5

6/2003

www.elektro.info.pl

pasywne

filtry

wy¿szych harmonicznych

¿anego punktu przy³¹czenia filtru, pierwotne widmo odkszta³cenia
napiêcia w rozwa¿anym punkcie, dopuszczony warunkami zasilania
wspó³czynnik odkszta³cenie napiêcia THD oraz wspó³czynniki
udzia³u poszczególnych harmonicznych itp.;

n

dane dotycz¹ce filtru, tj. miejsce jego instalacji, wybrana struktura,
parametry techniczne planowanych do wykorzystania elementów bier-
nych itp.

Wszelkie rozwa¿ania przeprowadzane s¹ przy uwzglêdnieniu nastê-

puj¹cych za³o¿eñ upraszczaj¹cych:

n

Ÿród³o wh jest idealnym Ÿród³em pr¹dowym,

n

rezystancja R

F

, indukcyjnoϾ L

F

i pojemnoϾ C

F

filtru s¹ skupione

i maj¹ sta³¹ wartoœæ w rozwa¿anym przedziale czêstotliwoœci,

n

filtr obci¹¿ony jest tylko podstawow¹ harmoniczn¹ oraz harmonicz-
na, do której jest dostrojony.

Schemat zastêpczy uk³adu filtr-sieæ-odbiornik przedstawia rysunek

1. Sieæ zasilaj¹ca reprezentowana jest przez idealne Ÿród³o napiêcia
przemiennego oraz rezystancjê i indukcyjnoœæ zastêpcz¹ sieci.

(1)

R

s

=0.1X

s

(2)

gdzie: S

ZW

– moc zwarcia sieci,

U – napiêcie sieci.

Odbiornik reprezentowany jest przez Ÿród³o pr¹dów wy¿szych har-

monicznych oraz impedancjê odbiornika Z

o

.

Celem u¿ycia filtru jest:

n

kompensacja mocy biernej generowanej przez odbiornik,

n

eliminacja wy¿szych harmonicznych z sieci zasilaj¹cej, których Ÿród-
³em jest odbiornik

Filtr energetyczny mo¿e mieæ ró¿ne konfiguracje, mo¿e byæ te¿ z³o-

¿eniem kilku filtrów, aby eliminowaæ kilka harmonicznych. Funkcja im-

P

asywne filtry wy¿szych harmonicznych (wh) s¹ nadal bardzo
powszechnie stosowane do poprawy jakoœci zasilania (reduk-
cja odkszta³ceñ oraz kompensacja mocy biernej). Istnieje wie-

le uk³adów filtrów pasywnych LC o ró¿nych strukturach i ró¿nych
charakterystykach eksploatacyjnych. Podstawowym jest jednak prosty
filtr jednoga³êziowy, który dominuje w zastosowaniach przemys³o-
wych, a z ca³¹ pewnoœci¹ stanowi podstawê dla zrozumienia dzia-
³ania bardziej rozbudowanych struktur filtracyjnych.

projektowanie filtra jednoga³êziowego

Podstawowymi danymi, niezbêdnymi dla projektowania filtru s¹:

n

dane dotycz¹ce Ÿród³a wh – widmo amplitudowo-czêstotliwoœcio-
we nieliniowego odbiornika, uzyskane na drodze pomiarowej lub
z opisu technicznego filtrowanego urz¹dzenia, wartoœæ wymaganej
ze wzglêdów kompensacyjnych mocy biernej harmonicznej podsta-
wowej itp.;

n

dane dotycz¹ce sieci zasilaj¹cej – charakterystyka czêstotliwoœciowa
impedancji uk³adu elektroenergetycznego w punkcie przy³¹czenia
filtru (PWP) – w przypadku jej braku ewentualnie moc zwarcia wraz
ze schematem i danymi technicznymi najbli¿szego otoczenia rozwa-

prof. dr hab.

Zbigniew Hanzelka,

dr in¿. Ryszard Klempka

Akademia Górniczo-Hutnicza

Rys. 1 Schemat zastêpczy uk³adu filtr-sieæ-odbiornik

6

www.elektro.info.pl

6/2003

pedancji filtru Z

F

(

ω) jest zale¿na od czêstotliwoœci. Dla czêstotliwoœci

eliminowanych funkcja impedancji Z

F

jest minimalna, co znaczy, ¿e pr¹-

dy o takich w³aœnie czêstotliwoœciach bêd¹ p³ynê³y przez filtr, a nie
do sieci.

