Matematyka A, kolokwium, 2 grudnia 2008, 18:15 – 19:55

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne

osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pi-

sza

,

cego, jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n

elektronicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozrusz-

nik´ow serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia,

kt´ore zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

Nale˙zy przeczyta´c

CAÃLE

zadanie

PRZED

rozpocze

,

ciem rozwia

,

zywania go!

1. (10 pt.) Obliczy´c pochodne naste

,

puja

,

cych funkcji:

a. (3 pt.) ln ctg(x

2

)

,

b. (4 pt.) ln

1+sin x
1−sin x

c. (3 pt).

e

3x

+5

e

x

+1

.

2. (10 pt.) Znale´z´c r´ownanie prostej stycznej do wykresu funkcji y = x

x

w punkcie (x

0

, y

0

) ,

je´sli x

0

=

1
3

.

Znale´z´c punkty wsp´olne tej stycznej z osiami OX i OY .

3. (10 pt.) Wykaza´c, ˙ze dla dowolnej liczby rzeczywistej x ∈ 0,

π

2

spe lnione sa

,

nier´owno´sci

2 cos x +

1

cos

2

x

> 3

oraz

tg x + 2 sin x > 3x .

4. (10 pt.) Niech f (x) =

√

x

3

− 3x . Wiadomo, ˙ze f

0

(x) =

3x

2

−3

2

√

x

3

−3x

i f

00

(x) =

3(x

4

−6x

2

−3)

4(

√

x

3

−3x)

3

.

Pierwiastkami wielomianu x

4

− 6x

2

− 3 sa

,

dwie liczby rzeczywiste ±

p

3 + 2

√

3 ≈ ±2,54 ,

innych pierwiastk´ow rzeczywistych ten wielomian nie ma.

Znale´z´c przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest ´sci´sle rosna

,

ca, na kt´orych jest ´sci´sle maleja

,

ca,

na kt´orych jest ´sci´sle wypuk la, na kt´orych jest ´sci´sle wkle

,

s la.

Korzystaja

,

c z uzyskanych informacji naszkicowa´c wykres funkcji f .

5. (10 pt.) Na paraboli y =

1
6

x

2

znale´z´c punkt, kt´ory le˙zy najbli˙zej punktu

1
3

,

25

6