Bry³a sztywna. Ruch postêpowy i obrotowy

W paragrafie 1.2 dokonaliœmy podzia³u ruchów na postêpowe i obrotowe.

Wszystkie punkty cia³a poruszaj¹cego siê ruchem postêpowym zakreœlaj¹ tory
o identycznym kszta³cie i jednakowej d³ugoœci. Ruch postêpowy cia³a mo¿na wiêc
opisywaæ jako ruch punktu materialnego, czyli obiektu o pomijalnie ma³ych roz-
miarach i objêtoœci, a masie równej masie cia³a.

Do opisu ruchu obrotowego wprowadza siê w fizyce pojêcie bry³y sztywnej –

cia³a, w którym odleg³oœci miêdzy poszczególnymi jego elementami nie zmieniaj¹
siê, pomimo si³ dzia³aj¹cych na cia³o podczas ruchu. Zarówno punkt materialny,
jak i bry³a sztywna – to modele, za pomoc¹ których przedstawiamy cia³a rze-
czywiste.

Na rysunku 1. przedstawiono ruch postêpowy ³odzi podwodnej. Zauwa¿, ¿e od-

cinek ³¹cz¹cy dwa dowolnie wybrane punkty (np. P

1

i P

2

), w dowolnej chwili ruchu,

Mechanika bry³y sztywnej

Uzupe³nienie

1

1

mechanika

bry³y sztywnej

u z u p e ³ n i e n i e

P

1

P

1

P

1

P

2

P

2

P

2

P

3

P

3

P

3

Rys. 1

jest równoleg³y do odcinka, który ³¹czy³ te punkty w poprzednich chwilach ruchu,
czyli odcinek ten przemieszcza siê równolegle.

Podczas ruchu obrotowego bry³y sztywnej wokó³ prostej, zwanej osi¹ obrotu,

wszystkie punkty bry³y nie nale¿¹ce do osi zakreœlaj¹ okrêgi (lub ³uki okrêgów)

w p³aszczyznach prostopad³ych do osi obrotu. (Punkty nale-
¿¹ce do osi pozostaj¹ nieruchome.)

Na rysunku 2. zaznaczono tory trzech punktów wirnika, ob-

racaj¹cego siê wokó³ osi obrotu przechodz¹cej przez punkt O
i prostopad³ej do p³aszczyzny rysunku.

W ¿yciu codziennym mamy czêsto do czynienia z ruchami

z³o¿onymi. Opis takich, czasem doœæ skomplikowanych ru-
chów u³atwia mo¿liwoœæ roz³o¿enia ich na ruch postêpowy
i obrotowy, wzglêdem odpowiednio wybranego uk³adu odnie-
sienia. Przyk³adem ruchów z³o¿onych mo¿e byæ ruch ko³a

jad¹cego pojazdu lub tocz¹cej siê po pod³odze pi³ki.

Nasze rozwa¿ania ograniczymy tylko do obrotów wokó³ ustalonej osi (czyli ta-

kiej, która nie zmienia swego po³o¿enia wzglêdem cia³a, ani orientacji w uk³adzie
odniesienia, w którym rozwa¿amy ruch) i tylko o takich obrotach bêdziemy mówiæ
w nastêpnych paragrafach.

Z dotychczasowej nauki wiesz, ¿e nied³¹czn¹ cech¹ ruchu jest jego wzglêdnoœæ.

Z tego faktu wynika mo¿liwoœæ sk³adania (b¹dŸ rozk³adania) ruchów poprzez za-
stosowanie do opisu odpowiednio dobranych uk³adów odniesienia. W przypadku
z³o¿onych ruchów bry³y sztywnej szczególnie u¿yteczna jest mo¿liwoœæ rozk³adania
ich na sk³adowe, ³atwiejsze do opisu i analizy. Jako przyk³ad rozpatrzmy staczanie
siê walca z równi pochy³ej (rys. 3).

Jego ruch w uk³adzie odniesienia x y z, zwi¹zanym z równi¹, nie jest ani ruchem

postêpowym, ani obrotowym wokó³ sta³ej osi. Mo¿emy jednak wybraæ uk³ad odnie-
sienia

¢ ¢ ¢

x y z , który przesuwa siê równolegle do równi z prêdkoœci¹ liniow¹ równ¹

prêdkoœci œrodka walca. Uk³ad odniesienia

¢ ¢ ¢

x y z wykonuje ruch postêpowy

wzglêdem uk³adu xy z. Natomiast walec wykonuje ruch obrotowy wokó³ usta-
lonej osi w uk³adzie odniesienia

¢ ¢ ¢

x y z . W tym sensie ruch walca w uk³adzie xy z

traktowaæ mo¿na jako za³o¿enie ruchu postêpowego i obrotowego wokó³ usta-
lonej osi.

