Dynamika i bryła sztywna IM 2012 Lato 
 
Zad. 1 
Ciało doskonale gładkie zsuwa się z równi pochyłej nachylonej do poziomu pod kątem 

α

=30

°

 

i przebywa całą jej długość w ciągu czasu t

1

=10s. Ciało niegładkie przebywa tą samą długość 

w ciągu czasu t

2

=15s. Obliczyć współczynnik tarcia. 

 
Zad. 2 
Ciało porusza się ku górze wzdłuŜ równi pochyłej nachylonej do poziomu pod kątem α=30

o

 z 

prędkością  początkową  v

0

=2m/s.  Jaką  prędkość  uzyska  to  ciało  po  powrocie  do  podstawy 

równi? Współczynnik tarcia µ=0.2. 
 
Zad. 3 
Dwa cięŜarki m

1

=4kg i m

2

=1kg są  połączone niewaŜką i nierozciągliwą nicią przerzuconą przez 

bloczek  umieszczony  na  wierzchołku  równi  pochyłych.  Obliczyć  przyspieszenie  z  jakim 
poruszają  się  cięŜarki.  Współczynnik  tarcia  µ=0.2,  α=60

o

,  β=30

o

,  masę  bloczka  i  tarcie  w  nim 

pomijamy. 
 
Zad. 4 
Klocek  o  masie  m=3kg  połoŜono  na  wózek  o  masie  M=15kg.  Współczynnik  tarcia  między 
tymi ciałami wynosi µ=0,2. Na klocek działa pozioma siła F=20N, a wózek moŜe poruszać się 
swobodnie (bez tarcia) po szynach. Znajd ź przyspieszenie klocka względem wózka. 
 
Zad. 5 
Kula wisząca na nitce o długości L zatacza okrąg w płaszczyźnie poziomej, przy czym nitka 
odchyla się od pionu o kąt 

α

. Obliczyć ile czasu trwa jeden obrót kulki. 

 
Zad. 6 
Kulka  o  masie  m=100g  zatacza  w  płaszczyźnie  poziomej  n  okręgów  o  promieniu            
r=45cm w czasie t=3s. Obliczyć napięcie nitki do której uwiązana jest kulka. 
 
Zad. 7 
Na  brzegu  krąŜącej  tarczy  leŜy  mały  klocek.  Przy  jakiej  liczbie  obrotów  klocek  spadnie?          
F - współczynnik tarcia, d - średnica tarczy. 
 
Zad. 8 
Dane:  m

1

,  m

2

,  µ

1

,  µ

2

,  a,  g;  Szukane:  F  i  N(naciąg).  Dla  jakiej  siły  klocki  poruszają  się  z 

przyśpieszeniem a? ZałoŜyć, Ŝe: 
- bloczek jest niewaŜki oraz lina jest niewaŜka i nierozciągliwa. 

 

 
Zad. 9 
Na płaszczyźnie poziomej leŜy klocek A, a na nim klocek B. Jaki warunek musi spełniać siła F 
działająca na klocek A aby klocek B przesunął się względem klocka A? Dane są masa klocka A 
- m

A

, masa klocka B - m

B

, współczynnik tarcia klocka A o płaszczyznę µ

1

, współczynnik tarcia 

klocka B o klocek A - µ

2

. 

 
Zad. 10 
Na równi pochyłej o kącie nachylenia α znajdują się dwa ciała m

1

 i m

2

, z których m

1

 leŜące 

niŜej  zaopatrzone  jest  w  dynamometr.  Obliczyć  jaką  siłę  będzie  wskazywał  dynamometr, 

jeŜeli  ciało  o  masie  m

1

  porusza  się  z  tarciem  (współczynnik  tarcia  µ),  a  ciało  o  masie  m

2

 

porusza się bez tarcia. 
 
