Przyk³ad wyznaczania œrodka masy:

a) prêt (belka), b) obrêcz c) walec; d) kula

e) sto¿ek

D

D

m

R

H

H

x

x

i

i

i

=

-

p

r

2

2

2

(

)

M

V

R H

=

=

r

r

p

1

3

2

.

Œrodek masy bry³y sztywnej

O

r

M

r

s

Dm

i

i

Œrodek masy uk³adu cia³

x

M

m x

®

®

=

å

s

i

i

i =1

N

1

D

M

m

=

å

D

i

i =1

N

O

R

H

r

x

dx

X

Ruch postêpowy bry³y sztywnej

F

M a

®

®

=

z

s

r

M

m r

®

®

=

å

s

i

i

i =1

N

1

D

w

e

Ruch obrotowy bry³y sztywnej

Bry³¹ sztywn¹ nazywamy takie cia³o, w którym odleg³oœci

pomiêdzy poszczególnymi jego elementami nie zmieniaj¹ siê,

niezale¿nie od dzia³aj¹cych si³. Je¿eli bry³a sztywna wiruje wokó³

osi obrotu, to prêdkoœæ k¹towa w i przyspieszenie k¹towe e

wszystkich jej elementów s¹ jednakowe.

A

B

A’

B’

AB || A’B’

Druga zasada dynamiki

dla ruchu postêpowego

Chwilowa oœ obrotu

– z³o¿enie prêdkoœci v

®

s

i prêdkoœci ruchu obrotowego w

®

®

´ r (o wartoœci wr )

– prêdkoœæ ruchu czysto obrotowego w

®

®

´ r' (o wartoœci wr' )

Moment bezw³adnoœci punktu materialnego

P

O

P

A

w

®

®

´ r

r'

®

v

v

®

®

®

®

=

+

´

s

r

w

v

®

®

®

=

´

w

r'

v

®

s

Ruch obrotowy bry³y sztywnej

v

v

®

®

®

^

^

=

´

=

w

w

r

r

O

w

v

w

P

r

k

k’

Ruch dowolny bry³y sztywnej

v

v

®

®

®

®

=

+

´

s

r

w

Moment bezw³adnoœci cia³a wzglêdem danej osi

m

r

I

mr

=

2

Moment bezw³adnoœci uk³adu punktów materialnych

I

m r

i

N

=

=

å

i i

1

2

r

i

r

2

r

1

Dm

i

Dm

2

Dm

1

I

m r

m r

m r

m r

m r

=

+

+

+

+

+

=

=

å

D

D

D

D

D

1 1

2

2 2

2

2

2

1

...

...

i i

2

N N

i i

i

N

R

M - masa walca

Moment bezw³adnoœci walca

wzglêdem jego osi symetrii

2

I = M R

w

1
2

Moment bezw³adnoœci kuli

wzglêdem dowolnej osi symetrii

R

M - masa kuli

2

I = M R

k

2
5

R O

Moment bezw³adnoœci cienkiej obrêczy

wzglêdem osi symetrii przechodz¹cej

przez jej œrodek

M - masa obrêczy

Moment bezw³adnoœci prêta

wzglêdem osi symetrii

prostopad³ej do prêta

M - masa prêta

l

2

I = M l

p

1
12

2

I =M R

o

Momenty bezw³adnoœci niektórych bry³

Twierdzenie Steinera
(twierdzenie o osiach równoleg³ych)

S

k

k’

M

k’’

k’’’

d

I

I

Md

=

+

0

2

Ca³kowita energia kinetyczna bry³y sztywnej

Energia kinetyczna tocz¹cego siê cia³a

Energia kinetyczna bry³y sztywnej

Energia kinetyczna w ruchu obrotowym wokó³ ustalonej osi

E

I

k

=

w

2

2

k

k’

w

I

E

m

I

s

kC

v

=

+

2

2

2

2

O

w

R

w

v

O

s

E

I

R

m

k, c

v

=

+

æ

è

ç

ö

ø

÷

2

2

2

walca

obrêczy

E

I

R

m

m

m

m

k

v

v

v

=

+

æ

è

ç

ö

ø

÷

=

=

+

æ

è

ç

ö

ø

÷

=

2

2

2

2

2

2

2

3

4

E

I

R

m

m m

m

k

v

v

v

=

+

æ

è

ç

ö

ø

÷

=

=

+

=

2

2

2

2

2

2

(

)

E

m

m

m

m r

k,obr

i

i

N

N

v

v

v

=

+

+

+

+

=

+

D

D

D

D

1

1

2

2

2

1 1

2

2

2

2

...

...

