Ćwiczenia do wykładu Synteza i właściwości nanostruktur

Zestaw 4

Zadanie 1 – klasyczny transport dyfuzyjny

W ciele stałym elektrony są w ciągłym ruchu. Ruch ten jest chaotyczny w związku z tym, że elektrony
doświadczają losowego rozpraszania ze względu na defekty sieci, jej drgania, etc. Gdy nie ma
przyłożonego zewnętrznego pola wypadkowy strumień elektronów, a tym samym wypadkowy prąd
elektryczny jest równy zero. Po przyłożeniu pola pojawia sie wypadkowy dryf elektronów. Załóżmy,
że dla rozpatrywanego obiektu mamy spełnioną nierówność

, (gdzie L

X

oznacza rozmiar

obiektu między elektrodami, a l

e

średnią drogę swobodną elektronów). W takiej sytuacji mamy do

czynienia z zakresem klasycznego transportu dyfuzyjnego i średnia prędkość elektronów , może być
opisana równaniem:

,

gdzie τ

e

oznacza średni czas między zderzeniami, a za ładunek elektronu przyjęto −e. Rozważając stan

stacjonarny proszę pokazać, że

,

gdzie μ oznacza ruchliwość elektronów. Jak wygląda wyrażenie na μ? Następnie wychodząc z definicji
gęstości prądu pokazać, że

,

gdzie σ oznacza przewodność właściwą. Jak wygląda wyrażenie na σ? Jak przewodność właściwa
wiąże się z oporem przewodnika?

Zadanie 2 – „stary model Drudego”
W swoich pierwotnych rozważaniach Drude korzystając z praw mechaniki wyznaczył
przewodność dla metali. Zakładając, że elektrony rozpraszane są średnio w odstępie czasu τ i
po zderzeniu ich pęd jest zerowy wyznacz przewodność metali.

Zadanie 3 – „nowy model Drudego”
W poprzednim zadaniu wyznaczyliśmy przewodność metali w oparciu o pierwotny model
Drudego – jest on niepoprawny, gdyż nie uwzględnia statystycznego charakteru zderzeń
elektronów, co prowadzi do nieprawidłowego czynnika ½.
Zakładając, że elektrony ulegają zderzeniom średnio co odstęp czasu τ i wiedząc, że po
zderzeniu ich pęd jest zerowy wyznacz przewodność metali. Uwaga – należy przeprowadzić
uśrednienie po długim czasie i zespole elektronów.

Zadanie 4 - kwantowanie przewodności elektrycznej zmienić kompletnie zgodnie z 201-206
Introduction to nanoelectronics

Rozważmy transport elektronów przez nanodrut o długości L

X

< l

e

, do którego końców przyłożone

zostało napięcie U. Wychodząc z wyrażenia na prąd dla n-tego podpasma nanodrutu w postaci

gdzie D

n

(E) oznacza gęstość stanów na jednostkę długości w n-tym podpaśmie nanodrutu, v

n

(E)

wartość prędkości grupowej w danym podpaśmie, a E

F,l i

E

F,r

odpowiednie energie Fermiego dla

rezerwuarów elektronów po obu końcach nanodrutu, wyprowadź wzór na przewodność n-tego
podpasma oraz dla nanodrutu zawierającego N podpasm. Skąd bierze się podane w treści wyrażenie
na prąd dla n-tego podpasma?

Wskazówka 1:
Gęstość stanów dla nanodrutu obliczyliśmy w zadaniu 1 w zestawie 3.
Wskazówka 2:
Wartość prędkości grupowej dla elektronów wyraża się zależnością:

.

Wskazówka 3:
Różnica energii Fermiego między końcami nanodrutu wynosi
E

F,L

− E

F,R

= eU.

Szymon Godlewski