Przykład 3.5. Zginanie ukośne belki o przekroju prostokątnym

Na belkę działa siła pozioma P i pionowa 2P. Znając wartości tych sił, schemat statyczny
belki, wartości dopuszczalnego naprężenia na rozciąganie i ściskanie oraz kształt przekroju
poprzecznego zaprojektuj wymiar a przekroju belki.

y

z

Przekrój belki

3a

4a

z

y

6L

8L

P

2P

6L

Dane liczbowe:

P=1kN,
L=1m,
naprężenie dopuszczalne na rozciąganie

kr=1.0 MPa ,

naprężenie dopuszczalne na ściskanie

kc=1.0 MPa.

Rozwiązanie
Rozwiązanie składać się będzie z następujących kroków:

obliczenie charakterystyk przekroju poprzecznego belki,
wyznaczenie wykresu momentu gnącego,
wybranie przekrojów „niebezpiecznych” do analizy naprężeń,
znalezienie naprężeń normalnych,
zapisanie warunku wytrzymałości i wyznaczenie szukanej wielkości.

obliczenie charakterystyk przekroju poprzecznego belki

Dla przekroju prostokątnego obliczymy od razu momenty główne centralne.

4

4

3

3

9

12

3

4

12

a

a

bh

I

z

=

⋅

=

=

,

4

4

3

3

16

12

3

4

12

a

a

h

b

I

y

=

⋅

=

=

wyznaczenie wykresu momentu gnącego

β

β

α

α

M

z

=6PL

M

y

=4PL

M

y

=8PL

M

z

y

2P

W przekroju α- α .składowe momentu gnącego wynoszą:

M

y

= 4PL

M

z

= 6PL

W tym przekroju występuje zginanie ukośne. Całkowity moment gnący obliczony jako
pierwiastek z sumy kwadratów momentów składowych wynosi: M=7.22 PL
W przekroju β- β składowe momentu gnącego wynoszą:

M

y

= 8PL

M

z

= 0

W tym przekroju występuje zginanie proste.
Obliczymy teraz naprężenia normalne od zginania w obydwu przekrojach.


W przekroju α- α
wyznaczymy naprężenia normalne ze wzoru na zginanie ukośne:

y

I

M

z

I

M

z

z

y

y

−

=

σ

Oś obojętną wyznaczymy podstawiając w miejsce σ zero.

y

I

M

z

I

M

z

z

y

y

−

=

0

⇒

y

M

I

I

M

z

y

z

y

z

⋅

⋅

=

⇒

y

z

⋅

=

)

tg(

β

Podstawiając wartości liczbowe otrzymujemy

66

.

2

4

9

16

6

)

tg(

4

4

=

⋅

=

⋅

⋅

=

PL

a

a

PL

M

I

I

M

y

z

y

z

β

,

0

26

69

=

β

2

Obliczmy naprężenia w punktach A i B najdalej leżących od osi obojętnej.
Współrzędne punktów A i B wynoszą:

a

y

A

5

.

1

−

=

a

y

B

5

.

1

=

a

z

A

0

.

2

=

a

z

B

0

.

2

−

=

Po wstawieniu wartości momentów M

z

i M

y

otrzymujemy

y

I

M

z

I

M

z

z

y

y

A

−

=

σ

=

3

5

.

a

PL

1

,

y

I

M

z

I

M

z

z

y

y

B

−

=

σ

= -

3

5

.

a

PL

1

W przekroju β- β
wyznaczymy naprężenia normalne ze wzoru:

z

I

M

y

y

=

σ

Podstawiając do wzoru moment M

y

, moment bezwładności I

y

i współrzędne z punktów

najdalej leżących od osi y obliczymy ekstremalne wartości naprężenia w przekroju β- β.

z

I

M

y

y

A

=

σ

=

3

0

.

a

PL

1

,

z

I

M

y

y

B

=

σ

= -

3

0

.

a

PL

1

3

Maksymalne naprężenia wystąpiły w przekroju α- α.

Zapiszmy warunek wytrzymałości:

]

[

0

.

1

5

.

1

3

max

MPa

kr

a

PL

=

≤

=

σ

Powyższa nierówność określa wymiar a:

3

5

.

1

r

k

PL

a

≥

.

Po podstawieniu wartości liczbowych

P=1kN,
L=1m,
kr=1.0 MPa ,

otrzymamy:

]

[

1500

3

3

cm

a

≥

.

⇒

]

[

45

.

11

cm

a

≥

Warto zwrócić uwagę, że miejscem, w którym występujące naprężenia normalne

wywołane zadanym obciążeniem decydowały o wymiarach przekroju był przekrój

α-α

, w

którym moment co do wartości bezwzględnej nie osiąga maksimum.

4