- 1 -
IV. ZGINANIE UKOŚNE
1. CELE ĆWICZENIA
1) Poglądowe przedstawienie zginania ukośnego,
2) Praktyczne określenie naprężeń i ugięć w zginaniu ukośnym,
3) doświadczalna weryfikacja wyprowadzonych teoretycznie zależności.
2. WPROWADZENIE DO ĆWICZENIA
Zginanie belek jest zagadnieniem często występującym w praktyce. O ile zginanie proste
na ogół nie nastręcza trudności obliczeniowych o tyle zginanie ukośne prowadzi do bardziej
skomplikowanych zależności. W przypadku występowania w przekroju zginanego pręta skła-
dowych momentu gnącego można zawsze wyznaczyć wypadkowe w kierunkach głównych osi
bezwładności przekroju, a w dalszym etapie rozpatrywanego zagadnienia jako superpozycję
dwóch zginań prostych. Niewielkim nakładem pracy na prostym stanowisku pracy można do-
świadczalnie zweryfikować zależności analitycznie.
3. PODSTAWY TEORETYCZNE
3.1 Naprężenia w zginaniu ukośnym
Zginaniem
ukośnym nazywamy zginanie, w którym kierunek wektora momentu gnącego
nie pokrywa się z kierunkiem jednej z głównych osi bezwładności przekroju poprzecznego.
Rozpatrzmy
belkę jednostronnie utwierdzoną i obciążoną siłą poprzeczną P na swobod-
nym końcu. Kierunek działania siły P jest nachylony pod kątem
α do osi y. Osie y i z są głów-
nymi centralnymi osiami bezwładności przekroju (rys. 3.1.).
- 2 -
W przekroju odległym o x od swobodnego końca występują jako siły wewnętrzne: siła
poprzeczna T oraz moment gnący Mg, nachylony do osi z pod kątem
α. Moment ten wywołu-
je zginanie ukośne. Rzutując wektor momentu gnącego na osie układu otrzymujemy składowe
M
gy
i
M
gz
(rys. 3.2.).
Każda ze składowych M
gy
i
M
gz
wywołuje zginanie proste względem osi y lub z. W
punkcie A(y,z) można określić wartość naprężenia dokonując superpozycji dwóch zginań pro-
stych:
σ =
−
M z
I
M y
I
,
gy
y
gz
z
(1)
Uwzględniając:
M
gy
=
M
g
sin
α = P⋅x⋅sinα
M
gz
= M
g
cos
α = P⋅x⋅cosα
(2)
otrzymujemy:
σ
α
α
=
⋅
−
⋅
§
©
¨¨
·
¹
¸¸
Px
z sin
J
y cos
J
y
z
(3)
Oś obojętna zginania jest to miejsce
geometryczne punktów, dla których
naprężenia są równe zero. Przyrów-
Rys.3.1
Rys.3.2
- 3 -
nując równanie (3) do zera otrzymujemy równanie linii obojętnej:
z sin
J
y cos
J
0
0
y
0
z
α
α
−
= ,
(4)
lub:
y
I
I
tg z .
0
z
y
0
=
α
(4a)
3.2. Przemieszczenie w zginaniu ukośnym
Podobnie jak przy wyznaczaniu naprężeń, wyznaczając ugięcia również można zastoso-
wać zasadę superpozycji. Dla każdego ze zginań prostych można wyznaczyć odpowiednie
ugięcia w kierunkach y i z.
Całkowite przemieszczenie określimy ze wzoru:
f
y
z
2
2
=
+ ,
(5)
Ugięcia składowe można określić wykorzystując równanie różniczkowe osi ugiętej:
EIy''
M
g
(x)
= −
.
(6)
Dla belki utwierdzonej jak na rys.1. warunki brzegowe są określone równościami:
y
0,
x l
=
=
y'
0.
x=l
=
(7)
a ugięcia:
(
)
y
P
EI
x
x
z
=
−
+
6
31
21
3
2
3
,
(
)
z
P
EI
x
x
y
=
−
+
6
31
21
3
2
3
.
(8)
Dla swobodnego końca (x=0) ugięcia wynoszą:
y
Pl
3EI
,
0
3
z
=
z
Pl
3EI
,
0
3
y
=
(9)
f
Pl
3I I E
I
I
0
3
y z
y
2
z
2
=
+ .
