Pr

ą

d elektryczny

obwody elektryczne

Tadeusz Paszkiewicz

Katedra Fizyki

Politechniki Rzeszowskiej

Nat

ęż

enie pr

ą

du elektrycznego

Ładunek dq przechodzi przez umown

ą

płaszczyzn

ę

aa’ albo bb’ itd., w ci

ą

gu interwału

czasu dt. Nat

ęż

enie pr

ą

du

I

:

I

dq / dt .

=

Całkowity ładunek przepływaj

ą

cy

przez umown

ą

płaszczyzn

ę

w interwale czasu (0,t)

( )

t

0

q

I t dt .

=

∫

1 Amper =1A = 1 kulomb na sekund

ę

=1C/s

Nat

ęż

enie pr

ą

du elektrycznego

jest skalarem

Strzałki wskazuj

ą

kierunek

ruchu ładunku.

Ładunek jest zachowany

Przez płaszczyzn

ę

aa’ w czasie

dt przechodzi ładunek dq

0

:

I

=dq

0

/dt.

a

a’

b

b’

dq

1

+dq

2

=dq

0

|

:dt

1

2

0

1

2

dq

dq

I

I

I .

dt

dt

=

+

= +

Przez płaszczyzn

ę

bb’ w czasie dt

tak

ż

e przechodzi ładunek dq

0

.

Przez górn

ą

gał

ąź

przechodzi dq

1

,

przez doln

ą

dq

2

: dq

1

+dq

2

=dq

0

.

Obwód elektryczny

Prostok

ą

t zaznaczony

kolorem niebieskim jest
pewnym elementem
przewodz

ą

cym obwodu.

Przez obwód płynie pr

ą

d o

nat

ęż

eniu

I

.

Bateria B utrzymuje stał

ą

ró

ż

nic

ę

potencjału U. Przez

obwód płynie pr

ą

d o nat

ęż

eniu

I skierowany od zacisku a do
zacisku b

.

Ilo

ść

dq ładunku,

który przepłynie w
interwale czasu dt:
dq=

I

dt

U

Czym mo

ż

e by

ć

element?

Element mo

ż

e by

ć

np.:

a)opornikiem, wtedy energia chemiczna baterii

zamienia si

ę

w ciepło,

b) bateri

ą

ładowaln

ą

, wtedy energia chemiczna

ź

ródła zamienia si

ę

w energi

ę

chemiczn

ą

ładowanej baterii,

c) silnikiem, wtedy energia chemiczna zamienia

si

ę

w energi

ę

mechaniczn

ą

.

Moc

Ilo

ść

ładunku dq, który przepłynie pomi

ę

dzy

zaciskami a i b w interwale czasu dt: dq=

I

dt.

Praca dW jak

ą

wykona

ź

ródło przenosz

ą

c

ładunek:

dW=dqU=

I

dtU

Moc P zwi

ą

zana z t

ą

prac

ą

:

P=dW/dt=U

I

Bateria przekazuje energi

ę

elementowi.

Energia przekazana w jednostkowym
interwale czasu jest moc

ą

baterii.

Jednostka mocy

1 V

⋅

1 A=(1 J/C)

⋅

(1 C/s)=1 J/s= 1 W.

P=dW/dt=U

I

Moc dla obwodu zawieraj

ą

cego

opór R

Poniewa

ż

R=U/

I

eliminuj

ą

c U otrzymamy:

P=R

I

2

.

Eliminuj

ą

c

I

otrzymamy:

P=U

2

/R.

P=U

I

Odkrycie nadprzewodnictwa

Zale

ż

no

ść

oporu

próbki

rt

ę

ci

od

temperatury

bezwzgl

ę

dnej. Ten wykres zrobiony przez Onnesa

dokumentował odkrycie zjawiska nadprzewodnictwa.

R

Ω

R<10

-5

Ω

4.2 K

Hg

0.1

0

T K

4.1

4.3

O

p

ó

r

(m

Ω

)

Temperatura K

Czego można było oczekiwać?