Zad. 11 
Oblicz  przyspieszenie  cięŜarków  przedstawionych  na  rysunku  (tarcie  i  masę  bloczka 
pomijamy): 

 

 

 
Zad. 12 
Po  wypukłym  moście  o  promieniu  krzywizny  R=100m  jedzie  samochód  ze  stałą  prędkością 
v=54km/h.  Masa  samochodu  wynosi  m=2000kg.  Oblicz  siłę  nacisku  samochodu  na  most  w 
jego  najwyŜszym  punkcie.  Jaka  musiałaby  być  prędkość  samochodu,  aby  stracił  on  kontakt  z 
podłoŜem? 
 
Zad. 13 
Wiaderko z wodą uwiązane na sznurku zatacza w płaszczyźnie pionowej okrąg o promieniu R 
licząc od powierzchni wody. Ile co najmniej obrotów na minutę musi wykonać to wiadro, aby 
woda się nie wylała?  
 
Zad. 14 
Z jakim przyśpieszeniem będzie się poruszać leŜąca na stole kartka papieru o wadze 100g, jeśli 
na  pudełko  o  masie  0,5kg  leŜące  na  kartce  działa  pozioma  siła  o  wartości  5N.  Współczynnik 
tarcia między kartką a pudełkiem wynosi 0,2. Natomiast między kartką a stołem współczynnik 
tarcia wynosi 0,1. Przyśpieszenie ziemskie przyjąć równe 10m/s

2

.  

 
Zad. 15 
Cienkościenna rura toczy się bez poślizgu pod wpływem siły cięŜkości po równi nachylonej do 
poziomu pod kątem α=30

o

. Oblicz przyspieszenie ruchu postępowego środka masy. 

 
Zad. 16 
Do  trzech  prętów  o  długości  l

p

  i  masie  m

p

  przymocowano  kule  o  masie  m

k

  i  promieniu  r

k

. 

Układ ten obraca się z prędkością kontową ω

o

 w osi prostopadłej do płaszczyzny utworzonej 

przez  pręty  i  przechodzącej  przez  środek  układu.  Jaki  naleŜy  przyłoŜyć  moment  sił  by 
prędkość kontowa zmalała do ω w czasie t? 

 

 
Zad. 17 
Jaką siłą F naleŜy przycisnąć koniec belki, aby koło zamachowe kręcące się z prędkością ω

o

 

zatrzymało się po czasie t? Dany sa dodatkowo: L

1

, L

2

, m

1

, m

2

, R oraz µ 

 

 
Zad. 18 
Kula o momencie bezwładności I, promieniu R i masie m,  
wtacza się bez poślizgu na równię o wysokości h i  
kącie nachylenia 

α

. Jaka musi być minimalna prędkość  

początkowa v

0

 kuli, aby wtoczyła się na szczyt równi. 

 
Zad. 19 
Klocek  o  masie  m  umieszczono  na  równi  pochyłej  o  masie  M  i  kącie  nachylenia  α  tak,  Ŝe 
zaczął  suwać  się  po  powierzchni  równi.  Jednocześnie  równia  zaczęła  poruszać  się  poziomo. 
Między  klockiem  a  równią  jest  współczynnik  tarcia  µ

1

.  Natomiast  między  równią  a 

poziomym podłoŜem  µ

2

. Obliczyć przyśpieszenie równi. 

 
Zad. 20 
Jaką  maksymalną  prędkość  moŜe  rozwinąć  cyklista  jadący  po  poziomym  torze  przy 
zataczaniu  okręgu  o  promieniu  R,  jeŜeli  dopuszczalne  minimum  kąta  nachylenia  roweru  do 
poziomu, celem uniknięcia poślizgu, jest 

α

? 

