Ć w i c z e n i e 28

WYZNACZANIE DŁUGOŚCI FALI ŚWIETLNEJ ZA PO-

MOCĄ SIATKI DYFRAKCYJNEJ

28.1. Opis teoretyczny

Zjawisko rozchodzenia się fal o rozmaitych kształtach powierzchni falowych (np. fal płaskich czy
kulistych), jak również zjawiska: ugięcia (dyfrakcji), odbicia i załamania można opisywać za po-
mocą zasady Huyghensa (czyt. Hojhensa), według której każdy punkt ośrodka, do którego dociera
czoło fali, staje się samodzielnym źródłem wysyłającym elementarne fale kuliste. W następnej fazie
ruchu fali, fale elementarne nakładają się. Obwiednia elementarnych fal kulistych stanowi nowe
czoło fali. Podobnie jest w przypadku fali płaskiej. Jeżeli rozchodząca się fala natrafia na jakąkol-
wiek przeszkodę, to powierzchnia falowa ulega zniekształceniu. Zjawisko to nazywamy d y f r a k
c j ą albo u g i ę c i e m f a l i .
Podobne zjawisko nastąpi, gdy zamiast dużej przegrody z otworkiem ustawić na drodze fali małą
przeszkodę. Wtedy fala ugina się na brzegach przeszkody. Zjawisko dyfrakcji łatwo jest zaobser-
wować w przypadku fal rozchodzących się na powierzchni wody. Zjawisko dyfrakcji w przypadku
fal dźwiękowych występuje wówczas, gdy źródło dźwięku jest odgrodzone od obserwatora jakąś
przeszkodą, np. stojąc za narożnikiem budynku słyszymy odgłos nadchodzącej osoby dzięki temu,
że fale głosowe ulegają ugięciu.
Fale świetlne, jak wiemy, polegają na rozchodzeniu się zmiennych pól: elektrycznego i sprzężonego
z nim nierozdzielnie pola magnetycznego. Ich natężenia opisują: wektor elektryczny i prostopadłym
do niego wektor magnetyczny. Wrażenie świetlne, jak stwierdzono, wywołuje wektor elektryczny,
dlatego też nazywany jest w e k t o r e m ś w i e t l n y m. W zjawisku interferencji światła, pole-
gającym na nakładaniu się fal świetlnych, wektory świetlne fal składowych dodają się. Przekonuje
nas o tym doświadczenie wykonane przez Younga przedstawione schematycznie na rys.28.1.

Intensywność

E

3

E

3

Z

1

Z

2

E

2

E

1

Z

0

Światło słoneczne

Rys. 28.1 Schemat doświadczenia Younga.

Young ustawił ekran E

1

zaopatrzony w mały otworek Z

o

prostopadle do promieni światła Słonecz-

nego. Zgodnie z zasadą Huygensa otworek ten działa jako źródło rozchodzących się elementarnych
fal kulistych, które padając na otworki Z

1

i Z

2

umieszczone w ekranie E

2

ponownie generują dwie

fale kuliste. Na ekranie E

3

Young otrzymał szereg rozłożonych na przemian jasnych i ciemnych

prążków.
Aby w przedstawionym zjawisku mogła wystąpić interferencja światła, przedtem musiało zaistnieć
zjawisko dyfrakcji. Takie następstwo jest charakterystyczne dla wielu doświadczeń interferencyj-
nych, także dla wykonywanego w ćwiczeniu doświadczenia z siatką dyfrakcyjną.
Rozważmy obecnie, jakie muszą być spełnione warunki, aby w danym punkcie ekranu wystąpiło
maksimum, względnie minimum natężenia światła. Wiemy, że przy superpozycji dwóch drgań
równoległych o jednakowych częstotliwościach amplitudy drgań dodają się, gdy fazy są zgodne, a
odejmują się, gdy fazy są przeciwne. Zatem, gdy fazy fal docierających do rozważanego punktu
(rys. 28.2) będą zgodne, to w punkcie tym wystąpi maksimum. Fazy fal będą zaś zgodne, jeżeli w
różnicy dróg optycznych

∆L = d sin α zawierać się będzie wielokrotność długości fali, czyli gdy

...

2,

1,

0,

k

,

λ

k

α

sin

d

∆L

±

±

=

=

=

(28.1)

Jeżeli w omawiany punkcie fazy fal będą przeciwne, to wystąpi minimum, co nastąpi wówczas,
jeżeli odcinek

∆L = d sin α będzie zawierał nieparzystą wielokrotność połówek długości fali, czyli

...

2,

1,

0,

k

,

λ

2

1

α

sin

d

∆L

±

±

=











 +

=

=

k

(28.2)

Na podstawie przeprowadzonych wyżej rozważań możemy stwierdzić, że fale o jednakowych dłu-
gościach wzmacniają się najsilniej, jeżeli różnica ich dróg optycznych

∆L jest równa wielokrotności

długości fali, a maksymalnie się osłabiają, jeżeli różnica ich dróg optycznych jest nieparzystą wie-
lokrotnością połówek długości fali.