Czego można było oczekiwać?

Odkrycie nadprzewodnictwa

Wynik otrzymany współcześnie

Wynik otrzymany współcześnie

-183

0

C

Metal normalny

nadprzewodnik

o

p

ó

r

• W 1914 r. Onnes stwierdził,

ż

e

dostatecznie

silne pole magnetyczne

niszczy

nadprze-

wodnictwo.

• Pr

ą

d elektryczny płyn

ą

cy przez nadprzewo-

dnik wytwarza pole magnetyczne. Zatem
przez nadprzewodniki odkryte przez Onnesa
(nadprzewodniki I rodzaju) nie mo

ż

na prze-

puszcza

ć

silnych pr

ą

dów.

• Wydawało si

ę

,

ż

e nale

ż

y porzuci

ć

nadziej

ę

na

realizacj

ę

linii energetycznych bez strat.

Przeszkod

ą

były tak

ż

e bardzo niskie tempe-

ratury niezb

ę

dne dla istnienia nadprzewod-

nictwa.

Niszczenie zjawiska nadprzewodnictwa

przez pole magnetyczne.

• W 1914 Onnes odkrył sposób wytwarzania

trwałego

pr

ą

du: je

ż

eli przepu

ś

ci

ć

pr

ą

d

przez pier

ś

cie

ń

nadprzewodz

ą

cy to b

ę

dzie

on płyn

ą

ł latami bez zanikania.

• Pó

ź

niej okazało si

ę

,

ż

e przez pier

ś

cienie

płyn

ą

tylko takie pr

ą

dy, które wytwarzaj

ą

kwantowane strumienie pola magnetycz-
nego przez otwory w pier

ś

cieniach.

• Cewka, w której płynie taki pr

ą

d mo

ż

e

słu

ż

y

ć

do przechowywania energii.

Dalsze odkrycia Onnesa

Ź

ródła siły elektromotorycznej

E

Aby podtrzyma

ć

stały przepływ ładunku

potrzebne jest urz

ą

dzenie, które wykonuj

ą

c prac

ę

nad no

ś

nikami ładunku, utrzymuje ró

ż

nic

ę

potencjału pomi

ę

dzy par

ą

swoich zacisków. Takie

urz

ą

dzenie nazywa si

ę

ź

ródłem siły elektromoto-

rycznej (SEM).

Przykłady SEM:

• Ogniwo elektryczne (bateria elektryczna),
• pr

ą

dnica,

• ogniwa paliwowe,
• termoogniwa,
• w

ę

gorze (electrophorus).

Przeciwdziałanie powrotowi

do stanu równowagi

Je

ż

eli przyło

ż

one do przewodnika pole elektry-

czne nie jest podtrzymywane, a obwód jest
zamkni

ę

ty, to przemieszczanie si

ę

ładunku

doprowadzi do zaniku tego pola i ładunek
przestanie płyn

ąć

.

Aby podtrzyma

ć

przepływ pr

ą

du nale

ż

y w przy-

padku dodatnich no

ś

ników ładunku do ko

ń

ca

przewodnika o ni

ż

szym potencjale stale odpro-

wadza

ć

przynoszone przez pr

ą

d ładunki, a do

ko

ń

ca o wy

ż

szym potencjale je doprowadza

ć

.

Praca wykonana nad ładunkiem

ϕ

1

ϕ

2

W

12

=q

E

Spadek napi

ę

cia U

12

na danym odcinku obwodu

U

12

=W

12

/q=

E

.

