1

METODY STATYSTYCZNE I

ĆWICZENIA 1 - część 1

Zad. 1
Populacja generalna ma rozkład normalny N(6,3). Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia
z próby liczącej dziewięć elementów będzie mniejsza od 4? Wygenerować z tego rozkładu
próbę dziewięcioelementową i obliczyć dla niej średnią.

Zad. 2
Z pewnej populacji o rozkładzie N(3,1) pobrano dziewięcioelementową próbę prostą, z innej
populacji o rozkładzie N(5,2) pobrano czteroelementową próbę prostą. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że średnia z pierwszej próby nie będzie większa od średniej z drugiej
próby. Wygenerować próby o podanych liczebnościach z powyższych rozkładów i wyznaczyć
dla nich średnie.

Zad. 3
Z populacji normalnej o wariancji równej 4 pobrano próbę o liczebności 11. Obliczyć:

a)

(

)

4

2

≤

S

P

b)

( )

2

S

E

c)

( )

2

2

S

D

Zad. 4
Z populacji normalnej o wariancji równej 4 pobrano próbę o liczebności 51. Obliczyć

(

)

5

2

<

S

P

.

Zad. 5
Zmienne losowe X, Y, Z, W są niezależne, przy czym

( )

0,1

N

~

X

,

( )

1,1

N

~

Y

,

2

8

~

χ

Z

,

2

10

~

χ

W

. Obliczyć prawdopodobieństwa:

a)

(

)

(

)

21

1

2

2

>

+

−

+

W

Y

X

P

b)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

+

<

Z

X

Y

P

2

12

13

1

c)

(

)

W

Z

Y

X

P

+

+

>

+

96

,

0

1

Zad. 6
Z dwóch populacji o rozkładach normalnych N(15, 28,82) i N(20, 28,82) wylosowano dwie
próby proste uzyskując następujące wyniki:
i = 1 2 3 4 5

i

x

1

17 16 13 18

i

x

2

18 21 24 19 18

Obliczyć prawdopodobieństwa:

a)

(

)

2

1

6 X

X

P

+

>

b)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

<

2

1

2

1

03

,

3

s

s

S

S

P

c)

(

)

2

1

956

,

3

S

S

P

>

2

Zad. 7
Niech

10

1

,

,

X

X

K

oraz

8

1

,

,

Y

Y

K

będą niezależnymi próbami prostymi z rozkładów

odpowiednio

(

)

σ

,

m

N

1

oraz

(

)

σ

,

m

N

2

.

a) Podać rozkład zmiennej losowej

(

)

2

2

1

1

σ

m

X

W

−

=

oraz

X

Y

Z

−

=

.

b) Obliczyć

(

)

2

2

9

,

6

Y

X

S

S

P

<

, gdzie

2

X

S oraz

2

Y

S są odpowiednio wariancjami z tych prób.

Zad. 8
Niech

4

1

,

,

X

X

K

będzie próbą losową prostą z rozkładu

( )

2

0,

N

. Obliczyć:

a)

(

)

56

,

6

4

3

2

1

≥

−

−

−

X

X

X

X

P

b)

(

)

26

,

31

3

2

≤

S

P

c)

{

}

{

}

(

)

26

,

31

3

56

,

6

2

4

3

2

1

≤

∪

≥

+

+

+

S

X

X

X

X

P

Zad. 9
Niech

6

1

,

,

X

X

K

będzie prostą próbą losową z rozkładu

( )

2

0,

N

.

a) Obliczyć prawdopodobieństwo

(

)

14

,

2

~

2

≥

S

P

.

b) Obliczyć

( )

2

~

S

E

oraz

( )

2

2

~

S

D

.

Zad. 10
Z wykorzystaniem dowolnego pakietu obliczeniowego sporządzić wykresy dystrybuant
i funkcji gęstości rozkładów normalnych:

( )

1

0,

N

,

( )

1

2,

N

. Zamieścić w jednym układzie

współrzędnych wykresy dystrybuant a w drugim wykresy funkcji gęstości.

