Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów moŜna zamawiać:
antitau1@wp.pl
I Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
rok szkolny 2005/06
Zadania zawodów I stopnia
1. Dowieść, Ŝe
1
48
7
24
5
8
3
=
−
+
−
+
−
.
2. Dany jest czworokąt wypukły o następujących własnościach:
• w czworokąt moŜna wpisać okrąg,
• przekątne czworokąta są prostopadłe.
Dowieść, Ŝe jedna z przekątnych czworokąta dzieli drugą na połowy.
3. W kole o promieniu 10 wybrano 99 punktów. Dowieść, Ŝe wewnątrz koła istnieje
punkt odległy od kaŜdego z wybranych punktów o więcej niŜ 1.
4. Wyznaczyć wszystkie rozwiązania układu równań:
=
+
=
+
=
+
xy
x
z
xz
z
y
yz
y
x
30
25
4
20
4
9
12
9
25
2
2
2
2
2
2
w liczbach rzeczywistych
x, y, z.
5. Ogrodnik włoŜył 121 jabłek do 15 wiader tak, Ŝe w kaŜdym wiadrze znalazło się co
najmniej jedno jabłko. Czy jest moŜliwe, Ŝe w kaŜdym wiadrze znajduje się inna
liczba jabłek?
6. Wiadomo, Ŝe prawdziwa moneta waŜy 10 gramów, a fałszywa 9 gramów. Mamy 5
monet o łącznej wadze 48 gramów i dysponujemy wagą elektroniczną. Wykonując
waŜenie moŜemy połoŜyć na wagę dowolną liczbę wybranych przez nas monet i
odczytać ich łączną wagę. Czy wykonując nie więcej niŜ 3 waŜenia moŜemy zawsze
rozpoznać, które z danych monet są fałszywe, a które prawdziwe?
7. Na płaszczyźnie dane są punkty A, B, C, D. Punkt B jest środkiem odcinka AC, przy
tym
AB = BC = BD = 17 oraz AD = 16. Obliczyć długość odcinka CD.
Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów moŜna zamawiać:
antitau1@wp.pl
I Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
zawody II stopnia
28 stycznia 2006
czas: 180 minut
Zadanie 1.
Pewien graniastosłup ma dwa razy więcej wierzchołków niŜ pewien ostrosłup. Który z tych
wielościanów ma więcej ścian i o ile więcej?
Zadanie 2.
Danych jest 111 dodatnich liczb całkowitych. WykaŜ, Ŝe spośród nich moŜna wybrać 11
takich liczb, których suma jest podzielna przez 11.
Zadanie 3.
Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC, w którym kąt BAC ma miarę 45°. Wysokości tego trójkąta
przecinają się w punkcie
H. WykaŜ, Ŝe
BC
AH =
.
Zadanie 4.
Wyznacz wszystkie dodatnie liczby całkowite
n, dla których liczba
9
14 −
n
jest pierwsza.
Zadanie 5.
Dany jest sześciokąt wypukły
ABCDEF o kątach przy wierzchołkach A, B, C, D równych
odpowiednio 90°, 128°, 142°, 90°. WykaŜ, Ŝe pole tego sześciokąta jest mniejsze niŜ
2
2
1
AD
⋅
.
Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów moŜna zamawiać:
antitau1@wp.pl
I Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
(zawody trzeciego stopnia)
25 marca 2006 r.
1. Ile jest czwórek (a, b, c, d) dodatnich liczb całkowitych, które spełniają równanie:
55
=
+
+
+
da
cd
bc
ab
? Odpowiedź uzasadnij.
2. Dany jest równoległobok ABCD. Punkt E naleŜy do boku AB, a punkt F do boku AD.
Prosta EF przecina prostą CB w punkcie P, a prostą CD w punkcie Q. WykaŜ, Ŝe pole
trójkąta CEF jest równe polu trójkąta APQ.
3. W przestrzeni danych jest takich n punktów (n ≥ 4), Ŝe Ŝadne 4 nie leŜą na jednej
płaszczyźnie. KaŜde dwa z tych punktów połączono odcinkiem niebieskim lub
czerwonym. Udowodnij, Ŝe moŜna tak wybrać jeden z tych kolorów, aby kaŜde dwa
punkty były połączone odcinkiem lub łamaną wybranego koloru.
