Algebra, AiR, AEiI

RSł, XII 2013

Elementy geometrii analitycznej

Iloczyny w R

3

1. Iloczynem skalarnym niezerowych wektorów v oraz w nazywamy liczbę rzeczywistą

v · w = |v| · |w| · cos ∠(v, w).

Jeśli natomiast v = 0 lub w = 0, to przyjmujemy, że v · w = 0.

Ponadto, jeśli v = [v

x

, v

y

, v

z

] i w = [w

x

, w

y

, w

z

], to

v · w = v

x

w

x

+ v

y

w

y

+ v

z

w

z

.

2. Iloczynem wektorowym niezerowych wektorów v oraz w nazywamy wektor u taki, że

• |u| = |v| · |w| · sin ∠(v, w),
• u jest prostopadły do v i do w,

• jeśli v i w nie są równoległe, to (v, w, u) ma orientację zgodną z układem (i, j, k)

1

.

Jeśli v = 0 lub w = 0, to przyjmujemy, że ich iloczyn wektorowy jest wektorem
zerowym.

Iloczyn wektorowy v i w oznaczamy przez v × w.

Jeśli v = [v

x

, v

y

, v

z

] i w = [w

x

, w

y

, w

z

], to

v × w =






v

y

v

z

w

y

w

z






i −






v

x

v

z

w

x

w

z






j +






v

x

v

y

w

x

w

y






k ,

co symbolicznie zapisujemy w postaci ”wyznacznika”:

v × w =








i

j

k

v

x

v

y

v

z

w

x

w

y

w

z








.

Własność 1: Pole równoległoboku rozpiętego na wektorach v, w wynosi |v × w|.

Własność 2: Pole trójkąta rozpiętego na wektorach v, w wynosi

1
2

|v × w|.

1

i = [1, 0, 0], j = [0, 1, 0], k = [0, 0, 1]

1

Algebra, AiR, AEiI

RSł, XII 2013

3. Iloczynem mieszanym wektorów v, w, u nazywamy liczbę (v × w) · u. Jeśli v =

[v

x

, v

y

, v

z

], w = [w

x

, w

y

, w

z

], u = [u

x

, u

y

, u

z

], to

(v × w) · u =








v

x

v

y

v

z

w

x

w

y

w

z

u

x

u

y

u

z








.

Własność 1: Wartość bezwzględna iloczynu mieszanego v, w, u jest równa objętości
równoległościanu rozpiętego na tych wektorach.

Własność 2:

Objętość czworościanu rozpiętego na wektorach v, w, u jest równa

1
6

|(v × w) · u|.

Płaszczyzny w R

3

Dany jest punkt P i wektor ~

n. Zbiór punktów Q takich, że wektory ~

P Q i ~

n są prosto-

padłe nazywamy płaszczyzną. Wektor ~

n (a także każdy wektor niezerowy równoległy do ~

n)

nazywamy wektorem normalnym tej płaszczyzny.

Równanie płaszczyzny ma postać

Ax + By + Cz + D = 0 ,

gdzie A

2

+ B

2

+ C

2

6= 0.

Jeśli wektorem normalnym płaszczyzny π jest ~

n = [A, B, C], a punkt P = (x

0

, y

0

, z

0

)

leży na tej płaszczyźnie, to ma ona równanie

A(x − x

0

) + B(y − y

0

) + C(z − z

0

) = 0 .

Jeśli płaszczyzna π przecina oś OX w punkcie P

1

= (a, 0, 0), oś OY w punkcie P

2

= (0, b, 0),

a oś OZ w punkcie P

3

= (0, 0, c), to π ma równanie

x

a

+

y

b

+

z

c

= 1 .

które nazywamy równaniem odcinkowym płaszczyzny.

Odległość punktu P = (x

0

, y

0

, z

0

) od płaszczyzny π o równaniu Ax + By + Cz + D = 0

wynosi

d(P, π) =

|Ax

0

+ By

0

+ Cz

0

+ D|

√

A

2

+ B

2

+ C

2

.

Odległość dwóch równoległych płaszczyzn π

1

, π

2

o równaniach Ax + By + Cz + D

1

= 0

oraz Ax + By + Cz + D

2

= 0 wynosi

d(π

1

, π

2

) =

|D

1

− D

2

|

√

A

2

+ B

2

+ C

2

.

Proste w R

3

Dany jest punkt P i wektor v 6= 0. Zbiór punktów Q takich, że wektory

P Q, v są równoległe nazywamy prostą o wektorze kierunkowym v.

2

Algebra, AiR, AEiI

RSł, XII 2013

1. Jeśli punkt P = (x

0

, y

0

, z

0

) leży na prostej l, a v = [v

x

, v

y

, v

z

] jest wektorem kierun-

kowym l, to











x = v

x

· t + x

0

y = v

y

· t + y

0

z = v

z

· t + z

0

,

t ∈ R,

jest równaniem parametrycznym prostej l.

2. Jeśli punkt P = (x

0

, y

0

, z

0

) leży na prostej l, a v = [v

x

, v

y

, v

z

] jest wektorem kierun-

kowym l, to

x − x

0

v

x

=

y − y

0

v

y

=

z − z

0

v

z

jest równaniem kierunkowym prostej l.

3. Dowolne dwie nierównoległe płaszczyzny przecinają się wzdłuż pewnej prostej. Jeśli

π

1

: A

1

x + B

1

y + C

1

z + D

1

= 0, π

2

: A

2

x + B

2

y + C

2

z + D

2

= 0 przecinają się wzdłuż

prostej l, to

(

A

1

x + B

1

y + C

1

z + D

1

= 0

A

2

x + B

2

y + C

2

z + D

2

= 0

jest równaniem krawędziowym prostej l.

Uwaga 1: Zbiór wszystkich płaszczyzn zawierających pewną (ustaloną) prostą na-
zywamy pękiem płaszczyzn.

Uwaga 2:

Proste, które nie są równoległe, ale są rozłączne nazywamy prostymi

skośnymi.

3