Z

F

=R

F

+jX

F

(3)

Je¿eli za³o¿ymy, ¿e R

F

= 0 (tak bêdzie w dalszych rozwa¿aniach),

wtedy impedancja dla czêstotliwoœci eliminowanych wynosi 0:

|Z

F

(

ω

r

) |=0 (4)

Pojemnoœæ kondensatora filtru jest zale¿na od mocy, jak¹ nale¿y

skompensowaæ:

(5)

Je¿eli projektujemy filtr tylko jednej harmonicznej, wtedy wiadomo,

¿e ca³a moc musi byæ w nim zainstalowana. Jednak je¿eli tych filtrów
ma byæ wiêcej, nale¿y moc ca³kowit¹ filtrów roz³o¿yæ miêdzy poszcze-
gólne filtry. Mo¿na to zrobiæ na podstawie znanego widma pr¹du sieci,
rozk³adaj¹c moc filtra na poszczególne filtry proporcjonalnie do wartoœci
poszczególnych harmonicznych. Drug¹ metod¹ jest rozk³ad mocy filtra
proporcjonalnie do numeru eliminowanej harmonicznej.

Q

F

Σ

=

Σ

k

Q

Fk

(6)

nQ

Fn

=mQ

Fm

(7)

przyk³ad 1

Zaprojektowaæ filtr prosty jednoga³êziowy o mocy 1 MVAr, pracu-

j¹cy na napêciu 6 kV przy za³o¿eniu R

F

= 0. Filtr ma za zadanie eli-

minacjê 5. harmonicznej.

U = 6 kV
Q

F

= 1 MVAr

n

r

= 5

ω

r

=n

r

ω

1

=500

π

Analizê uk³adu zaczêto od wyznaczenia zale¿noœci Z

F

(

ω

r

):

dla czêstotliwoœci dostrojenia filtru zgodnie z zale¿noœci¹ (4) otrzy-

mamy:

st¹d mo¿na wyznaczyæ wartoœæ L

F

:

wstawiaj¹c do wzoru na impedancjê:

uwzglêdniaj¹c moc filtru (zale¿noœæ 5):

Lf=4,77 mH

przyk³ad 2

Zaprojektowaæ filtry proste jednoga³êziowe o sumarycznej mocy

1 MVAr, pracuj¹ce na napêciu 6 kV, przy za³o¿eniu R

Fn

= 0. Filtry ma-

j¹ za zadanie eliminacjê harmonicznych o numerach 5, 7, 11 i 13.

U = 6 kV
Q

F

= 1 MVAr

nr

5

7

11

13

ω

(n)

500

π

700

π

1100

π

1300

π

Rys. 2 Schemat filtru prostego wraz z jego wykresami impedancyjnymi dla R

F

≠

0

Rys. 3 Wykresy charakterystyk zaprojektowanego filtru

7

6/2003

www.elektro.info.pl

Rys. 4 Wykres mocy ca³kowitej filtra oraz mocy poszczególnych filtrów

Rys. 5 Wykresy impedancji poszczególnych filtrów oraz charakterystyka wypadko-

wa wszystkich filtrów

Rys. 6 Schemat filtru podwójnie nastrojonego

8

www.elektro.info.pl

6/2003

(11)

Impedancja czêœci szeregowej filtru opisuje zale¿noœæ:

(12)

gdzie pulsacja rezonansowa

ω

S

wyra¿ona jest wzorem (13), a po prze-

kszta³ceniu otrzymuje siê zale¿noœæ na indukcyjnoœæ czêœci szerego-
wej:

(13)

Podstawiaj¹c (13) do (12):

(14)

Z zale¿noœci (8), (11) i (14) impedancja zastêpcza filtru:

(15)

Charakterystyki impedancji Z

S

i Z

R

w funkcji czêstotliwoœci przed-

stawiono na rysunku 7a i 7b. Na rysunku 7c przedstawiono charakte-
rystykê wypadkow¹ dla szeregowego po³¹czenia Z

S

i Z

R

. Zaznaczono

na niej dwie nowe czêstotliwoœci rezonansowe -

ω

1

i

ω

2

- bêd¹ce czê-

stotliwoœciami dostrojenia filtru podwójnie nastrojonego. Dla tych czê-
stotliwoœci impedancja ca³kowita filtru jest równa zero (4).

Dla

ω<ω

S

impedancja Z

s

(

ω) ma charakter pojemnoœciowy, a dla

ω>ω

S

ma charakter indukcyjny (rys. 7a). Dla

ω<ω

R

impedancja Z

R

(

ω)

ma charakter indukcyjny, a dla

ω>ω

R

ma charakter pojemnoœciowy

(rys. 7b).

