Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów można zamawiać:

[e-mail]

I Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

rok szkolny 2005/06

Zadania zawodów I stopnia

1. Dowieść, że

1

48

7

24

5

8

3

=

−

+

−

+

−

.

2. Dany jest czworokąt wypukły o następujących własnościach:

• w czworokąt można wpisać okrąg,
• przekątne czworokąta są prostopadłe.

Dowieść, że jedna z przekątnych czworokąta dzieli drugą na połowy.

3. W kole o promieniu 10 wybrano 99 punktów. Dowieść, że wewnątrz koła istnieje

punkt odległy od każdego z wybranych punktów o więcej niż 1.

4. Wyznaczyć wszystkie rozwiązania układu równań:











=

+

=

+

=

+

xy

x

z

xz

z

y

yz

y

x

30

25

4

20

4

9

12

9

25

2

2

2

2

2

2

w liczbach rzeczywistych

x, y, z.

5. Ogrodnik włożył 121 jabłek do 15 wiader tak, że w każdym wiadrze znalazło się co

najmniej jedno jabłko. Czy jest możliwe, że w każdym wiadrze znajduje się inna

liczba jabłek?

6. Wiadomo, że prawdziwa moneta waży 10 gramów, a fałszywa 9 gramów. Mamy 5

monet o łącznej wadze 48 gramów i dysponujemy wagą elektroniczną. Wykonując

ważenie możemy położyć na wagę dowolną liczbę wybranych przez nas monet i

odczytać ich łączną wagę. Czy wykonując nie więcej niż 3 ważenia możemy zawsze

rozpoznać, które z danych monet są fałszywe, a które prawdziwe?

7. Na płaszczyźnie dane są punkty A, B, C, D. Punkt B jest środkiem odcinka AC, przy

tym

AB = BC = BD = 17 oraz AD = 16. Obliczyć długość odcinka CD.

Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów można zamawiać:

[e-mail]

I Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

zawody II stopnia

28 stycznia 2006

czas: 180 minut

Zadanie 1.

Pewien graniastosłup ma dwa razy więcej wierzchołków niż pewien ostrosłup. Który z tych

wielościanów ma więcej ścian i o ile więcej?

Zadanie 2.

Danych jest 111 dodatnich liczb całkowitych. Wykaż, że spośród nich można wybrać 11

takich liczb, których suma jest podzielna przez 11.

Zadanie 3.

Dany jest trójkąt ostrokątny

ABC, w którym kąt BAC ma miarę 45°. Wysokości tego trójkąta

przecinają się w punkcie

H. Wykaż, że

BC

AH =

.

Zadanie 4.

Wyznacz wszystkie dodatnie liczby całkowite

n, dla których liczba

9

14 −

n

jest pierwsza.

Zadanie 5.

Dany jest sześciokąt wypukły

ABCDEF o kątach przy wierzchołkach A, B, C, D równych

odpowiednio 90°, 128°, 142°, 90°. Wykaż, że pole tego sześciokąta jest mniejsze niż

2

2

1

AD

⋅

.

Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów można zamawiać:

[e-mail]

I Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

(zawody trzeciego stopnia)

25 marca 2006 r.

1. Ile jest czwórek (a, b, c, d) dodatnich liczb całkowitych, które spełniają równanie:

55

=

+

+

+

da

cd

bc

ab

? Odpowiedź uzasadnij.

2. Dany jest równoległobok ABCD. Punkt E należy do boku AB, a punkt F do boku AD.

Prosta EF przecina prostą CB w punkcie P, a prostą CD w punkcie Q. Wykaż, że pole

trójkąta CEF jest równe polu trójkąta APQ.

3. W przestrzeni danych jest takich n punktów (n ≥ 4), że żadne 4 nie leżą na jednej

płaszczyźnie. Każde dwa z tych punktów połączono odcinkiem niebieskim lub

czerwonym. Udowodnij, że można tak wybrać jeden z tych kolorów, aby każde dwa

punkty były połączone odcinkiem lub łamaną wybranego koloru.

4. Dany jest taki czworościan, że każdy kąt dwuścienny wyznaczony przez jego

sąsiednie ściany jest ostry lub prosty. Wierzchołki tego czworościanu leżą na sferze o

środku S. Czy punkt S może leżeć na zewnątrz tego wielościanu? Odpowiedź

uzasadnij.