(

...+

+

+

=

D

D

m r

m r

I

i i

N N

2

2

2

2

2

2

...

)

w

w

l - ramiê dzia³ania si³y

Moment si³y

Moment si³y wzglêdem danego punktu

O

l

r

1

r

2

F

-F

Moment pary si³

M

r

F

r

F

r

r

F

l F

®

®

®

®

®

®

®

®

®

®

=

´

+

´ -

=

-

æ

è

ç

ö

ø

÷´

= ´

1

2

1

2

(

)

M

r F

®

®

®

= ´

M

r F

r F

=

=

^

sin a

a

M

r

F

M=r F sina =l F

a

O

r

l

F

Moment si³y wzglêdem danej osi

M

l F

||

=

^

a

O

r

F

F

M

M

M

M

=

+

+

+

1

2

...

N

M

M

M

M

N

®

®

®

®

=

+

+ +

1

2

...

M

l

F

®

®

®

= ´

Wypadkowy moment si³

Wypadkowy moment si³ dzia³ajcych wzd³u¿ danej osi

Moment pêdu punktu

r

®

®

^ v L

rm

=

v v

®

®

®

=

´

w

r

Œrodek ciê¿koœci

Rodzaje równowagi

C

O

r

®

c

P

mg

®

®

=

M

r

P

®

®

®

=

´

c

r

r

®

®

=

c

s

C

C

C

C

C

C

równowaga trwa³a

punkt zawieszenia

œrodek ciê¿koœci
cia³a

równowaga obojêtna

równowaga chwiejna

Moment pêdu punktu w ruchu po okrêgu

L

m r

®

®

=

2

w

Moment pêdu

v

L

r

m

L

r

p

r

m

®

®

®

®

®

= ´

= ´

v

k’

w

r

O

k

L

L

L

r

1

m

m

v

2

v

1

r

2

L

r

m

m r

®

®

®

®

®

=

´

=

´

2

2

1

1

2

2

v

v

Moment pêdu cia³a w ruchu obrotowym wzglêdem osi swobodnej

L

I

®

®

= w

w

L

k

k’

Moment pêdu cia³a w ruchu obrotowym

wzglêdem nieruchomej osi

wymuszonej

L

I

®

®

=

||

w

w

L

L

wymuszona oœ brotu

Moment pêdu bry³y sztywnej

L

L

m r

®

^

®

^

®

¹

=

0

2

2

||

w

Moment pêdu dwóch punktów przeciwleg³ych

v

1

w

m

r

m

v

2

L

O

L

m r

®

®

= 2

2

w

Punkt materialny o masie

m

F

p

t

®

®

= D

D , ( p

m

®

®

=

v) M

r F

r

p

t

®

®

®

®

®

= ´

= ´

D

d

D

D

D

D

D

D

D

D

D

D

L

t

r

p

t

r

r

p

p

t

r

t

p

r

®

®

®

®

®

®

®

®

®

®

=

´

=

+

´

+

=

´

+ ´

(

)

(

) (

)

p

t

m

p

p

r

p

t

r

p

t

®

®

®

®

®

®

®

=

´

+ ´

= ´

D

D

D

D

D

1

p p

®

®

´

= 0

Þ

M

L

t

®

®

=

D

D

L

I

®

®

= w

M

L

t

I

t

I

t

I

®

®

®

®

®

=

=

=

=

D

D

D

D

D

D

(

)

w

w

e

M

L

t

I

t

I

t

I

||

||

(

)

®

®

®

®

®

=

=

=

=

D

D

D

D

D

D

w

w

e

Druga zasada dynamiki w ruchu obrotowym bry³y sztywnej

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego bry³y wzglêdem osi swobodnej

w

D

D

L

I

®

®

=

w

L

I

®

®

= w

D

D

L

M

t

®

®

=

M

I

®

®

=

e

Druga zasada dynamiki w ruchu obrotowym wokó³ wymuszonej osi nieruchomej

w

L

M

M

L

I

®

®

=

||

w

M

I

®

®

=

||

e

M

L

t

®

®

=

D

D

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

bry³y sztywnej o momencie bezw³adnoœci I

Druga zasada dynamiki przy toczeniu siê cia³ – przyk³ady

v

O

R

O

F

T

r

F

T

ma

Fr

TR

I

s

-

=

+

=

O

e

F R

r

I

(

)