Zad. 11
Z wykorzystaniem dowolnego pakietu obliczeniowego sporządzić wykresy dystrybuant
i funkcji gęstości rozkładów chi-kwadrat dla 5 i 8 stopni swobody. Zamieścić w jednym
układzie współrzędnych wykresy dystrybuant a w drugim wykresy funkcji gęstości.

3

ĆWICZENIA 1 - część 2

Zad. 12
Z populacji generalnej o rozkładzie Poissona z parametrem

λ pobieramy n-elementową

prostą próbę losową

n

X

X

,

,

1

K

. Wyznaczyć metodą momentów oraz metodą największej

wiarogodności estymator parametru

λ . Czy uzyskane estymatory są nieobciążone i zgodne?

Sprawdzić efektywność uzyskanych estymatorów. Wygenerować stuelementową
oraz milionową próbę z rozkładu Poissona dla

2

=

λ

, obliczyć wartości uzyskanych

estymatorów, przeprowadzić dyskusję na temat otrzymanych wyników.

Zad. 13
Z populacji generalnej o rozkładzie wykładniczym z parametrem

λ pobieramy n-elementową

prostą próbę losową

n

X

X

,

,

1

K

. Wyznaczyć metodą momentów oraz metodą największej

wiarogodności estymator parametru

λ . Wygenerować stuelementową oraz milionową próbę

z rozkładu wykładniczego dla

1

=

λ

, obliczyć wartości uzyskanych estymatorów,

przeprowadzić dyskusję na temat otrzymanych wyników.

Zad. 14
Cecha X ma rozkład o dystrybuancie

( )

(

)

{

}

⎩

⎨

⎧

≤

>

+

−

−

=

0

,

0

0

,

1

exp

1

;

x

x

x

x

F

θ

θ

,

1

>

θ

.

Na podstawie n-elementowej prostej próby losowej

n

X

X

,

,

1

K

znaleźć metodą największej

wiarogodności oraz metodą momentów estymator parametru

θ .

Zad. 15
Niech

n

X

X

,

,

1

K

będzie prostą próbę losową pobraną z rozkładu wykładniczego o funkcji

gęstości

( )

x

X

e

x

f

λ

λ

−

=

,

0

>

x

. Niech

n

Y

Y

,

,

1

K

będzie niezależną od

n

X

X

,

,

1

K

prostą próbą

losową pobraną z rozkładu wykładniczego o funkcji gęstości

( )

x

Y

e

x

f

λ

λ

2

2

−

=

,

0

>

x

. Znaleźć

metodą największej wiarogodności estymator parametru

λ

(

)

0

>

λ

na podstawie próby

n

n

Y

Y

X

X

,

,

,

,

,

1

1

K

K

.

Zad. 16
Niech

n

X

X

,

,

1

K

prostą próbę losową pobraną z rozkładu o funkcji gęstości

( )

(

)

1

1

+

−

−

+

=

α

α

x

x

X

e

e

x

f

,

0

>

α

. Znaleźć metodą największej wiarogodności estymator parametru

α .

Zad. 17
Z populacji, w której cecha X ma rozkład o funkcji gęstości

( )

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≤

>

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

+

0

0

1

0

0

,

0

,

;

x

x

x

x

x

x

x

x

f

θ

θ

θ

,

1

>

θ

oraz

0

0

>

x

, wylosowano n-elementową prostą próbę losową

n

X

X

,

,

1

K

.

Wykorzystując metodę największej wiarogodności oraz metodę momentów znaleźć
estymatory parametru

θ .

4

Zad. 18
Na podstawie n-elementowej prostej próby losowej

n

X

X

,

,

1

K

wyznaczyć:

a) estymator MNW parametru

θ , jeśli próba pochodzi z rozkładu Weibulla o gęstości

( )

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≤

>

=

−

0

,

0

0

,

3

3

2

x

x

e

x

x

f

x

θ

θ

,

0

>

θ

;

b) estymatory MM parametrów

µ

i

ν jeśli próba pochodzi z rozkładu o gęstości

( )

⎩

⎨

⎧

<

<

−

=

poza

,

0

1

0

,

x

x

x

f

ν

µ

.