Przykład 3.5. Zginanie ukośne belki o przekroju prostokątnym
Na belkę działa siła pozioma P i pionowa 2P. Znając wartości tych sił, schemat statyczny
belki, wartości dopuszczalnego naprężenia na rozciąganie i ściskanie oraz kształt przekroju
poprzecznego zaprojektuj wymiar a przekroju belki.
y
z
Przekrój belki
3a
4a
z
y
6L
8L
P
2P
6L
Dane liczbowe:
P=1kN,
L=1m,
naprężenie dopuszczalne na rozciąganie
kr=1.0 MPa ,
naprężenie dopuszczalne na ściskanie
kc=1.0 MPa.
Rozwiązanie
Rozwiązanie składać się będzie z następujących kroków:
obliczenie charakterystyk przekroju poprzecznego belki,
wyznaczenie wykresu momentu gnącego,
wybranie przekrojów „niebezpiecznych” do analizy naprężeń,
znalezienie naprężeń normalnych,
zapisanie warunku wytrzymałości i wyznaczenie szukanej wielkości.
obliczenie charakterystyk przekroju poprzecznego belki
Dla przekroju prostokątnego obliczymy od razu momenty główne centralne.
4
4
3
3
9
12
3
4
12
a
a
bh
I
z
=
⋅
=
=
,
4
4
3
3
16
12
3
4
12
a
a
h
b
I
y
=
⋅
=
=
wyznaczenie wykresu momentu gnącego
β
β
α
α
M
z
=6PL
M
y
=4PL
M
y
=8PL
M
z
y
2P
W przekroju α- α .składowe momentu gnącego wynoszą:
M
y
= 4PL
M
z
= 6PL
W tym przekroju występuje zginanie ukośne. Całkowity moment gnący obliczony jako
pierwiastek z sumy kwadratów momentów składowych wynosi: M=7.22 PL
W przekroju β- β składowe momentu gnącego wynoszą:
M
y
= 8PL
M
z
= 0
W tym przekroju występuje zginanie proste.
Obliczymy teraz naprężenia normalne od zginania w obydwu przekrojach.
W przekroju α- α
wyznaczymy naprężenia normalne ze wzoru na zginanie ukośne:
y
I
M
z
I
M
z
z
y
y
−
=
σ
Oś obojętną wyznaczymy podstawiając w miejsce σ zero.
y
I
M
z
I
M
z
z
y
y
−
=
0
⇒
y
M
I
I
M
z
y
z
y
z
⋅
⋅
=
⇒
y
z
⋅
=
)
tg(
β
Podstawiając wartości liczbowe otrzymujemy
66
.
2
4
9
16
6
)
tg(
4
4
=
⋅
=
⋅
⋅
=
PL
a
a
PL
M
I
I
M
y
z
y
z
β
,
0
26
69
=
β
2
Obliczmy naprężenia w punktach A i B najdalej leżących od osi obojętnej.
Współrzędne punktów A i B wynoszą:
a
y
A
5
.
1
−
=
a
y
B
5
.
1
=
a
z
A
0
.
2
=
a
z
B
0
.
2
−
=
Po wstawieniu wartości momentów M
z
i M
y
otrzymujemy
y
I
M
z
I
M
z
z
y
y
A
−
=
σ
=
3
5
.
a
PL
1
,
y
I
M
z
I
M
z
z
y
y
B
−
=
σ
= -
3
5
.
a
PL
1
W przekroju β- β
wyznaczymy naprężenia normalne ze wzoru:
z
I
M
y
y
=
σ
Podstawiając do wzoru moment M
y
, moment bezwładności I
y
i współrzędne z punktów
najdalej leżących od osi y obliczymy ekstremalne wartości naprężenia w przekroju β- β.
z
I
M
y
y
A
=
σ
=
3
0
.
a
PL
1
,
z
I
M
y
y
B
=
σ
= -
3
0
.
a
PL
1
3
Maksymalne naprężenia wystąpiły w przekroju α- α.
Zapiszmy warunek wytrzymałości:
]
[
0
.
1
5
.
1
3
max
MPa
kr
a
PL
=
≤
=
σ
Powyższa nierówność określa wymiar a:
3
5
.
1
r
k
PL
a
≥
.
Po podstawieniu wartości liczbowych
P=1kN,
L=1m,
kr=1.0 MPa ,
otrzymamy:
]
[
1500
3
3
cm
a
≥
.
⇒
]
[
45
.
11
cm
a
≥
Warto zwrócić uwagę, że miejscem, w którym występujące naprężenia normalne
wywołane zadanym obciążeniem decydowały o wymiarach przekroju był przekrój
α-α
, w
którym moment co do wartości bezwzględnej nie osiąga maksimum.
4