Uzupe³nienie

Mechanika bry³y sztywnej

2

P

1

O

P

2

P

3

rys. 2

z

y

x

z'

x'

y'

rys. 3

Wielkoœci kinematyczne w ruchu obrotowym

Analizuj¹c ruch punktu materialnego po okrêgu wprowadziliœmy pojêcie szyb-

koœci k¹towej. Zwróæmy uwagê, ¿e w przypadku ruchu obrotowego bry³y sztywnej
k¹ty zakreœlone w tym samym czasie przez promienie wodz¹ce ró¿nych punktów
bry³y s¹ takie same, natomiast drogi tzn. d³ugoœci
odpowiednich ³uków s¹ ró¿ne dla punktów znaj-
duj¹cych siê w ró¿nych odleg³oœciach od osi obro-
tu (rys. 4).

Po³o¿enie cia³a obracaj¹cego siê wokó³ sta³ej

osi obrotu jest wiêc ca³kowicie okreœlone przez
podanie k¹ta zakreœlonego przez promieñ wo-
dz¹cy dowolnego punktu bry³y a wiêc jednego k¹ta
wspólnego dla ca³ej bry³y. K¹t ten nazywamy
k¹tem obrotu bry³y. K¹t ten wyra¿amy w mierze
³ukowej (patrz Aneks 1.2).

Szybkoœci k¹towe ró¿nych punktów bry³y sztyw-

nej w jej ruchu obrotowym wokó³ sta³ej osi

w

a

=

æ
è

ç

ö
ø

÷

D

Dt

s¹ sobie równe, natomiast szybkoœci liniowe – nie. Bêdziemy zatem mó-

wiæ o szybkoœci k¹towej ca³ej bry³y (jednakowej dla wszystkich jej punktów w danej
chwili). Szybkoœæ k¹towa to, jak siê domyœlasz, wartoœæ wielkoœci wektorowej zwa-
nej prêdkoœci¹ k¹tow¹.

Œrednia prêdkoœæ k¹towa bry³y sztywnej jest to wektor

rw

œr

, którego:

a) wartoϾ

w

œr

równa siê stosunkowi k¹ta

Da zakreœlonego w pewnym czasie

Dt przez obracaj¹ce siê cia³o do tego czasu:

w

a

=

D

Dt

,

[ ]

w =

=

radian

s

s

1

(1)

b) kierunek pokrywa siê z kierunkiem osi obrotu,
c) zwrot jest zgodny z regu³¹ œruby prawo-

skrêtnej, która mówi, ¿e: jeœli œrubê usta-
wimy wzd³u¿ osi, to podczas jej obrotu
zgodnego z obrotem bry³y zwrot prêdkoœci
w ruchu postêpowym œruby wskazuje zwrot
wektora

rw (rys. 5).

Wektor chwilowej prêdkoœci k¹towej nazywa siê

krótko prêdkoœci¹ k¹tow¹ i oznacza przez

rw.

Okres obrotu T cia³a wokó³ nieruchomej osi jest

to czas, w którym cia³o obraca siê o k¹t pe³ny (2

p ra-

dianów). Je¿eli prêdkoœæ k¹towa tego ruchu jest
sta³a, to oczywiœcie sta³y jest okres T:

T

=

2

p

w

.

(2)

Taki ruch nazywamy ruchem obrotowym jednostajnym.

Mechanika bry³y sztywnej

Uzupe³nienie

3

2

w

œr

rys. 5

A

A'

B

B'

a

r

A

r

B

rys. 4

Do opisu niejednostajnych ruchów obrotowych wprowadza siê wektor przy-

spieszenia k¹towego.

r

r

e =

w

D

Dt

przy

Dt ® 0 .

(3)

Przyspieszenie k¹towe jest to stosunek przyrostu wektora prêdkoœci k¹towej

Drw do czasu Dt, w którym ten przyrost nast¹pi³.

W przypadku ruchu obrotowego niejednostajnego wokó³ sta³ej osi kierunek

wektora

rwpozostaje sta³y i w zwi¹zku z tym wektor rema równie¿ sta³y kierunek (te¿

równoleg³y do osi). Zwrot wektora

rejest zgodny ze zwrotem wektora rww przypadku

ruchu obrotowego przyspieszonego, a przeciwny – w przypadku ruchu obrotowego
opóŸnionego. W ruchu obrotowym przyspieszonym wzglêdem ustalonej osi

e =

w

D

Dt

,

[ ]

e =

=

radian

s

s

2

2

1

.

Musisz jednak wiedzieæ, ¿e nie zawsze tak jest – na ogó³ (gdy oœ obrotu nie jest

sta³a tzn. kierunek wektora zmienia siê) przyœpieszenie k¹towe ma inny kierunek
ni¿ prêdkoœæ k¹towa.

Energia kinetyczna bry³y sztywnej

Ca³kowita energia kinetyczna bry³y sztywnej rozumianej jako uk³ad (zbiór) n

sztywno ze sob¹ po³¹czonych punktów materialnych równa siê sumie energii kine-
tycznych tych punktów materialnych:

E

m

k

i

i

i

n

=

=

å

u

2

1

2

,

(4)

gdzie m

i

,

u

i

oznaczaj¹ odpowiednio masê i szybkoœæ liniow¹ i-tego punktu mate-

rialnego bry³y (

, , ... )

i

n

= 1 2

.

W ruchu postêpowym bry³y szybkoœci liniowe wszystkich jej punktów s¹ takie

same, zatem w ruchu postêpowym:

E

m

m

k

i

n

=

=

å

u

u

2

1

2

2

2

,

(5)

gdzie m

m

i

i

=

å

jest mas¹ ca³ej bry³y.

