Egzamin z rachunku prawdopodobieństwa, 4 czerwca 1996, godz. 14.00.

Część testowa
1.

X ma rozkład wykładniczy z parametrem 1. Dla jakich a ∈ R istnieje EX

a

?

2. Rzucamy trzema symetrycznymi monetami i zabieramy te monety, na których
wypadł orzeł, a następnie powtarzamy doświadczenie z pozostałymi monetami,
dopóki jest czym rzucać. Ile średnio doświadczeń da się wykonać?

3. Na loterii jest 10 losów wygrywających, 100 przegrywających i 1000 upraw-
niających do następnego losowania. Jaka jest szansa wygranej?

4. Dla jakich c funkcja

f(x) = c/(1 + x

2

) jest a) gęstością, b) funkcją charakte-

rystyczną pewnego rozkładu (podać go)?

5. Gracz dostał 13 kart z 52, obejrzał 8 z nich i stwierdził, że nie ma asa. Jaka
jest szansa, że w ogóle nie ma asa?

6.

X i Y są niezależne i mają ten sam rozkład wykładniczy.

Obliczyć

E(X|X + Y = s).

7.

X i Y są niezależne i mają ten sam rozkład jednostajny na [0, 1]. Obliczyć

E(max(X, Y ) − min(X, Y )).
8.

X i Y są niezależne i mają ten sam rozkład N(0, 1). Znależć rozkład a) X/|Y |;

b)

X/Y .

9. Jest

n monet, ale k z nich jest asymetrycznych i orzeł wypada z prawdopodo-

bieństwem 1

/3. Wybrano losowo monetę i w wyniku rzutu wypadł orzeł. Jaka

jest szansa, że po drugiej stronie jest orzeł?

10.

τ jest momentem Markowa. Czy stąd wynika, że momentem Markowa jest

a)

τ + 1; b) τ − 1?

11. Na poczcie pojawia się 100 klientów dziennie, każdy z nich dokonuje wpłaty
X

i

,

i = 1, 2, . . . , 100, gdzie X

i

są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym sa-

mym rozkładzie, zerowej średniej i wariancji równej 100. Ile gotówki należy
mieć w kasie rano, by z prawdopodobieństwem 0,99 na koniec dnia nie zabrakło
pieniędzy? Zakładamy, że w ciągu dnia ewentualne braki uzupełnia ze swojej
kieszeni naczelnik, ale wieczorem chce odzyskać swoje pieniądze.

12. Pijak znajduje się 3 kroki od przepaści. Szansa wykonania kroku w kierunku
przepaści wynosi 1/3, w przeciwnym — 2/3, kroki są niezależne. Jaka jest szansa
ocalenia? Zakładamy, że pijak spada, gdy znajdzie się na krawędzi przepaści.

13.

X i Y są niezależnymi i nieujemnymi zmiennymi losowymi, X ma gęstość.

Wtedy a)

XY musi mieć gęstość, b) może mieć gęstość, ale nie musi.

14.

X

1

, X

2

, . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie:

P (X

1

=2) =

P (X

1

=

−2) =1/2, n = 1, 2, . . .. Znaleźć

a) lim

n→∞

P (X

1

+ . . . +

X

n

≥ n);

b) lim

n→∞

P (|X

1

+ . . . +

X

n

| ≤

1

2

n

2

);

c) lim

n→∞

P (X

1

+ . . . +

X

n

≤

√

n).

1

Egzamin z rachunku prawdopodobieństwa, 4 czerwca 1996, godz. 14.00.

Część teoretyczna
T-1. X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach Poissona z pa-
rametrami, odpowiednio,

λ i µ. Obliczyć P (X = k|X + Y ) oraz E(X|X + Y ).

T-2. X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie wy-
kładniczym z parametrem

λ. Znaleźć rozkład zmiennej losowej

Z =max(X, Y ) − min(X, Y ).

T-3. X

1

, X

2

, . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie:

P (X

n

=1) =

P (X

n

=

−1) =1/2, n = 1, 2, . . .. Niech

F

n

=

σ(X

1

, . . . , X

n

)

i niech

Z

n

=

e

(X

1

+...+X

n

)−(n/2)

.

Udowodnić, że (

Z

n

, F

n

) jest nadmartyngałem. Znaleźć lim

n→∞

Z

n

.

T-4. Niech X

n

będzie zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem

λ

n

,

zaś

Y

n

— niezależną od

X

n

zmienną losową taką, że

EY

n

=0,

D

2

Y

n

= 1

/n,

(

n = 1, 2, . . .). Załóżmy, że λ

n

→ λ > 0. Znaleźć granicę rozkładów zmiennych

losowych

X

n

+

Y

n

.

(*) Czy założenie o niezależności

X

n

i

Y

n

jest istotne?

2