- 4 -
4. PRZEBIEG ĆWICZENIA
Ćwiczenie przeprowadzone zostaje na stanowisku, na którym w sztywnej obudowie
utwierdzono jednym końcem belkę o przekroju prostokątnym. Do swobodnego końca można
przyłożyć obciążenie w postaci siły poprzecznej. Siłę tę można przykładać w płaszczyźnie
przekroju poprzecznego (rys. 4.3.,rys. 4.4.) w zakresie kąta
α od 0 do 90° co 15°, wywołując
zginanie proste lub ukośne.
Wzdłuż głównych osi bezwładności przekroju poprzecznego można mierzyć przemieszczenia
"y" i "z" przekroju za pomocą czujników. Odczyty zapisujemy w tabeli:
1 - badany pręt
2 - czujniki zegarowe
3 - ciężarek obciążający
4 - otwory do zmiany kierunku obciążenia (kąta
α)
5 - linka przenosząca obciążenie
6 - obudowa
Rys. 4.3
- 5 -
Przed wykonaniem pomiarów należy sporządzić rysunek przekroju poprzecznego zgina-
nego pręta z zaznaczonymi osiami współrzędnych y, z oraz wymiarami. Należy zwrócić uwa-
gę na kierunek przyrostu kąta
α oraz znaki mierzonych przemieszczeń. Przyjęty układ
współrzędnych y, z należy porównać z układem jak na rys. 3.2 i w razie potrzeby skorygować
znaki we wzorach na naprężenia.
4.1. Tabele pomiarowe
Lp P
[N] α[°]
y [mm]
z [mm]
1
2
. . .
n
Rys.4.4
- 6 -
5. OPRACOWANIE WYNIKÓW
5.1. Wytyczne do wykonania sprawozdania
Sprawozdanie powinno zawierać:
a) największe przemieszczenie całkowite f przekroju swobodnego;
b) narysować wykresy przemieszczeń y, z, f w zależności od kąta
α;
c) określić największe naprężenia normalne w pręcie dla obciążenia działającego pod kątem
0
°, 45°, 90°;
d) narysować dla siły działającej pod kątem 30
° oś obojętną w przekroju poprzecznym;
e) dla siły działającej pod kątem 60
° narysować rozkład naprężeń normalnych na konturze
przekroju odległego o 200 mm od końca swobodnego.
6. PYTANIA KONTROLNE
1) co to jest zginanie ukośne?
2) jak wyznaczamy naprężenia w zginaniu ukośnym?
3) co to jest oś obojętna?
4) wyprowadzić wzór na oś obojętną w zginaniu ukośnym;
5) jak teoretycznie wyznaczamy ugięcie w zginaniu ukośnym?
6) opisać przebieg ćwiczenia.
7. LITERATURA
1. A. Jakubowicz, Z. Orłoś: Wytrzymałość materiałów, WNT, Warszawa 1978.
2. Zakrzewski, J. Zawadzki: Wytrzymałość materiałów, PWN, Warszawa, 1983.
- 7 -
Politechnika Śląska
w Gliwicach
Wydział Mechaniczny Technologiczny
Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych
Mechaniki
Laboratorium Wytrzymałości Materiałów
Protokół z ćwiczenia Nr 4
Temat: ZGINANIE UKOŚNE
Rok akademicki: . . . . . . . . . . ., Data wyk. ćwicz.: . . . . . . . . . ., Grupa: . . . . . . .
Prowadzący: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , podpis . . . . . . . . . . . . . . . .
Studenci:
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
- 8 -
1. Cel ćwiczenia i opis przebiegu ćwiczenia
:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Rysunek badanego pręta
- 9 -
3. Opracowanie wyników
3.1 Wyniki pomiarów
Lp P.
[N] α[°]
y [mm]
z [mm]
1
0°
2
15°
3
30°
4
45°
5
60°
6
75°
7
90°
3.2. Wyniki obliczeń
σ [Nm
2
] - 0
°
σ [Nm
2
] - 45
°
σ [Nm
2
] - 90
°
f [m]
4. Uwagi i wnioski:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Załączniki
1. Narysować wykresy przemieszczeń y, z, f w zależności od kąta
α;
2. Narysować dla siły działającej pod kątem 30
° oś obojętną w przekroju poprzecznym;
3. Dla siły działającej pod kątem 60
° narysować rozkład naprężeń normalnych na konturze
przekroju odległego o 200 mm od końca swobodnego.