W ruchu obrotowym wokó³ sta³ej osi wartoœci prêdkoœci liniowych

u

i

ró¿nych

punktów bry³y s¹ ró¿ne ale mo¿na je ³atwo powi¹zaæ z szybkoœci¹ k¹tow¹ bry³y
(wzór (6)):

u

w

i

i

r

=

,

(6)

gdzie r

i

jest odleg³oœci¹ i-tego punktu od osi obrotu. Po podstawieniu (6) do (4)

otrzymujemy:

E

m r

k

i

n

=

=

å

w

2

1 1

2

1

2

.

(7)

Uzupe³nienie

Mechanika bry³y sztywnej

4

3

Suma, która wystêpuje w tym wzorze charakteryzuje bry³ê – jest miar¹ bez-

w³adnoœci cia³a w jego ruchu obrotowym wokó³ sta³ej osi (spe³nia tak¹ rolê w ruchu
obrotowym jak masa w ruchu postêpowym). Oznaczamy j¹ liter¹ I i nazywamy mo-
mentem bezw³adnoœci bry³y wzglêdem danej osi:

I

m r

i i

i

n

=

å

2

.

(8)

Wprowadzaj¹c to oznaczenie otrzymujemy wzór na energiê kinetyczn¹ ruchu

obrotowego o postaci analogicznej do znanej dla ruchu postêpowego:

E

I

k

=

w

2

2

.

(9)

Nie jest to jednak pe³na analogia. Zdefiniowany przez nas moment bezw³ad-

noœci bry³y nie jest wielkoœci¹ tak uniwersaln¹ jak masa – zale¿y on w istotny
sposób od tego wokó³ jakiej osi obraca siê bry³a.

Je¿eli w jakimœ uk³adzie odniesienia ruch bry³y mo¿na traktowaæ jako z³o¿enie

ruchu postêpowego i obrotowego wokó³ istalonej osi, to w tym uk³adzie odnie-
sienia ca³kowita energia kinetyczna bry³y równa siê sumie energii kinetycznych obu
rodzajów ruchu.

Momenty bezw³adnoœci niektórych bry³

Poni¿ej podajemy momenty bezw³adnoœci prostych bry³ (jednorodnych) wzglê-

dem osi przechodz¹cych przez œrodek masy tych bry³ i bêd¹cych ich osiami
symetrii (m – oznacza zawsze masê cia³a). Momenty bezw³adnoœci wymienione
w punktach a) i b) potrafisz obliczyæ samodzielnie, korzystaj¹c z diefinicji (8) – po-
zosta³e podajemy jako u¿yteczn¹ informacjê.

a) Cienka pêtla ko³owa o promieniu r; oœ obrotu prosto-
pad³a do powierzchni pêtli:

I

mr

=

2

.

(10)

b) Cienkoœcienna rura o promieniu r; oœ obrotu wzd³u¿ osi
geometrycznej rury:

I

mr

=

2

.

(11)

c) Prostoliniowy cienki prêt o d³ugoœci

l; oœ obrotu prosto-

pad³a do prêta:

I

m

=

1

12

2

l .

(12)

Mechanika bry³y sztywnej

Uzupe³nienie

5

4

R

O

R

l

l

1

1

2

2

oœ

d) Walec pe³ny o promieniu r, oœ obrotu wzd³u¿ osi geo-
metrycznej walca:

I

mr

=

1

2

2

.

(13)

e) Kula pe³na o promieniu r:

I

mr

=

2

5

2

.

(14)

Z definicji momentu bezw³adnoœci bry³y (i definicji œrodka masy) wynika jeszcze

jedno bardzo u¿yteczne twierdzenie (wzór Steinera): moment bezw³adnoœci I
cia³a wzglêdem dowolnej osi równa siê sumie momentu bezw³adnoœci I

0

tego

cia³a wzglêdem osi równoleg³ej do poprzedniej i przechodz¹cej przez œrodek
masy cia³a oraz iloczynu masy m cia³a i kwadratu odleg³oœci d pomiêdzy tymi
osiami:

I

I

md

= +

0

2

.

(17)

Wynika st¹d, ¿e moment bezw³adnoœci cia³a wzglêdem jakiejœ osi przecho-

dz¹cej przez œrodek masy cia³a jest zawsze mniejszy od momentu bezw³adnoœci
tego cia³a wzglêdem dowolnej innej równoleg³ej osi.

Korzystaj¹c z twierdzenia Steinera, oblicz:

a) moment bezw³adnoœci prêta wzglêdem osi prostopad³ej do prêta i przechodz¹cej przez jego koniec,

b) moment bezw³adnoœci walca wzglêdem jego tworz¹cej,

c) moment bezw³adnoœci kuli wzglêdem osi stycznej do jej powierzchni.

Przyczyny zmian ruchu obrotowego. Moment si³y

Jak wiesz, przyczyn¹ zmiany stanu ruchu postêpowego cia³a jest zawsze

dzia³anie niezerowej wypadkowej si³y. Zastanówmy siê, czy dzia³anie si³y jest te¿
warunkiem wystarczaj¹cym dla wprawienia bry³y w ruch obrotowy lub, ogólniej,
zmiany jej prêdkoœci k¹towej.

