Ćwiczenia do wykładu Synteza i właściwości nanostruktur

Zestaw 3

Zadanie 1 – gęstość stanów w nanostrukturach

W celu opisu spektrum energetycznego elektronów w nanostrukturach wprowadza się funkcję zwaną
gęstością stanów ρ(E), która pozwala określić liczbę stanów dN(E) w małym przedziale energii dE
wokół energii o wartości E:

dN(E) = ρ(E)dE.

W ogólności gęstość stanów jest dana przez następujące wyrażenie:

,

gdzie µ oznacza zestaw liczb kwantowych potrzebnych do określenia stanu o energii E

µ

, a δ(x)

oznacza funkcję delta Diraca.
Zastosuj relację dyspersyjne użyte w zadaniu nr 2 z poprzedniego zestawu oraz powyższą definicję do
wyliczenia gęstości stanów struktury 3D (kryształ), 2D (studnia kwantowa) i 1D (kwantowy drut).
Narysuj schematyczne wykresy ρ(E) dla każdej z tych struktur.

Wskazówka 1:
Funkcja delta Diraca ma następujące właściwości:

oraz

.

Całkowana z funkcją f(x) na przedziale od a do b da w wyniku:

jeśli .

Wskazówka 2:
Przy ustalaniu µ przyjąć założenie, że energia nie zależy od spinu. Następnie skorzystać z zamiany sumowania
na całkowanie, według przepisu ze wskazówki nr 2 do zadania nr 2 z zestawu nr 2.

Zadanie 2 – powierzchnia i wnętrze kryształu

W skali makro atomy z wnętrza kryształu określają jego właściwości, gdyż stanowią większość
atomów tworzących dany materiał. W sytuacji, gdy rozpatrujemy obiekt, którego rozmiary są rzędu
nanometrów, stosunek liczby atomów powierzchniowych do liczby atomów z wnętrza kryształu
F rośnie. Tym samym istotny wpływ na właściwości danego obiektu zaczynają mieć właśnie atomy
powierzchniowe. Proszę wyznaczyć zależność stosunku liczby atomów powierzchniowych do liczby
atomów z wnętrza w funkcji całkowitej liczby atomów N, F(N), dla materiału o prostej strukturze
kubicznej. Proszę przyjąć, że obiekt jest sześcianem o boku a zawierającym n atomów, oczywiście
N = n

3

. Proszę narysować wykres F(N) dla obiektów posiadających od 2 do 100 atomów na krawędzi.

Zadanie 3 - nanourządzenie

Mamy urządzenie wykonane z kryształu GaAs o wymiarach L

X

, L

Y

i L

Z

, gdzie wymiar L

X

oznacza

odległość pomiędzy elektrodami i przepływ prądu następuje tylko w tym kierunku. Masa efektywna
elektronów w GaAs wynosi m* = 0.067m

e

(m

e

oznacza masę swobodnego elektronu), a mobilność

w temperaturze T = 77K przyjmuje wartość μ = 10

5

cm

2

V

−1

s

−1

. Oblicz

• długość fali de Broglie elektronów,

• średni czas między elastycznymi zderzeniami elektronów τ

e

,

• termiczną szybkość elektronów v

T

,

• średnią drogę swobodną l

e

,

• współczynnik dyfuzji (D = v

T

2

τ

e

/3 dla struktury 3D).

Następnie proszę określić sposób opisu zjawisk transportu elektronów dla urządzenia wykonanego
z tego materiału o rozmiarach L

X

= 0.05 μm, 0.5 μm, i 5 μm, posługując się klasyfikacja przedstawioną

w Tabeli 1.

Warunek

Zakres

kwantowy

mezoskopowy

i

klasyczny transport balistyczny

i

klasyczny transport kwazibalistyczny

klasyczny transport dyfuzyjny

Tabela 1. Klasyfikacja sposobów opisu zjawisk transportu nośników w zależności od rozmiarów urządzenia L

x

, λ

- długość fali de Broglie elektronów, L

T

- długość dyfuzji termicznej, l

e

- średnia droga swobodna.

Wskazówka:
Elektrony poruszając się w krysztale podlegają elastycznym i nieelastycznym zderzeniom. Zderzenia elastyczne
nie niszczą koherencji ruchu elektronów. Średni czas między zderzeniami elastycznymi τ

e

wyznacza średnią

drogę swobodną między zderzeniami l

e

= v

T

τ

e

, gdzie v

T

oznacza termiczna szybkość elektronów i jest związany

z mobilnością elektronów następującą relacją:

μ = e∙τ

e

/m*.

Zderzenia nieelastyczne natomiast niszczą koherencje ruchu elektronów. Odległość pokonana przez elektron
pomiędzy zderzeniami nieelastycznymi L

E

, zwykle jest znacznie większa od l

e

(to samo dotyczy średniego czasu

między zderzeniami nieelastycznymi τ

E

i elastycznymi τ

e

). W tej sytuacji mamy do czynienia z dyfuzja

elektronów, a odległość przebyta pomiędzy zderzeniami nieelastycznymi wyznaczona jest następująco:

gdzie D = v

T

2

τ

e

/3 to współczynnik dyfuzji.

Innym procesem prowadzącym do utraty koherencji jest niezerowa temperatura gazu elektronów, która
wyznacza kolejną skalę czasową,

. Jeśli tylko mamy do czynienia z sytuacją, że τ

E

> τ

T

> τ

e

(zwykle ma to

miejsce, gdy τ

E

>> τ

e

) to po upływie czasu τ

T

na dystansach

spójność elektronów jest utracona. Najmniejsza z wartości L

E

i L

T

, wyznacza skalę przestrzenną związaną

z utratą koherencji kwantowomechanicznej:

l

φ

≈ min{L

E

,L

T

}.

Długość koherencji l

φ

wyznacza granicę, poniżej której transport elektronów ma kwantowomechaniczny

charakter. Zwykle L

E

jest tak duże, że można przyjąć l

φ

= L

T

(tak tez uczyniono w klasyfikacji przedstawionej

w Tabeli 1). Powyższe skale wielkości pozwalają na klasyfikację rodzaju transportu z jakim mamy do czynienia
w urządzeniach elektronicznych różnej wielkości.

Szymon Godlewski