1

Ruch bryły sztywnej,

dynamika ruchu obrotowego

OPIS RUCHU BRYŁY SZTYWNEJ

Brył

ą

sztywna nazywamy zbiór punktów materialnych (niesko

ń

czenie wielu),

których wzajemne poło

ż

enie nie zmienia si

ę

pod wpływem działaj

ą

cych sił.

c

n

i

i

m

m

∑

=

∆

=

1

i

sm

r

R

c

m

dm

∫

=

r

R

sm

-dla układu punktów materialnych

-dla bryły sztywnej

m

m

=

i

N

=1

i

i

N

=1

i

∑

∑

r

R

i

sm

.

1

zewn

n

i

i

sm

M

F

F

a

=

=

∑

=

Ruch bryły sztywnej mo

ż

na rozło

ż

y

ć

na:

ruch post

ę

powy

ś

rodka masy i ruch obrotowy

Ś

rodek masy układu punktów materialnych porusza si

ę

w taki sposób, jakby cała masa

układu była skupiona w

ś

rodku masy i jakby wszystkie siły zewn

ę

trzne na

ń

działały.

Ruch post

ę

powy:

Ś

rodek masy:

2

Ruch obrotowy (przypadek szczególny L||

ω

ω

ω

ω

)

Dla elementarnej masy

∆

m

i

:

i

i

i

F

r

M

×

=

i

i

i

p

r

L

×

=

- moment p

ę

du:

- moment siły:

t

i

i

d

d L

M

=

i

i

i

i

i

ω

r

ω

r

v

⊥

=

=

×

=

θ

sin

r

ω

v

i

moment
bezwładno

ś

ci:

∑

∆

=

⊥

i

m

r

I

i

i

2

∫

=

m

r

I

d

2

ω

L

Ι

=

ω

ω













∆

=

∆

=

∆

=

∑

∑

∑

⊥

⊥

⊥

⊥

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

m

r

r

m

r

v

m

r

L

2

)

(

Dla całej bryły - obrót wokół osi (zakładaj

ą

c L||

ω

ω

ω

ω

):

Ruch obrotowy (przypadek szczególny L||

ω

ω

ω

ω

i M||

ω

ω

ω

ω

)

t

d

d L

M

=

II zas. dynamiki Newtona dla
ruchu obrotowego ogólnie
spełniona

ε

ω

ω

L

M

I

t

I

t

I

t

=

=

=

=

d

d

d

)

d(

d

d

ε

M

I

=

Je

ś

li:

to:

ω

M ||

ω

L

Ι

=

oraz

3

Znajd

ź

przyspieszenie liniowe klocka o masie m, przyspieszenie k

ą

towe

bloczka oraz napr

ęż

enie nici. Dane s

ą

masa bloczka M i jego promie

ń

R. (Wszelkie

opory i tarcie pomijamy).

2

2

1

MR

Moment bezwładno

ś

ci bloczka wynosi

M

m

m

g

M

m

mg

a

+

=

+

=

2

2

2

M

m

mM

g

N

+

=

2

M

m

m

R

g

+

=

2

2

ε

Ruch postępowy

Ruch obrotowy

ε

I

RN

M

wyp

=

=

ma

N

mg

F

wyp

=

−

=

R

a

=

ε

związek miedzy ruchem

postępowym i obrotowym

II zasada

dynamiki

Newtona

Przykład:

Ruch obrotowy ogólnie

t

d

d L

M

=

II zas. dynamiki Newtona

Dla ka

ż

dej bryły sztywnej mo

ż

na zdefiniowa

ć

trzy prostopadłe osie, zwane głównymi

osiami bezwładno

ś

ci.

• Moment bezwładno

ś

ci ciała wzgl

ę

dem jednej z tych osi jest maksymalny, wzgl

ę

dem

drugiej jest minimalny, za

ś

wzgl

ę

dem trzeciej – ma warto

ść

po

ś

redni

ą

: I

I

≥

I

II

≥

I

III

,

• Je

ś

li ciało ma kształt symetryczny główne osie bezwładno

ś

ci s

ą

tak

ż

e osiami symetrii

ciała.









































=





















⇔

=

z

y

x

zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

xy

xx

z

y

x

I

I

I

I

I

I

I

I

I

L

L

L

ω

ω

ω

ω

I

L

ˆ

ω

L ||

ogólnie gdy:

dodatek

4

Ruch obrotowy wokół osi głównych

1)

W ogólnym przypadku L nie jest równoległy
do

ω

ω

ω

ω

.

