Ruch obrotowy bryły

Ruch obrotowy bryły

sztywnej

sztywnej



1. Wprowadzenie



2. Energia kinetyczna w ruchu
obrotowym



3. Moment bezwładności



4. Prawo Steinera



5. Przykład



6. Moment siły i moment pędu



7. Analogia równań i praw



8. II Zasada Dynamiki Ruchu Obrotowego

1. Wprowadzenie

1. Wprowadzenie



prawa ruchu postępowego nie
wystarczają do opisania ruchu
obrotowego bryły



bryła sztywna - niezmienne odległości
pomiędzy punktami



n.p. walce na równi pochyłej

A

B

m

1

m

2

m

1

m

2

B

A

B

A

a

a

m

m



 



B

A

a

a



 



:

:

2

1

to

jeśli





2. Energia kinetyczna w

2. Energia kinetyczna w

ruchu obrotowym

ruchu obrotowym

O

r

2

r

1

v

1

v

2



m

1



m

2





























i

i

i

i

i

i

k

i

i

i

i

i

i

i

k

k

r

m

r

m

E

r

v

v

m

E

E

2

2

2

2

2

,

2

2

1

2







2

2



I

E

k



3. Moment bezwładności

3. Moment bezwładności





















V

V

n

i

i

i

dV

r

dm

r

I

n

r

m

I

'

2

2

1

2



dla

I

mR



2

5

2

I

mR



1

2

2

I mR



2

I

mL



1

12

2

I -

własność bryły -
- moment bezwładności

[I] = 1
kgm

2

1. Zaproponuj swojá nazwe



dla osi równoległych do osi
przechodzącej przez środek masy

ŚM

2

md

I

I

ŚM

S





S

d

4. Prawo Steinera

4. Prawo Steinera

Policz moment bezwladnosci swojego
dlugopisu (ilosciowo)

5. Przykład

5. Przykład

L

dr

R

w

R

z

Obliczyć moment bezwładności rury





V

dm

r

I

2

)

(

2

1

)

(

)

)(

(

2

)

(

2

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

4

4

3

2

w

z

w

z

w

z

w

z

w

z

R

R

R

R

V

R

R

m

I

L

R

R

V

m

R

R

R

R

L

R

R

L

r

L

dr

r

L

rdr

L

r

I

rdr

dS

LdS

dV

dm

z

w

z

w































































6. Moment siły i moment

6. Moment siły i moment

pędu

pędu

z

x

y

r

 

p F

,

m

p

r

L

F

r

M

























L

M

- moment pędu (kręt), [L] = 1 kgm

2

/s

- moment siły, [M]=1 Nm

“Angular momentum”

Prosze podac przyklad dzialania momentu sily

7. Analogia równań i praw

7. Analogia równań i praw

R u c h

p o s tę p o w y

R u c h

o b r o to w y

E n e r g ia

k in e ty c z n a

m v

2

2

I



2

2

I I Z a s a d a

D y n a m ik i









F

m a

F

d p

d t













M

I

M

d L

d t







pę d





p

m v



m o m e n t pę d u





L

I





8. II Zasada Dynamiki

8. II Zasada Dynamiki

Ruchu Obrotowego

Ruchu Obrotowego









M

dL

dt

M I





lub









L

mg



R





 







 



R

mg

M r mg
M t

L

L L

L



 



 







'

Ruch obrotowy bryły

Ruch obrotowy bryły

sztywnej, c.d.

sztywnej, c.d.



1. Zasada Zachowania Momentu
Pędu



2. Przykład 1



3. Przykład 2



4.Toczenie



5. Precesja i żyroskopy

1. Zasada Zachowania

1. Zasada Zachowania

Momentu Pędu

Momentu Pędu



analogia do zasady zachowania
pêdu

dL

dt

M

M

M

M

M

M

dL

dt

M

jeśli

M

to

dL

dt

a L I

const

n

wew i

i

zew j

j

wew i

i

zew j

j

zew j

j































 



























1

2

0

0

0

....

;

;

:

, :

,

,

,

,

,



Moment pędu układu, na który nie

działają momenty sił zewnętrznych, lub

działające momenty sił się równoważą,

pozostaje stały

Prosze podac analaog liniowy

2. Przykład 1

2. Przykład 1

I

II

i

I

i

i

i

II

i

i

I

II

II

II

I

I

II

I

i

i

i

r

m

r

m

I

I

I

I

L

L

r

m

I

L

























































więc

a

bo

)

(

)

(

)

(

2

2

2



L

I

I

II

II



brak momentów sił
zewnętrznych

4. Przykład 2

4. Przykład 2



L

z uk

,

0



L

k



L

cz



L

k

z











L

L

L

L

L

z uk

k

cz

cz

k

,









0



L

k



L

cz

5. Toczenie

5. Toczenie

R

v

1

v

2

środek chwilowego
obrotu



2

2

2

2

2

2

2

2

2









o

k

o

k

k

k

I

R

m

E

R

v

I

mv

E

E

E

o

p















I - suma ruchów
postępowego
i obrotowego

II - ruch złożony (toczenie) + Prawo Steinera

2

)

(

2

)

(

2

2

2

2

2

2







mR

I

md

I

I

E

o

o

k











6. Precesja i żyroskopy

6. Precesja i żyroskopy

mg



R





L

d





dL Mdt









L

1



L

2

dL



 

















 

 

L

L dL

M L

dL L

d

M

L

dL

dt

L

d

dt

rmg

r g

L

L

mgr

I

p

p

p

p

p

2

1

 

















sin

sin

sin

sin ,

sin

,



 

















p