Ogniwo Westona

Ogniwo galwaniczne w którym elektrod

ę

dodatni

ą

stanowi rt

ęć

, ujemn

ą

amalgamat kadmu, a elektrolitem

jest roztwór nasycony siarczanu kadmu. Nad rt

ę

ci

ą

znajduje si

ę

siarczan rt

ę

ci Hg

2

SO

4

utarty z siarczanem

kadmu CdSO

4

oraz z rt

ę

ci

ą

, w postaci tzw. pasty. W obu

rurkach znajduj

ą

si

ę

tak

ż

e kryształy CdSO

4

, a cało

ść

wypełniona jest wodnym roztworem siarczanu
kadmowego. W temperaturze równej 20 °C siła
elektromotoryczna ogniwa Westona wynosi 1,0185-
1,0187 V. Ogniwo to jest zwykle konstruowane w
kształcie litery "H" z przew

ęż

eniami w połowie dolnych

ramion, które zapobiegaj

ą

przemieszczaniu si

ę

chemikaliów podczas transportu ogniwa.

Chocia

ż

kryształy siarczku rt

ę

ci bardzo

ź

le

rozpuszczaj

ą

si

ę

w H

2

O, to w elektrolicie CdSO

4

znajduj

ą

si

ę

dodatnie jony rt

ę

ci Hg

+

i jony .

4

SO

−

katoda

anoda

Ogniwo Westona nie wł

ą

czone do obwodu elektrycznego

Jony kadmu wychodz

ą

z elektrody amalgamatowej

Cd(Hg) w roztwór wodny w postaci jonów Cd

++

.

Pozostawione elektrony silnie ładuj

ą

elektrod

ę

(katod

ę

).

Wychodzenie to trwa dopóty, dopóki elektrostatyczne
przyci

ą

ganie ujemnej elektrody nie przeszkodzi

wychodzeniu jonów Cd

++

. Elektrolit ładuje si

ę

dodatnio.

Gdy przez ogniwo płynie pr

ą

d

Elektrony z katody odpływaj

ą

przez obwód elektryczny

do anody. Wtedy nowe porcje Cd

++

mog

ą

wej

ść

do

roztworu, a katoda mo

ż

e si

ę

doładowa

ć

. Dodatnie jony

Hg

+

przył

ą

czaj

ą

elektrony pr

ą

du i wł

ą

czaj

ą

si

ę

anody

Hg. Nowe jony Hg

++

mog

ą

przej

ść

do roztworu,

pojawiaj

ą

ce si

ę

równocze

ś

nie jony ł

ą

cz

ą

si

ę

Cd

++

.

Elektrolit staje si

ę

elektrycznie oboj

ę

tny.

4

SO

−−

H

g

2

S

O

4

Procesy chemiczne zachodz

ą

ce w ogniwie

Westona przez który płynie pr

ą

d.

Rozkład potencjału w ogniwie Westona,

przez który nie płynie pr

ą

d

P

o

te

n

c

ja

ł

V

Rozkład potencjału w ogniwie Westona,

przez który płynie pr

ą

d

Ź

ródło SEM –

generator van de Graafa

Ź

ródło wikipedia

Izolacyjny pas transportowy napi

ę

ty

jest mi

ę

dzy walcami. Pas jest

ładowany ze

ź

ródła napi

ę

cia

poprzez ostrze. Pod wpływem
silnego pola elektrycznego w
o

ś

rodku otaczaj

ą

cym ostrze

powstaj

ą

jony dodatnie i ujemne.

Na pasie osadzaj

ą

si

ę

ładunki tego

samego znaku, co odpychaj

ą

cy je

ładunek na ostrzu. Ruch pasa
wynosi zebrane ładunki ku górze do
wn

ę

trza kopuły, gdzie przez ostrze,

na zasadzie puszki Faraday’a
spływaj

ą

one na elektrod

ę

zbiorcz

ą

.

ostrze

Praca, energia i SEM

Ź

ródło SEM

E

wykonuje prac

ę

nad no

ś

nikami

ładunku i
utrzymuje stały
pr

ą

d o nat

ęż

eniu

I

w oporniku R.
Opór przewodów
pomini

ę

to.

Obwód zawieraj

ą

cy

ź

ródło SEM i

odbiorniki ró

ż

nych rodzajów

Jednocze

ś

nie przez bateri

ę

B przepłynie ładunek

dq=

I

dt. Praca dW wykonana przez bateri

ę

nad

ładunkiem dq: dW=

E

dq=

EI

dt. dW=

I

2

Rdt.