2) L jest równoległy do

ω

ω

ω

ω

wówczas, gdy osią

obrotu jest jedna z głównych osi
bezwładności (wtedy:

gdzie

I

jest

wartością skalarną).

ω

L

Ι

=

Kiedy L jest równoległy do

ω

ω

ω

ω

?









































=





















⇔

=

z

y

x

zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

xy

xx

z

y

x

I

I

I

I

I

I

I

I

I

L

L

L

ω

ω

ω

ω

I

L

ˆ









































=





















'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

0

0

0

0

0

0

z

y

x

z

z

y

y

x

x

z

y

x

I

I

I

L

L

L

ω

ω

ω

'

ˆ

'

ˆ

'

ˆ

'

'

'

'

'

'

'

'

'

k

j

i

L

z

z

z

y

y

y

x

x

x

I

I

I

ω

ω

ω

+

+

=

Transformujemy tensor do układu, którego osie współrz

ę

dnych (x’,y’,z’) s

ą

równoległe

do osi głównych bezwładno

ś

ci:

Iˆ

Przykładowe momenty bezwładno

ś

ci wokół osi głównych

5

Przykład:

liczenie momentu bezwładno

ś

ci pr

ę

ta o masie M i długo

ś

ci L.

Moment bezwładno

ś

ci elementu

o masie dm wynosi x

2

dm

∫

−

=

2

/

2

/

2

d

L

L

m

x

I

x

L

m

m

c

d

d

=

je

ż

eli pr

ę

t ma stał

ą

g

ę

sto

ść

:

12

3

d

2

2

/

2

/

3

2

/

2

/

2

L

m

x

L

m

x

x

L

m

I

c

L

L

c

L

L

c

=

=

=

−

−

∫

2

d

m

Ι

Ι

c

S

+

=

Twierdzenie Steinera:

6

Energia kinetyczna w ruchu obrotowym

2

2

2

2

2

1

)

(

2

1

2

1

ω

ω

∑

∑

∑













∆

=

∆

=

∆

=

⊥

⊥

i

i

i

i

i

i

i

i

i

k

r

m

r

m

v

m

E

2

2

1

ω

I

E

k

=

•przypadek szczególny, gdy wektor

ω

ω

ω

ω

jest równoległy do

jednej z osi głównych bezwładno

ś

ci (czyli

L

||

ω

ω

ω

ω

):

)

(

2

1

2

'

'

'

2

'

'

'

2

'

'

'

z

z

z

y

y

y

x

x

x

k

I

I

I

E

ω

ω

ω

+

+

=

•ogólnie, gdy wektor

ω

ω

ω

ω

nie jest równoległy do

ż

adnej z osi

głównej (x’,y’,z’ s

ą

głównymi osiami bezwładno

ś

ci):

Ruch post

ę

powy

Ruch obrotowy

2

2

1

d

d

mv

E

m

t

m

m

k

=

=

=

=

a

F

p

F

F

v

p

a,

v,

r,

2

2

1

,

d

d

Iω

E

I

Ι

t

I

k

=

=

=

=

×

=

×

=

ε

M

ω

L

L

M

F

r

M

p

r

L

ε,

ω,

,

ϕϕϕϕ

przypadek szczególny, gdy wektor

ω

ω

ω

ω

jest równoległy do jednej z osi głównych

bezwładno

ś

ci (czyli

L

||

ω

ω

ω

ω

) oraz

M

||

ω

ω

ω

ω

Analogie ruchu obrotowego do ruchu post

ę

powego

7

Przykład ruchu (1): Wahadło fizyczne

moment siły
powoduj

ą

cy

ruch:

2

2

d

d

t

I

I

M

θ

ε

=

=

θ

θ

sin

d

d

2

2

mgd

t

I

−

=

θ

sin

d

mg

M

−

=

II zasada dynamiki
Newtona dla bryły
sztywnej:

czyli:

dla małych wychyle

ń

θ

:

0

d

d

2

2

=

+

θ

θ

I

mgd

t

poniewa

ż

:

θ

θ

≈

sin

rozwi

ą

zanie równania oscylatora drga

ń

harmonicznych:

)

cos(

)

(

0

0

ϕ

ω

θ

θ

+

=

t

t

I

mgd

=

0

ω

mgd

I

T

π

2

=

0

d

d

2

0

2

2

=

+

θ

ω

θ

t

PRZYKŁADY RUCHU BRYŁY SZTYWNEJ

Przykład ruchu (3): Toczenie si

ę

(bez po

ś

lizgu) po równi pochyłej

– równania ruchu

ma

T

mg

mg

F

R

=

−

=

−

θ

θ

sin

0

cos

ruch post

ę

powy

ruch obrotowy

R

a

I

I

RT

M

SM

SM

=

=

=

ε

.

Toczenie bez po

ś

lizgu:

θ

sin

3

2

g

a

=

np. dla walca:

R

a

ε

=

2

/

sin

R

I

m

mg

a

SM

+

=

θ

ruch post

ę

powy

ruch obrotowy

2

2

1

SM

kp

mv

E

=

R

v

ω

=

2

2

1

ω

I

E

SM

ko

=

2

2

2

1

2

1

ω

SM

SM

I

mv

mgh

+

=

Toczenie bez po

ś

lizgu

np. dla walca

Z zasady zachowania energii

gh

v

SM

3

4

=

2

/

2

R

I

m

mgh

v

SM

SM

+

=

8

const.

0

d

d

=

⇒

=

=

L

L

M

t

const.

=

=

ω

ωω

ω

Ι

L

KONSEKWENCJE ZASADY ZACHOWANIA
MOMENTU PĘDU I DRUGIEJ ZASADY DYNAMIKI
DLA RUCHU OBROTOWEGO

1. Swobodny obrót wokół osi nierównoległej do

ż

adnej z osi głównych

const.

=

L

0

=

M

Precesja „b

ą

ka swobodnego”

•Ziemia nie jest idealna kulą i nie obraca się wokół
osi głównej. Dlatego jej oś obrotu podlega precesji.
•Zmiany położenia osi obrotu,są bardzo niewielkie
(ok. 15 m).
•Okres obiegu wynosi średnio ok. 427 dni.

Precesja osi obrotu Ziemi:

4

2

'

'

R

m

I

I

c

y

x

=

=

2

2

'

R

m

I

c

z

=

9

2. Stała wymuszona o

ś

obrotu

const.

≠

L

const.

d

d

≠

=

t

L

M

Obrót pręta wokół osi nieswobodnej (po lewej) i swobodnej (po prawej)

Obrót wokół osi nieswobodnej: Gdy za pomocą łożysk ustalimy w przestrzeni oś obrotu (narzucimy
na nią więzy), wektor momentu pędu będzie dążył do zmiany orientacji; spowoduje to powstanie sił
oddziaływania między osią a łożyskami. Momenty sił reakcji łożysk spowodują precesję wektora L.
Obrót wokół osi swobodnej: Nie potrzeba łożysk ponieważ momenty sił są zerowe.

W układzie obracającym się siła odśrodkowa dąży do rozmieszczenia masy jak najdalej od osi
obrotu (maksymalny moment bezwładności). Stabilny jest stan odpowiadający zerowemu
momentowi sił odśrodkowych a tym samym zerowym siłom reakcji łożysk.

g

r

M

m

×

=

θ

θ

ϕ

ω

sin

1

sin

L

M

t

L

L

t

p

=

∆

∆

≅

∆

∆

=

∆

t

∆

L

M

=

θ

ω

sin

L

M

p

=

L

ω

M

×

=

p

Zjawisko precesji momentu magnetycznego jest podstaw

ą

ró

ż

nych technik

do

ś

wiadczalnych jak np. magnetyczny rezonans j

ą

drowy (NMR)

Precesja b

ą

ka pod wpływem siły ci

ęż

ko

ś

ci

3. Precesja pod wpływem działaj

ą

cego momentu bezwładno

ś

ci

10

Precesja osi Ziemi spowodowana momentem siły grawitacyjnej

Ziemia nie jest b

ą

kiem swobodnym.