α

a

d

φ

a

∆L

Rys. 28.2. Ilustracja warunku interferencyjnego wzmocnienia.

Liczbę k nazywamy rzędem obrazu interferencyjnego i stanowi ona numer porządkowy kolejnych
obrazów. Jeżeli bowiem będziemy wstawiać do równania (28.1) wartości k=0, 1, 2, ...to fizycznie
będzie to odpowiadać różnicom dróg równym odpowiednio 0,

λ, 2λ,..., a więc obrazom interferen-

cyjnym powstałym pod coraz większymi kątami ,...

α

,

α

,

α

0,

3

2

1

:

Prążek zerowy (nieugięty)

λ

0

0

sin

d

=

Prążek pierwszego rzędu

λ

α

sin

d

1

=

Prążek pierwszego rzędu

λ

2

α

sin

d

2

=

Prążek pierwszego rzędu

λ

3

α

sin

d

3

=

............................................................itd.

S i a t k ą d y f r a k c y j n ą

nazywamy zbiór dużej liczby jednakowych, równoległych szcze-

lin, między którymi występują równe odstępy. Rys. 28.2 pokazuje fragment siatki składający się z
dwóch szczelin o szerokości a. Odległość d między ich środkami nazywamy s t a ł ą siatki dyfrak-
cyjnej. Należy zauważyć, że zależności (28.1) oraz (28.2) jakkolwiek wyprowadzone dla układu
dwóch szczelin słuszne są również dla siatki dyfrakcyjnej.
Siatki dyfrakcyjne dzielą się na transmisyjne i odbiciowe. Siatki transmisyjne można uzyskać po-
przez nacinanie wzajemnie równoległych i leżących w równych odstępach rys na szkle. Przerwy
między nimi pełnią rolę szczelin. Powyższą metodą można otrzymać od kilku do kilkuset linii na
jednym milimetrze. Inną metodą jest metoda holograficzna polegająca na bezsoczewkowym foto-
grafowaniu interferencyjnego obrazu dwóch spójnych monochromatycznych fal płaskich, padają-
cych pod pewnym katem względem siebie na kliszę fotograficzną o bardzo dużej zdolności roz-
dzielczej. Po wywołaniu jasne prążki interferencyjne (miejsce przeźroczyste na kliszy) spełniają
rolę szczelin. W taki sposób można otrzymać siatki dyfrakcyjne o bardzo dużej gęstości linii, nawet
do 4000 linii/mm.
W siatkach odbiciowych rysy nacinane są na wypolerowanej powierzchni metalu, a światło padają-
ce na miejsca między rysami jest odbijane, dając taki sam rezultat końcowy jak światło przechodzą-
ce przez siatkę transmisyjną.
Rzucając prostopadle na siatkę dyfrakcyjną monochromatyczną wiązkę promieni równoległych,
możemy obserwować w płaszczyźnie ogniskowej soczewki zbierającej obraz dyfrakcyjny, będący
zbiorem prążków interferencyjnych.
Jeśli równanie (28.1) przekształcimy do postaci

d

λ

k

α

sin

=

(28.3)

Widzimy, że kąt pod jakim ugięte jest k-te widmo (prążek) interferencyjne zależy od długości fali
oraz od stałej siatki d. Jeżeli użyte w doświadczeniu światło będzie niemonochromatyczne, np. bia-
łe, to wszystkie prążki interferencyjne prócz zerowego (nieugiętego) będą sobą przedstawiały wid-
mo użytego światła.

28.2. Opis układu pomiarowego

Dokładne pomiary stałej siatki dyfrakcyjnej i długości fali światła badanego wykonuje się zwykle
na spektrometrze z siatką dyfrakcyjną. W sposób mniej dokładny, ale bardzo prosty do zrealizowa-
nia, można te pomiary wykonać metodą uproszczoną.
Zazwyczaj obserwujemy na ekranie obrazy rzeczywiste widm dyfrakcyjnych skupionych za pomo-
cą soczewki. Sposób ten można uprościć umieszczając na miejscu soczewki oko obserwatora (rys.
28.3). Soczewka oczna utworzy na siatkówce obrazy promieni ugiętych i obserwator ujrzy na prze-
dłużeniu wiązek ugiętych pozorne obrazy źródła światła rozmieszczone w płaszczyźnie źródła.

Z

Oświetlacz

E

Ekran ze skalą

h

L

α

Siatka

dyfrakcyjna

Rys. 28.3. Schemat układu pomiarowego do ćwiczenia z siatką dyfrakcyjną.

Źródłem światła Z dającym widmo liniowe (lampa rtęciowa lub sodowa) oświetlamy wąską (~
1mm) prostokątną szczelinę w ekranie E. Wiązka promieni po przejściu przez szczelinę w ekranie
pada na siatkę dyfrakcyjną. Promienie przez nią ugięte wchodzą do umieszczonego za siatką oka
ludzkiego. Na przedłużeniu wiązek ugiętych wchodzących do oka, obserwator ujrzy na tle ekranu
pozorne widmo źródła światła utworzone przez siatkę dyfrakcyjną (szereg prążków barwnych z
prawej i lewej strony szczeliny).