Obliczanie nat

ęż

enia pr

ą

du w

obwodzie o pojedynczym oczku

E

=

I

R

I

=

E

/R.

W interwale dt
w oporniku R
energia
Pdt=

I

2

Rdt

zamienia si

ę

w

ciepło.

Drugie prawo Kirchhoffa

Algebraiczna suma zmian potencjału
napotkanych przy pełnym obej

ś

ciu dowolnego

oczka obwodu elektrycznego jest równa zeru.

V

a

V

a

+

E

-R

I=V

a

.

E

-R

I=0.

Obej

ś

cie oczka w

stron

ę

przeciwn

ą

:

V

a

+R

I -E=V

a

I = E

/R.

Druga zasada Kirchhoffa jest

sformułowaniem zasady

zachowania energii

Opór wewn

ę

trzny

ź

ródła

Opór wewn

ę

trzny baterii jest równe r, a jej

SEM –

E

.

•

Bilans spadków potencjału

rzeczywistego

ź

ródła

•

a

Bilans spadków potencjału (obej

ś

cie zgodne z ruchem

wskazówek zegara): V

a

+(

E

-

I

r)-

I

R=V

a

→

I

=

E

/(r+R).

Oporniki poł

ą

czone szeregowo

Ładunek porusza si

ę

tylko jedn

ą

drog

ą

.

Przez wszystkie oporniki
płynie pr

ą

d o tym samym

nat

ęż

eniu

I

. Suma ró

ż

nic

potencjałów na
opornikach jest równa
przyło

ż

onej ró

ż

nicy

potencjałów:

U=U

1

+U

2

+U

3

U

Oporniki poł

ą

czone szeregowo –

opór równowa

ż

ny

Z drugiego prawa Kirhoffa, dla idealnego

ź

ródła

SEM:

E

-

I

R

1

-

I

R

2

-

I

R

3

=0.

I

=

E

/(R

1

+R

2

+R

3

).

Oznaczenie:
R

rw

=R

1

+R

2

+R

3

.

Wtedy:

E

-

I

R

rw

=0.

Opór równowa

ż

ny dla n oporników

poł

ą

czonych szeregowo

n

rw

1

2

n

i

i 1

R

R

R

R

R .

=

=

+

+ +

=

∑

…

rw

i

R

R (i

1, 2,

, n).

>

=

…

Opór równowa

ż

ny układu wielu oporników jest

wi

ę

kszy od ka

ż

dego z nich.

Ró

ż

nice potencjałów

Algebraicznie
sumujemy
spadki
potencjałów:

V

b

V

a

V

b

-

I

R=V

a

V

b

V

a

I

=

E

/(r+R)

Lecz:

V

b

-V

a

=

E

R/(r+R)

Kierunek obiegu

Obieg przeciwny

V

b

V

a

V

b

V

a

Kierunek obiegu

V

b

-

E

+

I

r=V

a

,

I

=

E

/(r+R),

V

b

-V

a

=

E

-

E

/(r+R)r,

V

b

-V

a

=

E

[(R+r-r)/(r+R)=

E

[R/(r+R)].

Moc, potencjał i SEM

Ź

ródło SEM wytwarzaj

ą

c pr

ą

d o nat

ęż

eniu

I

powoduje ruch ładunków, przekazując im energię.

P=

I

U=

I

(

E

-

I

r)=

IE

-

I

2

r.

Wyraz

I

2

r okre

ś

la szybko

ść

zmiany energii

chemicznej na energi

ę

ciepln

ą

. Jest to energia

rozproszona w

ź

ródle.

Wyraz

IE

jest moc

ą

P

SEM

przekazu energii przez

ź

ródło zarówno no

ś

nikom ładunku jak i na

zwi

ę

kszenie energii cieplnej.