Uzupe³nienie

Mechanika bry³y sztywnej

6

R

oœ

R

O

oœ

ZADANIE

5

Na rys. 6 przedstawiono drzwi wahad³owe osadzone na zawiasach. Dzia³aj¹ca

na nie si³a (np.

r

F

1

) o kierunku zawartym w p³aszczyŸnie drzwi, nie spowoduje ¿ad-

nego ruchu, bo zostanie zrównowa¿ona przez si³ê dzia³aj¹c¹ na drzwi ze strony
zawiasów. Jeœli jednak zadzia³amy si³¹ o kierunku prostopad³ym do p³aszczyzny
drzwi (np.

r

F

2

), to nast¹pi obrót drzwi wokó³ osi przechodz¹cej przez zawiasy. Zatem

dzia³anie si³y na bry³ê jest warunkiem koniecznym, ale nie wystarczaj¹cym dla spo-
wodowania obrotu.

WyobraŸmy sobie, ¿e bry³a przedstawiona na rys. 7 mo¿e siê obracaæ wokó³ osi

przechodz¹cej przez punkt O. Punkt O jest punktem przeciêcia z osi¹ obrotu
p³aszczyzny zawieraj¹cej wektor si³y

r

F i prostopad³ej do osi.

Oznaczmy liter¹ P punkt zaczepienia si³y

r

F . Wektor o pocz¹tku w punkcie O

i koñcu w punkcie P oznaczmy przez

r

r . Iloczyn wektorowy wektorów

r

r i

r

F nazywamy

momentem si³y

r

F wzglêdem osi z i oznaczamy

r

M.

Wartoœæ momentu si³y dana jest wzorem:

M

r F

=

sin

a ,

gdzie

a jest k¹tem miêdzy wektorami

r

r i

r

F .

Aby zmieniæ stan ruchu obrotowego bry³y, dzia³aj¹ca na ni¹ si³a musi mieæ nie-

zerowy moment wzglêdem osi obrotu, a wiêc k¹t

a musi byæ ró¿ny od zera i od 180°.

Dla danej wartoœci si³y i danego

r

r moment si³y ma wartoœæ najwiêksz¹, gdy si³a

dzia³a prostopadle do wektora

r

r . Wówczas sin

sin (

)

a

p

=

=

2

1 i M

rF

= .

Kierunek wektora momentu si³y jest prostopad³y do p³aszczyzny utworzonej

przez wektory

r

r i

r

F , a jego zwrot zgodny z regu³¹ œruby prawoskrêtnej. Moment si³y

ma wiêc kierunek osi, wokó³ której obraca siê bry³a, a zwrot zgodny ze zwrotem
przyœpieszenia k¹towego

re (rys. 8).

Praca

DW momentu si³y przy obrocie cia³a o k¹t Da:

D

D

W

M

= × a

(18)

jest wykonana w pewnym czasie

Dt. Zatem dziel¹c obie strony wzoru (18) przed Dt

mo¿emy obliczyæ szybkoœæ wykonywania tej pracy, czyli moc œredni¹ P

œr

:

P

W

t

M

t

M

œr

œr

=

=

=

D

D

D

D

a

w

(19)

Mechanika bry³y sztywnej

Uzupe³nienie

7

F

1

oœ

F

2

Rys. 6

F

r

z

a

oœ obro tu

O

P

Rys. 7

Moc œrednia w ruchu obrotowym wokó³ sta³ej osi równa siê iloczynowi wartoœci

wypadkowego momentu si³ wzglêdem osi i œredniej szybkoœci k¹towej bry³y.

Moment pêdu bry³y i prawa dynamiki ruchu obrotowego

Rozwa¿my ruch obrotowy jednostajnie przyspieszony pewnej bry³y i obliczmy

przyrost

DE

k

jej energii kinetycznej w czasie

Dt, w którym wartoœæ prêdkoœci k¹to-

wej bry³y roœnie od wartoœci

w

1

do

w

2

:

DE

I

I

I

k

=

-

=

-

+

w

w

w

w w

w

2

2

1

2

2

1

2

1

2

2

2

(

) (

)

(20)

Poniewa¿ ruch jest jednostajnie przyspieszony, wiêc œrednia szybkoœæ k¹towa

w

w

w

œr

=

+

1

2

2

.

DE

I

k

œr

=

-

(

)

w

w w

2

1

.

(21)

Z drugiej strony, zmiana energii kinetycznej bry³y równa siê pracy wykonanej

przez wypadkowy moment si³:

D

D

E

M

t

k

œr

= w

,

(22)

sk¹d:

M t

I

I

D =

-

w

w

2

1

.

(23)

Widzimy, ¿e iloczyn wartoœci momentu si³y i czasu jego dzia³ania równa siê

zmianie wielkoœci fizycznej L

I

= w. Ta wielkoœæ charakteryzuje bry³ê w ruchu

obrotowym i nazywa siê wartoœci¹ momentu pêdu bry³y. Moment pêdu

r

L bry³y ma

taki sam kierunek i zwrot jak wektor prêdkoœci k¹towej:

r

r

L

I

= w .

