Dynamika i bryła sztywna IM 2012 Lato

Zad. 1
Ciało doskonale gładkie zsuwa się z równi pochyłej nachylonej do poziomu pod kątem

α

=30

°

i przebywa całą jej długość w ciągu czasu t

1

=10s. Ciało niegładkie przebywa tą samą długość

w ciągu czasu t

2

=15s. Obliczyć współczynnik tarcia.

Zad. 2
Ciało porusza się ku górze wzdłuż równi pochyłej nachylonej do poziomu pod kątem α=30

o

z

prędkością początkową v

0

=2m/s. Jaką prędkość uzyska to ciało po powrocie do podstawy

równi? Współczynnik tarcia µ=0.2.

Zad. 3
Dwa ciężarki m

1

=4kg i m

2

=1kg są połączone nieważką i nierozciągliwą nicią przerzuconą przez

bloczek umieszczony na wierzchołku równi pochyłych. Obliczyć przyspieszenie z jakim
poruszają się ciężarki. Współczynnik tarcia µ=0.2, α=60

o

, β=30

o

, masę bloczka i tarcie w nim

pomijamy.

Zad. 4
Klocek o masie m=3kg położono na wózek o masie M=15kg. Współczynnik tarcia między
tymi ciałami wynosi µ=0,2. Na klocek działa pozioma siła F=20N, a wózek może poruszać się
swobodnie (bez tarcia) po szynach. Znajd ź przyspieszenie klocka względem wózka.

Zad. 5
Kula wisząca na nitce o długości L zatacza okrąg w płaszczyźnie poziomej, przy czym nitka
odchyla się od pionu o kąt

α

. Obliczyć ile czasu trwa jeden obrót kulki.

Zad. 6
Kulka o masie m=100g zatacza w płaszczyźnie poziomej n okręgów o promieniu
r=45cm w czasie t=3s. Obliczyć napięcie nitki do której uwiązana jest kulka.

Zad. 7
Na brzegu krążącej tarczy leży mały klocek. Przy jakiej liczbie obrotów klocek spadnie?
F - współczynnik tarcia, d - średnica tarczy.

Zad. 8
Dane: m

1

, m

2

, µ

1

, µ

2

, a, g; Szukane: F i N(naciąg). Dla jakiej siły klocki poruszają się z

przyśpieszeniem a? Założyć, że:
- bloczek jest nieważki oraz lina jest nieważka i nierozciągliwa.

Zad. 9
Na płaszczyźnie poziomej leży klocek A, a na nim klocek B. Jaki warunek musi spełniać siła F
działająca na klocek A aby klocek B przesunął się względem klocka A? Dane są masa klocka A
- m

A

, masa klocka B - m

B

, współczynnik tarcia klocka A o płaszczyznę µ

1

, współczynnik tarcia

klocka B o klocek A - µ

2

.

Zad. 10
Na równi pochyłej o kącie nachylenia α znajdują się dwa ciała m

1

i m

2

, z których m

1

leżące

niżej zaopatrzone jest w dynamometr. Obliczyć jaką siłę będzie wskazywał dynamometr,

jeżeli ciało o masie m

1

porusza się z tarciem (współczynnik tarcia µ), a ciało o masie m

2

porusza się bez tarcia.

Zad. 11
Oblicz przyspieszenie ciężarków przedstawionych na rysunku (tarcie i masę bloczka
pomijamy):

Zad. 12
Po wypukłym moście o promieniu krzywizny R=100m jedzie samochód ze stałą prędkością
v=54km/h. Masa samochodu wynosi m=2000kg. Oblicz siłę nacisku samochodu na most w
jego najwyższym punkcie. Jaka musiałaby być prędkość samochodu, aby stracił on kontakt z
podłożem?

Zad. 13
Wiaderko z wodą uwiązane na sznurku zatacza w płaszczyźnie pionowej okrąg o promieniu R
licząc od powierzchni wody. Ile co najmniej obrotów na minutę musi wykonać to wiadro, aby
woda się nie wylała?

Zad. 14
Z jakim przyśpieszeniem będzie się poruszać leżąca na stole kartka papieru o wadze 100g, jeśli
na pudełko o masie 0,5kg leżące na kartce działa pozioma siła o wartości 5N. Współczynnik
tarcia między kartką a pudełkiem wynosi 0,2. Natomiast między kartką a stołem współczynnik
tarcia wynosi 0,1. Przyśpieszenie ziemskie przyjąć równe 10m/s

2

.