Szybko

ść

P procesu przekazywania energii:

Ładowanie

ź

ródła SEM

Podczas ładowania

ź

ródła SEM poprzez

przepuszczanie przeze

ń

pr

ą

du w „przeciwn

ą

stron

ę

” zamieniamy energi

ę

pr

ą

du na energi

ę

chemiczn

ą

oraz energi

ę

ciepln

ą

. Szybko

ś

ci

zamiany w energi

ę

chemiczn

ą

i ciepln

ą

:

P

SEM

=

IE

,

P

ciepl

=

I

2

r.

W gałęzi bad: I

1

,

w gałęzi bcd: I

2

,

w gałęzi bd: I

3

.

Bilans nat

ęż

e

ń

w w

ęź

le d:

I

1

+I

3

=I

2

; w węźle b:

I

2

=I

1

+I

3

.

I zasada Kirchhoffa: suma nat

ęż

e

ń

pr

ą

dów

wpływaj

ą

cych do dowolnego w

ę

zła= suma

pr

ą

dów wypływaj

ą

cych z tego w

ę

zła.

I zasada Kirchhoffa

Wybór oczek:
1. badb
2. bcdb
3. badcb

Analiza oczek na podstawie II prawa Kirchhoffa:

Konsekwencje II zasady Kirchhoffa

badb przeciwnie do wskazówek zegara:

E

1

-

I

1

R

1

-

I

3

R

3

=0,

bcdb przeciwnie do wskazówek zegara :

I

3

R

3

+

I

2

R

2

-

E

2

=0.

Bilans dla konturu badcb jest konsekwencj

ą

dwóch

powy

ż

szych równa

ń

. Dodaj

ą

c je stronami otrzymamy:

E

1

-I

1

R

1

+I

2

R

2

-E

2

=0.

Obchodz

ą

c du

ż

y kontur badcb przeciwnie do wskazówek

zegara otrzymamy:

E

1

-

I

1

R

1

+

I

2

R

2

-

E

2

=0.

Oporniki poł

ą

czone równolegle

Do ka

ż

dego z

oporników
przyło

ż

ono ró

ż

nic

ę

potencjału U.

I

1

=U/R

1

,

I

2

=U/R

2

,

I

3

=U/R

3

.

I prawo Kirchhoffa w punkcie a:

I=I

1

+I

2

+I

3

:

1

2

3

1

1

1

I

U

R

R

R





=

+

+









rw

1

2

3

I

1

1

1

1

.

U

R

R

R

R





≡

=

+

+









Opór równowa

ż

ny

rw

1

2

3

1

1

1

1

.

R

R

R

R





=

+

+









Ogólnie dla n oporników poł

ą

czonych równolegle:

n

i 1

rw

i

1

1

.

R

R

=

=

∑

Porównanie

Amperomierz

Amperomierz – przyrz

ą

d

przeznaczony do pomiaru
nat

ęż

enia pr

ą

du.

R

A

Opór amperomierza
R

A

jest mały w porów-

naniu z pozostałymi
oporami obwodu:
R

A

<<R

1

, R

2

.

Gwarantuje to mały
wpływ amperomierza na
nat

ęż

enie pr

ą

du

płyn

ą

cego w obwodzie.

Woltomierz

Woltomierz – przyrz

ą

d słu

żą

cy do pomiaru

ró

ż

nicy potencjałów.

W przeciwie

ń

stwie do ampero-

mierza, aby go wł

ą

czy

ć

do

obwodu nie trzeba przecina

ć

przewodu.

Opór wewn

ę

trzny

woltomierza R

V

jest

du

ż

y w porównaniu

z pozostałymi oporami
obwodu: R

V

<<R

1

, R

2

.

R

V

Proces ładowania kondensatora

Ładowanie kondensatora

Klucz zamyka obwód,
w który wł

ą

czona jest

bateria.

Z drugiego prawa
Kirchhoffa (obej

ś

cie

obwodu zagodne z
ruchem wskazówek
zegara):

E

-

I

R-q/C=0.