Sk³adowe pr¹du o pulsacjach

ω

1

i

ω

2

s¹ zwierane przez filtr, czyli

eliminowane z systemu zasilaj¹cego.

Z równania (15) widaæ, ¿e impedancja filtru jest równa zero, gdy li-

cznik impedancji jest równy zero. St¹d równanie do rozwi¹zania:

(16)

gdzie pierwiastkami s¹:

(17)

Zgodnie ze wzorami Vietta relacja pomiêdzy pierwiastkami i wspó³-

czynnikami równania (16) przyjmuje postaæ:

1.

(18)

Roz³ad mocy na poszczególne filtry (6) i (7):
Q

F

=Q

F5

+Q

F7

+Q

F11

+Q

F13

5Q

F5

=7Q

F7

7Q

F7

=11Q

F11

11Q

F11

=13Q

F13

Z powy¿szych zale¿noœci wyznaczyæ mo¿na poszczególne moce fil-

trów:

Q

F5

=392 kVAr

Q

F7

=280 kVAr

Q

F11

=178 kVAr

Q

F13

=150 kVAr

Korzystaj¹c ze wzoru (4), mo¿na wyznaczyæ parametry L i C po-

szczególnych filtrów.

Nale¿y zwróciæ uwagê, ¿e maksima charakterystyki wypadkowej nie pokry-
waj¹ siê z czêstotliwoœciami 300 Hz i 600 Hz, co mo¿e byæ powodem
nieprawid³owej pracy systemu. Po¿¹dane jest, aby maksima charakterystyki
wypadkowej pokrywa³y siê z czêstotliwoœciami 300 Hz i 600 Hz. Dla tych
czêstotliwoœci impedancja ca³kowita filtru jest ma³a, co mo¿e byæ powo-
dem wyst¹pienia rezonansów z sieci¹.

Drug¹ wa¿n¹ rzecz¹ jest kolejnoœæ za³¹czania i od³¹czania fil-

trów. Podczas za³¹czania nale¿y za³¹czaæ filtry od najni¿szej har-
monicznej do najwy¿szej, nie pomijaj¹c ¿adnej z wystêpuj¹cych har-
monicznych, poniewa¿ mo¿e to byæ powodem powstania rezonan-
sów.

projektowanie filtru podwójnie

nastrojonego

W systemach du¿ych mocy staje siê op³acalnym stosowanie filtru

podwójnie nastrojonego (rys. 6).

Analiza uk³adu, jak na rysunku 6, nie jest prosta i dlatego dla up-

roszczenia, w pierwszej fazie projektowania zak³ada siê, ¿e:
R

1

=R

2

=R

3

=0. Impedancjê zastêpcz¹ filtru mo¿na opisaæ zwi¹zkiem:

Z

F

(

ω)=Z

S

(

ω)+Z

R

(

ω) (8)

gdzie: Z

s

(

ω) – impedancja czêœci szeregowej filtru,

Z

R

(

ω) – impedancja czêœci równoleg³ej filtru.

Impedancja czêœci równoleg³ej ZR okreœla zale¿noœæ:

(9)

gdzie pulsacjê rezonansow¹

ω

R

wyra¿a wzór (10). Po przekszta³ceniu

otrzymuje siê zale¿noœæ na indukcyjnoœæ d³awika czêœci równoleg³ej:

(10)

Wstawiaj¹c (10) do (9):

n

r

5

7

11

13

C

F

[

µF]

33,27

24,25

15,61

13,18

L

F

[mH]

12,18

8,53

5,36

4,55

9

6/2003

www.elektro.info.pl

2.

(19)

Przekszta³caj¹c (19) otrzymano zale¿noœæ ³¹cz¹c¹ wartoœci po-

jemnoœci C

1

i C

2

:

(20)

Drug¹ cech¹ filtru, któr¹ nale¿y uwzglêdniæ podczas projektowania,

jest dobór mocy biernej filtru dla harmonicznej podstawowej wynikaj¹-
cej z potrzeb kompensacji (5). Korzystaj¹c z równañ (15), (20), (5)
otrzymano zale¿noœæ na C

1

w funkcji napiêcia i mocy biernej filtru:

(21)

Na podstawie znanych wartoœci

ω

1

,

ω

2

,

ω

R

, U i Q

F

(impedancje fil-

tru dla pulsacji

ω

1

,

ω

2

bêd¹ minimalizowane, a dla

ω

R

bêdzie maksy-

malizowana w celu wyeliminowania mo¿liwoœci rezonansu z sieci¹)
oraz zale¿noœci podanych powy¿ej, mo¿na wyznaczyæ parametry filtru
podwójnie nastrojonego z rysunku 6, przy za³o¿eniu, ¿e
R