4. Dany jest taki czworościan, Ŝe kaŜdy kąt dwuścienny wyznaczony przez jego
sąsiednie ściany jest ostry lub prosty. Wierzchołki tego czworościanu leŜą na sferze o
środku S. Czy punkt S moŜe leŜeć na zewnątrz tego wielościanu? Odpowiedź
uzasadnij.
5. Dane są róŜne liczby pierwsze p, q oraz takie dodatnie liczby całkowite a, b, Ŝe liczba
aq daje resztę 1 przy dzieleniu przez p, a liczba bp daje resztę 1 przy dzieleniu przez q.
WykaŜ, Ŝe
1
>
+
q
b
p
a
.
Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów moŜna zamawiać:
antitau1@wp.pl
Zadania II Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
1 września 2006 r. – 16 października 2006 r.
(zawody stopnia pierwszego)
1. Czy istnieją takie dodatnie liczby całkowite a, b, Ŝe suma cyfr kaŜdej z nich jest równa
2006, a suma cyfr liczby
b
a ⋅ jest równa 2006
2
? Odpowiedź uzasadnij.
2. Dany jest trójkąt ABC, w którym miara kąta ACB wynosi 90° oraz AC≠ BC. Punkty P
i Q są takie, Ŝe czworokąt APBQ jest kwadratem. Udowodnij, Ŝe proste CP i CQ są
prostopadłe.
3. Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych p, q, r spełniające układ równań:
+
=
+
=
6
6
2
2
q
r
p
q
.
4. W trójkącie ABC punkt M jest środkiem boku AB oraz miara kąta ACB wynosi 120°.
Udowodnij, Ŝe
AB
CM
⋅
≥
6
3
.
5. Wyznacz wszystkie dodatnie liczby całkowite n o następującej własności: Dla kaŜdej
pary liczb rzeczywistych dodatnich x, y zachodzi nierówność
4
4
y
x
xy
n
+
<
.
6. Czy istnieje taki czworościan, w którym przynajmniej jedna ściana jest trójkątem
rozwartokątnym, a środek sfery opisanej na tym czworościanie leŜy w jego wnętrzu?
Odpowiedź uzasadnij.
7. Spośród wszystkich wierzchołków 17-kąta foremnego wybrano dziesięć. WykaŜ, Ŝe
wśród wybranych punktów są cztery będące wierzchołkami trapezu.
Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów moŜna zamawiać:
antitau1@wp.pl
II Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
(zawody stopnia drugiego)
13 stycznia 2007 r.
1. Wyznacz wszystkie trójki (a, b, c) liczb rzeczywistych spełniających układ równań:
=
+
+
=
+
+
22
4
2
23
2
2
2
c
b
a
c
b
a
2. Miara kaŜdego kąta sześciokąta ABCDEF jest równa 120°. Udowodnij, Ŝe symetralne
odcinków AB, CD, EF przecinają się w jednym punkcie.
3. W przestrzeni danych jest 6 punktów, z których Ŝadne cztery nie leŜą na jednej
płaszczyźnie. Łącząc niektóre z tych punktów narysowano 10 odcinków. WykaŜ, Ŝe w
ten sposób uzyskano co najmniej jeden trójkąt.
4. Czy istnieją takie dodatnie liczby całkowite a, b, c, d, Ŝe liczba
(
)(
)(
)(
)
a
d
d
c
c
b
b
a
+
+
+
+
jest w systemie dziesiętnym zakończona cyframi „10”?
Odpowiedź uzasadnij.
5. Trójkąt ABC jest podstawą ostrosłupa ABCS, w którym miary kątów ASB, BSC i CSA
są równe 20°. WykaŜ, Ŝe obwód trójkąta ABC jest nie mniejszy od długości kaŜdej z
krawędzi AS, BS i CS.
Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów moŜna zamawiać:
antitau1@wp.pl
II Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
(zawody stopnia trzeciego)
10 marca 2007 r.
1. Wyznacz wszystkie trójki
(
)
c
b
a ,
,
liczb rzeczywistych spełniające układ równań:
+
=
+
=
+
=
a
c
ca
c
b
bc
b
a
ab
2. KaŜdemu wierzchołkowi 100-kąta foremnego trzeba przyporządkować pewną
dodatnią liczbę rzeczywistą. Czy moŜliwe jest takie przyporządkowanie, w którym
kaŜda liczba jest równa wartości bezwzględnej róŜnicy liczb, które z nią sąsiadują?
Odpowiedź uzasadnij.