U=q/C

Poniewa

ż

I=dq/dt

dq/dt-q/(RC)=

E

/R.

Rozwi

ą

zanie równania ró

ż

niczkowego:

( )

( )

t / RC

q t

C

1 e

.

−





=

−





E

Własno

ś

ci rozwi

ą

zania

Rozwi

ą

zanie równania ró

ż

niczkowego:

( )

( )

t / RC

q t

C

1 e

−





=

−





E

Warunek pocz

ą

tkowy: q(0)=0 – na pocz

ą

tku

kondensator nie był naładowany:

( )

( )

0 / RC

q 0

C

1 e

0

−





=

−

=





E

Gdy t

→∞

q(t)

→

C

E

.

Ładowanie kondensatora wykres

zale

ż

no

ś

ci ładunku od czasu

( )

( )

t / RC

q t

C

1 e

−





=

−





E

Ładowanie kondensatora wykres

zale

ż

no

ś

ci nat

ęż

enia

I

od czasu

( )

( )

t / RC

0

dq t

q

I t

e

.

dt

RC

−





=

=









Sprawdzenie rozwi

ą

zania

( ) ( )

dq t

q t

.

dt

RC

R

+

=

E

( )

( )

(

)

( )

t / RC

t / RC

t / RC

dq t

dC

de

1

C

C

e

dt

dt

dt

RC

q t

C

C

1 e

.

RC

RC

R

RC

−

−

−





=

−

= −

−

=









= −

−

+

=

−

E

E

E

E

E

E

Nat

ęż

enie pr

ą

du ładowania

( )

t / RC

I t

e

.

R

−

=

E

Z upływem czasu pr

ą

d ładowania zanika:

( )

t / RC

t

t

lim I t

lim e

0 .

R

−

→∞

→∞

=

=

E

Ró

ż

nica potencjałów

ładowanego kondensatora

( ) ( )

C

q t

t

U

t

1 exp

.

C

RC









=

=

−

−

















E

Asymptotyka ró

ż

nicy potencjałów:

( )

C

t

t

t

lim U

t

lim

1 exp

.

RC

→∞

→∞









=

−

=

















E

E

Stała czasowa

Iloczyn RC ma wymiar czasu:

[ ]

[ ]

U q

q

RC

t

T .

I U

q / t









=

=

=

=

















Dlatego iloczyn RC nazywane jest stał

ą

czasow

ą

obwodu zawieraj

ą

cego opornik

i kondensator.

Rozładowanie kondensatora

Klucz w
poło

ż

eniu b –

bateria
odł

ą

czona od

kondensatora.
Na jego
okładkach
ładunek q.

Równanie ró

ż

niczkowe dla ładunku:

( )

( )

dq t

1

q t .

dt

CR

= −

+

E/

R.

Wyrazu

E

/R nie ma!

Rozwi

ą

zanie równania ró

ż

niczkowego

dla ładunku rozładowywanego

kondensatora

( )

( )

dq t

1

q t .

dt

CR

= −

Asymptotyka:

( )



t / CR

0

CU0

q t

q e

.

−

=

( )

t

lim q t

0.

→∞

=

Nat

ęż

enie pr

ą

du rozładowania

( )

( )

t / RC

0

dq t

q

I t

e

.

dt

RC

−





=

= −









Pr

ą

dy rozładowania i ładowania kondensatora

płyn

ą

w przeciwnych kierunkach.

Pocz

ą

tkowe nat

ęż

enie pr

ą

du rozładowania

(

)

0

0

q

I

I t

0

.

RC





=

=

= −









Rozładowanie kondensatora

wykres zanikania ładunku

z upływem czasu

q

0

( )

t / CR

0

q t

q e

.

−

=

U

0

U

0



0

q / C

0

0

0

q

I

U / R

.

CR

=

=

Ustalenie

I

0

Ró

ż

nica potencjałów pomi

ę

dzy okładkami i

przyło

ż

ona do opornika jest taka sama.