28.3. Przebieg pomiarów

1. Włączyć oświetlacz (lampę rtęciową), znajdujący się z tyłu ekranu za pomocą przełącznika

mieszczącego się w obudowie układu zasilającego oświetlacz.

2. Sprawdzić wizualnie, czy płaszczyzna siatki dyfrakcyjnej jest równoległa do płaszczyzny ekra-

nu. Jeżeli nie, należy odpowiednio skorygować ustawienie siatki.

3. Oko umieścić tuż za siatką dyfrakcyjną i przesuwając uchwyt z siatką wzdłuż ławy optycznej,

ustawić ją w takiej odległości od ekranu, aby na tle skali ekranu mieściły się dwa widzialne rzę-
dy obserwowanego widma.

4. Obserwując wybrany przez wykładowcę prążek (z prawej strony szczeliny) w widmie pierw-

szego rzędu, przesunąć oświetloną nitkę z ciężarkiem tak, aby pokryła się z tym prążkiem. Za
pomocą skali milimetrowej umieszczonej na ekranie odczytać odległość nitki od szczeliny.

5. Pomiary wg punktu 4 wykonać pięciokrotnie (będą to odległości h1

p1

, h1

p2,

h1

p3,

h1

p4,

h1

p5

)

.

6. Powtórzyć czynności wg punktów 4-5 dla symetrycznego prążka pierwszego rzędu znajdujące-

go się po lewej stronie szczeliny (będą to odległości h1

l1

, h1

l2 ,

h1

l3 ,

h1

l4 ,

h1

l5

)

.

7. Powtórzyć czynności wg punktów 4-6 dla tego samego prążka (tej samej barwy) dla drugiego

rzędu widma (w ten sposób zostaną pięciokrotnie wyznaczone odległości h2

p

i h2

l

).

8. Powtórzyć czynności wg punktów 4-7 dla drugiego z dwu wyznaczonych przez wykładowcę

prążków (o innej barwie).

9. Zmierzyć pięciokrotnie odległość L siatki dyfrakcyjnej od ekranu i oszacować błąd pomiaru

∆L.

28.4. Opracowanie wyników pomiarów.

1. Wyznaczyć wartości średnie h

S

jako średnie arytmetyczne dziesięciu pomiarów położeń (pięciu

h

p

i pięciu h

l

) prążków oddzielnie dla pierwszego i dla drugiego rzędu widma. Wyznaczyć rów-

nież wartość średnią odległości L.

2. Wyznaczyć sinusy kątów ugięcia dla obydwu wybranych linii zarówno pierwszego jak i drugie-

go rzędu widma

2

2

S

S

L

h

h

α

sin

+

=

3. Obliczyć długość fali mierzonych linii widma na podstawie wzoru (28.1) kolejno korzystając z

wyznaczonych odległości h

S

dla pierwszego

λ

1

i drugiego rzędu

λ

2

widma. Następnie wyzna-

czyć średnią wartość długości fali danej barwy światła:

2

2

1

λ

λ

λ

+

=

S

4. Przeprowadzić rachunek błędów. Przyjmujemy, że stała siatki d nie jest obarczona błędem:

- obliczyć odchylenie standardowe

s

h

s

oraz względne odchylenie

s

h

h

s

s

.

- korzystając z metody różniczki zupełnej oraz z zależności (28.1) obliczyć względny błąd

2

2

2

2

2











 ∆

+













+

=

L

L

h

s

L

h

L

s

s

h

S

s

λ

λ

dla każdego rzędu osobno,

- obliczyć bezwzględną wartość odchylenia

λ

s

oraz ich średnie

s

s

λ z wyników

dotyczących każdej z barw.

5. Zastanowić się nad możliwością popełnienia w ćwiczeniu błędów systematycznych.

28.5. Pytania kontrolne

1. Wyjaśnić podstawy fizyczne zjawiska dyfrakcji fal i podać kilka przykładów takiego zjawiska.
2. Wyjaśnić mechanizm powstawania prążków interferencyjnych w przestrzeni za siatką dyfrak-

cyjną

3. Wyprowadzić wzór (28.1).
4. Jaką minimalną wartość może mieć stała siatki dyfrakcyjnej, aby za jej pomocą można było

stwierdzić dyfrakcję światła monochromatycznego o długości

λ?

L i t e r a t u r a

[1] Bobrowski Cz.: Fizyka dla inżynierów. WNT, Warszawa 1981.
[2] Piekara A.: Nowe oblicze optyki. PWN, Warszawa 1968.
[3] Resnick R., Halliday D.: Fizyka, t.II. PWN, Warszawa 1973.
[4] Szczeniowski S.: Fizyka doświadczalna, cz.IV. Optyka. PWN, Warszawa 1971.