1

=R

2

=R

3

=0.

przyk³ad 3

Zaprojektowaæ filtry podwójnie nastrojone eliminuj¹ce harmoniczne:

f

1

= 250 Hz, f

2

= 350 Hz, f

3

= 550 Hz, f

4

= 650 Hz, o sumarycznej

mocy Q

F

= 1 MVAr pracuj¹ce na napiêciu: U = 6 kV. Ze wzorów (6) i

(7), wynika, ¿e filtry powinny charakteryzowaæ siê moc¹ Q

F5,7

= 672

kVAr oraz Q

F11,13

= 328 kVAr. Na podstawie wzorów (21), (20), (10)

i (13) obliczono parametry obu filtrów.

Jak widaæ na rysunku 8, oba filtry zosta³y zaprojektowane prawid³o-

wo, ich charakterystyki posiadaj¹ minima dla czêstotliwoœci eliminowa-
nych, a dla czêstotliwoœci poœrednich posiadaj¹ maksima. Filtr wypad-
kowy eliminuje odpowiednie harmoniczne, jednak maksima zosta³y prze-
suniête i nie odpowiadaj¹ 6. i 12. harmonicznej.

Filtr 5 i 7 harmonicznej

Filtr 11 i 13 harmonicznej

C1

L1

C2

L2

C1

L1

C2

L2

[mF]

[mH]

[mF]

[mH]

[mF]

[mH]

[mF]

[mH]

57,47

5,18

492,3

0,57

28,79

2,48

1024

0,069

Rys. 7 Czêstotliwoœciowe charakterystyki impedancyjne: (a) obwodu szeregowe-

go; (b) obwodu równoleg³ego; (c) filtru podwójnie nastrojonego

10

www.elektro.info.pl

6/2003

wnioski

Jak do tej pory, projektowaliœmy pojedyncze filtry, dokonuj¹c anali-

zy uk³adów przy za³o¿eniu, ¿e rezystancje wewn¹trz filtrów s¹ zero-
we. Tak jednak nie jest. Rezystancje (g³ównie od d³awików) wp³ywa-
j¹ na wartoœæ impedancji dla charakterystycznych dla filtra czêstotli-
woœci, jak równie¿ w pewnych przypadkach, mo¿e przesuwaæ minima
lub maksima lokalne impedancji (rozstrojenie).

Dodatkowo w systemie energetycznym zainstalowane s¹ dodatkowe urz¹-

dzenia oraz sama sieæ wp³ywa na pracê filtru. Dodatkowe indukcyjnoœci i po-
jemnoœci w systemie maj¹ znacz¹cy wp³yw na prawid³ow¹ pracê uk³adu
filtruj¹cego i st¹d wniosek, ¿e te wszystkie parametry nale¿y uwzglêdniæ przy
projektowaniu filtrów. Jednak analiza systemu z tak¹ iloœci¹ parametrów jest

trudna, dlatego do projektowania takich urz¹dzeñ mo¿na i warto zastosowaæ
inteligentne systemy optymalizacyjne, takie jak Algorytmy Genetyczne, Fuzzy
Logic, sieci neuronowe itp.

q

literatura

1. Chi-Jui Wu, Jung-Chen Chiang etc., Investigation and mitigation of harmonic amplifica-

tion caused by single-tuned filters, IEEE Trans. on Power Delivery, 13, 3, 1998.

2. Hanzelka Z., Klempka R., Filtry wy¿szych harmonicznych – wybrane zagadnie-

nia. Napêd i Sterowanie, 3, 9, 2000.

3. Klempka R., Hanzelka Z., Application of Genetic Algorithm in Double Tuned Filters

Design, EPE 2001, Graz.

4. Klempka R., Hanzelka Z., Filtr pasywny podwójnie nastrojony, zaprojektowany Al-

gorytmem Genetycznym. SENE’01, £ódŸ, 2001.

5. Klempka R., Hanzelka Z., Filtering Properties of the Selected Double Tuned Passive Filter

Structures Designed Using Genetic Algorithm, EPE PEMC 2002, Dubrovnik.

6. Harder J. E., AC filter arrester application. IEEE Trans. on Power Delivery, 11, 3, 1996.
7. Xiao Yao, Algorithm for the parameters of double tuned filter, 8th Int. Conf. on Har-

monics and Quality of Power, Oct. 14-16, 1998, Athens.

Rys. 8 Charakterystyki impedancyjne poszczególnych filtrów oraz filtru ca³kowitego