- 1 -

IV. ZGINANIE UKOŚNE

1. CELE ĆWICZENIA

1) Poglądowe przedstawienie zginania ukośnego,

2) Praktyczne określenie naprężeń i ugięć w zginaniu ukośnym,

3) doświadczalna weryfikacja wyprowadzonych teoretycznie zależności.

2. WPROWADZENIE DO ĆWICZENIA

Zginanie belek jest zagadnieniem często występującym w praktyce. O ile zginanie proste

na ogół nie nastręcza trudności obliczeniowych o tyle zginanie ukośne prowadzi do bardziej

skomplikowanych zależności. W przypadku występowania w przekroju zginanego pręta skła-

dowych momentu gnącego można zawsze wyznaczyć wypadkowe w kierunkach głównych osi

bezwładności przekroju, a w dalszym etapie rozpatrywanego zagadnienia jako superpozycję

dwóch zginań prostych. Niewielkim nakładem pracy na prostym stanowisku pracy można do-

świadczalnie zweryfikować zależności analitycznie.

3. PODSTAWY TEORETYCZNE

3.1 Naprężenia w zginaniu ukośnym

Zginaniem

ukośnym nazywamy zginanie, w którym kierunek wektora momentu gnącego

nie pokrywa się z kierunkiem jednej z głównych osi bezwładności przekroju poprzecznego.

Rozpatrzmy

belkę jednostronnie utwierdzoną i obciążoną siłą poprzeczną P na swobod-

nym końcu. Kierunek działania siły P jest nachylony pod kątem

α do osi y. Osie y i z są głów-

nymi centralnymi osiami bezwładności przekroju (rys. 3.1.).

- 2 -

W przekroju odległym o x od swobodnego końca występują jako siły wewnętrzne: siła

poprzeczna T oraz moment gnący Mg, nachylony do osi z pod kątem

α. Moment ten wywołu-

je zginanie ukośne. Rzutując wektor momentu gnącego na osie układu otrzymujemy składowe

M

gy

i

M

gz

(rys. 3.2.).

Każda ze składowych M

gy

i

M

gz

wywołuje zginanie proste względem osi y lub z. W

punkcie A(y,z) można określić wartość naprężenia dokonując superpozycji dwóch zginań pro-

stych:

σ =

−

M z

I

M y

I

,

gy

y

gz

z

(1)

Uwzględniając:

M

gy

=

M

g

sin

α = P⋅x⋅sinα

M

gz

= M

g

cos

α = P⋅x⋅cosα

(2)

otrzymujemy:

σ

α

α

=

⋅

−

⋅

§
©

¨¨

·
¹

¸¸

Px

z sin

J

y cos

J

y

z

(3)

Oś obojętna zginania jest to miejsce

geometryczne punktów, dla których

naprężenia są równe zero. Przyrów-

Rys.3.1

Rys.3.2

- 3 -

nując równanie (3) do zera otrzymujemy równanie linii obojętnej:

z sin

J

y cos

J

0

0

y

0

z

α

α

−

= ,

(4)

lub:

y

I
I

tg z .

0

z

y

0

=

α

(4a)

3.2. Przemieszczenie w zginaniu ukośnym

Podobnie jak przy wyznaczaniu naprężeń, wyznaczając ugięcia również można zastoso-

wać zasadę superpozycji. Dla każdego ze zginań prostych można wyznaczyć odpowiednie

ugięcia w kierunkach y i z.

Całkowite przemieszczenie określimy ze wzoru:

f

y

z

2

2

=

+ ,

(5)

Ugięcia składowe można określić wykorzystując równanie różniczkowe osi ugiętej:

EIy''

M

g

(x)

= −

.

(6)

Dla belki utwierdzonej jak na rys.1. warunki brzegowe są określone równościami:

y

0,

x l

=

=

y'

0.

x=l

=

(7)

a ugięcia:

(

)

y

P

EI

x

x

z

=

−

+

6

31

21

3

2

3

,

(

)

z

P

EI

x

x

y

=

−

+

6

31

21

3

2

3

.

(8)

Dla swobodnego końca (x=0) ugięcia wynoszą:

y

Pl

3EI

,

0

3

z

=

z

Pl

3EI

,

0

3

y

=

(9)

f

Pl

3I I E

I

I

0

3

y z

y

2

z

2

=

+ .