+

= e

ruch obrotowy

z³o¿enie ruchu postêpowego

i obrotowego

¯yroskop - cia³o o symetrii cylindrycznej obracaj¹ce siê z du¿¹ prêdkoœci¹ k¹tow¹ wzglêdem

osi symetrii

D

D

D

D

j

w

w

=

=

=

L

L

M t

I

mg l t

I

Precesja ¿yroskopu

L=I w

Dj

M

DL=MDt

W =

m gl

I w

W

D

D

=

j

t

l

r

=

®

| |

w

L

I w

w

C

I W

W

F

mg

N

=

F = -mg

N

r

mg

w

M

r m g

®

®

®

= ´

¯yroskop

Nutacja

Ruch ¿yroskopu jest z³o¿eniem:
– ruchu obrotowego wokó³ osi symetrii,
– ruchu precesyjnego, podczas którego wektor momentu pêdu porusza
siê po okrêgu,
– ruchu osi symetrii ¿yroskopu poruszaj¹cej siê

po pobocznicy sto¿ka wokó³ wektora L

®

.

Ten ostatni rodzaj ruchu nazywa siê nutacj¹.

M

®

= 0 Þ L

®

= const.

Dla obrotu dooko³a sta³ej osi

L

I

=

=

w const

Dla obrotu dooko³a sta³ej osi

L

I

i

N

i

N

i

i

i

const

=

=

å

å

=

=

1

1

w

Przyk³ady:

Zasada zachowania momentu pêdu uk³adu cia³

I

I

i

i

N

j

j

M

w

w

®

=

®

=

å

å

=

i

j

1

1

Zasada zachowania momentu pêdu cia³a

w

1

w

2

w

1

>

I

1

I

1

I

2

>

Cz³owiek trzyma odwa¿niki

mo¿liwie jak najdalej od tu³owia

=

przed

1

1

I w

Po zbli¿eniu odwa¿ników do tu³owia

w

1

=

po

2

2

I w

w

2

L

L

I

I

1

1

2

2

w

w

=

Ruch postêpowy

Ruch obrotowy

wokó³ ustalonej osi

obrotu

prêdkoœæ

v =

®

D

D

D

s

t

t

,

0

w

a

=

®

D

D

D

t

t

,

0

przyspieszenie

a

t

t

=

®

D

D

D

v

,

0

e

w

=

®

D

D

D

t

t

,

0

ruch jednostajny

v

const

=

s

t

= v

w = const

a

w

= t

ruch jednostajnie przyspieszony

a = const

v

v

0

=

+ a t

s

t

a t

=

+

v

0

2

2

e = const

w w

e

=

+

0

t

a

w

e

=

+

0

2

2

t

t

ruch jednostajnie opóŸniony

a

op

const

=

v

v

0

op

=

- a t

s

t

a

t

=

-

v

op

0

2

2

e

op

const

=

w w

e

=

-

0

op

t

a

w

e

=

-

0

2

2

t

t

op

masa / moment bezw³adnoœci

m

I

si³a / moment si³y

F

M

II zasada dynamiki Newtona

F

m a

=

M

I

= e

pêd / moment pêdu cia³a

p

m

=

v

K

I

= w

energia kinetyczna

E

m

k

v

=

2

2

E

I

k, obr

=

w

2

2

Porównanie wzorów opisuj¹cych ruch postêpowy prostoliniowy i obrotowy cia³a

Warunki równowagi cia³a

Statyka

F

F

F

1

2

0

®

®

®

+

+ +

=

...

N

M

M

M

1

2

0

+

+ +

=

...

N

M

M

M

M

N

®

®

®

®

=

+

+ +

1

2

...

Wypadkowa wszystkich si³ dzia³aj¹cych na cia³o jest równa zeru

Suma algebraiczna momentów wszystkich si³

wzglêdem dowolnie wybranej osi jest równa zeru

N

L

N

P

F

L

F

P

P

Q

l

x

Przyk³ad równowagi cia³a

N

F

L

=

L

P x

Q

l

F l

+

=

2

P

P

Q

F

F

+

=

+

L

P

N

F

L

=

P

F

x

l

P

Q

L

=

+

1

2

i F

x

l

P

Q

P

=

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

+

1

1

2

0-A

–

s

e

µ

A-B – prawa Hooke'a nie mo¿na stosowaæ

B – granica sprê¿ystoœci

C-D – obszar plastycznoœci

E – granica wytrzyma³oœci

W³asnoœci sprê¿yste cia³ sta³ych

Prawo Hooke’a dla wyd³u¿eñ

F

S

E

l

l

=

D

s

e

= E

F

l

Dl

F

g

Dl

l

S

g

F

F

s

e

A

D

C

B

E

0

Prawo Hooke’a dla odkszta³ceñ postaciowych

F

S

G

l

l

=

D

Dl

l

=

@

tan g

g

s

g

= G

Prawo Hooke’a dla cieczy i gazów

D

D

p

K

V

V

= -

DV<0