3. W trójkącie ostrokątnym ABC punkty M i N są odpowiednio środkami boków AC i
BC. Wysokość trójkąta ABC poprowadzona z wierzchołka C przecina odcinek MN w
punkcie D. Symetralna boku AB przecina odcinek MN w punkcie E. WykaŜ, Ŝe
NE
MD
=
.
4. Ile jest takich liczb n naleŜących do zbioru
{
}
2007
,...,
2
,
1
, dla których liczba
1
4
−
n
jest
podzielna przez 9? Odpowiedź uzasadnij.
5. Czy istnieje taki ostrosłup czworokątny, którego kaŜda ściana boczna jest trójkątem
prostokątnym? Odpowiedź uzasadnij.
Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów moŜna zamawiać:
antitau1@wp.pl
III Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
Zawody stopnia pierwszego
(10 września 2007 r. – 29 października 2007 r.)
1. RozwiąŜ równanie:
0
4
3
2
1
=
−
−
−
−
x
.
2. Dany jest czworokąt wypukły ABCD o polu 1. Punkt K jest symetryczny do punktu B
względem punktu A, punkt L jest symetryczny do punktu C względem punktu B, punkt
M
jest symetryczny do punktu D względem punktu C, punkt N jest symetryczny do
punktu A względem punktu D. Oblicz pole czworokąta KLMN.
3. Liczby a, b, c są dodatnie. WykaŜ, Ŝe
(
)(
) (
)(
)(
)
1
1
1
1
1
1
1
<
+
+
+
+
+
+
+
+
c
b
a
c
b
a
b
a
a
.
4. Dana jest liczba ośmiocyfrowa a. Liczba ośmiocyfrowa b powstaje z liczby a poprzez
przestawienie cyfry jedności liczby a na początek. WykaŜ, Ŝe jeśli liczba a jest
podzielna przez 101, to liczba b jest takŜe podzielna przez 101.
5. Okrąg o promieniu 1 jest wpisany w czworokąt wypukły ABCD. Okrąg ten jest
styczny do boków AB, BC, CD, DA odpowiednio w punktach K, L, M, N. Wiadomo,
Ŝe miara kąta KLM jest 4 razy większa od miary kąta AKN, zaś miara kąta KNM jest 4
razy większa od miary kąta BKL. Oblicz długość odcinka LN.
6. Ile jest liczb 15-cyfrowych k o następującej własności: KaŜde trzy kolejne cyfry liczby
k są róŜne oraz w kaŜdej trójce kolejnych cyfr liczby k występuje 0
? Odpowiedź
uzasadnij.
7. Czy istnieje taki ostrosłup czworokątny oraz taka płaszczyzna przecinająca wszystkie
jego krawędzie boczne, Ŝe pole uzyskanego przekroju jest większe od pola podstawy
ostrosłupa? Odpowiedź uzasadnij.
Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów moŜna zamawiać:
antitau1@wp.pl
III Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
(zawody stopnia drugiego)
12 stycznia 2008 r.
1. Liczby dodatnie a, b spełniają warunek:
3
2
+
=
+
ab
b
a
.
WykaŜ, Ŝe co najmniej jedna z liczb a, b jest niewymierna.
2. W kaŜde pole tablicy o wymiarach 4×4 wpisano liczbę 0 lub 1. Następnie obliczono
sumy liczb stojących w kaŜdym wierszu, w kaŜdej kolumnie i na obu przekątnych.
WykaŜ, Ŝe co najmniej trzy sumy są jednakowe.
3. Punkt S leŜy wewnątrz sześciokąta foremnego ABCDEF. Udowodnij, Ŝe suma pól
trójkątów ABS, CDS, EFS jest równa połowie pola sześciokąta ABCDEF.
4. Czy istnieje taka dodatnia liczba całkowita n, dla której liczbę 2
n
moŜna przedstawić
w postaci sumy co najmniej dwóch kolejnych dodatnich liczb całkowitych?
Odpowiedź uzasadnij.
5. Czy moŜna tak przeciąć sześcian płaskim cięciem na dwie bryły o równych
objętościach, aby w przekroju otrzymać pięciokąt? Odpowiedź uzasadnij.
Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów moŜna zamawiać:
antitau1@wp.pl
III Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
(zawody stopnia trzeciego)
8 marca 2008 r.
1. Dane są takie liczby rzeczywiste a, b, c, Ŝe liczby:
ab
ca
ca
bc
bc
ab
+
+
+
,
,
są dodatnie. Udowodnij, Ŝe liczby a, b, c mają jednakowy znak, tzn. wszystkie są
dodatnie lub wszystkie są ujemne.