- 4 -

4. PRZEBIEG ĆWICZENIA

Ćwiczenie przeprowadzone zostaje na stanowisku, na którym w sztywnej obudowie

utwierdzono jednym końcem belkę o przekroju prostokątnym. Do swobodnego końca można

przyłożyć obciążenie w postaci siły poprzecznej. Siłę tę można przykładać w płaszczyźnie

przekroju poprzecznego (rys. 4.3.,rys. 4.4.) w zakresie kąta

α od 0 do 90° co 15°, wywołując

zginanie proste lub ukośne.

Wzdłuż głównych osi bezwładności przekroju poprzecznego można mierzyć przemieszczenia

"y" i "z" przekroju za pomocą czujników. Odczyty zapisujemy w tabeli:

1 - badany pręt

2 - czujniki zegarowe

3 - ciężarek obciążający

4 - otwory do zmiany kierunku obciążenia (kąta

α)

5 - linka przenosząca obciążenie

6 - obudowa

Rys. 4.3

- 5 -

Przed wykonaniem pomiarów należy sporządzić rysunek przekroju poprzecznego zgina-

nego pręta z zaznaczonymi osiami współrzędnych y, z oraz wymiarami. Należy zwrócić uwa-

gę na kierunek przyrostu kąta

α oraz znaki mierzonych przemieszczeń. Przyjęty układ

współrzędnych y, z należy porównać z układem jak na rys. 3.2 i w razie potrzeby skorygować

znaki we wzorach na naprężenia.

4.1. Tabele pomiarowe

Lp P

[N] α[°]

y [mm]

z [mm]

1

2

. . .

n

Rys.4.4

- 6 -

5. OPRACOWANIE WYNIKÓW

5.1. Wytyczne do wykonania sprawozdania

Sprawozdanie powinno zawierać:

a) największe przemieszczenie całkowite f przekroju swobodnego;

b) narysować wykresy przemieszczeń y, z, f w zależności od kąta

α;

c) określić największe naprężenia normalne w pręcie dla obciążenia działającego pod kątem

0

°, 45°, 90°;

d) narysować dla siły działającej pod kątem 30

° oś obojętną w przekroju poprzecznym;

e) dla siły działającej pod kątem 60

° narysować rozkład naprężeń normalnych na konturze

przekroju odległego o 200 mm od końca swobodnego.

6. PYTANIA KONTROLNE

1) co to jest zginanie ukośne?

2) jak wyznaczamy naprężenia w zginaniu ukośnym?

3) co to jest oś obojętna?

4) wyprowadzić wzór na oś obojętną w zginaniu ukośnym;

5) jak teoretycznie wyznaczamy ugięcie w zginaniu ukośnym?

6) opisać przebieg ćwiczenia.

7. LITERATURA

1. A. Jakubowicz, Z. Orłoś: Wytrzymałość materiałów, WNT, Warszawa 1978.

2. Zakrzewski, J. Zawadzki: Wytrzymałość materiałów, PWN, Warszawa, 1983.

- 7 -

Politechnika Śląska

w Gliwicach

Wydział Mechaniczny Technologiczny

Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych

Mechaniki

Laboratorium Wytrzymałości Materiałów

Protokół z ćwiczenia Nr 4

Temat: ZGINANIE UKOŚNE

Rok akademicki: . . . . . . . . . . ., Data wyk. ćwicz.: . . . . . . . . . ., Grupa: . . . . . . .

Prowadzący: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , podpis . . . . . . . . . . . . . . . .

Studenci:

1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

- 8 -

1. Cel ćwiczenia i opis przebiegu ćwiczenia

:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Rysunek badanego pręta

- 9 -

3. Opracowanie wyników

3.1 Wyniki pomiarów

Lp P.

[N] α[°]

y [mm]

z [mm]

1

0°

2

15°

3

30°

4

45°

5

60°

6

75°

7

90°

3.2. Wyniki obliczeń

σ [Nm

2

] - 0

°

σ [Nm

2

] - 45

°

σ [Nm

2

] - 90

°

f [m]

4. Uwagi i wnioski:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Załączniki

1. Narysować wykresy przemieszczeń y, z, f w zależności od kąta

α;

2. Narysować dla siły działającej pod kątem 30

° oś obojętną w przekroju poprzecznym;

3. Dla siły działającej pod kątem 60

° narysować rozkład naprężeń normalnych na konturze

przekroju odległego o 200 mm od końca swobodnego.