(24)

Dziel¹c obie strony równoœci (31) przez

Dt otrzymujemy (w zapisie wekto-

rowym):

r

r

M

L

t

=

D

D

,

(25)

gdzie

D

r

L jest przyrostem wektora momentu pêdu.

Uzupe³nienie

Mechanika bry³y sztywnej

8

6

F

r

a

O

P

e

M

z

Rys. 8

Uzyskane prawo zawiera bardzo istotn¹ informacjê. Wynika z niego, ¿e wypad-

kowy moment si³ dzia³aj¹cych na bry³ê sztywn¹ jest równy szybkoœci zmian mo-
mentu pêdu tej bry³y. Jeœli wiêc wypadkowy moment si³ jest równy zeru, to moment
pêdu bry³y nie ulega zmianie. Wniosek ten nazywamy prawem zachowania mo-
mentu pêdu. Dla uk³adu obracaj¹cych siê cia³ zmiana momentu pêdu mo¿e oczy-
wiœcie nast¹piæ tylko w wyniku dzia³ania si³ (o niezerowych momentach wzglêdem
osi obrotu) pochodz¹cych spoza tego uk³adu.

Wzór (25) jest zupe³nie ogólny tzn. s³uszny bez zastrze¿enia o sta³oœci osi

obrotu, jednak jego powszechnie u¿ywane przekszta³cenie (nazywane II zasad¹
dynamiki ruchu obrotowego) – ju¿ nie:

M

I

t

=

D

D

w

,

M

I

= e .

(26)

Zapamiêtaj, ¿e powy¿szy zwi¹zek jest s³uszny tylko w przypadku, gdy oœ obrotu

pokrywa siê z osi¹ symetrii bry³y jednorodnej.

Mechanika bry³y sztywnej

Uzupe³nienie

9

PRZYK£AD

1

Na kr¹¿ku o masie M i promieniu R (rys. 9)

zawieszono

na

nierozci¹gliwej,

cienkiej,

niewa¿kiej lince dwa obci¹¿niki o masach

m

1

i

m

2

(

)

m

m

2

1

>

i puszczono je. Wspó³czynnik tarcia

statycznego linki o kr¹¿ek jest tak du¿y, ¿e
linka nie œlizga siê po kr¹¿ku, lecz powoduje
jego obrót.

a) Obliczymy wartoœæ przyspieszenia uk³a-

du tych obci¹¿ników, nie uwzglêdniaj¹c bez-
w³adnoœci kr¹¿ka. Wypadkowa si³ zewnêtrznych

r

F

1

i

r

F

2

powoduje ruch postêpowy uk³adu cia³,

nadaj¹c mu przyspieszenie

r

r

a

F

m

m

wyp

=

+

1

2

.

|

|

(

)

r

F

m g

m g

m

m g

wyp

=

-

=

-

2

1

2

1

,

wiêc

a

m

m

m

m

g

=

-

+

2

1

2

1

.

b) Uwzglêdnimy teraz bezw³adnoœæ kr¹¿ka. Zastosujemy drug¹

zasadê dynamiki dla ruchu postêpowego obci¹¿ników i dla ruchu ob-
rotowego kr¹¿ka. Otrzymamy w ten sposób uk³ad trzech równañ.

m

1

m

2

m

1

g

m

2

g

M

R

Rys. 9

Uzupe³nienie

Mechanika bry³y sztywnej

10

Zwróæ uwagê, ¿e kr¹¿ek obraca siê zgodnie

ze wskazówkami zegara ruchem obrotowym przy-
spieszonym na skutek tego, ¿e si³y napiêcia
linki po obu stronach maj¹ ró¿ne wartoœci,
zatem wypadkowy moment si³ dzia³aj¹cych na
kr¹¿ek

jest

ró¿ny

od

zera.

Wyznacz

zwroty

momentów tych si³ i sprawdŸ, ¿e moment si³y

r

N

2

jest zwrócony pod rysunek, a moment si³y

r

N

1

–

do nas.

Obieramy

zwi¹zany

z

laboratorium

uk³ad

wspó³rzêdnych xy o pocz¹tku w œrodku kr¹¿ka
i o osiach zwróconych tak, jak pokazuje ry-
sunek 10 (oœ y jest prostopad³a do p³aszczyz-
ny rysunku i zwrócona pod rysunek).

Oto równania ruchu:
dla obci¹¿nika o masie

m

1

:

¢ -

=

N

m g

m a

1

1

1

,

dla obci¹¿nika o masie

m

2

:

¢ -

= -

N

m g

m a

2

2

2

,

dla kr¹¿ka o masie M i promieniu R:

N R

N R

J

2

1

-

= e.

Jednak

¢ =

N

N

1

1

,

¢ =

N

N

2

2

i

e =

a

R

, bo a jest wartoœci¹ przyspie-

szenia stycznego punktu na obwodzie kr¹¿ka. Zatem

N

m g

m a

1

1

1

-

=

,

N

m g

m a

2

2

2

-

= -

,

(

)

N

N R

J

a

R

2

1

-

=

.

