Metody Matematyczne w Akustyce - Zestaw 3 na dzie« 4 kwietnia 2014.
Dwa pierwsze zadania s¡ z poprzedniego zestawu, jedynie poszerzone o drugi ukªad
wspóªrz¦dnych krzywoliniowych.
3.1. Znale¹¢ transformacj¦ odwrotn¡ do transformacji wyra»aj¡cej w sposób jawny
zwi¡zek mi¦dzy wspóªrz¦dnymi kartezja«skimi a
a) sferycznymi
b) cylindrycznymi.
3.2. Wyrazi¢ jawnie wektory bazowe
a) ukªadu wspóªrz¦dnych sferycznych ˆr = ⃗e
r
, ˆθ = ⃗e
θ
, ˆφ = ⃗e
φ
b) ukªadu wspóªrz¦dnych sferycznych ˆϱ = ⃗e
ϱ
, ˆφ = ⃗e
φ
, ˆz = ⃗e
z
jako funkcje tych wspóªrz¦dnych.
3.3. Wyrazi¢ jawnie wektory bazowe ukªadu kartezja«skiego (ˆx, ˆy, ˆz) poprzez wektory
bazy ˆr = ⃗e
r
, ˆθ = ⃗e
θ
, ˆφ = ⃗e
φ
ukªadu sferycznego.
3.4 Dla danego pola wektorowego ⃗
A(x, y, z)
wyrazi¢ jego skªadowe w ukªadzie
a) sferycznym - znale¹¢ A
r
, A
θ
, A
φ
b) cylindrycznym - znale¹¢ A
ϱ
, A
φ
, A
z
.
3.5 Wyznacz w sposób jawny wspóªczynniki Lame'go dla ukªadu
a) sferycznego
b) cylindrycznego.
3.6 Korzystaj¡c z wyprowadzonego na wykªadzie wzoru na diwergencj¦ dla ukªadu
ortogonalnych wspóªrz¦dnych krzywoliniowych {q
i
}znajd¹
a) gradient funkcji skalarnej (pola skalarnego) grad Φ(r, θ, φ) = ∇Φ(r, θ, φ)
b) diwergencj¦ pola wektorowego div ⃗
A(r, θ, φ) =
∇ · ⃗
A
c) rotacj¦ pola wektorowego rot ⃗
A(r, θ, φ) =
∇ × ⃗
A
we wspóªrz¦dnych sferycznych
1