5. Dane są różne liczby pierwsze p, q oraz takie dodatnie liczby całkowite a, b, że liczba

aq daje resztę 1 przy dzieleniu przez p, a liczba bp daje resztę 1 przy dzieleniu przez q.

Wykaż, że

1

>

+

q

b

p

a

.

Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów można zamawiać:

[e-mail]

Zadania II Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

1 września 2006 r. – 16 października 2006 r.

(zawody stopnia pierwszego)

1. Czy istnieją takie dodatnie liczby całkowite a, b, że suma cyfr każdej z nich jest równa

2006, a suma cyfr liczby

b

a ⋅ jest równa 2006

2

? Odpowiedź uzasadnij.

2. Dany jest trójkąt ABC, w którym miara kąta ACB wynosi 90° oraz AC≠ BC. Punkty P

i Q są takie, że czworokąt APBQ jest kwadratem. Udowodnij, że proste CP i CQ są

prostopadłe.

3. Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych p, q, r spełniające układ równań:







+

=

+

=

6

6

2

2

q

r

p

q

.

4. W trójkącie ABC punkt M jest środkiem boku AB oraz miara kąta ACB wynosi 120°.

Udowodnij, że

AB

CM

⋅

≥

6

3

.

5. Wyznacz wszystkie dodatnie liczby całkowite n o następującej własności: Dla każdej

pary liczb rzeczywistych dodatnich x, y zachodzi nierówność

4

4

y

x

xy

n

+

<

.

6. Czy istnieje taki czworościan, w którym przynajmniej jedna ściana jest trójkątem

rozwartokątnym, a środek sfery opisanej na tym czworościanie leży w jego wnętrzu?

Odpowiedź uzasadnij.

7. Spośród wszystkich wierzchołków 17-kąta foremnego wybrano dziesięć. Wykaż, że

wśród wybranych punktów są cztery będące wierzchołkami trapezu.

Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów można zamawiać:

[e-mail]

II Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

(zawody stopnia drugiego)

13 stycznia 2007 r.

1. Wyznacz wszystkie trójki (a, b, c) liczb rzeczywistych spełniających układ równań:







=

+

+

=

+

+

22

4

2

23

2

2

2

c

b

a

c

b

a

2. Miara każdego kąta sześciokąta ABCDEF jest równa 120°. Udowodnij, że symetralne

odcinków AB, CD, EF przecinają się w jednym punkcie.

3. W przestrzeni danych jest 6 punktów, z których żadne cztery nie leżą na jednej

płaszczyźnie. Łącząc niektóre z tych punktów narysowano 10 odcinków. Wykaż, że w

ten sposób uzyskano co najmniej jeden trójkąt.

4. Czy istnieją takie dodatnie liczby całkowite a, b, c, d, że liczba

(

)(

)(

)(

)

a

d

d

c

c

b

b

a

+

+

+

+

jest w systemie dziesiętnym zakończona cyframi „10”?

Odpowiedź uzasadnij.

5. Trójkąt ABC jest podstawą ostrosłupa ABCS, w którym miary kątów ASB, BSC i CSA

są równe 20°. Wykaż, że obwód trójkąta ABC jest nie mniejszy od długości każdej z

krawędzi AS, BS i CS.

Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów można zamawiać:

[e-mail]

II Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

(zawody stopnia trzeciego)

10 marca 2007 r.

1. Wyznacz wszystkie trójki

(

)

c

b

a ,

,

liczb rzeczywistych spełniające układ równań:











+

=

+

=

+

=

a

c

ca

c

b

bc

b

a

ab

2. Każdemu wierzchołkowi 100-kąta foremnego trzeba przyporządkować pewną

dodatnią liczbę rzeczywistą. Czy możliwe jest takie przyporządkowanie, w którym

każda liczba jest równa wartości bezwzględnej różnicy liczb, które z nią sąsiadują?

Odpowiedź uzasadnij.

3. W trójkącie ostrokątnym ABC punkty M i N są odpowiednio środkami boków AC i

BC. Wysokość trójkąta ABC poprowadzona z wierzchołka C przecina odcinek MN w

punkcie D. Symetralna boku AB przecina odcinek MN w punkcie E. Wykaż, że

NE

MD

=

.