Obliczaj¹c z dwóch pierwszych równañ

N

1

i

N

2

i podstawiaj¹c te

wyra¿enia do trzeciego, otrzymujemy wartoœæ przyspieszenia uk³adu

a

m

m g

m

m

J

R

=

-

+

+

(

)

2

1

1

2

2

lub, wstawiaj¹c

J

M R

=

2

2

,

a

m

m g

m

m

M

=

-

+

+

(

)

2

1

1

2

2

.

Otrzymane wyra¿enie wskazuje, ¿e gdy

M

m

m

<<

+

1

2

wynik jest

taki sam, jak poprzednio.

N

1

N

1

N

2

=
=

N

2

N'

1

N'

1

N'

2

N'

2

M

y

R

x

m

1

g

m

1

m

2

m

2

g

Rys. 10

O analogiach miêdzy ruchem postêpowym i obrotowym

Mo¿na powiedzieæ, ¿e analogie miêdzy wielkoœciami i ich wzajemnymi zwi¹z-

kami w opisie ruchu postêpowego i obrotowego s¹ bardzo ³atwe do zauwa¿enia.
Poni¿ej podano w tabeli zestawienie wybranych analogonów. Zestawienie to mo¿e
byæ u¿yteczne dla zapamiêtania np. postaci praw. Jednak z wszelkimi wnioskami
czy ogólnieniami trzeba tu byæ nader ostro¿nym! Rozumowanie przez analogiê
mo¿e byæ zawodne!

Ruch postêpowy

Ruch obrotowy

droga s

droga k¹ta

a

prêdkoœæ liniowa

r

u

prêdkoœæ k¹towa

r

w

masa m

moment bezw³adnoœci I

pêd

r

p

moment pêdu

r

L

si³a

r

F

moment si³y

r

M

uogólniona postaæ II zasady dynamiki

r

r

F

p

t

=

D

D

r

r

M

L

t

=

D

D

energia kinetyczna

m

u

2

2

I

w

2

2

moc P

F

œr

= u

P

M

œr

= w

Z³o¿enie ruchu postêpowego i obrotowego – toczenie

Wspominaliœmy ju¿, ¿e toczenie siê kuli, walca albo obrêczy mo¿emy rozpatry-

waæ jako z³o¿enie ruchu postêpowego wzglêdem pod³o¿a i obrotowego wokó³ osi
symetrii. Bêdziemy rozwa¿aæ toczenie siê bez poœlizgu. W takim przypadku punkt
bry³y, stykaj¹cej siê w danej chwili z pod³o¿em ma w tej chwili prêdkoœæ wzglêdem
pod³o¿a równ¹ zeru. Co wynika z tego faktu? Ka¿dy punkt bry³y w ruchu z³o¿onym
ma prêdkoœæ równ¹ sumie dwóch prêdkoœci – ruchu postêpowego i obrotowego
(tylko punkty le¿¹ce na osi nie poruszaj¹ siê po okrêgu).

Skoro wypadkowa prêdkoœæ punktu A (rys. 11) jest równa zeru, oznacza to, ¿e

prêdkoœæ liniowa tego punktu (i wszystkich le¿¹cych w odleg³oœci R od osi obrotu)

Mechanika bry³y sztywnej

Uzupe³nienie

11

7

8

R

O

A

u

post

u

post

u

obr

u

=

Rys. 11

w ruchu obrotowym ma tak¹ sam¹ wartoœæ, jak prêdkoœæ w ruchu postêpowym
bry³y, czyli jak prêdkoœæ, z któr¹ przesuwa siê jej oœ:

u u

=

obr

,

ale

u

w

obr

R

=

,

zatem

u w

= R .

Taki jest zwi¹zek miêdzy szybkoœci¹

u przesuwania siê bry³y a szybkoœci¹

k¹tow¹ jej obrotu

w. (Zastanów siê, która wielkoœæ by³aby wiêksza: u, czy wR,

gdyby bry³a toczy³a siê z poœlizgiem).

Jak¹ prêdkoœæ wypadkow¹ maj¹ inne punk-

ty bry³y, np. te, które le¿¹ na pionowej œrednicy,
zaznaczonej na rysunku 12? Na przyk³ad punkt
C ma prêdkoœæ wypadkow¹ z³o¿on¹ z dwóch
prêdkoœci o zgodnych zwrotach i wartoœciach
równych: w ruchu postêpowym

u i w ruchu

obrotowym

u

w

obr C

R

=

2

, zatem

u

u

w

u

u

u

C

R

= +

= + =

2

2

1 5

,

.

Zwróæ uwagê, ¿e prêdkoœæ

ru

obr B

jest zwrócona w lewo, ma wartoœæ równ¹

w

u

R

2

2

= , wiêc prêdkoœæ wypadkowa punktu B jest zwrócona w prawo i ma war-

toϾ 0 5

,

u. Wyjaœnij, dlaczego wypadkowa prêdkoœæ punktu D wynosi 2 ru.

Bry³a w danej chwili zachowuje siê tak, jakby wykonywa³a tylko obrót wzglê-

dem tzw. „chwilowej” osi obrotu A, równoleg³ej do osi O (rys. 13). Ruch tocz¹cej
siê bez poœlizgu bry³y jest równowa¿ny takiemu obrotowi.