Niejednorodno

ś

ci pola grawitacyjnego w

którym si

ę

porusza (niezerowy moment sił

grawitacji) powoduj

ą

precesj

ę

astronomiczn

ą

wektora momentu p

ę

du (w przybli

ż

eniu

równoległ

ą

do osi obrotu Ziemi

*

). Okres

precesji wynosi ok. 26 000 lat.

Dodatkowo pole grawitacyjne zmienia si

ę

w

czasie (wpływ Ksi

ęż

yca) co powoduje nutacj

ę

.

*

uwaga w punkcie 1. opisano niewielk

ą

precesj

ę

osi obrotu Ziemi wokół kierunku wektora

momentu p

ę

du (

Ziemia nie jest idealna kulą i nie obraca się wokół osi głównej)

ś

yroskop

Je

ś

li

ż

yroskop jest w równowadze przy L = 0 to

b

ę

dzie tak

ż

e w równowadze dla L

≠

0.

Jak zachowa si

ę

ż

yroskop gdy zwi

ę

kszymy lub

zmniejszymy przeciwwag

ę

?

L

mgr

L

M

p

=

=

θ

ω

sin

Cz

ę

sto

ść

precesji

(podobnie jak dla
b

ą

ka):

o

90

=

θ

jest proporcjonalna do
odj

ę

tej/ dodanej masy m.

L

ω

M

×

=

p

11

(

)

(

)

[

]

∑

∑

∑

∑

×

×

∆

=

∆

×

=

×

=

=

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

m

m

r

ω

r

v

r

p

r

L

L

i

i

r

ω

v

×

=

(

) (

) (

)

B

A

C

C

A

B

C

B

A

•

−

•

=

×

×

(

)

(

)

[

]

∑

•

−

⋅

∆

=

i

i

i

i

i

r

m

ω

r

r

ω

L

2

(

)

(

)

[

]

∑

+

+

−

∆

=

i

z

i

y

i

x

i

i

i

i

z

y

x

r

m

ω

ω

ω

r

ω

L

2

















∆

−

∆

−

∆

−

∆

=

∆

−

∆

−

∆

−

∆

=

∆

−

∆

−

∆

−

∆

=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

i

i

i

i

i

i

z

i

i

i

y

i

i

i

x

i

i

z

z

i

i

i

i

i

i

i

z

i

i

y

i

i

i

x

i

i

y

y

i

i

i

i

i

i

i

z

i

i

i

y

i

i

x

i

i

x

x

z

m

y

z

m

x

z

m

r

m

L

z

y

m

y

m

x

y

m

r

m

L

z

x

m

y

x

m

x

m

r

m

L

2

2

2

2

2

2

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

(

)

43

42

1

43

42

1

4

4 3

4

4 2

1

xz

xy

xx

I

i

i

i

i

z

I

i

i

i

i

y

I

i

i

i

i

x

x

z

x

m

y

x

m

x

r

m

L

∑

∑

∑

∆

−

∆

−

−

∆

=

ω

ω

ω

2

2

(

)

(

)

∑

∑

+

∆

=

−

∆

=

i

i

i

i

i

i

i

i

xx

z

y

m

x

r

m

I

2

2

2

2

2

2

2

2

i

i

i

i

z

y

x

r

+

+

=

∑

∆

−

=

=

i

i

i

i

yx

xy

y

x

m

I

I

(

)

(

)

∑

∑

+

∆

=

−

∆

=

i

i

i

i

i

i

i

i

yy

z

x

m

y

r

m

I

2

2

2

2

(

)

(

)

∑

∑

+

∆

=

−

∆

=

i

i

i

i

i

i

i

i

zz

y

x

m

z

r

m

I

2

2

2

2

∑

∆

−

=

=

i

i

i

i

yz

zy

y

z

m

I

I

∑

∆

−

=

=

i

i

i

i

zx

xz

z

x

m

I

I









































=

=

z

y

x

zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

xy

xx

I

I

I

I

I

I

I

I

I

ω

ω

ω

ω

I

L

ˆ

ω

L ||

ogólnie:

UZUPEŁNIENIE – WYPROWADZENIE ZWI

Ą

ZKU

(NADOBOWI

Ą

ZKOWO !)

ω

I

L

ˆ

=