V

b

-V

a

= 

E

R/(r+R)

Kierunek obiegu

Obieg przeciwny

V

b

V

a

V

b

V

a

Kierunek obiegu

V

b

-

E

+

I

r=V

a

,

I

=

E

/(r+R),

V

b

-V

a

=

E

-

E

/(r+R)r,

V

b

-V

a

=

E

[(R+r-r)/(r+R)=

E

[R/(r+R)].

Moc, potencjał i SEM

Ź

ródło SEM wytwarzaj

ą

c pr

ą

d o nat

ęŜ

eniu 

I 

powoduje ruch ładunków, przekazując im energię.

P=

I

U=

I

(

E

-

I

r)=

IE

-

I

2

r.

Wyraz 

I

2

r okre

ś

la szybko

ść

 zmiany energii 

chemicznej na energi

ę

 ciepln

ą

. Jest to energia 

rozproszona w 

ź

ródle. 

Wyraz 

IE

jest moc

ą

 P

SEM

przekazu energii przez 

ź

ródło zarówno no

ś

nikom ładunku jak i na 

zwi

ę

kszenie energii cieplnej. 

Szybko

ść

 P procesu przekazywania energii:

Ładowanie 

ź

ródła SEM

Podczas ładowania 

ź

ródła SEM poprzez 

przepuszczanie przeze

ń

 pr

ą

du w „przeciwn

ą

 

stron

ę

” zamieniamy energi

ę

 pr

ą

du na energi

ę

 

chemiczn

ą

 oraz energi

ę

 ciepln

ą

. Szybko

ś

ci 

zamiany w energi

ę

 chemiczn

ą

 i ciepln

ą

: 

P

SEM

= 

IE

, 

P

ciepl

=

I

2

r.

W gałęzi bad: I

1

,

w gałęzi bcd: I

2

,

w gałęzi bd:   I

3

.  

Bilans nat

ęŜ

e

ń

 w w

ęź

le d: 

I

1

+I

3

=I

2

; w węźle b: 

I

2

=I

1

+I

3

. 

I zasada Kirchhoffa: suma nat

ęŜ

e

ń

 pr

ą

dów 

wpływaj

ą

cych do dowolnego w

ę

zła= suma 

pr

ą

dów wypływaj

ą

cych z tego w

ę

zła.   

I zasada Kirchhoffa

Wybór oczek:
1. badb
2. bcdb
3. badcb

Analiza oczek na podstawie II prawa Kirchhoffa:  

Konsekwencje II zasady Kirchhoffa

badb przeciwnie do wskazówek zegara: 

E

1

-

I

1

R

1

-

I

3

R

3

=0,

bcdb przeciwnie do wskazówek zegara : 

I

3

R

3

+

I

2

R

2

-

E

2

=0. 

Bilans dla konturu badcb jest konsekwencj

ą

 dwóch 

powy

Ŝ

szych równa

ń

. Dodaj

ą

c je stronami otrzymamy: 

E

1

-I

1

R

1

+I

2

R

2

-E

2

=0. 

Obchodz

ą

c du

Ŝ

y kontur badcb przeciwnie do wskazówek

zegara otrzymamy: 

E

1

-

I

1

R

1

+

I

2

R

2

-

E

2

=0.

Oporniki poł

ą

czone równolegle

Do ka

Ŝ

dego z 

oporników 
przyło

Ŝ

ono ró

Ŝ

nic

ę

 

potencjału U.  

I

1

=U/R

1

,

I

2

=U/R

2

,

I

3

=U/R

3

.

I prawo Kirchhoffa w punkcie a: 

I=I

1

+I

2

+I

3

:

1

2

3

1

1

1

I

U

R

R

R





=

+

+









rw

1

2

3

I

1

1

1

1

.

U

R

R

R

R





≡

=

+

+









Opór równowa

Ŝ

ny

rw

1

2

3

1

1

1

1

.

R

R

R

R





=

+

+









Ogólnie dla n oporników poł

ą

czonych równolegle:

n

i 1

rw

i

1

1

.

R

R

=

=

∑

Porównanie

Amperomierz

Amperomierz – przyrz

ą

d 

przeznaczony do pomiaru 
nat

ęŜ

enia pr

ą

du. 

R

A

Opór amperomierza 
R

A

jest mały w porów-

naniu z pozostałymi 
oporami obwodu:
R

A

<<R

1

, R

2

. 

Gwarantuje to mały 
wpływ amperomierza na 
nat

ęŜ

enie pr

ą

du 

płyn

ą

cego w obwodzie.

Woltomierz

Woltomierz – przyrz

ą

d słu

Ŝą

cy do pomiaru 

ró

Ŝ

nicy potencjałów. 

