Teoria aproksymacji

Projekt numer 1.17.

Wykonanie: Paweł Kopeć, grupa 32, WFMiIS.

Wstęp

Interpolacja jest to metoda numeryczna polegająca na wyznaczaniu w danym przedziale tak zwanej funkcji

interpolacyjnej, która przyjmuje w nim z góry zadane wartości w ustalonych punktach, nazywanych węzłami.
Stosowana jest ona często w naukach doświadczalnych, gdzie dysponuje się zazwyczaj skończoną liczbą danych do
określenia zależności między wielkościami oraz w celu uproszczenia skomplikowanych funkcji, np. podczas
całkowania numerycznego. Interpolacja jest szczególnym przypadkiem metod numerycznych typu aproksymacja.

Interpolacja funkcjami sklejanymi to metoda polegająca na przybliżaniu nieznanej funkcji wielomianami niskiego

stopnia. Podany przedział [a, b] dzieli się na przedziały, a w każdym z nich interpoluje się funkcję wielomianem
(zwykle niskiego poziomu – 1 lub 3 stopnia) interpolacyjnym. Następnie „sklejenie” tych wielomianów ma tworzyć
funkcję sklejaną.

Interpolacja funkcją sklejania stopnia pierwszego

= ln

Interpolację wykonałem za pomocą funkcji interp1 z metodą „spline”, gdyż jest to odpowiednik interpolacji

funkcją sklejania z wykorzystaniem funkcji sklejania 3-rzędu. Wywołanie funkcji musiało odbywać się w zakresie liczb
dodatnich, gdyż w przypadku gdy w przedziale [a,b] zawarte było "0", wykres funkcji interpolowanej nie rysował się.

function

z = teoaprox17(a,b,n)

% n = liczba przedziałów w przedziale [a,b]

% Walidacja danych

if

a > b

c=b;

b=a;

a=c;

end

% Wyznaczanie elementów po podziale na n cz

ęś

ci

delta=(b-a)/n;

X=a:delta:b;

aux=size(X);

% Tworzenie tablicy u

ż

ywanej przy wykresie

X2=a:0.01:b;

% Obliczenie funkcji nie interpolowanej

Y2=log(X2);

% Tworzenie danych do interpolacji oraz interpolacja

Y=log(X);

Y2int=interp1(X,Y,X2,

'spline'

);

Wykonanie wykresów

Wykresy wykonałem za pomocą funkcji plot. Dodałem również opis osi oraz ograniczyłem wartości na osi

pionowej do przedziału y

∈<-10,10> , oraz na osi poziomej do przedziału x∈ <-1,10>(aby wykres sporządzony przez

program był czytelny i było na nim widać wszystkie wartości

% Rysowanie wykresów

plot(X2,Y2int,

'r.'

,X2,Y2,

'k.'

);

xlabel(

'x'

); ylabel(

'y'

);title(

'Wykres funkcji y=f(x) oraz funkcji interpoluj

ą

cej'

);

axis([-1 10 -10 10]);

legend(

'funkcja interpoluj

ą

ca'

,

'funkcja interpolowana'

);

Wyznaczenie norm

% Liczenie norm

norma1 = trapz(Y);

norma2 = sqrt(trapz(Y.*Y));

disp(

'norma1: '

);disp(norma1);

disp(

'norma2: '

);disp(norma2);

Wyniki, wykresy oraz wnioski

N=2

‖ ‖

-1.8444

‖ ‖

6.9034

Wykresy funkcji funkcji interpolowanej i interpolującej

‖ ‖ = |

|

‖ ‖ =

norma2 = sqrt(trapz(Y.*Y));

);disp(norma1);

);disp(norma2);

N=5

N=10

2.4968

9.3481

7.4164

8.2106

interpolowanej i interpolującej

N=2

N=10

N=50
62.2512
13.0767

N=5

N=50

Wykresy norm

Jak widać interpolacja metodą sklejanych trzeciego stopnia spisuje się całkiem przyzwoicie, przy zastosowaniu do
funkcji logarytmicznej. Już przy wartości N=5 większa część wykresu nakłada się na wykres oryginalnej funkcji. Przy
wartościach x bliskich 0 interpolacja metodą sklejanych trzeciego stopnia nie uzyskuje jednak już tak zadowalających
rezultatów. Przy wywoływaniu funkcji, należało pamiętać, aby przedział <a;b> nie zawierał w sobie "0". W
przeciwnym wypadku funkcja nie była interpolowana.

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

0

10

20

30

40

50

60

Norma 1

Norma 2