1

Logarytm. Funkcja logarytmiczna.

Przygotowa la Izabela Wardach

1

Logarytmem liczby b > 0 przy podstawie a > 0 i a 6= 1 taki nazywamy wyk ladnik pot¸

egi c,

do kt´

orego nale˙zy podnie´

s´

c a aby otrzyma´

c b:

log

a

b = c ⇔ a

c

= b

Zgodnie z powy˙zsz¸

a definicj¸

a mamy:

log

a

a = 1

log

a

1 = 0, dla a > 0, a 6= 1

log

a

a

c

= c

a

log

a

c

= c, dla c > 0, a > 0, a 6= 1

Symbol loga bez wskazania podstawy logartymu oznacza logarytm dziesi¸

etny liczby a czyli

logarytm o podstawie 10.
Dzia lania na logarytmach:

log

a

(x · y) = log

a

x + log

a

y, dla x > 0, y > 0, a 6= 1, a > 0

log

a



x
y



= log

a

x − log

a

y, dla x > 0, y > 0, a 6= 1, a > 0

log

a

x

n

= n · log

a

x, dla x > 0, a 6= 1, a > 0, n ∈ R

log

a

b =

log

c

b

log

c

a

, dla a, b, c > 0, a, b 6= 1

Prawdziwa jest r´

own´

s´

c dla dowolnych dodatnich i r´

o´

znych od jedno´

sci liczb a i b:

log

a

b =

1

log

b

a

Funkcj¸

e

y = log

a

x = 1, gdzie a > 0 i a 6= 1

nazywamy funkcj¸

a logarytmiczn¸

a. Dziedzin¸

a tej funkcji jest zbi´

or R

+

, Funkcja ta jest

rosn¸

aca dla a > 1

x

1

< x

2

⇒ y

1

< y

2

log

a

x

1

< log

a

x

2

,

a malej¸

aca dla a ∈ (0, 1)

x

1

< x

2

⇒ y

1

> y

2

log

a

x

1

> log

a

x

2

,

1

na podstawie:

1. W.Leksi´

nski, B.Macukow, W. ˙

Zakowski Matematyka dla maturzyst´

ow - definicje, twierdzenia, wzory,

przyk lady, WNT, Warszawa 1994.

2. W. ˙

Zakowski Matematyka dla kandydat´

ow na wy˙zsze uczelnie - algebra i analiza matematyczna, WNT,

Warszawa 1994.

1