4. Ile jest takich liczb n należących do zbioru

{

}

2007

,...,

2

,

1

, dla których liczba

1

4

−

n

jest

podzielna przez 9? Odpowiedź uzasadnij.

5. Czy istnieje taki ostrosłup czworokątny, którego każda ściana boczna jest trójkątem

prostokątnym? Odpowiedź uzasadnij.

Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów można zamawiać:

[e-mail]

III Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Zawody stopnia pierwszego

(10 września 2007 r. – 29 października 2007 r.)

1. Rozwiąż równanie:

0

4

3

2

1

=

−

−

−

−

x

.

2. Dany jest czworokąt wypukły ABCD o polu 1. Punkt K jest symetryczny do punktu B

względem punktu A, punkt L jest symetryczny do punktu C względem punktu B, punkt

M

jest symetryczny do punktu D względem punktu C, punkt N jest symetryczny do

punktu A względem punktu D. Oblicz pole czworokąta KLMN.

3. Liczby a, b, c są dodatnie. Wykaż, że

(

)(

) (

)(

)(

)

1

1

1

1

1

1

1

<

+

+

+

+

+

+

+

+

c

b

a

c

b

a

b

a

a

.

4. Dana jest liczba ośmiocyfrowa a. Liczba ośmiocyfrowa b powstaje z liczby a poprzez

przestawienie cyfry jedności liczby a na początek. Wykaż, że jeśli liczba a jest

podzielna przez 101, to liczba b jest także podzielna przez 101.

5. Okrąg o promieniu 1 jest wpisany w czworokąt wypukły ABCD. Okrąg ten jest

styczny do boków AB, BC, CD, DA odpowiednio w punktach K, L, M, N. Wiadomo,

że miara kąta KLM jest 4 razy większa od miary kąta AKN, zaś miara kąta KNM jest 4

razy większa od miary kąta BKL. Oblicz długość odcinka LN.

6. Ile jest liczb 15-cyfrowych k o następującej własności: Każde trzy kolejne cyfry liczby

k są różne oraz w każdej trójce kolejnych cyfr liczby k występuje 0

? Odpowiedź

uzasadnij.

7. Czy istnieje taki ostrosłup czworokątny oraz taka płaszczyzna przecinająca wszystkie

jego krawędzie boczne, że pole uzyskanego przekroju jest większe od pola podstawy

ostrosłupa? Odpowiedź uzasadnij.

Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów można zamawiać:

[e-mail]

III Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

(zawody stopnia drugiego)

12 stycznia 2008 r.

1. Liczby dodatnie a, b spełniają warunek:

3

2

+

=

+

ab

b

a

.

Wykaż, że co najmniej jedna z liczb a, b jest niewymierna.

2. W każde pole tablicy o wymiarach 4×4 wpisano liczbę 0 lub 1. Następnie obliczono

sumy liczb stojących w każdym wierszu, w każdej kolumnie i na obu przekątnych.

Wykaż, że co najmniej trzy sumy są jednakowe.

3. Punkt S leży wewnątrz sześciokąta foremnego ABCDEF. Udowodnij, że suma pól

trójkątów ABS, CDS, EFS jest równa połowie pola sześciokąta ABCDEF.

4. Czy istnieje taka dodatnia liczba całkowita n, dla której liczbę 2

n

można przedstawić

w postaci sumy co najmniej dwóch kolejnych dodatnich liczb całkowitych?

Odpowiedź uzasadnij.

5. Czy można tak przeciąć sześcian płaskim cięciem na dwie bryły o równych

objętościach, aby w przekroju otrzymać pięciokąt? Odpowiedź uzasadnij.

Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów można zamawiać:

[e-mail]

III Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

(zawody stopnia trzeciego)

8 marca 2008 r.

1. Dane są takie liczby rzeczywiste a, b, c, że liczby:

ab

ca

ca

bc

bc

ab

+

+

+

,

,

są dodatnie. Udowodnij, że liczby a, b, c mają jednakowy znak, tzn. wszystkie są

dodatnie lub wszystkie są ujemne.

2. Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele trójek (a, b, c) dodatnich liczb

całkowitych spełniających równość:

2

6

3

3

c

b

a

=

+

.

3. Dany jest trójkąt ABC, w którym AC > BC. Punkt P jest rzutem prostokątnym punktu

B

na dwusieczną kąta ACB. Punkt M jest środkiem odcinka AB. Wiedząc, że

,

,

,

c

AB

b

CA

a

BC

=

=

=

oblicz długość odcinka PM.

4. Czy wierzchołki 20-kąta foremnego można tak ponumerować liczbami 1, 2, …, 20,

aby użyć wszystkich tych liczb oraz aby dla każdych czterech kolejnych

wierzchołków suma ich numerów była mniejsza od 43? Odpowiedź uzasadnij.

5. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego każda krawędź ma długość 1.

Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną przecinającą jego wszystkie krawędzie boczne i

uzyskano w przekroju czworokąt wypukły ABCD nie będący trapezem. Proste AB i

CD

przecinają się w punkcie P. Wyznacz wszystkie wartości, jakie może przyjąć

odległość punktu P od płaszczyzny podstawy ostrosłupa.

Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów można zamawiać:

[e-mail]

IV Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Zawody stopnia pierwszego

(1 września 2008 r. – 27 października 2008 r.)

1. Wyznacz w zależności od a liczbę rozwiązań układu równań:







=

+

=

+

y

a

x

y

x

1

2. Dany jest prostopadłościan o podstawie kwadratowej. Przekątna tego

prostopadłościanu ma długość d, a jego pole powierzchni jest równe b. Oblicz sumę

długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu.

3. Dany jest kwadrat ABCD o boki 1 oraz prosta l przechodząca przez jego środek. Niech

a, b, c, d oznaczają odpowiednio odległości punktów A, B, C, D od prostej l. Wykaż,

że

1

2

2

2

2

=

+

+

+

d

c

b

a

4. Wyznacz wszystkie takie pary (a, b) dodatnich liczb całkowitych, że liczba

b

a + jest

liczbą pierwszą oraz liczba

3

3

b

a +

jest podzielna przez 3.

5. W trójkącie ABC dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie D. Długości

boków BC i AC są równe odpowiednio a i b, a długość odcinka CD jest równa d.

Wykazać, że

b

a

ab

d

+

<

2

6. Każdy punkt płaszczyzny pokolorowano na niebiesko lub czerwono. Udowodnij, że

istnieje trójkąt prostokątny równoramienny, którego wierzchołki są tego samego

koloru.

7. Czy istnieje taki wielościan, którego rzuty prostokątne na pewne trzy płaszczyzny są

odpowiednio czworokątem, sześciokątem i ośmiokątem? Odpowiedź uzasadnij.

Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów można zamawiać:

[e-mail]

IV Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Zawody stopnia drugiego

17 stycznia 2009 r.

1. Wyznacz wszystkie trójki

(

)

c

b

a ,

,

liczb nieparzystych dodatnich spełniających

zależność:

b

a

a

c

b

b

c

a

=

−

+

−

+

2. Każda z liczb

101

2

1

,...,

,

x

x

x

jest równa 1 lub -1. Wyznacz najmniejszą możliwą

wartość wyrażenia

1

101

101

100

4

3

3

2

2

1

...

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

+

+

+

+

+

3. Dany jest równoległobok ABCD oraz punkt E należący do boku BC. Przez punkt D

prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE. Na prostej k obieramy takie punkty K,

L, że czworokąt AEKL jest równoległobokiem. Udowodnij, że równoległoboki ABCD

i AEKL mają równe pola.

4. W turnieju tenisa stołowego wzięło udział 50 zawodników. Każdy zawodnik rozegrał

jeden mecz z każdym innym zawodnikiem, nie było remisów. Czy możliwe jest, aby

każdy z zawodników wygrał tę samą liczbę meczów? Odpowiedź uzasadnij.

5. Ostrosłup prawidłowy sześciokątny przecięto płaszczyzną, która przecina wszystkie

jego krawędzie boczne. W przekroju otrzymano sześciokąt wypukły ABCDEF.

Wykaż, że proste AD, BE i CF przecinają się w jednym punkcie.