 
Zad. 21 
Kula  o  promieniu  R=5cm  leŜy  w  wydrąŜeniu  tarczy  umieszczonej  poziomo  na  wirówce. 
WydrąŜenie  jest  kształtu  kulistego  i  ma  takie  rozmiary,  Ŝe  kulka  wystaje  ponad  tarczę  do 
wysokości  h=8cm.  Odległość  środka  wydrąŜenia  od  osi  tarczy  wynosi  d=15cm.  Ile  obrotów 
na sekundę wirówki spowoduje wytrącenie kulki z równowagi? 
 
Zad. 22 
Na ciało o masie m działa siła stale w kierunku ruchu ciała. Siła ta zmienia się jednostajnie od 
wartości zerowej do F w czasie t. Oblicz prędkość v

o

, z jaką ciało rozpoczęło ruch, jeŜeli siła 

działająca zwiększyła prędkość dwukrotnie. 
 
Zad. 23 
Wagon  kolejowy  zatacza  na  szynach  łuk  o  promieniu  r=86m.  Rozstęp  szyn  d=1,6m. 
Zewnętrzna  szyna  leŜy  o  h=6cm  wyŜej  niŜ  szyna  wewnętrzna.  Przy  jakiej  maksymalnej 
prędkości tego wagonu podróŜni nie odczują na zakręcie szarpania? 
 
Zad. 24 
Wóz kolejowy zatacza łuk o promieniu r. Rozstęp szyn wynosi a, środek cięŜkości wozu leŜy 
o h ponad górnym poziomem szyn. Przy jakiej prędkości ten wóz wyskoczyłby z szyn? 
 
Zad. 25 
Dane: 
m

1

, m

2

, m

b

, R, F, g 

Szukane: a 
ZałoŜyć, Ŝe: 
- bloczek jest jednorodnym walcem 
- lina jest niewaŜka i nierozciągliwa.  
 
Zad. 26 
Dane: 
m

1

, m

2

, µ

1

, µ

2

, α, F, g, m

b

, R

b 

Szukane: a i N(naciąg) 
ZałoŜyć, Ŝe: 
- bloczek jest w kształcie jednorodnego walca, 
- lina jest niewaŜka i nierozciągliwa. 

 

 

 

 
Zad. 27 
Dane: m

1

, m

2

, µ

1

, µ

2

, a, g, m

b

, R

b

; Szukane: F i N(naciąg). Dla jakiej siły klocki poruszają się 

z przyśpieszeniem a? ZałoŜyć, Ŝe: 
- bloczek jest w kształcie jednorodnego walca, 
- lina jest niewaŜka i nierozciągliwa. 

 

 
Zad. 28 
Kołowrót  o  masie  m,  momencie  bezwładności  I

0

  i  promieniach  zewnętrznym  R  oraz 

wewnętrznym  r  leŜy  na  płaszczyźnie  poziomej.  Na  kołowrót  nawinięta  jest  nić,  do  której  
przyłoŜono siłę F. Opisz ruch kołowrotu w zaleŜności od kąta α. jaki tworzy nić z kierunkiem 
poziomym. 

 

 
Zad. 29 
Kulka,  staczająca  się  bez  poślizgu  z  równi  pochyłej  o  kącie  nachylenia  α=30

0

,  uderza  w 

płaszczyznę  poziomą  i  podskakuje  na  wysokość  h=12,5cm  w  rzucie  ukośnym.  Zaniedbując 
tarcie  i  zakładając,  Ŝe  uderzenie  jest  doskonale  spręŜyste  znaleźć  drogę  jaką  przebyła  kulka 
wzdłuŜ równi pochyłej. Moment bezwładności kulki I=0,4mR

2

. 

 
Zad. 30 
Na cienkościenną obręcz masie m=0,3kg nawinięto nić, której koniec przymocowano do sufitu 
windy. Podczas ruchu windy do góry z przyspieszeniem a=1/3g obręcz odwija się z nawiniętej 
na  nią  nici.  Obliczyć  przyspieszenie  osi  obręczy  względem  windy  oraz  siłę  napięcia  nici.  Dla 
prostoty przyjąć, Ŝe nić jest pionowa. 
 
