Miary rozrzutu (dyspersji)

1

Różnice w stopniu skupienia wartości wokół średniej mierzymy za pomocą

miar rozrzutu (dyspersji). Miary te liczymy, bo informacje o średnim poziomie

cechy w badanej zbiorowości nie dają wyobrażenia o stopniu zróżnicowania tej

zbiorowości wg poziomu badanej cechy – 2 zbiorowości mogą posiadać tę

samą średnią a ich rozkład może być zupełnie różny.

0

10

20

30

40

50

200

600

1000

1400

1800

dochód w zł

Najprostszą miarą stopnia zróżnicowania jest rozstęp czyli obszar

zmienności badanej cechy. Liczymy go jako różnicę między maksymalną a

minimalną wartością zmiennej: R

x

= x

max

- x

min

. Rozstęp liczymy, gdy w

szeregu nie występują wartości odstające.

Zwykle jednak liczy się dokładniejsze miary rozrzutu:

™

odchylenie przeciętne

szereg szczegółowy

szereg rozdzielczy o klasach

jednostkowych

szereg rozdzielczy o przedziałach

klasowych

n

x

x

d

i

i

x

∑

−

=

∑

∑

−

=

i

i

i

i

i

x

n

n

x

x

d

∑

∑ −

=

i

i

i

i

o

i

x

n

n

x

x

d

Odchylenie przeciętne musi spełniać warunek:



x

x

i

−



min

< d

x

<



x

x

i

−



max

.

Miary rozrzutu (dyspersji)

2

Kolejną miarą jest odchylenie standardowe liczone jako pierwiastek z

wariancji. Wariancję liczymy jako:

szereg szczegółowy

szereg rozdzielczy o klasach jednostkowych

2

2

2

2

)

(

x

N

x

N

x

x

s

i

i

i

i

x

−

∑

=

∑

−

=

2

2

2

2

)

(

x

n

n

x

n

n

x

x

s

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

x

−

∑

∑

=

∑

∑

−

=

szereg rozdzielczy o przedziałach klasowych

2

2

2

2

)

(

x

n

n

x

n

n

x

x

s

i

i

i

i

o

i

i

i

i

i

o

i

x

−

∑

∑

=

∑

∑

−

=

Im większe zróżnicowanie cechy w zbiorowości tym większe są odchylenia

wartości cechy od średniej arytmetycznej i większa wariancja. Najmniejszą

wartością jaką może przyjąć wariancja jest 0, co występuje wówczas, gdy

wszystkie wartości cechy są jednakowe (brak zróżnicowania).

Ze względu na to, że mianem wariancji są kwadraty jednostek, w których

jest mierzona badana cecha, jako miary zróżnicowania używa się dodatniego

pierwiastka kwadratowego z wariancji czyli odchylenia standardowego:

2

x

x

s

s

=

.

Odchylenie standardowe i przeciętne są wielkościami mianowanymi.

Posiadają takie samo miano jak badana zmienna, a ich wartości mieszczą się

między najmniejszym i największym odchyleniem w szeregu.

Obie miary są miarami klasycznymi, bo są obliczane ze wszystkich

wyrazów szeregu. Ponad to są to miary bezwzględne i dlatego nie zawsze

nadają się do porównań zróżnicowania 2 zbiorowości. Dla tego samego

szeregu zwykle d

x

< s

x

.

Miary rozrzutu (dyspersji)

3

Wśród miar pozycyjnych wyróżniamy:

rozstęp ćwiartkowy: R

Q

= Q

3

– Q

1

oraz

odchylenie ćwiartkowe Q

x

= (Q

3

– Q

1

)/2.

Miary pozycyjne liczymy, gdy nie można policzyć miar klasycznych.

Do porównań stopnia zróżnicowania 2 szeregów bardziej nadają się miary

względne zwane współczynnikami zmienności.

Współczynnik zmienności to stosunek wielkości bezwzględnej miary

rozrzutu do wielkości średniej:

Współczynnik zmienności liczony w oparciu o:

odchylenie przeciętne odchylenie

standardowe

odchylenie

ćwiartkowe

x

d

V

x

x

d

=

x

s

V

x

x

s

=

Me

Q

V

x

x

Q

=

Współczynniki zmienności są miarami względnymi, niemianowanymi.

Można je wyrazić w % (interpretacja – ile % średniego poziomu zmiennej

wynosi rozrzut wartości cechy w badanej zbiorowości). Miary rozrzutu

pozycyjne są lepsze, gdy szereg jest mocno zróżnicowany.