Miary rozrzutu (dyspersji) 

 

1

 

Różnice w stopniu skupienia wartości wokół  średniej mierzymy za pomocą 

miar rozrzutu (dyspersji). Miary te liczymy, bo informacje o średnim poziomie 

cechy w badanej zbiorowości nie dają wyobrażenia o stopniu zróżnicowania tej 

zbiorowości wg poziomu badanej cechy – 2 zbiorowości mogą posiadać  tę 

samą średnią a ich rozkład może być zupełnie różny. 

 

0

10

20

30

40

50

200

600

1000

1400

1800

dochód w zł

 

 

Najprostszą miarą stopnia zróżnicowania jest rozstęp czyli obszar 

zmienności badanej cechy. Liczymy go jako różnicę między maksymalną a 

minimalną wartością zmiennej: R

x

 = x

max

 - x

min

 . Rozstęp liczymy, gdy w 

szeregu nie występują wartości odstające. 

Zwykle jednak liczy się dokładniejsze miary rozrzutu: 

 

™

 odchylenie przeciętne 

 

szereg szczegółowy 

szereg rozdzielczy o klasach 

jednostkowych 

szereg rozdzielczy o przedziałach 

klasowych 

n

x

x

d

i

i

x

∑

−

=

 

∑

∑

−

=

i

i

i

i

i

x

n

n

x

x

d

 

∑

∑ −

=

i

i

i

i

o

i

x

n

n

x

x

d

 

 
Odchylenie przeciętne musi spełniać warunek: 



x

x

i

−



min

< d

x

 <



x

x

i

−



max

. 

 

Miary rozrzutu (dyspersji) 

 

2

Kolejną miarą jest odchylenie standardowe liczone jako pierwiastek z 

wariancji. Wariancję liczymy jako: 

 

szereg szczegółowy 

szereg rozdzielczy o klasach jednostkowych 

2

2

2

2

)

(

x

N

x

N

x

x

s

i

i

i

i

x

−

∑

=

∑

−

=

 

2

2

2

2

)

(

x

n

n

x

n

n

x

x

s

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

x

−

∑

∑

=

∑

∑

−

=

 

szereg rozdzielczy o przedziałach klasowych 

2

2

2

2

)

(

x

n

n

x

n

n

x

x

s

i

i

i

i

o

i

i

i

i

i

o

i

x

−

∑

∑

=

∑

∑

−

=

 

 

Im większe zróżnicowanie cechy w zbiorowości tym większe są odchylenia 

wartości cechy od średniej arytmetycznej i większa wariancja. Najmniejszą 

wartością jaką może przyjąć wariancja jest 0, co występuje wówczas, gdy 

wszystkie wartości cechy są jednakowe (brak zróżnicowania). 

Ze względu na to, że mianem wariancji są kwadraty jednostek, w których 

jest mierzona badana cecha, jako miary zróżnicowania używa się dodatniego 

pierwiastka kwadratowego z wariancji czyli odchylenia standardowego: 

2

x

x

s

s

=

. 

 
 

Odchylenie standardowe i przeciętne są wielkościami mianowanymi. 

Posiadają takie samo miano jak badana zmienna, a ich wartości mieszczą się 

między najmniejszym i największym odchyleniem w szeregu. 

Obie miary są miarami klasycznymi, bo są obliczane ze wszystkich 

wyrazów szeregu. Ponad to są to miary bezwzględne i dlatego nie zawsze 

nadają się do porównań zróżnicowania 2 zbiorowości. Dla tego samego 

szeregu zwykle d

x

 < s

x

.  

 

Miary rozrzutu (dyspersji) 

 

3

Wśród miar pozycyjnych wyróżniamy: 

 rozstęp ćwiartkowy: R

Q

 = Q

3

 – Q

1

 oraz  

odchylenie ćwiartkowe Q

x

 = (Q

3

 – Q

1

)/2.  

Miary pozycyjne liczymy, gdy nie można policzyć miar klasycznych. 

 

Do porównań stopnia zróżnicowania 2 szeregów bardziej nadają się miary 

względne zwane współczynnikami zmienności.  

Współczynnik zmienności to stosunek wielkości bezwzględnej miary 

rozrzutu do wielkości średniej: 

 

Współczynnik zmienności liczony w oparciu o: 

odchylenie przeciętne odchylenie 

standardowe

odchylenie 

ćwiartkowe 

x

d

V

x

x

d

=

 

x

s

V

x

x

s

=

 

Me

Q

V

x

x

Q

=

 

 

Współczynniki zmienności są miarami względnymi, niemianowanymi. 

Można je wyrazić w % (interpretacja – ile % średniego poziomu zmiennej 

wynosi rozrzut wartości cechy w badanej zbiorowości). Miary rozrzutu 

pozycyjne są lepsze, gdy szereg jest mocno zróżnicowany.