EGZAMIN z ALGEBRY

6 lutego 2014

Imię i nazwisko

grupa

(dużymi literami)

Zad 1

Zad 2

Zad 3

Zad 4

Zad 5

Zad 6

∑ z egz

Ćwicz

Razem

Ocena

UWAGA Wszystkie odpowiedzi na zadane pytania muszą być uzasadnione.

1.

V i W są przestrzeniami liniowymi, a

W

V

F

→

:

jest odwzorowaniem liniowym.

a)

Podać definicję jądra

F

Ker

i uzasadnić, że jest podprzestrzenią liniową.

b)

Wykazać, że jeśli

1

)

dim(

=

F

Ker

, to odwzorowanie F nie jest różnowartościowe.

c)

Podaj jądro odwzorowania

3

3

:

R

R

F

→

będącego rzutem ortogonalnym na płaszczyznę

0

2

3

=

+

−

z

y

x

.

2.

Dane jest przekształcenie liniowe

3

3

:

R

R

F

→

takie, że

(

)

(

) (

)

1

,

1

,

1

3

,

1

,

1

=

−

F

,

(

)

(

) (

)

0

,

1

,

1

2

,

4

,

2

−

=

−

−

F

,

(

)

(

) (

)

1

,

1

,

0

1

,

1

,

1

=

−

F

. Znaleźć macierz tego przekształcenia w bazie

standardowej. Napisać jego „wzór”. Czy istnieje przekształcenie odwrotne do F.
Podać przykładowe bazy jądra

F

Ker

oraz obrazu Im F.

3.

Znaleźć odpowiednie ortonormalne przekształcenie przestrzeni

3

R

, aby zidentyfikować

powierzchnię o równaniu

12

2

6

2

2

2

2

=

−

+

+

−

yz

xy

z

y

x

. Napisać równanie tej powierzchni

w przekształconym układzie współrzędnych

)

~

,

~

,

~

(

z

y

x

.

4.

Wyznaczyć w zbiorze liczb zespolonych rozwiązania równania

0

1

4

8

=

+

+

z

z

spełniające

nierówność

i

z

i

−

≤

−

3

2

3

4

.

5.

Dane są punkty

(

)

4

,

2

,

1

A

,

(

)

2

,

4

,

3

B

,

(

)

1

,

2

,

0

C

. Znaleźć płaszczyznę, na której leży trójkąt ABC

oraz postać parametryczną symetralnej boku AB tego trójkąta.

6.

Czy wektor

)

1

,

1

,

1

(

−

=

u

r

należy do podprzestrzeni

)

,

,

,

,

(

5

4

3

2

1

v

v

v

v

v

Lin

r

r

r

r

r

dla

)

2

,

1

,

1

(

1

−

=

v

r

,

)

1

,

4

,

3

(

2

=

v

r

,

)

5

,

2

,

5

(

3

=

v

r

,

)

4

,

7

,

7

(

4

=

v

r

,

)

3

,

3

,

4

(

5

=

v

r

?

Dla jakiego

R

k

∈

wektor

)

,

6

,

1

(

k

w

=

r

jest kombinacja liniową wektorów

5

4

3

2

1

,

,

,

,

v

v

v

v

v

r

r

r

r

r

?

Podać dwie różne bazy przestrzeni

)

,

,

,

,

(

5

4

3

2

1

v

v

v

v

v

Lin

r

r

r

r

r

.

EGZAMIN z ALGEBRY

6 lutego 2014

Imię i nazwisko

grupa

(dużymi literami)

Zad 1

Zad 2

Zad 3

Zad 4

Zad 5

Zad 6

∑ z egz

Ćwicz

Razem

Ocena

UWAGA Wszystkie odpowiedzi na zadane pytania muszą być uzasadnione.

1.

V i W są przestrzeniami liniowymi, a

W

V

F

→

:

jest odwzorowaniem liniowym.

a)

Podać definicję obrazu

F

Im

i podać związek między (wymiarami)

F

Ker

i

F

Im

gdy

przestrzenie

V i W są skończenie wymiarowe.

b)

Wykazać, że jeśli

n

V

=

dim

i

1

)

dim(

−

=

n

F

Im

, to odwzorowanie F nie jest

różnowartościowe.

c)

Podaj obraz odwzorowania

3

3

:

R

R

F

→

będącego rzutem ortogonalnym na płaszczyznę H

jeśli kierunek rzutu jest równoległy do prostej

t

z

t

y

t

x

l

5

,

3

,

2

:

=

−

=

=

.

2.

Dane jest przekształcenie liniowe F takie, że

(

)

(

) (

)

1

,

0

,

1

0

,

2

,

1

−

=

−

F

,

(

)

(

) (

)

3

,

1

,

1

1

,

1

,

0

−

=

−

F

,

(

)

(

) (

)

1

,

1

,

2

2

,

2

,

3

−

=

−

F

. Znaleźć macierz tego przekształcenia w bazie standardowej. Napisać

jego „wzór”. Sprawdzić czy istnieje przekształcenie odwrotne do F.
Podać przykładową bazy jądra (

F

Ker

) i obrazu (Im F) tego odwzorowania.

3.

Znaleźć odpowiednie ortonormalne przekształcenie przestrzeni

3

R

, aby zidentyfikować

powierzchnię o równaniu

6

8

2

2

2

2

2

2

2

=

+

+

+

−

−

yz

xz

xy

z

y

x

. Napisać równanie tej powierzchni

w przekształconym układzie współrzędnych

)

~

,

~

,

~

(

z

y

x

.

4.

Wyznaczyć w zbiorze liczb zespolonych rozwiązania równania

0

1

4

8

=

+

+

z

z

spełniające

nierówność

3

3

2

4

+

≤

+

i

z

i

.

5.

Dane są punkty

(

)

1

,

2

,

0

A

,

(

)

1

,

2

,

3

−

B

,

(

)

5

,

6

,

2

C

. Znaleźć płaszczyznę, na której leży trójkąt

ABC oraz postać kierunkową symetralnej boku AC tego trójkąta.

6.

Czy wektor

)

1

,

0

,

3

(

=

u

r

należy do podprzestrzeni

)

,

,

,

,

(

5

4

3

2

1

v

v

v

v

v

Lin

r

r

r

r

r

dla

)

1

,

2

,

1

(

1

=

v

r

,

)

2

,

4

,

2

(

2

=

v

r

,

)

1

,

2

,

5

(

3

−

=

v

r

,

)

3

,

8

,

1

(

4

=

v

r

,

)

2

,

2

,

4

(

5

=

v

r

?

Dla jakiego

R

k

∈

wektor

)

,

6

,

3

(

k

w

−

=

r

jest kombinacja liniową wektorów

5

4

3

2

1

,

,

,

,

v

v

v

v

v

r

r

r

r

r

?

Podać dwie różne bazy przestrzeni

)

,

,

,

,

(

5

4

3

2

1

v

v

v

v

v

Lin

r

r

r

r

r

.