W przeciwie

ń

stwie do ampero-

mierza, aby go wł

ą

czy

ć

 do 

obwodu nie trzeba przecina

ć

 

przewodu. 

Opór wewn

ę

trzny 

woltomierza R

V

jest 

du

Ŝ

y w porównaniu 

z pozostałymi oporami 
obwodu: R

V

<<R

1

, R

2

.

R

V

Proces ładowania kondensatora 

Ładowanie kondensatora

Klucz zamyka obwód, 
w który wł

ą

czona jest 

bateria.

Z drugiego prawa 
Kirchhoffa (obej

ś

cie 

obwodu zagodne z 
ruchem wskazówek 
zegara):

E

-

I

R-q/C=0. 

U=q/C

Poniewa

Ŝ

 I=dq/dt

dq/dt-q/(RC)=

E

/R. 

Rozwi

ą

zanie równania ró

Ŝ

niczkowego:

( )

( )

t / RC

q t

C

1 e

.

−





=

−





E

Własno

ś

ci rozwi

ą

zania 

Rozwi

ą

zanie równania ró

Ŝ

niczkowego:

( )

( )

t / RC

q t

C

1 e

−





=

−





E

Warunek pocz

ą

tkowy: q(0)=0 – na pocz

ą

tku 

kondensator nie był naładowany: 

( )

( )

0 / RC

q 0

C

1 e

0

−





=

−

=





E

Gdy t

→∞

q(t)

→

C

E

.

Ładowanie kondensatora wykres 

zale

Ŝ

no

ś

ci ładunku od czasu

( )

( )

t / RC

q t

C

1 e

−





=

−





E

Ładowanie kondensatora wykres 

zale

Ŝ

no

ś

ci nat

ęŜ

enia 

I

od czasu

( )

( )

t / RC

0

dq t

q

I t

e

.

dt

RC

−





=

=









Sprawdzenie rozwi

ą

zania

( ) ( )

dq t

q t

.

dt

RC

R

+

=

E

( )

( )

(

)

( )

t / RC

t / RC

t / RC

dq t

dC

de

1

C

C

e

dt

dt

dt

RC

q t

C

C

1 e

.

RC

RC

R

RC

−

−

−





=

−

= −

−

=









= −

−

+

=

−

E

E

E

E

E

E

Nat

ęŜ

enie pr

ą

du ładowania 

( )

t / RC

I t

e

.

R

−

=

E

Z upływem czasu pr

ą

d ładowania zanika: 

( )

t / RC

t

t

lim I t

lim e

0 .

R

−

→∞

→∞

=

=

E

Ró

Ŝ

nica potencjałów 

ładowanego kondensatora

( ) ( )

C

q t

t

U

t

1 exp

.

C

RC









=

=

−

−

















E

Asymptotyka ró

Ŝ

nicy potencjałów: 

( )

C

t

t

t

lim U

t

lim

1 exp

.

RC

→∞

→∞









=

−

=

















E

E

Stała czasowa

Iloczyn RC ma wymiar czasu:

[ ]

[ ]

U q

q

RC

t

T .

I U

q / t









=

=

=

=

















Dlatego iloczyn RC nazywane jest stał

ą

 

czasow

ą

 obwodu zawieraj

ą

cego opornik 

i kondensator.

Rozładowanie kondensatora

Klucz w 
poło

Ŝ

eniu b –

bateria 
odł

ą

czona od 

kondensatora. 
Na jego 
okładkach 
ładunek q.

Równanie ró

Ŝ

niczkowe dla ładunku: 

( )

( )

dq t

1

q t .

dt

CR

= −

+

E/

R.

Wyrazu 

E

/R nie ma!

Rozwi

ą

zanie równania ró

Ŝ

niczkowego 

dla ładunku rozładowywanego 

kondensatora

( )

( )

dq t

1

q t .

dt

CR

= −

Asymptotyka: 

( )



t / CR

0

CU0

q t

q e

.

−

=

( )

t

lim q t

0.

→∞

=

Nat

ęŜ

enie pr

ą

du rozładowania

( )

( )

t / RC

0

dq t

q

I t

e

.

dt

RC

−





=

= −









Pr

ą

dy rozładowania i ładowania kondensatora 

płyn

ą

 w przeciwnych kierunkach.

Pocz

ą

tkowe nat

ęŜ

enie pr

ą

du rozładowania 

(

)

0

0

q

I

I t

0

.

RC





=

=

= −









Rozładowanie kondensatora 

wykres zanikania ładunku 

z upływem czasu

q

0

( )

t / CR

0

q t

q e

.

−

=

U

0

U

0



0

q / C

0

0

0

q

I

U / R

.

CR

=

=

Ustalenie 

I

0

Ró

Ŝ

nica potencjałów pomi

ę

dzy okładkami i 

przyło

Ŝ

ona do opornika jest taka sama.