2. Udowodnij, Ŝe istnieje nieskończenie wiele trójek (a, b, c) dodatnich liczb
całkowitych spełniających równość:
2
6
3
3
c
b
a
=
+
.
3. Dany jest trójkąt ABC, w którym AC > BC. Punkt P jest rzutem prostokątnym punktu
B
na dwusieczną kąta ACB. Punkt M jest środkiem odcinka AB. Wiedząc, Ŝe
,
,
,
c
AB
b
CA
a
BC
=
=
=
oblicz długość odcinka PM.
4. Czy wierzchołki 20-kąta foremnego moŜna tak ponumerować liczbami 1, 2, …, 20,
aby uŜyć wszystkich tych liczb oraz aby dla kaŜdych czterech kolejnych
wierzchołków suma ich numerów była mniejsza od 43? Odpowiedź uzasadnij.
5. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego kaŜda krawędź ma długość 1.
Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną przecinającą jego wszystkie krawędzie boczne i
uzyskano w przekroju czworokąt wypukły ABCD nie będący trapezem. Proste AB i
CD
przecinają się w punkcie P. Wyznacz wszystkie wartości, jakie moŜe przyjąć
odległość punktu P od płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów moŜna zamawiać:
antitau1@wp.pl
IV Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
Zawody stopnia pierwszego
(1 września 2008 r. – 27 października 2008 r.)
1. Wyznacz w zaleŜności od a liczbę rozwiązań układu równań:
=
+
=
+
y
a
x
y
x
1
2. Dany jest prostopadłościan o podstawie kwadratowej. Przekątna tego
prostopadłościanu ma długość d, a jego pole powierzchni jest równe b. Oblicz sumę
długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu.
3. Dany jest kwadrat ABCD o boki 1 oraz prosta l przechodząca przez jego środek. Niech
a, b, c, d oznaczają odpowiednio odległości punktów A, B, C, D od prostej l. WykaŜ,
Ŝe
1
2
2
2
2
=
+
+
+
d
c
b
a
4. Wyznacz wszystkie takie pary (a, b) dodatnich liczb całkowitych, Ŝe liczba
b
a + jest
liczbą pierwszą oraz liczba
3
3
b
a +
jest podzielna przez 3.
5. W trójkącie ABC dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie D. Długości
boków BC i AC są równe odpowiednio a i b, a długość odcinka CD jest równa d.
Wykazać, Ŝe
b
a
ab
d
+
<
2
6. KaŜdy punkt płaszczyzny pokolorowano na niebiesko lub czerwono. Udowodnij, Ŝe
istnieje trójkąt prostokątny równoramienny, którego wierzchołki są tego samego
koloru.
7. Czy istnieje taki wielościan, którego rzuty prostokątne na pewne trzy płaszczyzny są
odpowiednio czworokątem, sześciokątem i ośmiokątem? Odpowiedź uzasadnij.
Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów moŜna zamawiać:
antitau1@wp.pl
IV Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
Zawody stopnia drugiego
17 stycznia 2009 r.
1. Wyznacz wszystkie trójki
(
)
c
b
a ,
,
liczb nieparzystych dodatnich spełniających
zaleŜność:
b
a
a
c
b
b
c
a
=
−
+
−
+
2. KaŜda z liczb
101
2
1
,...,
,
x
x
x
jest równa 1 lub -1. Wyznacz najmniejszą moŜliwą
wartość wyraŜenia
1
101
101
100
4
3
3
2
2
1
...
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
3. Dany jest równoległobok ABCD oraz punkt E naleŜący do boku BC. Przez punkt D
prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE. Na prostej k obieramy takie punkty K,
L, Ŝe czworokąt AEKL jest równoległobokiem. Udowodnij, Ŝe równoległoboki ABCD
i AEKL mają równe pola.
4. W turnieju tenisa stołowego wzięło udział 50 zawodników. KaŜdy zawodnik rozegrał
jeden mecz z kaŜdym innym zawodnikiem, nie było remisów. Czy moŜliwe jest, aby
kaŜdy z zawodników wygrał tę samą liczbę meczów? Odpowiedź uzasadnij.
5. Ostrosłup prawidłowy sześciokątny przecięto płaszczyzną, która przecina wszystkie
jego krawędzie boczne. W przekroju otrzymano sześciokąt wypukły ABCDEF.
WykaŜ, Ŝe proste AD, BE i CF przecinają się w jednym punkcie.