Metody Matematyczne w Akustyce - Zestaw 3 na dzie« 4 kwietnia 2014.

Dwa pierwsze zadania s¡ z poprzedniego zestawu, jedynie poszerzone o drugi ukªad

wspóªrz¦dnych krzywoliniowych.

3.1. Znale¹¢ transformacj¦ odwrotn¡ do transformacji wyra»aj¡cej w sposób jawny

zwi¡zek mi¦dzy wspóªrz¦dnymi kartezja«skimi a

a) sferycznymi

b) cylindrycznymi.

3.2. Wyrazi¢ jawnie wektory bazowe

a) ukªadu wspóªrz¦dnych sferycznych ˆr = ⃗e

r

, ˆθ = ⃗e

θ

, ˆφ = ⃗e

φ

b) ukªadu wspóªrz¦dnych sferycznych ˆϱ = ⃗e

ϱ

, ˆφ = ⃗e

φ

, ˆz = ⃗e

z

jako funkcje tych wspóªrz¦dnych.

3.3. Wyrazi¢ jawnie wektory bazowe ukªadu kartezja«skiego (ˆx, ˆy, ˆz) poprzez wektory

bazy ˆr = ⃗e

r

, ˆθ = ⃗e

θ

, ˆφ = ⃗e

φ

ukªadu sferycznego.

3.4 Dla danego pola wektorowego ⃗

A(x, y, z)

wyrazi¢ jego skªadowe w ukªadzie

a) sferycznym - znale¹¢ A

r

, A

θ

, A

φ

b) cylindrycznym - znale¹¢ A

ϱ

, A

φ

, A

z

.

3.5 Wyznacz w sposób jawny wspóªczynniki Lame'go dla ukªadu

a) sferycznego

b) cylindrycznego.

3.6 Korzystaj¡c z wyprowadzonego na wykªadzie wzoru na diwergencj¦ dla ukªadu

ortogonalnych wspóªrz¦dnych krzywoliniowych {q

i

}znajd¹

a) gradient funkcji skalarnej (pola skalarnego) grad Φ(r, θ, φ) = ∇Φ(r, θ, φ)

b) diwergencj¦ pola wektorowego div ⃗

A(r, θ, φ) =

∇ · ⃗

A

c) rotacj¦ pola wektorowego rot ⃗

A(r, θ, φ) =

∇ × ⃗

A

we wspóªrz¦dnych sferycznych

1