Zad. 31 
Na krąŜku o momencie bezwładności I zwieszone są na niciach bloczki  
o masach m

1

 i m

2

. Dane są promienie R i r. Oblicz przyspieszenie,  

z jakimi poruszają się bloczki. ZałoŜyć, Ŝe lina jest niewaŜka i  
nierozciągliwa oraz (R·m

1

<r·m

2

). 

 
Zad. 32 
Oblicz  moment  bezwładności  „hantli”  składającej  się  z  cienkiego  pręta  o  masie  m

1

=0,1  kg  i 

długości l=0,2 m oraz dwóch kul o masach m

2

=0,5 kg i o promieniach R=5 cm względem osi 

prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego środek cięŜkości.  
 
Zad. 33 
Obliczyć  moment  bezwładności  jednorodnego  pręta  o  masie  m  i  długości  L  dla  osi 
przechodzącej  przez:  a)  środek  pręta,  b)  koniec  pręta,  c)  jednej  czwartej  długości  od  końca 
pręta. Przyjąć, Ŝe oś obrotu jest prostopadła do pręta.  
 
Zad. 34 
Oblicz  moment  siły  F  =  [3;  4]    [N]  zaczepionej  w  punkcie  P  o  współrzędnych  (1;  2)  [m] 
względem początku układu współrzędnych. 

 

 
Zad. 35 
Pręt  ustawiony  pod  kątem  α=30

o

  względem  pionu  i  zamocowany  sztywno  dolnym  końcem  do 

pionowej osi obrotu wiruje z prędkością kątową ω=5rad/s. Na pręcie osadzona jest kulka, która 
moŜe się po nim ślizgać bez tarcia. W jakiej odległości l od dolnego końca pręta kulka osiągnie 
stan równowagi. 
 
Zad. 36 
Przez  dwa  krąŜki  o  momentach  bezwładności  I

1

  i  I

2

  przerzucona  jest  nić,  na  końcach  której 

przymocowane  są  dwie  masy  m

1

  i  m

2

.  Dane  są  promienie  krąŜków  R

1

  i  R

2

.  Oblicz 

przyspieszenie, z jakim będą poruszać się masy.  

 

 
Zad. 37/38 
Przez  krąŜek  o  momencie  bezwładności  I  i  promieniu  R  przewieszona  jest  nić,  do  końców 
której  przymocowane  są  masy  m

1

  i  m

2

.  Masa  m

1

  porusza  się  po  równi  pochyłej  o  kącie 

nachylenia 

α

.  Oblicz  przyspieszenie,  z  jakim  poruszają  się  masy  (tarcie  między  równią  a 

masą m

1

 moŜna zaniedbać). 

a) 

  b)  

 

 
Zad. 39 
Walec o masie m

w

 i promieniu r

w

 połączony jest z cienką rurą o masie m

r

 i  

promieniu r

r

 za pomocą dwóch prętów o masie m

p

 i odpowiedniej długości.  

Układ ten wiruje z prędkością kątową ω jak na rys. Pod wpływem jakiego  
momentu sił ciało zatrzymało się w czasie t? 
 
Zad. 40 
Znaleźć współczynnik tarcia dla sytuacji,  
kiedy klocek zaczyna się juŜ poruszać  
(warunek graniczny). 
 
Zad. 41 
Na stole znajduje się jednorodny  walec o masie  M i promieniu R, który  porusza się ruchem 
jednostajnie  zmiennym  bez  poślizgu  pod  wpływem  działania  cięŜarka  o  masie  m

2

.  CięŜarek 

m

2

  jest  połączony  w  walcem  za  pomocą  niewaŜkiej  i  nie  rozciągliwej  liny  poprzez  bloczek, 

którego  masa  wynosi  m  i  promień  r.  Lina  nie  ślizga  się  po  bloczku.  Oblicz  przyśpieszenie 
cięŜarka.