Zad. 15
Cienkościenna rura toczy się bez poślizgu pod wpływem siły ciężkości po równi nachylonej do
poziomu pod kątem α=30

o

. Oblicz przyspieszenie ruchu postępowego środka masy.

Zad. 16
Do trzech prętów o długości l

p

i masie m

p

przymocowano kule o masie m

k

i promieniu r

k

.

Układ ten obraca się z prędkością kontową ω

o

w osi prostopadłej do płaszczyzny utworzonej

przez pręty i przechodzącej przez środek układu. Jaki należy przyłożyć moment sił by
prędkość kontowa zmalała do ω w czasie t?

Zad. 17
Jaką siłą F należy przycisnąć koniec belki, aby koło zamachowe kręcące się z prędkością ω

o

zatrzymało się po czasie t? Dany sa dodatkowo: L

1

, L

2

, m

1

, m

2

, R oraz µ

Zad. 18
Kula o momencie bezwładności I, promieniu R i masie m,
wtacza się bez poślizgu na równię o wysokości h i
kącie nachylenia

α

. Jaka musi być minimalna prędkość

początkowa v

0

kuli, aby wtoczyła się na szczyt równi.

Zad. 19
Klocek o masie m umieszczono na równi pochyłej o masie M i kącie nachylenia α tak, że
zaczął suwać się po powierzchni równi. Jednocześnie równia zaczęła poruszać się poziomo.
Między klockiem a równią jest współczynnik tarcia µ

1

. Natomiast między równią a

poziomym podłożem µ

2

. Obliczyć przyśpieszenie równi.

Zad. 20
Jaką maksymalną prędkość może rozwinąć cyklista jadący po poziomym torze przy
zataczaniu okręgu o promieniu R, jeżeli dopuszczalne minimum kąta nachylenia roweru do
poziomu, celem uniknięcia poślizgu, jest

α

?

Zad. 21
Kula o promieniu R=5cm leży w wydrążeniu tarczy umieszczonej poziomo na wirówce.
Wydrążenie jest kształtu kulistego i ma takie rozmiary, że kulka wystaje ponad tarczę do
wysokości h=8cm. Odległość środka wydrążenia od osi tarczy wynosi d=15cm. Ile obrotów
na sekundę wirówki spowoduje wytrącenie kulki z równowagi?

Zad. 22
Na ciało o masie m działa siła stale w kierunku ruchu ciała. Siła ta zmienia się jednostajnie od
wartości zerowej do F w czasie t. Oblicz prędkość v

o

, z jaką ciało rozpoczęło ruch, jeżeli siła

działająca zwiększyła prędkość dwukrotnie.

Zad. 23
Wagon kolejowy zatacza na szynach łuk o promieniu r=86m. Rozstęp szyn d=1,6m.
Zewnętrzna szyna leży o h=6cm wyżej niż szyna wewnętrzna. Przy jakiej maksymalnej
prędkości tego wagonu podróżni nie odczują na zakręcie szarpania?

Zad. 24
Wóz kolejowy zatacza łuk o promieniu r. Rozstęp szyn wynosi a, środek ciężkości wozu leży
o h ponad górnym poziomem szyn. Przy jakiej prędkości ten wóz wyskoczyłby z szyn?

Zad. 25
Dane:
m

1

, m

2

, m

b

, R, F, g

Szukane: a
Założyć, że:
- bloczek jest jednorodnym walcem
- lina jest nieważka i nierozciągliwa.

Zad. 26
Dane:
m

1

, m

2

, µ

1

, µ

2

, α, F, g, m

b

, R

b

Szukane: a i N(naciąg)
Założyć, że:
- bloczek jest w kształcie jednorodnego walca,
- lina jest nieważka i nierozciągliwa.

Zad. 27
Dane: m

1

, m

2

, µ

1

, µ

2

, a, g, m

b

, R

b

; Szukane: F i N(naciąg). Dla jakiej siły klocki poruszają się

z przyśpieszeniem a? Założyć, że:
- bloczek jest w kształcie jednorodnego walca,
- lina jest nieważka i nierozciągliwa.