Uzupe³nienie

Mechanika bry³y sztywnej

12

A

Rys. 13

O

A

0,5

1,5

2

B

C

D

u

u

u

u

Rys. 12

PRZYK£AD

2

Z równi pochy³ej o wysokoœci h stacza siê bez poœlizgu walec

o masie m i promieniu poprzecznego przekroju R. Obliczmy wartoϾ
prêdkoœci ruchu postêpowego walca u podstawy równi (rys. 14)

Zadanie rozwi¹¿emy dwoma sposobami.

Sposób I
Potraktujmy ruch staczaj¹cego siê walca jako z³o¿enie dwóch

ruchów: obrotowego wzglêdem osi symetrii i postêpowego z prêd-
koœci¹ równ¹ prêdkoœci œrodka masy.

Mechanika bry³y sztywnej

Uzupe³nienie

13

Stosujemy drug¹ zasadê dynamiki dla obu ruchów i na jej pod-

stawie piszemy równania ruchu. Z równi¹ wi¹¿emy uk³ad xy (oœ y
zwrócona jest pod rysunek). przyœpieszenie k¹towe w tym uk³adzie
nadaje walcowi moment si³y tarcia, bo momenty pozosta³ych si³ (

mgr

i

r

F

s

) lub te¿

r

F

zsuw

, która je zastêpuje, s¹ równe zeru – linie

dzia³ania tych si³ przecinaj¹ oœ obrotu (rys. 15). Moment si³y
tarcia

ma

wartoϾ

TR, bo

r

r

T

R

^

i

jest

zwrócony

tak

jak

oœ

y

(sprawdŸ to !).

TR

J

=

0

e.

(27)

Ruch postêpowy walca odbywa siê wzd³u¿ osi x. Wypadkowa si³

dzia³aj¹cych na walec ma na tej osi wspó³rzêdne:

mg

T

sin

a - .

mg

T

ma

sin

a -

=

,

(28)

gdzie a jest wspó³rzêdn¹ przyœpieszenia ruchu postêpowego walca.

Za³o¿yliœmy, ¿e ruch odbywa siê bez poœlizgu, wiêc

e =

a

R

.

Z uk³adu równañ (27) i (28), o dwóch niewiadomych a i T:

TR

J

a

R

=

0

,

mg

T

ma

sin

a -

=

po przeprowadzeniu obliczeñ otrzymujemy wyniki:

R

h

a

u

Rys. 14

h

y

x

R

O

a

a

F

s

F

zsuw

T

mg

Rys. 15

Uzupe³nienie

Mechanika bry³y sztywnej

14

a

mg

m

J
R

=

+

sin

a

0

2

,

T

mgJ

mR

J

=

+

0

2

0

sin

a

.

(29)

Zauwa¿, ¿e wyniki te s¹ doœæ ogólne, stosuj¹ siê dla dowolnej

bry³y obrotowej, która mo¿e siê staczaæ. Po wstawieniu momentu

bezw³adnoœci walca

J

mR

0

2

2

=

æ
è

çç

ö
ø

÷÷, otrzymujemy

a

g

=

2

3

sin

a,

T

mg

=

1

3

sin

a.

Przyjrzyj siê tym wynikom i wyci¹gnij samodzielnie wnioski. S¹

one bardzo pouczaj¹ce, w szczególnoœci te, które dotycz¹ war-
toœci si³y tarcia.

Ruch postêpowy bry³y odbywa siê z przyœpieszeniem o wartoœci a,

zatem

s

at

=

2

2

, gdzie

t

a

=

u

, zatem

u = 2as; s

h

=

sin

a

, wiêc osta-

tecznie szybkoœæ koñcowa œrodka dowolnej bry³y obrotowej wyniesie

u =

+

2

0

2

mg h

m

J
R

,

a walca

u =

4

3

g h.

Sposób II
Potraktujmy teraz ruch staczaj¹cego siê bez poœlizgu walca

jako ruch obrotowy wokó³ chwilowej osi obrotu A (rys. 16). Teraz
do

obliczenia

wartoœci

przyœpieszenia

bry³y

wystarczy

jedno

równanie. Ró¿ny od zera moment si³y wzglêdem punktu A ma tylko

si³a

ciê¿koœci.

Moment

tej

si³y

nadaje

bryle

w

tym

ruchu

przyœpieszenie k¹towe

r

e.

Oœ y jak poprzednio jest prostopad³a do rysunku i zwrócona pod

rysunek. SprawdŸ, ¿e moment si³y

mgr jest zwrócony zgodnie z t¹

osi¹. Jego wartoœæ wynosi

mgR

mgR

mgR

sin

sin(

)

sin

j

a

a

=

°-

=

180

.

h

y

x

A

a

a

j

T

R

mg

F

s

Rys. 16

Mechanika bry³y sztywnej

Uzupe³nienie

15

Druga zasada dynamiki przyjmuje wiêc postaæ:

mgR

J

sin

a

e

=

,

gdzie

e =

a

R

, bo ruch odbywa siê bez poœlizgu. W tym przypadku mo-

ment bezw³adnoœci bry³y J musimy obliczyæ z twierdzenia Steinera:

J

J

mR

=

+

0

2

.

mgR

J

mR

a

R

sin

(

)

a =

+

0

2

.

Obliczona z tego wzoru wartoœæ przyœpieszenia bry³y wynosi:

a

mg

m

J
R

=

+

sin

a

0

2

,

(30)

i jest oczywiœcie taka sama, jak w sposobie I. Szybkoœæ koñcow¹
obliczamy tak, jak poprzednio.

Traktuj¹c ruch bry³y jako „czysty” ruch obrotowy, nie obliczy-

my wartoœci si³y tarcia, si³a ta bowiem nie wystêpuje w równaniu
ruchu – jest zaczepiona na osi obrotu.

Do wzoru (30) wstaw odpowiednie momenty bezw³adnoœci dla kuli

i obrêczy i oblicz wartoœæ przyœpieszenia, z jakim staczaj¹ siê
te bry³y z równi.

Sposób III
SzybkoϾ

koñcow¹

walca

mo¿emy

tak¿e

obliczyæ,

korzystaj¹c

z zasady zachowania energii mechanicznej.

Walec

rozpoczynaj¹cy

ruch

na

szczycie

równi

ma

(wzglêdem

podstawy równi) energiê potencjaln¹ ciê¿koœci

E

mg h

p

=

. Podczas

ruchu nastêpuje przemiana tej energii w energiê kinetyczn¹ ruchu
postêpowego i obrotowego:

E

E

E

p

k postêpowego

k obrotowego

=

+

,

,

,

mg h

m

J

=

+

u

w

2

0

2

2

2

.

(

u – szybkoœæ ruchu postêpowego, a w – szybkoœæ ruchu obrotowego

u podstawy równi)

Poniewa¿ w ruchu bez poœlizgu w ka¿dej chwili

u

w

= R, to:

mg h

m

J

R

m

J
R

=

+

=

+

æ
è

ç

ö
ø

÷

u

u

u

2

0

2

2

2

0

2

2

2

2

,

sk¹d:

u =

+

2

0

2

mg h

m

J
R

.

Po wstawieniu

J

mR

0

2

1

2

=

otrzymamy:

u =

4

3

g h.

1. Wyjaœnij, dlaczego jajko ugotowane na twardo mo¿na odró¿niæ od surowego, wprawiaj¹c je w ruch

obrotowy na stole.

2. Oblicz moment bezw³adnoœci kwadratowej ramki o boku a, wykonanej z cienkiego drutu o masie m,

obracaj¹cej siê:
a) wokó³ osi przechodz¹cej przez œrodki przeciwleg³ych boków,
b) wokó³ jednego z boków.

3. Na jednorodny kr¹¿ek o masie M

,

= 0 5 kg i promieniu R = 0 05

,

m

nawiniêto cienk¹, nierozci¹gliw¹ i niewa¿k¹ linkê, która nie œlizga siê
po kr¹¿ku (rys. 17). Kr¹¿ek mo¿e obracaæ siê bez oporów wokó³
osi przechodz¹cej przez jego œrodek prostopadle do powierzchni
(rys.

obok).

Na

koñcu

linki zawieszono

obci¹¿nik

o

masie

m

= 0 25

,

kg i puszczono. Przyjmuj¹c g

» 10 m s

2

, oblicz:

a) wartoœæ si³y napinaj¹cej linkê,
b) wartoœæ przyœpieszenia k¹towego kr¹¿ka,
c) wartoœæ sk³adowej stycznej przyœpieszenia liniowego punktów na
obwodzie kr¹¿ka,
d) szybkoœæ k¹tow¹ kr¹¿ka i szybkoœæ liniow¹ punktów na jego obwodzie uzyskan¹ po up³ywie
czasu t

s

= 2 od rozpoczêcia ruchu.

4. Oblicz stosunek energii kinetycznej ruchu obrotowego do:

a) ca³kowitej energii kinetycznej,
b) energii kinetycznej ruchu postêpowego,

dla walca, kuli i cienkoœciennej obrêczy, tocz¹cych siê z prêdkoœci¹

r

v bez poœlizgu po poziomej

powierzchni. Czy wyniki zmieni¹ siê, gdy ruch bêdzie odbywa³ siê wzd³u¿ równi pochy³ej? Uzasadnij
odpowiedŸ.

Uzupe³nienie

Mechanika bry³y sztywnej

16

Zwróæ uwagê, ¿e przeprowadzone rozumowania i uzyskany wynik

w postaci:

u =

+

2

0

2

mg h

m

J
R

bêd¹ takie same dla ka¿dej bry³y obrotowej o promieniu R. Wsta-
wiaj¹c do tego wzoru odpowiednie momenty bezw³adnoœci

J

0

, otrzy-

mamy szybkoœci koñcowe kuli walca i obrêczy.

Znaj¹c szybkoœæ koñcow¹ i k¹t nachylenia równi, mo¿na obliczyæ

wartoœci

przyœpieszeñ,

z

którymi

staczaj¹

siê

te

bry³y

bez

poœlizgu.

ZADANIA

m

M

R

Rys. 17