Zad. 28
Kołowrót o masie m, momencie bezwładności I

0

i promieniach zewnętrznym R oraz

wewnętrznym r leży na płaszczyźnie poziomej. Na kołowrót nawinięta jest nić, do której
przyłożono siłę F. Opisz ruch kołowrotu w zależności od kąta α. jaki tworzy nić z kierunkiem
poziomym.

Zad. 29
Kulka, staczająca się bez poślizgu z równi pochyłej o kącie nachylenia α=30

0

, uderza w

płaszczyznę poziomą i podskakuje na wysokość h=12,5cm w rzucie ukośnym. Zaniedbując
tarcie i zakładając, że uderzenie jest doskonale sprężyste znaleźć drogę jaką przebyła kulka
wzdłuż równi pochyłej. Moment bezwładności kulki I=0,4mR

2

.

Zad. 30
Na cienkościenną obręcz masie m=0,3kg nawinięto nić, której koniec przymocowano do sufitu
windy. Podczas ruchu windy do góry z przyspieszeniem a=1/3g obręcz odwija się z nawiniętej
na nią nici. Obliczyć przyspieszenie osi obręczy względem windy oraz siłę napięcia nici. Dla
prostoty przyjąć, że nić jest pionowa.

Zad. 31
Na krążku o momencie bezwładności I zwieszone są na niciach bloczki
o masach m

1

i m

2

. Dane są promienie R i r. Oblicz przyspieszenie,

z jakimi poruszają się bloczki. Założyć, że lina jest nieważka i
nierozciągliwa oraz (R·m

1

<r·m

2

).

Zad. 32
Oblicz moment bezwładności „hantli” składającej się z cienkiego pręta o masie m

1

=0,1 kg i

długości l=0,2 m oraz dwóch kul o masach m

2

=0,5 kg i o promieniach R=5 cm względem osi

prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego środek ciężkości.

Zad. 33
Obliczyć moment bezwładności jednorodnego pręta o masie m i długości L dla osi
przechodzącej przez: a) środek pręta, b) koniec pręta, c) jednej czwartej długości od końca
pręta. Przyjąć, że oś obrotu jest prostopadła do pręta.

Zad. 34
Oblicz moment siły F = [3; 4] [N] zaczepionej w punkcie P o współrzędnych (1; 2) [m]
względem początku układu współrzędnych.

Zad. 35
Pręt ustawiony pod kątem α=30

o

względem pionu i zamocowany sztywno dolnym końcem do

pionowej osi obrotu wiruje z prędkością kątową ω=5rad/s. Na pręcie osadzona jest kulka, która
może się po nim ślizgać bez tarcia. W jakiej odległości l od dolnego końca pręta kulka osiągnie
stan równowagi.

Zad. 36
Przez dwa krążki o momentach bezwładności I

1

i I

2

przerzucona jest nić, na końcach której

przymocowane są dwie masy m

1

i m

2

. Dane są promienie krążków R

1

i R

2

. Oblicz

przyspieszenie, z jakim będą poruszać się masy.

Zad. 37/38
Przez krążek o momencie bezwładności I i promieniu R przewieszona jest nić, do końców
której przymocowane są masy m

1

i m

2

. Masa m

1

porusza się po równi pochyłej o kącie

nachylenia

α

. Oblicz przyspieszenie, z jakim poruszają się masy (tarcie między równią a

masą m

1

można zaniedbać).

a)

b)

Zad. 39
Walec o masie m

w

i promieniu r

w

połączony jest z cienką rurą o masie m

r

i

promieniu r

r

za pomocą dwóch prętów o masie m

p

i odpowiedniej długości.

Układ ten wiruje z prędkością kątową ω jak na rys. Pod wpływem jakiego
momentu sił ciało zatrzymało się w czasie t?

Zad. 40
Znaleźć współczynnik tarcia dla sytuacji,
kiedy klocek zaczyna się już poruszać
(warunek graniczny).

Zad. 41
Na stole znajduje się jednorodny walec o masie M i promieniu R, który porusza się ruchem
jednostajnie zmiennym bez poślizgu pod wpływem działania ciężarka o masie m

2

. Ciężarek

m

2

jest połączony w walcem za pomocą nieważkiej i nie rozciągliwej liny poprzez bloczek,

którego masa wynosi m i promień r. Lina nie ślizga się po bloczku. Oblicz przyśpieszenie
ciężarka.